Orientador: Paulo Fernando de Arruda Mancera / Resumo: O câncer é uma das principais causas de morbidade e mortalidade em todo o mundo. Um problema que atinge muitos pacientes diagnosticados com câncer é a recidiva, que pode ocorrer anos após uma aparente remissão completa da doença. Tal fenômeno pode ser explicado pela dormência do câncer. Neste trabalho, apresentamos alguns modelos matemáticos de ordem não inteira e inteira, de derivada temporal, que visam descrever o fenômeno da dormência do câncer. As simulações numéricas foram feitas utilizando o Método de Diferenças Finitas Não Local para Equações Diferenciais Fracionárias e o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem. Para os modelos de ordem não inteira, as simulações exibiram que ordens menores da derivada fracionária resultam no maior amortecimento das soluções e alterações na estabilidade dos sistemas. Para o modelo de ordem inteira, as simulações exibiram que a angiogênese tumoral desempenha um papel importante na dormência tumoral. / Mestre

A bovinocultura é um dos principais ramos do agronegócio brasileiro ocupando a liderança nesse setor desde 2004. Como qualquer outro segmento, a pecuária também sofre prejuízos financeiros, já que os bovinos podem ser acometidos por várias enfermidades, como: Febre Aftosa, Brucelose, Tristeza Parasitária Bovina (TPB), sendo esta a mais comum. A Babesiose Bovina pertence ao complexo de enfermidade denominada Tristeza Parasitária Bovina (TPB). É causada pelo protozoário Babesia e é transmitida pela picada de carrapatos R. Microplus, como o vetor de bovinos. Uma análise da dinâmica da doença se faz necessária para gerar programas e políticas de prevenção e controle da doença. Para avançar neste sentido, estudamos um modelo matemático, encontrado na literatura, para a doença da Babesiose. Esse modelo baseia-se na estratégia de modelos compartimentados, onde a interação entre as populações de bovinos e carrapatos são consideradas no processo de modelagem. O resultado é um sistema de equações diferenciais não-linear que descreve a dinâmica da transmissão da doença da Babesiose. A proposta principal do trabalho foi escrever um novo modelo que generaliza o modelo anterior para a Babesiose usando derivadas de ordem não inteira de Caputo. O foco principal foi o estudo da estabilidade local e global dos pontos de equilíbrio livre da doença e pontos de equilíbrio endêmico para esse novo modelo. / The bovine culture is one of the main branches of Brazilian agribusiness taking up the lead in this sector since 2004. As any other segment, livestock also suffers losses financial, since the bovines may be affected by various diseases such as: FMD, Brucellosis, Sadness Parasitary Bovine (TPB), this being the most frequent. The Bovine Babesiosis belongs to thedisease complex known Bovine Parasitary Sadness (TPB). It is caused by the protozoan Babesia and is transmitted by tick bites R. Microplus as a vector of bovines. the principal symptoms are fever, diarrhea, anemia, weakness, and abortions. An additional analysis is necessary to generate new programs and policies for prevention and control of disease. To advance this sense, we study a mathematical model, found in the literature, for Babesiosis disease. This model is based on the in strategy compartmented models, where the interaction between the populations bovines and ticks are considered in the modeling process. The result is a system of nonlinear differential equations that describes the dynamic of the transmission of the disease Babesiosis. The main purpose of work was to write a new model that generalizes the model previous to Babesiosis using derived from non-integer order of Caputo. The main focus was the study of local and global stability of equilibrium points Free disease and Endemic equilibrium points to the new model. / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais - FAPEMIG

Orientador: Rubens de Figueiredo Camargo / Resumo: Este trabalho apresenta uma investigação matemática e numérica da hepatite B por meio de modelos de ordem não inteira. Conceitos acerca da teoria do cálculo fracionário e de estabilidade para sistemas de ordens arbitrárias são abordados. Como aplicação, dois modelos formulados por meio de equações diferenciais fracionárias são introduzidos. O primeiro modelo é formulado sem parâmetros que indiquem a presença de terapia contra a doença, enquanto o segundo modelo considera a ação antiviral. A razão de reprodução básica e a análise de estabilidade são consideradas nos dois casos. Além disso, com intuito de analisar o comportamento das soluções para ambos os modelos, um estudo sobre o método de diferenças finitas não clássico é mostrado, bem como simulações numéricas são apresentadas. Os resultados numéricos mostram que as soluções convergem para o ponto de equilíbrio, conforme predito na análise de estabilidade. Para o modelo om terapia, visando encontrar a curva que ajusta os dados de pacientes, alguns parâmetros, incluindo a ordem da derivada fracionária, são estimados. Resultados da estimação mostram que a curva que se ajusta melhor aos dados reais possui ordem não inteira. / Abstract: This work presents a mathematical and numerical investigation of hepatitis B using non-integer order models. Concepts about fractional calculus and stability theory to arbitrary orders systems are discussed. We apply fractional differential equations to two models, the first disregarding the use of drug therapy and the second considering drug therapy. The first model is formulated without parameter that indicate the drug therapy. The second one, consider the drug therapy. The basic reproductive number and the stability analysis are considered in both cases. Moreover, for analyzing the solutions of models, a study about the numerical method Nonstandard Finitte Diference Squemes is shown, as well as the numerical simulations are presented. The numerical results shows that the solutions converges to the equilibrium point, as predicted by stability analysis. In order to find the curve that fits the data, we estimated some parameters, including the order of the fractional derivative. Estimation results show that the curve that best fits the data has a non-integer order. / Doutor

