Ultracold atoms in optical lattices offer an important tool for studying dynamics in many-body interacting systems in a pristine environment. This thesis focuses on three theoretical works motivated by recent optical lattice experiments. In the first, we theoretically study the center of mass dynamics of states derived from the disordered Bose-Hubbard model in a trapping potential. We find that the edge states in the trap allow center of mass motion even with insulating states in the center. We identify short and long-time mechanisms for edge state transport in insulating phases. We also argue that the center of mass velocity can aid in identifying a Bose-glass phase. Our zero temperature results offer important insights into mechanisms of transport of atoms in trapped optical lattices while putting bounds on center of mass dynamics expected at non-zero temperature. In the second work, we study the domain wall expansion dynamics of strongly interacting bosons in 2D optical lattices with disorder in a recent experiment {[}J.-y. Choi et al., Science 352, 1547 (2016)]. We show that Gutzwiller mean-field theory (GMFT) captures the main experimental observations, which are a result of the competition between disorder and interactions. Our findings highlight the difficulty in distinguishing glassy dynamics, which can be captured by GMFT, and many-body localization, which cannot be captured by GMFT, and indicate the need for further experimental studies of this system. The last work features our study of phase diagrams of the 2D Bose-Hubbard model in an optical lattice with synthetic spin-orbit coupling. We investigate the transitions between superfluids with different phase patterns, which may be detected by measuring the spin-dependent momentum distribution. / Ph. D. / Ultracold atoms in optical lattices, a periodic potential generated by laser beams, offer an important tool for quantum simulations in a pristine environment. Motivated by recent optical lattice experiments with the implementation of disorder and synthetic spin-orbit coupling, we utilize Gutzwiller mean-field theory (GMFT) to study the dynamics of disordered state in an optical lattice under the sudden shift of the harmonic trap, the domain wall expansion of strongly interacting bosons in 2D lattices with disorder, and spin-orbit-driven transitions in the Bose-Hubbard model. We argue that the center of mass velocity can aid in identifying a Bose-glass phase. Our findings show that evidence for many-body localization claimed in experiments [J.-y. Choi et al., Science 352, 1547 (2016)] must lie in the differences between GMFT and experiments. We also find that strong spin-orbit coupling alone can generate superfluids with finite momentum and staggered phase patterns.

Mohandas Karamchand Gandhi contributed both to the Indian civil rights movement in South Africa and India's hind-swaraj (Indian home-rule) movement as a charismatic leader and spiritual warrior. In both cases Gandhi employed satyagraha, often translated as ‘soul force', as his community organizing and mobilizing strategy against the British Empire. Used to great effect this non-violent method of protest accomplished tangible victories in both movements. However, the success enjoyed by Gandhi's social movements varied wildly. In South Africa, Gandhi mobilized Indians against local legislative measures designed to strip them of their voting rights. Throughout this period Gandhi underwent a significant ideological shift, from Aryan supremacist, to humanitarian spiritualist. His appeal spread throughout the Indian world, and soon even English were contributing to his movement. Yet, victories never amounted to the democratization of the colony, let alone equal rights for Indian laborers. In India1 wee see Gandhi’s mobilization of Indians in the name of hind-swaraj lead to the withdrawal of British power from the nation. However, I speculate that this success had as much to do with Indian nationalist Subhas Chandra Bose, as it did Mohandas Gandhi. Bose and Gandhi each led hind-swaraj movements that conflicted deeply on an ideological and strategic basis. While Gandhi focused on the power of nonviolent civil disobedience within a state, Bose focused on diplomacy with Britain's enemies and the use of international pressures. The cumulative pressure of both movements during the British Empire's weakest moment. WWII, resulted in hind-swaraj.

