Dans cette thèse, nous étudions des réseaux sans fil dans lesquels les terminaux mobiles sont autonomes dans le choix de leurs configurations de communication. Cette autonomie de décision peut notamment concerner le choix de la technologie d'accès au réseau, le choix du point d'accès, la modulation du signal, les bandes de fréquences occupées, la puissance du signal émis, etc. Typiquement, ces choix de configuration sont réalisés dans le but de maximiser des métriques de performances propres à chaque terminal. Sous l'hypothèse que les terminaux prennent leurs décisions de manière rationnelle afin de maximiser leurs performances, la théorie des jeux s'applique naturellement pour modéliser les interactions entre les décisions des différents terminaux. Plus précisément, l'objectif principal de cette thèse est d'étudier des stratégies d'équilibre de contrôle de puissance d'émission afin de satisfaire des considérations d'efficacité énergétique. Le cadre des jeux stochastiques est particulièrement adapté à ce problème et nous permet notamment de caractériser la région de performance atteignable pour toutes les stratégies de contrôle de puissance qui mènent à un état d'équilibre. Lorsque le nombre de terminaux en jeu est grand, nous faisons appel à la théorie des jeux à champ moyen pour simplifier l'étude du système. Cette théorie nous permet d'étudier non pas les interactions individuelles entre les terminaux, mais l'interaction de chaque terminal avec un champ moyen qui représente l'état global des autres terminaux. Des stratégies de contrôle de puissance optimales du jeu à champ moyen sont étudiées. Une autre partie de la thèse a été consacrée à des problématiques d'apprentissage de points d'équilibre dans les réseaux distribués. En particulier, après avoir caractérisé les positions d'équilibre d'un jeu de positionnement de points d'accès, nous montrons comment des dynamiques de meilleures réponses et d'apprentissage permettent de converger vers un équilibre. Enfin, pour un jeu de contrôle de puissance, la convergence des dynamiques de meilleures réponses vers des points d'équilibre a été étudiée. Il est notamment proposé un algorithme d'adaptation de puissance convergeant vers un équilibre avec une faible connaissance du réseau. / In this thesis, we study wireless networks in which mobile terminals are free to choose their communication configuration. Theses configuration choices include access wireless technology, access point association, coding-modulation scheme, occupied bandwidth, power allocation, etc. Typically, these configuration choices are made to maximize some performance metrics associated to every terminals. Under the assumption that mobile terminals take their decisions in a rational manner, game theory can be applied to model the interactions between the terminals. Precisely, the main objective of this thesis is to study energy-efficient power control policies from which no terminal has an interest to deviate. The framework of stochastic games is particularly suited to this problem and allows to characterize the achievable utility region for equilibrium power control strategies. When the number of terminals in the network is large, we invoke mean field game theory to simplify the study of the system. Indeed, in a mean field game, the interactions between a player and all the other players are not considered individually. Instead, one only studies the interactions between each player and a mean field, which is the distribution of the states of all the other players. Optimal power control strategies from the mean field formulation are studied. Another part of this thesis has been focused on learning equilibria in distributed games. In particular, we show how best response dynamics and learning algorithms can converge to an equilibrium in a base station location game. For another scenario, namely a power control problem, we study the convergence of the best response dynamics. In this case, we propose a power control behavioral rule that converges to an equilibrium with very little information about the network.

Beaucoup de systèmes qui ont un certain degré de désordre ont des similaritésdans leur structure: le paysage énergétique est aléatoire et il a plusieursminima locaux de l’énergie. Quand on ajoute une petite perturbation externeau système à basse temprature, il est raisonnable d’attendre que la dynamiqueconduira le système d’un minimum à l’autre, et ça donne lieu à une réponsealéatoire et saccadé. Les sautes discontinus que l’on observe sont appelésavalanches, et l’intérêt de ce travail est le calcul de leur distribution. Undes résultats est en effet le développement d’un cadre pour calculer cettedistribution dans des systèmes en dimension infinie qui peuvent être décritsavec le replica symmetry breaking. Nous appliquons les résultats à l’un desmodèles les plus simples des verres structuraux, c’est à dire les empilementsdenses de sphères molles avec répulsion harmonique, avec une déformation(shear strain) du volume comme perturbation. Nous soutenons que, quandla déformation est suffisamment petite, une portion de la distribution desavalanches devient une loi de puissance, dont l’exposant peut être directementlié au paramètre d’ordre de la brisure de symétrie de replica. Cet exposant estégalement lié à la distribution des forces de contact (au moins entre certainessphères), dont le comportement asymptotique on sais que ne dpends pasfortement de la dimension spatiale; pour cette raison nous comparons lesprdictions de champ moyen en dimension infinie avec des simulation du mêmesystème en dimension trois et, remarquablement, on trouve un bon accord.Dans le reste de la thèse nous discutons aussi les similarités avec des travauxprécédents et quelques consquences que la distribution des avalanches donnesur les propriétés élastiques de la matière granulaire dense. / Many systems that are somehow characterized by a degree of disorder sharea similar structure: the energy landscape has many sample-dependent localenergy minima. When a small external perturbation is applied to the systemat low temperature, it is reasonable to expect that the dynamics will leadthe system from a minimum to another, thus displaying a random and jerkyresponse. The discontinuous jumps that one observes are called avalanches,and the focus of this work is the computation of their distribution. Oneof the results is indeed the development of a framework that allows thecomputation of this distribution in infinite-dimensional systems that canbe described within a replica symmetry breaking ansatz. We apply theresults to one of the simplest models of structural glasses, namely densepackings of (harmonic) soft spheres, either at jamming or at larger densities,subject to a shear transformation that induces jumps both in the totalenergy and in the shear stress of the system. We argue that, when theshear strain is small enough, the avalanche distribution develops a power-lawbehavior, whose exponent can be directly related to the functional orderparameter of the replica symmetry breaking solution. This exponent is alsorelated to the distribution of contact forces (or at least of the contact forcesbetween some of the spheres), whose asymptotic behavior is known not todepend strongly on the spatial dimension; for this reason, we compare theinfinite-dimensional prediction with three dimensional simulations of thesame systems and, remarkably, we find a good agreement. In the rest of thethesis we compare our results with previous works, and we also discuss someof the consequences that the avalanche distribution lead to, concerning thestatistical elastic properties of dense granular media.