Orientador: Alexys Bruno Alfonso / Banca: Edmundo Capelas de Oliveira / Banca: Julio Ricardo Sambrano / Banca: Denis Rafael Nacbar / Banca: Augusto Batagin Neto / Resumo: Tópicos fundamentais da estrutura eletrônica de materiais cristalinos, são investigados de forma generalizada mediante o Cálculo Fracionário. São calculadas as bandas de energia, as funções de Bloch e as funções de Wannier, para a equação de Schrödinger fracionária com derivada de Riesz. É apresentado um estudo detalhado do caráter não local desse tipo de derivada fracionária. Resolve-se a equação de Schrödinger fracionária para o modelo de Kronig-Penney e estuda-se os efeitos da ordem da derivada e da intensidade do potencial. Verificou-se que, ao passar da derivada de segunda ordem para derivadas fracionárias, o comportamento assintótico das funções de Wannier muda apreciavelmente. Elas perdem o decaimento exponencial, e exibem um decaimento acentuado em forma de potência. Fórmulas simples foram dadas para as caudas das funções de Wannier. A banda de energia mais baixa mostrou-se estar relacionada ao estado ligado de um único poço quântico. Sua função de onda também apresentou decaimento em lei de potência. As bandas de energia superiores mudam de comportamento em função da intensidade do potencial. No caso inteiro, a largura de cada uma dessas bandas diminui. No caso fracionário, diminui inicialmente e depois volta a aumentar, aproximando-se de um valor infinito à medida que a intensidade do potencial tende ao infinito. O grau de localização das funções de Wannier, expresso pelo desvio padrão da posição, mostra um comportamento similar ao da largura das bandas de energia. ... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo) / Abstract: Basics topics on the electronic structure of crystalline materials are investigated in a generalized fashion through Fractional Calculus. The energy bands, the Bloch and Wannier functions for the fractional Schr odinger equation with Riesz derivative are calculated. The non-locality of the Riesz fractional derivative is analyzed. The fractional Schr odinger equation is solved for the Kronig-Penney model and the e ects of the derivative order and the potential intensity are studied. It was shown that moving from the integer to the fractional order strongly a ects the asymptotic behavior of the Wannier functions. They lose the exponential decay, gaining a strong power-law decay. Simple formulas have been given for the tails of the Wannier functions. A close relatim between the lowest energy band and the bound state of a single quantum well was found. The wavefunction of the latter decays as a power law. Higher energy bands change their behavior as the periodic potential gets stronger. In the integer case, the width of each one of those bands decreases. In the fractional case, it initially decreases and then increases. The width approaching a nite value as the strength tends to in nity. The degree of localization of the Wannier functions, as expressed by the position standard deviation, behaves similarly to the width of the energy bands. In addition to perfect crystals, Materials Science studies defective crystals. Defects are responsible for many properties of technological int... (Complete abstract click electronic access below) / Doutor

