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La première partie de la thèse traite des déformations et quantification de bialgèbres de Lie. L'existence d'une quantification pour chaque bialgèbre de Lie a été démontrée par Etingof et Kazhdan. Dans ce travail, on s'intéresse au cas des bialgèbres de Lie colorée, c'est à dire une structure de bialgèbres de Lie sur un espace gradué par un groupe quelconque et un bicaractère. A cet effet, on adapte la preuve de Etingof et Kazhdan et on introduit une généralisation au cas coloré du grand crochet introduit par Lecomte et Roger. Par ailleurs nous définissons une cohomologie pour les algèbres et bialgèbres de Lie colorées. Dans le deuxième partie de la thèse, on considère les algèbres Hom-associatives et algèbres Hom-Lie. Une algèbre Hom-associative est définie par une multiplication et une application linéaire alpha modifiant l'associativité. On commence cette partie par rappeler des définitions et propriétés des algèbres de type Hom. Ensuite, on définit la cohomologie de Hochschild de type alpha, en donnant ses propriétés. Une étude similaire est faite dans le cas des algèbres Hom-Lie et la cohomologie de Chevalley-Eilenberg, ainsi que pour les Hom-bialgèbres et bialgèbres Hom-Lie. La théorie de déformations formelles introduite par Gerstenhaber met en lien les déformations et la cohomologie. Dans cette thèse on établit une théorie de déformations des algèbres Hom-associatives basée sur la cohomologie de Hochschild de type alpha. Il s'agit de déformer simultanément la multiplication et l'application linéaire. Par ailleurs, on explore la structure d’algèbre de Lie à homotopie près correspondante, telle que les éléments de Maurer-Cartan sont des Hom-algèbres. / In the first part of this thesis, we provide a proof that any color Lie bialgebra can be quantized. This was proved for Lie bialgebras by Etingof and Kazhdan. Here we generalize this proof to color Lie bialgebras, which are Lie bialgebras graded by an arbitrary abelian group and symmetry given by a bicharacter. Before giving the details of the proof, we first recall the definitions and basic properties of color Lie algebras and bialgebras. Also a generalization of the Grand Crochet introduced by Lecomte and Roger to the color setting is given. Using the Grand Crochet, we also provide a cohomology for color Lie bialgebras. In the second part, we study different type of Hom-algebras, especially Hom-Lie and Hom-associative algebras. Hom-algebras are algebras were the defining relations, e.g. the associativity, are twisted by a linear map alpha called structure map. We first recall the relevant definitions. Then we define a new cohomology for Hom-associative and Hom-Lie algebras called alpha-type Hochschild and Chevalley-Eilenberg cohomology respectively. We also show how these cohomologies can be used to study formal deformations, in the sense of Gerstenhaber, of Hom-associative and Hom-Lie algebras. We allow the deformation of the multiplication and the structure map. We also consider alpha type cohomologies for Hom-bialgebras. Moreover, we explore the corresponding homotopy Lie algebra structure such that the Maurer-Cartan elements are Hom-algebras.

Incidence coalgebras of categories as defined by Joni and Rota are studied, specifically in cases where a strict monoidal product on the underlying category turns the incidence coalgebra into a bialgebra or weak bialgebra. Examples of these incidence bialgebras in combinatorics are given, and include rooted trees and forests, skew shapes and bigraphs. The relations between incidence bialgebras of monoidal categories, incidence bialgebras of operads and posets, combinatorial Hopf algebras and the quiver Hopf algebras of Cibils and Rosso are discussed. Building on a result of Bergbauer and Kreimer, incidence bialgebras are seen as a useful setting in which to study aspects of combinatorial Dyson-Schwinger equations. The possibility of defining a grafting operator B+ and combinatorial DysonSchwinger equations for general incidence bialgebras is explored through the example of skew shapes.:1. Introduction 2. Background 3. Incidence bialgebras of monoidal categories and multicategories 4. Combinatorial Dyson-Schwinger equations

