We prove that the solution of the Boussinesq equation with relatively small initial data exists globally and decays exponentially under some boundary conditions. / Ph. D.

Dans cette thèse, nous prouvons des résultats concernant le contrôle et la stabilisation d'équations dispersives étudiées sur un intervalle borné. Pour commencer, nous étudions la stabilisation interne du système de Gear-Grimshaw, qui est un système de deux équations de Korteweg-de-Vries (KdV) couplées. Nous obtenons une décroissance exponentielle de l'énergie totale associée au modèle en introduisant une fonction de Lyapunov convenable. Nous prouvons aussi des résultats de contrôlabilité à zéro et exacte pour l'équation de Korteweg-de Vries avec un contrôle distribué à support dans un sous-intervalle du domaine. Pour la contrôlabilité à zéro du système linéarisé, nous utilisons l'approche classique basée sur la dualité qui ramène le problème à l'étude d'une inégalité d'observabilité qui, dans ce travail, est établie à l'aide d'une inégalité de Carleman. Ensuite, utilisant des fonctions plateau, nous prouvons un résultat de contrôlabilité exacte. Dans les deux cas, le résultat concernant le système non linéaire est obtenu à l'aide d'un argument de point fixe. Enfin, dans la lignée du résultat de contrôlabilité au bord obtenu par L. Rosier pour KdV, nous prouvons que le système linéaire de Boussinesq de type KdV-KdV est exactement contrôlable lorsque des contrôles sont appliqués au bord. Notre méthode repose sur l'utilisation de multiplicateurs et l'approche de la dualité mentionnée ci-dessus. Lorsqu'un mécanisme d'amortissement est introduit au bord, nous montrons que le système non linéaire est aussi exactement contrôlable et que l'énergie associée au modèle décroit exponentiellement / This work is devoted to prove a series of results concerning the control and stabilization properties of dispersive models posed on a bounded interval. Initially, we study the internal stabilization of a coupled system of two Korteweg-de Vries equations (KdV), the so-called Gear-Grimshaw system. Defining a convenient Lyapunov function we obtain the exponential decay of the total energy associated to the model. We also prove results of null and exact controllability for the Korteweg-de Vries equation with a control acting internally on a subset of the domain. In the case of the null controllability for the linear model, we use a classical duality approach which reduces the problem to the study of an observability inequality that, in this work, is proved by means of a Carleman inequality. Then, making use of cut-off functions, the exact controllability is also investigated. In both cases, the result for the nonlinear system is obtained by means of fixed-point argument. Finally, in view of the result of the boundary controllability obtained by L. Rosier for the KdV equation, we prove that the linear Boussinesq system of KdV-KdV type is exactly controllable when the controls act in the boundary conditions. Our analysis is performed using multipliers and the duality approach mentioned above. Adding a damping mechanism in the boundary, it is proved that the nonlinear system is also exactly controllable and that the energy associated to the model decays exponentially

Dans cette thèse, nous introduisons un nouveau modèle instationnaire de vagues valable de la zone de levée à la zone de jet de rive adapté à l'étude de la submersion. Le modèle est basé sur les équations de Serre Green-Naghdi (S-GN), dont l'application à la zone de surf reste un domaine de recherche ouvert. Nous proposons une nouvelle approche pour gérer le déferlement dans ce type de modèle, basée sur la représentation des fronts déferlés par des chocs. Cette approche a été utilisée avec succès pour les modèles basés sur les équations de Saint-Venant (SV) et permet une description simple et efficace du déferlement et des mouvements de la ligne d'eau. Dans ces travaux, nous cherchons à étendre le domaine de validité du modèle SV SURF-WB (Marche et al. 2007) vers la zone de levée en incluant les termes dispersifs propres aux équations de S-GN. Des basculements locaux vers les équations de SV au niveau des fronts permettent alors aux vagues de déferler et dissiper leur énergie. Le modèle obtenu, appelé SURF-GN, est validé à l'aide de données de laboratoire correspondant à différents types de vagues incidentes et de plages. Il est ensuite utilisé pour analyser la dynamique des fronts d'ondes longues de type tsunami en zone littorale. Nous montrons que SURF-GN peut décrire les différents types de fronts, d'ondulé non-déferlé à purement déferlé. Les conséquences de la transformation d'une onde de type tsunami en train d'ondulations lors de la propagation sur une plage sont ensuite considérées. Nous présentons finalement une étude de la célérité des vagues déferlées, basée sur les données de la campagne de mesure in-situ ECORS Truc-Vert 2008. L'influence des non-linéarités est en particulier quantifiée. / In this thesis, we introduce a new numerical model able to describe wave transformation from the shoaling to the swash zones, including overtopping. This model is based on Serre Green-Naghdi equations, which are the basic fully nonlinear Boussinesq-type equations. These equations can accurately describe wave dynamics prior to breaking, but their application to the surf zone usually requires the use of complex parameterizations. We propose a new approach to describe wave breaking in S-GN models, based on the representation of breaking wave fronts as shocks. This method has been successfully applied to the Nonlinear Shallow Water (NSW) equations, and allows for an easy treatment of wave breaking and shoreline motions. However, the NSW equations can only be applied after breaking. In this thesis, we aim at extending the validity domain of the NSW model SURF-WB (Marche et al. 2007) to the shoaling zone by adding the S-GN dispersive terms to the governing equations. Local switches to NSW equations are then performed in the vicinity of the breaking fronts, allowing for the waves to break and dissipate their energy. Extensive validations using laboratory data are presented. The new model, called SURF-GN, is then applied to study tsunami-like undular bore dynamics in the nearshore. The model ability to describe bore dynamics for a large range of Froude number is first demonstrated, and the effects of the bore transformation on wave run-up over a sloping beach are considered. We finally present an in-situ study of broken wave celerity, based on the ECORS-Truc Vert 2008 field experiment. In particular, we quantify the effects of non-linearities and evaluate the predictive ability of several non-linear celerity models.