O método das matrizes operacionais é expandido para o corpo complexo a ordens arbitrárias pela abordagem de Riemann-Liouville e Caputo com ênfase nas séries de Fourier complexas. Elabora-se uma adaptação do formalismo bra-ket de Dirac à linguagem tensorial no espaço de Hilbert de funções com expansões finitas para uso específico na teoria de equações diferenciais e matrizes operacionais, denominado \\Formalismo Coadjunto\". Estende-se o tratamento aos operadores fracionais de Weyl para períodos genéricos a fim de determinar as matrizes operacionais de derivação e integração de ordem arbitrária na base complexa de Fourier. Introduz-se um novo método de resolução de equações diferenciais ordinárias lineares e fracionais não-homogêneas, denominado \\Modelagem Operacional\", que permite a obtenção de soluções de equações de alta ordem com grande precisão sem a necessidade de imposição de condições iniciais ou de contorno. O método apresentado é aperfeiçoado por meio de um novo tipo de expansão, que denominamos \"Séries Associadas de Fourier\", a qual apresenta convergência mais rápida que a série de Fourier original numa restrição de domínio, possibilitando soluções de EDOs e EDFs de alta ordem com maior precis~ao e ampliando a esfera de casos passíveis de resolução. / Operational matrices method is expanded to complex field and arbitrary orders by using the Riemann-Liouville and Caputo approach with emphasis on complex Fourier series. Dirac\'s bra-ket notation is associated to tensor procedures in Hilbert spaces for finite function expansions to be applied specifically to dfferential equations and operational matrices, being called \\Coadjoint Formalism\". This treatment is extended to Weyl fractional operators for generic periods in order to establish the integral and derivative operational matrices of fractional order to complex Fourier basis. A new method to solve linear non-homogeneous ODEs and FDEs, called \\Operational Modelling\"is introduced. It yields high precision solutions on high order dfferential equations without assumption of boundary or initial conditions. The presented method is improved by a new kind of function expansion, called \\Fourier Associated Series\", which yields a faster convergence than original Fourier in a restrict domain, enabling to obtain solutions of high order ODEs and FDEs with excellent precision and broadening the set of solvable equations.

Orientador: Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira / Banca: Edvaldo Assunção / Banca: Jean Marcos de Souza Ribeiro / Banca: Grace Silva Deaecto / Banca: Márcio Roberto Covacic / Resumo: São propostos nesta tese novos métodos de identificação de sistemas lineares invariantes no tempo, descritos através de Funções de Transferência (FT), estáveis ou instáveis, de ordem fra- cionária, utilizando como entrada um degrau. A primeira contribuição aprimora o desempenho de um método de identificação conhecido, para FT de ordem inteira, com a otimização de um parâmetro durante a identificação. Posteriormente, é proposto um novo método, que utiliza in- tegradores de ordem fracionária, para a identificação de FT estáveis. Em seguida, propõe-se outro método que, além de utilizar integradores de ordem fracionária, faz uso de uma função exponencial convergente e também de um filtro, que combinados possibilitam a identificação de FT de ordem fracionária instáveis. Adicionalmente, um método ainda mais eficiente é pro- posto e o seu mecanismo de funcionamento baseia-se na resposta do sistema a uma entrada degrau, que multiplicada por diferentes exponenciais convergentes, gera um conjunto de sinais auxiliares para a obtenção do sinal final, necessário para identificar a FT, estável ou instável. Para comprovar a eficiência dos métodos propostos, foram realizadas várias identificações, com simulações numéricas, incluindo exemplos teóricos desenvolvidos no Matlab e experimentos práticos que foram realizados em laboratório, descritos a seguir: (i) função de transferência de um sistema de controle da posição de um carrinho acionado por um motor de corrente contí- nua; (ii) função de transferência relacionando a posição dos membros inferiores de pacientes hemiplégicos e paraplégicos sujeitos a uma estimulação elétrica funcional. Finalmente, é apre- sentada a identificação da função de transferência de uma rede RC tridimensional, que pode modelar circuitos para obter a resposta dielétrica de materiais compósitos contendo partículas... / Abstract: This thesis proposes new methods for the identification of fractional order stable and unstable Transfer Functions (TF), based on the time response resulting from a single step excitation. Initially, the improvement of a known identification method for TF of integer order, considering the optimization of a parameter in the identification process, is presented. Then, a new method based on fractional order integrators, is proposed for the identification of stable TF. Moreover, another method for stable and unstable fractional order TF, also with fractional order integra- tors, that is based on the multiplication in the time domain of the plant output by a convergent exponential function and a suitable filter is proposed. Furthermore, a more efficient method is proposed, based on the multiplication in the time domain of the plant output by different conver- gent exponential functions and a suitable filter. Numerical examples using the Matlab software illustrate the theoretical results and are used for comparisons, including the following cases with experimental data: (i) TF of a control system for the position of a car using a DC motor; (ii) TF for of the leg position of paraplegic and hemiplegic patients subject to a functional electrical stimulation. Finally, the identification of a three-dimensional RC network, which can be used as circuit models for the dielectric response of composite materials containing insulating and conducting particles, is presented / Doutor