L’objet de cette thèse est l’étude de l’existence d’une quantification pour les sous-algèbres de Lie coisotropes des bigèbres de Lie. Une sous-algèbre de Lie coisotrope d’une bigèbre de Lie est une sous-algèbre de Lie qui est aussi un coidéal. Le problème de quantifications d’une sous-algèbre de Lie coisotrope fut posé par V. Drinfeld, lors de son étude de la quantification des espaces de Poisson homogènes G/C. Ces deux problèmes sont liés par le principe de dualité établi par N. Ciccoli et F. Gavarini. Dans cette thèse, nous cherchons à résoudre ce problème de quantification dans différents cadres. Premièrement, nous montrons qu’une quantification existe dans le cadre des bigèbres de Lie simple. Nous trouvons une quantification aux sous-algèbres de Lie coisotropes construites par M. Zambon. Puis nous établissons un lien entre ces quantifications et une classification des sous- algèbres coidéales à droite établie par I. Heckenberger et S. Kolb. Deuxièmement, nous trouvons une obstruction à la quantification universelle en utilisant une quantification d’ordre trois construite par V. Drinfeld. Nous montrons que cette obstruction disparait dans les exemples étudiés précédemment. Finalement, nous généralisons un résultat établi par P. Etingof et D. Kazhdan sur la quantification d’espaces de Poisson homogènes, liés aux sous-algèbres Lagrangiennes du double de Drinfeld. / The aim of this thesis is the study of quantization of coisotropic Lie subalgebras of Lie bialgebras.A coisotropic Lie subalgebra of a Lie bialgebra is a Lie subalgebra which is also a Lie coideal. The problem of quantization of coisotropic Lie subalgebra was set forth by V. Drinfeld, in his study of quantization of Poisson homogeneous spaces G/C. These problems are closely related to the duality principle established by N. Ciccoli and F. Gavarini.In this thesis, we search for an answer to this quantization problem in different settings. Firstly, we show that a quantization exists for simple Lie bialgebras by constructing a quantization of examples provided by M. Zambon. We then establish a link between the quantization which we constructed and a classification of subalgebras right coideals established by I. Heckenberger and S. Kolb. Secondly, we find an obstruction to the quantization in the universal setting by using a third-order quantization constructed by V. Drinfeld. We show that this obstruction vanishes in the examples studied earlier. Finally, we generalize a result of P. Etingof and D. Kazhdan on the quantization of poisson homogeneous spaces, linked to Lagrangian Lie subalgebras of Drinfeld's double.

La thèse comporte six chapitres. Dans le premier chapitre, on rappelle les bases de la théorie et on étudie la structure des algèbres Hom-associatives ainsi que les différentes constructions comme la composition avec des endomorphismes qui nous permet de construire de nouveaux objets et d’établir certaines nouvelles propriétés. Parmi les résultats originaux, on peut signaler l’étude des algèbres Hom-associatives simples ainsi que leurs constructions. On a montré que toutes les algèbres Hom-associatives multiplicatives simples s’obtiennent par composition d’algèbres simples et d’automorphismes. Dans le deuxième chapitre, on commence par étudier les propriétés des changements de base dans ces structures algébriques. On a calculé la base de Gröbner de l’idéal engendrant la variété algébrique des algèbres Hom-associatives de dimension 2 où la multiplication µ et l’application linéaire α sont identifiées à leurs constantes de structure relativement à une base donnée. La classification, à isomorphisme près, des algèbres Hom-associatives unitaires et non unitaires est établie en dimension 2 et 3. On a aussi décrit les algèbres de type associatif en se basant sur le théorème de twist de Yau. Dans le troisième chapitre, on étudie certaines propriétés et invariants comme les dérivations, αk-dérivations où k est un entier positif. Dans le quatrième chapitre, on établit la cohomologie de ces algèbres. On a pu lister les algèbres rigides grâce à leur classe de cohomologie puis on s'est 'intéressé aux déformations infinitésimales et dégénérations. D’une part, la cohomologie et déformation de ces algèbres nous a permis d’identifier les algèbres rigides dont le deuxième groupe de cohomologie est nulle, et d’autre part de caractérisation de composante irréductible. Dans le cinquième chapitre, on s’intéresse aux structures Rota-Baxter de poids λ ϵK de ces algèbres. Enfin, dans le dernier chapitre, on a travaillé sur les structures Hom-bialgèbres et leurs invariants. / The purpose of this thesis is to study the structure of Hom-associative algebras and provide classifications. Among the results obtained in this thesis, we provide 2-dimensional and 3-dimensional Hom-associative algebras and give a characterization of multiplicative simple Hom-associative algebras. Moreover we compute some invariants and discuss irreducible components of the corresponding algebraic varieties. The thesis is organized as follows. In the first chapter we give the basics about Hom-associative algebras and provide some new properties. Moreover, we discuss unital Hom-associative algebras. Chapter 2 deals with simple multiplicative Hom-associative algebras. We present one of the main results of this paper, that is a characterization of simple multiplicative Hom-associative algebras. Indeed, we show that they are all obtained by twistings of simple associative algebras. Chapter 3 is dedicated to describe algebraic varieties of Hom-associative algebras and provide classifications, up to isomorphism, of 2-dimensional and 3-dimensional Hom-associative algebras. In chapter 4, we compute their derivations and twisted derivations, whereas in chapter 5, we compute their Hom-Type Hochschild cohomology. In the last section of this chapter, we consider the geometric classification problem using one-parameter formel deformations, and describe the irreducible components. In chapter 6, we compute Rota-Baxter structures of weight k of Hom-associative algebras appearing in our classification. In chapter 7, We work out Hom-bialgebras structures as well as their invariants. Properties and classifications, as well as the calculation of certain invariants such as the first and second cohomology groups, were studied.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The purpose of this work is to study the relationships between admissible pairs, systems admissible and bialgebras in the category of Yetter-Drinfeld modules, as well as some properties of the Hopf algebra associated (via bosonization) to an admissible pair. We end this dissertation with a family of examples of admissible pairs. / O objetivo deste trabalho é estudar as relações entre pares admissíveis, sistemas admissíveis e biálgebras na categoria dos módulos de Yetter-Drinfeld, bem como algumas propriedades da álgebra de Hopf associada (via bosonização) a um par admissível. Finalizamos esta dissertação com uma família de exemplos de pares admissíveis.