Cette thèse est consacrée à trois différentes équations d’évolution non-linéaires dans le cadre de mécanique des fluides : le système fluide-solide, le système de Boussinesq et un modèle de films liquides. Pour le système fluide-solide, nous étudions l’évolution d’un petit solide en mouvement dans un fluide newtonien incompressible dans le cas où l’obstacle se contracte vers un point. En supposant que la densité du solide tend vers l’infini, nous montrons la convergence des solutions du système fluide-solide vers une solution des équations de Navier-Stokes dans $\mathbb{R}^d$ , avec $d^2$ et 3. Pour le problème de convection, nous travaillons sur l’unicité des solutions ‘mild’ du système de Boussinesq et généralise de plusieurs manières différentes des résultats classiques d’unicité pour les équations de Navier-Stokes. Dans la dernière partie, nous exposons nos contributions à l’étude des interface 2D de films liquides en dimension trois. Nous montrons qu’une variante 2D, non-local, de l’équation de Kuramoto-Sivashinsky admet un attracteur globale compact et obtenons enfin une majoration du nombre d’oscillations spatiales des solutions / This thesis is devoted to three different non-linear evolution equations in fluid mechanics : the fluid-solid system, the Boussinesq system and a falling films model. For the fluid-solid system, we study the evolution of a small moving solid in incompressible viscous fluid in the case the obstacle converges to a point. Assuming that the density of the solid tends to infinity, we prove that the rigid body has no influence on the limit equation by showing the convergence of solutions of the fluid-solid system towards to a solution of the Navier-Stokes equations in the full $\mathbb{R}^d$ , avec $d^2$ et 3. For the convection problem, we provide several uniqueness classes on the velocity and the temperature and generalize some classical uniqueness result for ‘mild’ solutions of the Navier-Stokes equations. We then work on a falling films model in three dimensions (2D interface). We show that a non-local variant of the Kuramoto-Sivashinsky equation admits a compact global attractor and we study the number of spatial oscillations of the solutions