Made available in DSpace on 2015-09-17T15:25:49Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2015-03-26. Added 1 bitstream(s) on 2015-09-17T15:46:31Z : No. of bitstreams: 1 000846232.pdf: 1582930 bytes, checksum: 0f47a8eb8c74c10c4b04a935d7bd5bd1 (MD5) / São propostos nesta tese novos métodos de identificação de sistemas lineares invariantes no tempo, descritos através de Funções de Transferência (FT), estáveis ou instáveis, de ordem fra- cionária, utilizando como entrada um degrau. A primeira contribuição aprimora o desempenho de um método de identificação conhecido, para FT de ordem inteira, com a otimização de um parâmetro durante a identificação. Posteriormente, é proposto um novo método, que utiliza in- tegradores de ordem fracionária, para a identificação de FT estáveis. Em seguida, propõe-se outro método que, além de utilizar integradores de ordem fracionária, faz uso de uma função exponencial convergente e também de um filtro, que combinados possibilitam a identificação de FT de ordem fracionária instáveis. Adicionalmente, um método ainda mais eficiente é pro- posto e o seu mecanismo de funcionamento baseia-se na resposta do sistema a uma entrada degrau, que multiplicada por diferentes exponenciais convergentes, gera um conjunto de sinais auxiliares para a obtenção do sinal final, necessário para identificar a FT, estável ou instável. Para comprovar a eficiência dos métodos propostos, foram realizadas várias identificações, com simulações numéricas, incluindo exemplos teóricos desenvolvidos no Matlab e experimentos práticos que foram realizados em laboratório, descritos a seguir: (i) função de transferência de um sistema de controle da posição de um carrinho acionado por um motor de corrente contí- nua; (ii) função de transferência relacionando a posição dos membros inferiores de pacientes hemiplégicos e paraplégicos sujeitos a uma estimulação elétrica funcional. Finalmente, é apre- sentada a identificação da função de transferência de uma rede RC tridimensional, que pode modelar circuitos para obter a resposta dielétrica de materiais compósitos contendo partículas... / This thesis proposes new methods for the identification of fractional order stable and unstable Transfer Functions (TF), based on the time response resulting from a single step excitation. Initially, the improvement of a known identification method for TF of integer order, considering the optimization of a parameter in the identification process, is presented. Then, a new method based on fractional order integrators, is proposed for the identification of stable TF. Moreover, another method for stable and unstable fractional order TF, also with fractional order integra- tors, that is based on the multiplication in the time domain of the plant output by a convergent exponential function and a suitable filter is proposed. Furthermore, a more efficient method is proposed, based on the multiplication in the time domain of the plant output by different conver- gent exponential functions and a suitable filter. Numerical examples using the Matlab software illustrate the theoretical results and are used for comparisons, including the following cases with experimental data: (i) TF of a control system for the position of a car using a DC motor; (ii) TF for of the leg position of paraplegic and hemiplegic patients subject to a functional electrical stimulation. Finally, the identification of a three-dimensional RC network, which can be used as circuit models for the dielectric response of composite materials containing insulating and conducting particles, is presented

Made available in DSpace on 2014-08-13T14:50:57Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2014-02-21Bitstream added on 2014-08-13T17:59:56Z : No. of bitstreams: 1 000768672.pdf: 713902 bytes, checksum: bffc0a4e01880e1ffdb1dcb96c2a05b6 (MD5) / Este trabalho trata do Cálculo Fracionário e suas aplicações em problemas biológicos. Nas aplicações nos concentramos no sistema de Lotka-Volterra clássico e fracionário, para depois analisar o controle biológico da praga da cana-de-açúcar. Como trabalho futuro, propomos analisar as aplicações do sistema de Lotka-Volterra fracionário em problemas reais do câncer, com saturação de crescimento tumoral enfocando tratamento quimioterápico / This work is about Fractional Calculus and its applications in biological problems. In the applications we focus on the classical Lotka-Volterra system and into the corresponding fractional order version to examine the biological control of sugar cane’s pest. As future work, we analyze the fractional system in real problems of cancer, with saturation of tumor growth with a focus on chemotherapy