Nesta dissertação são estudados Condensados de Bose-Einstein de átomos com pseudo-spin 1/2 cuja dinâmica orbital está acoplada a estes dois níveis de energia internos. A geração de tal sistema é possível induzindo transições entre os subníveis m_f = -1 e m_f = 0 do estado hiperfino atômico f = 1 usando um arranjo de lasers, os quais também introduzem junto uma dependência espacial dada por suas fases, as quais estão relacionadas a posição do átomo no campo, levando assim à interação acoplando spin e órbita. É considerado então um sistema unidimensional efetivo na mesma direção do acoplamento dos lasers, onde são estudado diferentes observáveis do estado fundamental, para uma varredura dos parâmetros presentes na equação, dando origem a três fases diferenciadas pela distribuição do momento. Foram determinadas estas fases do estado fundamental para interação atrativa, sendo elas modulada(striped), onda plana e de momento nulo, mostrando a localização onde cada uma ocorre no domínio de parâmetros da equação, através de diagramas de fase. São também mostrados, separadamente, observáveis relevantes como momento e desbalanço entre os estados internos nestas transições, os quais apresentaram variações bruscas, ditando valores críticos nos parâmetros, onde ocorrem. Posteriormente é estudado a dinâmica através de soluções do tipo sóliton, as quais não se propagam linearmente e são ditadas por oscilações do centro de massa e das populações, explorando diferentes situações iniciais. / In the present dissertation it has been studied Bose-Einstein Condensation of atoms with 1/2 pseudo-spin whose the orbital dynamics is coupled to these two internal energy levels. The generation of such a system is done by inducing transitions between the sub-levels m_f = -1 and m_f = 0 from the hyperfine atomic state f = 1 using an arrangement of lasers, that also introduce a spacial dependence due to their phases, that changes accordingly the atom\'s position in the light field, conducting in this way to a interaction that couples orbital motion with spin. It is then considered an effective one dimensional system in the same direction of the laser coupling, where it has been studied different ground state observables, making a sweeping in the equation parameters, showing three typical phases based on momentum distribution. So far, it was determined these phases for attractive interactions, named striped, plane wave and zero momentum, determining as well the location where each one occurs in the equation\'s parameters through a phase diagram. It is also reported, separately, a few relevant observables as individual momentum of each population and the unbalance between the internal spin states, in the transition among these phases, whose the values present abrupt variations, dictating critical values for the parameters, where it occurs. Lately is presented a dynamical study with soliton like solutions, that do not linearly propagate and instead, shows a center of mass and unbalance oscillation, probing different initial conditions.

In this thesis, we numerically investigate quantum turbulence in trapped atomic Bose-Einstein condensates (BECs). We first discuss the appropriate qualitative characterization of turbulence in these systems, showing the limitation of analogies with classical hydrodynamics and turbulence in large superfluid Helium experiments. Due to their lack of available length scales, our investigated systems can only fit the ultraquantum (or Vinen) type of quantum turbulence. Secondly, we propose experimentally feasible schemes for more controlled investigations of turbulence making use of dynamical instability of multicharged vortices as an onset for complex vortex dynamics. In two dimensions, our suggested scheme allows control over vortex polarization in the harmonically trapped system. This setup is then used to study how turbulence decays in such a scenario, through the phenomenological modeling of a vortex-number rate equation. As a consequence, we were able to identify that vortex annihilation in these trapped systems happens through a four-vortex process. For three dimensions, we have first provided a study on the decay of a quadruply-charged vortex, also in a harmonically trapped BEC. Having this setting as a comparison point, we propose a quasi-isotropic turbulent system, starting from a phase-imprinted initial state of two doubly-charged, anti-parallel vortices. The vortex turbulence arisen from such configuration was shown to agree with the Vinen turbulent regime, after we characterized specific features of its decay, such as the energy spectrum [E(k) ∼ k1] and the time evolution of the vortex-line density [L(t) ∼ t1]. Although these features have been frequently verified in the context of superfluid Helium turbulence, here this identification was for the first time done for realistic, trapped atomic BECs. / Nesta tese, investigamos numericamente a turbulência quântica em condensados de Bose- Einstein (BECs) aprisionados. Discutimos, inicialmente, a caracterização qualitativa apropriada para estes sistemas, mostrando a limitação de analogias tipicamente feitas com hidrodinâmica clássica e turbulência em grandes sistemas com Hélio superfluido. Devido às suas limitadas escalas espaciais, os