Thesis (MScEng)-- Stellenbosch University, 2013. / ENGLISH ABSTRACT: The port of Ngqura is situated on the east coast of South Africa. Since its first operational winter excessive vessel motions have interrupted container shipping operations and lead to mooring line failure. A major component contributing to the excessive motions is the presence of seiching in the port, resonating long waves. This study investigates the long wave generation, penetration into the port and subsequent resonance in the vicinity of the problem berths. An extensive literature review identified two predominant types of long waves along the coast of South Africa. Long waves with periods over 12 min generated by resonant air-water coupling and then shorter long waves between 30 s and 6 min attributed to bound long wave energy and broadly speaking, surf beat. A review of the state of the art long wave modelling techniques was included and contributed to the methodology in this study. Analysis of simultaneous measurements from the outside and inside of the port confirmed the generating mechanism of the long waves to be storm systems also responsible for generating short waves. Long waves outside the port were found to be on average 8% of the height of the short waves. On average 90% of the long wave height outside the port penetrated the port. The measurements further identified distinct resonating periods of the long wave energy inside the port. Calibrated Boussinesq wave models allowed for identification of how long waves penetrated the port and subsequently resonated. Both surface elevation measurements and white noise spectra were used as inputs. The penetration mechanisms were attributed to direct diffraction around the main breakwater as well as reflection off the beach south of the port leading to refraction and reflection off the lee side of the main breakwater. Tests with both free and bound long waves proved that at least for some period intervals the long wave energy was indeed bound to short waves. The excessive vessel motions are attributed to berths positioned in line with nodes created by the resonating long waves; nodes are characterized by strong horizontal currents which can induce surge motions in vessels. Various long waves between the period intervals of 45 s to 125 s resonate in the port to generate nodes at the berths of interest. In conclusion, the port of Ngqura is susceptible to a range of long wave periods resulting in significant basin oscillations which present nodes at mooring places. As a result of the analyses in this study the mechanisms of interaction between the port, port basins and the long waves penetrating into the port directly, or via the surf zone as surf beats, have been modelled, documented and better understood. This provides the potential for better prediction of severe long wave events and for the investigation of feasible mitigation measures to prevent damage to moored ships in the port. / AFRIKAANSE OPSOMMING: Die Ngqura hawe is aan die ooskus van Suid-Afrika geleë. Sedert die hawe se eerste operasionele winterseisoen, het oormatige skeepsbewegings operasies van behoueringskepe onderbreek en gelei tot faling van vasmeertoue. Die teenwoordigheid van langgolf resonansie is ‘n groot bydraende faktor tot die oormatige skeepsbewegings. Hierdie studie ondersoek die opwekking, penetrasie en gevolglike resonansie van langgolwe in die areas aangrensend tot die problematiese kaaie. ‘n Uitgebreide literatuurstudie het twee tipes langgolwe aan die Suid-Afrikaanse kus geïdentifiseer, naamlik langgolwe met periodes langer as 12 minute wat deur resonante lug-water koppeling opgewek word en korter langgolwe met periodes tussen 30 s en 6 min wat aan gebonde langgolfenergie of, meer algemeen, surf beat toegeskryf word. Verder is ‘n studie rakende die jongste langgolfmodelleringstegnieke ook uitgevoer waaruit die metodiek van hierdie studie bepaal is. ‘n Analise van gelyktydige opmetings binne en buite die hawe het bevestig dat kortgolwe wat deur stormsisteme gegenereer word, die opwekkingsmeganisme van lang golwe is. Daar is bevind dat langgolwe buite die hawe gemiddeld 8% so hoog soos kort golwe is. ‘n Gemiddeld van 90% van die langgolfhoogte het die hawe penetreer. Die opmetings het ook verder duidelike resonansieperiodes van langgolfenergie binne die hawe aangedui. Gekalibreerde Boussinsq-golfmodelle is gebruik om te indentifiseer hoe langgolwe die hawe binnedring en gevolglik resoneer. Beide oppervlakmetings en wit geraas spektra is as invoerwaardes vir die model gebruik. Die penetrasiemeganismes is toegeskryf aan diffraksie rondom die hoof hawemuur asook refleksie vanaf die strand, suid van die hawe, wat lei tot refraksie en refleksie teen die lykant van die hoof hawemuur. Toetse met vry langgolwe het bewys dat die langgolfenergie, vir ten minste sommige periode intervalle, aan die kort golwe vebonde is. Die oormatige skeepsbewegings is toegeskryf aan die kaaie wat in lyn met nodes van die langgolfresonansie geposisioneer is. Nodes word gekarakteriseer deur sterk horisontale strome wat surge bewegings in skepe kan veroorsaak. Verskeie langgolwe met periode intervalle tussen 45 s tot 125 s resoneer in die hawe en vorm nodes by die kaaie van belang. Ten slotte, die Ngqura hawe is vatbaar vir ‘n reeks langgolfperiodes wat ossilasies in die bekkens van die hawe veroorsaak en nodes naby kaaie vorm. As gevolg van die analises in hierdie studie is die meganismes van interaksie tussen die hawe, sy bekkens en langgolwe wat die hawe direk of via die brandersone binnedring gemodelleer, gedokumenteer en beter verstaan. Hierdeur is die potensiaal vir beter voorspelling van ernstige langgolftoestande verhoog en is dit moontlik gemaak om lewensvatbare oplossings vir skade aan vasgemeerde skepe te ondersoek.