Made available in DSpace on 2015-01-26T13:21:24Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2014-02-21Bitstream added on 2015-01-26T13:30:32Z : No. of bitstreams: 1 000797296.pdf: 529415 bytes, checksum: 44fe9b1364fdd4b4728b6ba26737aca8 (MD5) / Neste trabalho, apresentamos algumas definições de funções inerentes ao Cálculo Fracionário bem como as definições para Derivada e Integral Fracionárias. Como um dos objetivos primordiais deste trabalho é solucionar problemas reais, foi dado um enfoque à derivada fracionária segundo Caputo, uma vez que esta definição é mais pertinente a este tipo de problema, como vamos ver mais adiante. Apresentamos o modelo exponencial que descreve o crescimento bacteriano em um meio ideal e propomos uma generalização do mesmo via Cálculo Fracionário. Com o intuito de refinar a solução dada pela clássica equação logística e ampliar o seu campo de aplicações no estudo de dinâmicas tumorais, propomos e resolvemos uma generalização para a mesma, utilizando o Cálculo Fracionário, isto é, substituímos a derivada de ordem 1 presente na equação ordinária por uma derivada de ordem não inteira 0 < ≤ 1. Em ambos os casos, a solução da equação fracionária tem, como caso particular, a solução do modelo clássico. Por fim, apresentamos a parte original deste trabalho, i.e., analisamos a aplicabilidade do modelo Logístico Fracionário para a descrição do crescimento de tumores de câncer, isto é, sabendo os modelos de crescimentos tumorais presentes na literatura, mostramos graficamente que o comportamento do modelo proposto é, em diversos casos, mais conveniente para descrever o crescimento de tumores de câncer do que os modelos usualmente utilizados / This work presents the definitions of some important functions inherent to Fractional Calculus as well as the definitions for Fractional Integral and Fractional Derivative. One of the main goals of this work is to solve real problems, that is why focus was given on fractional derivatives, in accordance with Caputo, once this definition is more pertinent to this kind of problem. It was introduced the exponential model wich describes bacterial growth in an ideal way and it was proposed its generalization through Fractional Calculus. In order to refine the solution given by the classical logistic equation and expand its application range in the study of tumor dynamics, we propose and solve its generalization, using the Fractional Calculus , i. e., we replace the derivative of order 1 in the ordinary equation by a non-integer order derivative 0 < ≤ 1. In both cases, the solution of the fractional equation has as a special case the solution of the classic model. Finally, we present the original part of this work, i.e., we analyse the applicability of the fractional logistic model to describe the growth of cancer tumor, that is, we compare the model with some presented in the literature and showed graphically that in several cases our model is more convenient than the usual ones

Orientador: Rubens de Figueiredo Camargo / Banca: Edmundo Capelas de Oliveira / Banca: Alexys Bruno Alfonso / Resumo: Neste trabalho, apresentamos algumas definições de funções inerentes ao Cálculo Fracionário bem como as definições para Derivada e Integral Fracionárias. Como um dos objetivos primordiais deste trabalho é solucionar problemas reais, foi dado um enfoque à derivada fracionária segundo Caputo, uma vez que esta definição é mais pertinente a este tipo de problema, como vamos ver mais adiante. Apresentamos o modelo exponencial que descreve o crescimento bacteriano em um meio ideal e propomos uma generalização do mesmo via Cálculo Fracionário. Com o intuito de refinar a solução dada pela clássica equação logística e ampliar o seu campo de aplicações no estudo de dinâmicas tumorais, propomos e resolvemos uma generalização para a mesma, utilizando o Cálculo Fracionário, isto é, substituímos a derivada de ordem 1 presente na equação ordinária por uma derivada de ordem não inteira 0 < ≤ 1. Em ambos os casos, a solução da equação fracionária tem, como caso particular, a solução do modelo clássico. Por fim, apresentamos a parte original deste trabalho, i.e., analisamos a aplicabilidade do modelo Logístico Fracionário para a descrição do crescimento de tumores de câncer, isto é, sabendo os modelos de crescimentos tumorais presentes na literatura, mostramos graficamente que o comportamento do modelo proposto é, em diversos casos, mais conveniente para descrever o crescimento de tumores de câncer do que os modelos usualmente utilizados / Abstract: This work presents the definitions of some important functions inherent to Fractional Calculus as well as the definitions for Fractional Integral and Fractional Derivative. One of the main goals of this work is to solve real problems, that is why focus was given on fractional derivatives, in accordance with Caputo, once this definition is more pertinent to this kind of problem. It was introduced the exponential model wich describes bacterial growth in an ideal way and it was proposed its generalization through Fractional Calculus. In order to refine the solution given by the classical logistic equation and expand its application range in the study of tumor dynamics, we propose and solve its generalization, using the Fractional Calculus , i. e., we replace the derivative of order 1 in the ordinary equation by a non-integer order derivative 0 < ≤ 1. In both cases, the solution of the fractional equation has as a special case the solution of the classic model. Finally, we present the original part of this work, i.e., we analyse the applicability of the fractional logistic model to describe the growth of cancer tumor, that is, we compare the model with some presented in the literature and showed graphically that in several cases our model is more convenient than the usual ones / Mestre