sistemas investigados somente podem exibir o tipo de turbulência conhecida como ultra-quântica (ou de Vinen). Em seguida, propomos sistemas experimentalmente factíveis que permitem investigações mais controladas da turbulência, fazendo uso da instabilidade dinâmica de vórtices multi-carregados como ponto de partida para geração de dinâmicas complexas. Em duas dimensões, nossa proposta permite controle sobre a polarização de vórtices em sistemas aprisionados em potencial harmônico. Este arranjo é então utilizado no estudo do decaimento da turbulência nesse contexto, através de um modelo fenomenológico para equação que descreve a taxa de variação do número de vórtices. Como consequência, pudemos verificar que a aniquilação de vórtices dá-se através de um processo que envolve quatro vórtices. Em três dimensões, apresentamos um estudo do decaimento de um vórtice de carga topológica quatro, também em potencial harmônico. Mantendo em mente esse sistema a título de comparação, propomos um cenário turbulento, quase-isotrópico, partindo de um estado inicial formado por dois vórtices duplamente carregados, mas orientados anti-paralelamente. Verificamos que a turbulência decorrente desse arranjo coincide com a regime de Vinen analisando características do seu decaimento, especificamente obtendo o espectro de energia [E(k) ∼ k1] e evolução temporal da densidade de linhas de vórtices [L(t) ∼ t1]. Apesar de que essas características são comumente encontradas no contexto de Hélio superfluido, apresentamos pela primeira vez essa identificação no cenário realístico de BEC aprisionados.

Tendo em vista experimentos envolvendo o estudo da dinâmica de gases quânticos aprisionados, visando a simulação quântica de sistemas complexos, este trabalho discute a implementação e o estudo da técnica de imagem dispersiva, por contraste de fase, e a compara com o método de imagem por absorção óptica. A implementação da nova técnica foi feita em um regime não convencional de dessintonia, explorando a região proxima da ressonância atômica, onde se deve levar em conta o efeito da absorção, além da mudança de fase, do campo elétrico do laser de prova, após interagir com os átomos. Portanto, este trabalho apresenta não só a implementação de uma nova técnica experimental, mas também um modelo simples para interpretar os dados obtidos nesse novo regime. / Envisioning experiments involving the dynamics of trapped quantum gases, towards the quantum simulation of complex systems, this work presents the implementation and study of a dispersive imaging technique, by phase contrast, and compares it to absorption imaging. The implementation of this new technique in our laboratory was done in a non conventional range of detunings, exploring the region near atomic resonance, where absortion effecs need to be taken into account, in addition to the phase shift, introduced in the electric field of the probing laser, after interacting with the atoms. Therefore, this work presents not only the implementation of a new experimental technique, but also a simple model to interpret the dada obtained in this new regime.

In this thesis, we present the generation and studies of a 87Rb Bose-Einstein condensate (BEC) perturbed by an oscillatory excitation. The atoms are trapped in a harmonic magnetic trap where, after an evaporative cooling process, we produce the BEC. In order to study the effect caused by oscillatory excitations, a quadrupole magnetic field time oscillatory is superimposed to the trapping potential. Through this perturbation, collective modes were observed. The dipole mode is excited even for low excitation amplitudes. However, a minimum excitation energy is needed to excite the condensate quadrupole mode. Observing the excited cloud in TOF expansion, we note that for excitation amplitude in which the quadrupole mode is excited, the cloud expands without invert its aspect ratio. By looking these clouds, after long time-of-flight, it was possible to see vortices and, sometimes, a turbulent state in the condensed cloud. We calculated the momentum distribution of the perturbed BECs and a power law behavior, like the law to Kolmogorov turbulence, was observed. Furthermore, we show that using the method that we have developed to calculate the momentum distribution, the distribution curve (including the power law exponent) exhibits a dependence on the quadrupole mode oscillation of the cloud. The randomness distribution of peaks and depletions in density distribution image of an expanded turbulent BEC, remind us to the intensity profile of a speckle light beam. The analogy between matter-wave speckle and light speckle is justified by showing the similarities in the spatial propagation (or time expansion) of the waves. In addition, the second order correlation function is evaluated and the same dependence with distance was observed for the both waves. This creates the possibility to understand the properties of quantum matter in a disordered state. The propagation of a three-dimensional speckle field (as the matter-wave speckle described here) creates an opportunity to investigate the speckle phenomenon existing in dimensions higher than 2D (the case of light speckle). / Nesta tese, descrevemos a produção e os estudos de condensados de