La thèse est consacrée essentiellement à l'étude de systèmes non linéaires d'évolution issus d'un modèle de Boussinesq : couplage entre les équations de Navier-stokes avec un second membre F(µ), où F est une force de gravité proportionnelle à des variations de densité qui dépendent de la température et l'équation de l'énergie.<br />Le premier chapitre nous donne un résultat d'existence d'une solution faible-renormalisée du système de Boussinesq en dimension 2, dans le cas où F est bornée.<br />Dans le chapitre 2, on aborde le cas de fonctions F plus générales : F vérifie une hypothèse de croissance. On démontre l'existence de solutions pour toutes données initiales ou pour des données initiales petites selon la croissance de F.<br />Dans le chapitre 3, nous faisons une généralisation des résultats du chapitre 2 mais sans le terme de convection.<br />Dans le chapitre 4, le manque de stabilité de l'énergie de dissipation dans L1(Q) en dimension 3, nous contraint à transformer de façon formelle le système de Boussinesq. On démontre l'existence d'une solution faible de ce nouveau système en dimension 3.

Les avalanches de neige en aérosol sont des bouffées de suspensions diluées de particules, très turbulentes qui descendent, de par leur poids, sur des pentes fortement inclinées. La motivation de la présente recherche était d'une part, d'améliorer notre connaissance de l'entraînement de neige du manteau neigeux par l'avalanche et d'autre part de développer un modèle théorique amélioré de la dynamique des avalanches. Le modèle théorique présenté dans cette thèse prend en compte les effets dus à la forte différence de densité entre l'avalanche et l'extérieur et démontre l'importance de l'entraînement de neige sur la vitesse de l'avalanche. Le modèle est en accord avec des mesures récentes de la vitesse de front d'une avalanche. Les paramètres du modèle (forme et croissance des bouffées) ont été déterminés à partir des expériences d'écoulements de laboratoire (d'eau salée ou de suspensions) dans un régime proche de celui des avalanches. Une extrapolation théorique de ces paramètres (obtenus en régime de Boussinesq) aux bouffées de forte densité (avalanches) est proposée. Les expériences de laboratoire avec des bouffées entraînant des particules indiquent l'influence que l'entraînement de particules a sur la vitesse de l'avalanche. Une représentation en variables adimensionnelles des vitesses des avalanches et des bouffées de laboratoire montre clairement les ressemblances et différences entre les deux types d'écoulements.

Nous nous étudions ici le problème d'Euler avec surface libre sur un fond non plat et dans un régime fortement non linéaire où l'hypothèse de faible amplitude de l'équation de KdV n'est pas vérifiée. On sait que, pour un tel régime, une généralisation de l'équation de KdV peut être dérivée et justifiée lorsque le fond est plat. Nous généralisons ici ces résultats en proposant une nouvelle classe d'équations prenant en compte des topographies variables. Nous démontrons également que ces nouveaux modèles sont bien posés. Nous les étudions aussi numériquement. Ensuite, nous améliorons quelques résultats sur l'existence des équations de Green-Naghdi (GN) dans le cas 1D. Dans le cas de 2D, nous dérivons et étudions un nouveau système de la même précision que les équations de GN usuelles, mais avec un meilleur comportement mathématique.

In this study, the evolution of the numerical water wave models with the theoretical background and the governing equations are briefly discussed and a numerical model MIKE21 BW which can be applied to wave problems in nearshore zone is presented. The numerical model is based on the numerical solution of the Boussinesq type equations formulated on time domain. Nonlinearity and frequency dispersion is included in the model. In order to make comparison between the results of nonlinear shallow water equations with Boussinesq terms, MIKE21 BW and NAMIDANCE are applied to the problem of wave propagation in the long distances and runup on simple and composite slopes. The numerical experiments are applied to Dat&ccedil / a Marina and the results are compared to the results of the physical experiments on wave disturbance in Dat&ccedil / a Marina. In these comparisons the reflection characteristics of different coastal boundaries in the harbor area are tested and the internal parameters in the model are calibrated accordingly. The numerical model MIKE21 BW is applied to skenderun harbor as a case study. The input wave parameters are selected from the wave climate study for Iskenderun Harbor. The model is set up and the agitation inside the harbor is computed according to four different incoming wave scenarios. The disturbance maps inside the harbor for different incoming wave scenarios are obtained. The critical regions v of the harbor according to disturbance under different wave conditions are presented and discussed.

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