Bose-Einstein, em átomos de 87Rb, perturbados através de excitações oscilatórias. Os átomos aprisionados são aprisionados em uma armadilha magnética harmônica onde produzimos o condensado de Bose-Einstein após o processo de resfriamento evaporativo. Com o objetivo de estudar o efeito de excitações oscilatórias, um campo magnético quadrupolar temporalmente oscilanteé superposto ao campo de aprisionamento. Através dessa perturbação, podemos observar a excitação de modos coletivos no condensado. Mesmo para baixas amplitudes de excitação, o modo dipolar é facilmente excitado. Porém, observamos que para excitar o modo quadrupolar no condensado é necessária uma energia mínima. Através da expansão em tempo de voo da nuvem excitada, identificamos que, para amplitude de excitação na quail o modo quadrupolar é excitado, a nuvem expande sem inverter o aspect ratio. Analisando essas nuvens por longos tempos de voo, foi possível observar alguns vórtices e, às vezes, um estado turbulento na nuvem condensada. Calculamos a distribuição de momento dessas nuvens e notamos que ela exibe um comportamento de lei de potência, parecido com a lei de Kolmogorov para turbulência. Além disso, mostramos que pelo nosso método que desenvolvemos para calcular a distribuição de momento, a forma da curva dessa distribuição (inclusive o expoente da lei de potência) exibe uma dependência com o modo quadrupolar de oscilação da nuvem. A distribuição desordenada de picos e depleções, na imagem da distribuição de densidade do condensado turbulento expandido, assemelha-se ao perfil de intensidade de um feixe de luz com speckle. A analogia entre speckle de onda de matéria e de luz é fundamentada através das semelhanças entre a propagação (ou expansão) dessas duas ondas. Além disso, a função de correlação de segunda ordem foi calculada e a mesma dependência com a distância foi observada para as duas ondas. Isto cria a possibilidade de entender melhor as propriedades da matéria quântica em um estado de desordem. A propagação de um campo de speckle tridimensional (como é o caso do speckle de onda de matéria aqui descrito) cria uma oportunidade de investigar o fenômeno de speckle em dimensões maiores que 2D (o caso do speckle de luz).

Nesta dissertação são estudados Condensados de Bose-Einstein de átomos com pseudo-spin 1/2 cuja dinâmica orbital está acoplada a estes dois níveis de energia internos. A geração de tal sistema é possível induzindo transições entre os subníveis m_f = -1 e m_f = 0 do estado hiperfino atômico f = 1 usando um arranjo de lasers, os quais também introduzem junto uma dependência espacial dada por suas fases, as quais estão relacionadas a posição do átomo no campo, levando assim à interação acoplando spin e órbita. É considerado então um sistema unidimensional efetivo na mesma direção do acoplamento dos lasers, onde são estudado diferentes observáveis do estado fundamental, para uma varredura dos parâmetros presentes na equação, dando origem a três fases diferenciadas pela distribuição do momento. Foram determinadas estas fases do estado fundamental para interação atrativa, sendo elas modulada(striped), onda plana e de momento nulo, mostrando a localização onde cada uma ocorre no domínio de parâmetros da equação, através de diagramas de fase. São também mostrados, separadamente, observáveis relevantes como momento e desbalanço entre os estados internos nestas transições, os quais apresentaram variações bruscas, ditando valores críticos nos parâmetros, onde ocorrem. Posteriormente é estudado a dinâmica através de soluções do tipo sóliton, as quais não se propagam linearmente e são ditadas por oscilações do centro de massa e das populações, explorando diferentes situações iniciais. / In the present dissertation it has been studied Bose-Einstein Condensation of atoms with 1/2 pseudo-spin whose the orbital dynamics is coupled to these two internal energy levels. The generation of such a system is done by inducing transitions between the sub-levels m_f = -1 and m_f = 0 from the hyperfine atomic state f = 1 using an arrangement of lasers, that also introduce a spacial dependence due to their phases, that changes accordingly the atom\'s position in the light field, conducting in this way to a interaction that couples orbital motion with spin. It is then considered an effective one dimensional system in the same direction of the laser coupling, where it has been studied different ground state observables, making a sweeping in the equation parameters, showing three typical phases based on momentum distribution. So far, it was determined these phases for attractive interactions, named striped, plane wave and zero momentum, determining as well the location where each one occurs in the equation\'s parameters through a phase diagram. It is also reported, separately, a few relevant observables as individual momentum of each population and the unbalance between the internal spin states, in the transition among these phases, whose the values present abrupt variations, dictating critical values for the parameters, where it occurs. Lately is presented a dynamical study with soliton like solutions, that do not linearly propagate and instead, shows a center of mass and unbalance oscillation, probing different initial conditions.

Será explorada a versão hidrodinâmica da equação de Schrödinger não-linear e não-local, descrevendo condensados de Bose-Einstein com auto-interações de longo alcance. Tais sistemas têm despertado interesse tendo em vista a busca da realização da condensação de Bose-Einstein sem necessidade de um potencial externo confinante e nos quais as interações atômicas locais não são suficientes. Para obter a descrição hidrodinâmica, a transformação de Madelung para a função de onda será utilizada, reduzindo o problema a uma equação da continuidade e a uma equação de transporte de momentum. Esta última é similar à equação de Euler em fluidos ideais, porém contendo um potencial quântico efetivo e um termo não local, o qual advém da interação atômica. Tais equações de fluido traduzem, respectivamente, a conservação da probabilidade e do momentum total. O método hidrodinâmico permitirá o estudo de excitações elementares, entre os quais os modos de Bogoliubov, segundo uma abordagem macroscópica. / The hydrodynamic version of the Schrödinger equation nonlinear and nonlocal will be explored, describing Bose-Einstein condensates with long-range self-interactions. Such systems have aroused interest with a view to pursuing the realization of Bose-Einstein condensation without an external confining potential and in which local atomic interactions are not enough. For the hydrodynamic description, the eikonal decomposition of the wave function is used, reducing the problem to one equation of continuity and to a transport of momentum equation. The latter is similar to the Euler equation in ideal fluid but containing an effective quantum potential and a nonlocal term, which comes from the atomic interaction. Such fluid equations translate, respectively, conservation of probability and total momentum. The hydrodynamic method will allow the study of elementary excitations, including Bogoliubov modes according to a macroscopic approach.

In this thesis, we numerically investigate quantum turbulence in trapped atomic Bose-Einstein condensates (BECs). We first discuss the appropriate qualitative characterization of turbulence in these systems, showing the limitation of analogies with classical hydrodynamics and turbulence in large superfluid Helium experiments. Due to their lack of available length scales, our investigated systems can only fit the ultraquantum (or Vinen) type of quantum turbulence. Secondly, we propose experimentally feasible schemes for more controlled investigations of turbulence making use of dynamical instability of multicharged vortices as an onset for complex vortex dynamics. In two dimensions, our suggested scheme allows control over vortex polarization in the harmonically trapped system. This setup is then used to study how turbulence decays in such a scenario, through the phenomenological modeling of a vortex-number rate equation. As a consequence, we were able to identify that vortex annihilation in these trapped systems happens through a four-vortex process. For three dimensions, we have first provided a study on the decay of a quadruply-charged vortex, also in a harmonically trapped BEC. Having this setting as a comparison point, we propose a quasi-isotropic turbulent system, starting from a phase-imprinted initial state of two doubly-charged, anti-parallel vortices. The vortex turbulence arisen from such configuration was shown to agree with the Vinen turbulent regime, after we characterized specific features of its decay, such as the energy spectrum [E(k) ∼ k1] and the time evolution of the vortex-line density [L(t) ∼ t1]. Although these features have been frequently verified in the context of superfluid Helium turbulence, here this identification was for the first time done for realistic, trapped atomic BECs. / Nesta tese, investigamos numericamente a turbulência quântica em condensados de Bose- Einstein (BECs) aprisionados. Discutimos, inicialmente, a caracterização qualitativa apropriada para estes sistemas, mostrando a limitação de analogias tipicamente feitas com hidrodinâmica clássica e turbulência em grandes sistemas com Hélio superfluido. Devido às suas limitadas escalas espaciais, os sistemas investigados somente podem exibir o tipo de turbulência conhecida como ultra-quântica (ou de Vinen). Em seguida, propomos sistemas experimentalmente factíveis que permitem investigações mais controladas da turbulência, fazendo uso da instabilidade dinâmica de vórtices multi-carregados como ponto de partida para geração de dinâmicas complexas. Em duas dimensões, nossa proposta permite controle sobre a polarização de vórtices em sistemas aprisionados em potencial harmônico. Este arranjo é então utilizado no estudo do decaimento da turbulência nesse contexto, através de um modelo fenomenológico para equação que descreve a taxa de variação do número de vórtices. Como consequência, pudemos verificar que a aniquilação de vórtices dá-se através de um processo que envolve quatro vórtices. Em três dimensões, apresentamos um estudo do decaimento de um vórtice de carga topológica quatro, também em potencial harmônico. Mantendo em mente esse sistema a título de comparação, propomos um cenário turbulento, quase-isotrópico, partindo de um estado inicial formado por dois vórtices duplamente carregados, mas orientados anti-paralelamente. Verificamos que a turbulência decorrente desse arranjo coincide com a regime de Vinen analisando características do seu decaimento, especificamente obtendo o espectro de energia [E(k) ∼ k1] e evolução temporal da densidade de linhas de vórtices [L(t) ∼ t1]. Apesar de que essas características são comumente encontradas no contexto de Hélio superfluido, apresentamos pela primeira vez essa identificação no cenário realístico de BEC aprisionados.

No presente trabalho, estudamos a possibilidade de se produzir um Condensado de Bose-Einstein em um estado excitado de um potencial confinante. Vimos que, com um campo externo oscilante, é possível transferir átomos do estado fundamental para um estado excitado qualquer. Se esse campo oscilar próximo da freqüência de transição entre os dois modos, é possível aproximar esse sistema para um de dois níveis. Analisando numericamente a evolução temporal das populações de cada nível, vimos que há oscilações de população do tipo Rabi. Estas oscilações variam de acordo com a forma espacial, a intensidade e com a dessintonia do campo aplicado. Vimos, também, que há a formação de franjas do tipo Ramsey, ao aplicarmos um campo oscilatório com dois pulsos separados. Além disso, definindo um parâmetro de ordem como sendo a diferença entre a média temporal da população de cada estado, é possível caracterizar um tipo de transição de fase no condensado. Estudamos como a forma do campo externo interfere na transição de fase, caracterizada pelo parâmetro de ordem. Obtemos também, um valor crítico do campo no qual ocorre essa transição. / In this work, we have studied the possibility of producing a Bose-Einstein Condensate in an excited state of a confining potential. We have seen that, with a oscillatory external field, it is possible to transfer atoms from the ground state to any excited state. If this field oscillates near the transition frequency between the two modes, it is possible to approximate that system to a two-level system. Analyzing numerically the temporal evolution of population of each level, we have seen there are Rabi-like oscillations of population. This oscillations vary according to the spacial shape, the intensity and the detuning of the applied field. We have also seen there is a Ramsey-like fringes formation, if we apply an oscillatory field with separate two pulses. Moreover, defining an order parameter as being a difference between the population time average of each level, it is possible to characterize a kind of phase transition in the condensate. We have studied how the shape of the external field interferes in the phase transition, characterized by the order parameter. We have also obtained a critical value for the field in which that transition occurs.