Cette thèse se compose de deux parties. Une première partie est dédiée à l'étude de phénomènes de diffusions dans des géométries non triviales. Je présente tout d'abord un travail sur les effets des irrégularités de la géométrie d'une surface sur un mouvement brownien galiléen évoluant sur cette surface. Ce problème est susceptible d'applications en biologie, notamment dans la modélisation des phénomènes de diffusions latérales sur des interfaces. J'expose ensuite des travaux réalisés sur des processus stochastiques relativistes. J'introduis d'une part des modèles simples de diffusion dans un univers en expansionet présente des relations de fluctuation-dissipation vérifiées par ces modèles. J'expose d'autre part une approche unifiée des différents processus stochastiques relativistes existant dans la littérature, à savoir, le ROUP, le processus de Franchi-Le~Jan et le processus de Dunkel-Hänggi. Dans une seconde partie, je présente deux applications de la récente théorie champ moyen de la relativité générale. La théorie a été appliquée à un trou noir de Schwarzschild et à un trou noir de Reisner-Nordström extrême. Les caractéristiques de l'espace-temps moyen obtenu dans chacun de ces deux cas sont présentées. Les résultats sont mis en relation avec des observations de trous noirs astrophysiques et avec des observations cosmologiques. Les effets de la moyennisation sur les propriétés thermodynamiques de ces trous noirs sont également étudiés.

Les systèmes autogravitants sont constitués de particules interagissant mutuellement par la gravité; ils décrivent la formation de structures dans l'univers. Comme conséquence de l'interaction à longue portée, les systèmes autogravitants ne sont pas homogènes même à l'équilibre thermodynamique. Nous avons étudié les systèmes autogravitants comportant plusieurs sortes de particules et les systèmes autogravitants en présence de la constante cosmologique $\Lambda$. Nous avons développé la mécanique statistique et l'approche du champ moyen décrivant la phase gazeuse. Nous avons explicitement calculé la densité de particules et les grandeurs thermodynamiques. Le stabilité de la phase gazeuse est étendue par la présence de $\Lambda$. Les calculs Monte Carlo reproduisent remarquablement bien les résultats du champ moyen.. La loi d'échelle des systèmes autogravitants comportant plusieurs sortes de particules a été trouvée; au point critique la dimension fractale est indépendante de leur composition et vaut $1.6...$~.

Dans cette thèse on explore l'utilisation du contrôle optimal et du transport de masse pour la modélisation économique. Nous saisissons ainsi l'occasion de réunir plusieurs travaux faisant intervenir ces deux outils, parfois en interactions l'un avec l'autre. Dans un premier temps nous présentons brièvement la récente théorie des jeux à champ moyen introduite par Lasry et Lions et nous concentrons sur le point de vue du contrôle de l'équation de Fokker-Planck. Nous exploitons cet aspect à la fois pour obtenir des résultats d'existence d'équilibres et pour développer des méthodes numériques de résolution. Nous testons les algorithmes dans deux cas complémentaires à savoir le cadre convexe (aversion à la foule, dynamiques à deux populations) et le cadre concave (attraction, externalités et effets d'échelle dans un modèle stylisé de transition technologique). Dans un second temps, nous étudions un problème de matching mêlant transport optimal et contrôle optimal. Le planificateur cherche un couplage optimal, fixé pour une période donnée (engagement), étant donné que les marges évoluent (éventuellement aléatoirement) de façon contrôlée. Enfin, nous reformulons un problème de partage de risque entre d agents (pour lequel nous prouvons un résultat d'existence) en un problème de contrôle optimal avec contraintes de comonotonie; ceci nous permet d'obtenir des conditions d'optimalité à l'aide desquelles nous construisons un algorithme simple et convergent.

L'interaction effective entre les nucléons est un ingrédient essentiel des<br />calculs microscopiques de structure nucléaire. L'une des formes utilisée<br />depuis les années 1970 est la force effective phénoménologique proposée par<br />D. Gogny. Cette force donne d'excellents résultats dans les noyaux à<br />l'approximation du champ moyen. La présence de composantes de contact ne<br />permet pas cependant de l'employer en toute généralité pour décrire les<br />corrélations au-delà du champ moyen qui se manifestent fréquemment dans les <br />noyaux.<br /><br />Dans ce travail, nous étudions des extensions de la force de Gogny, notamment<br />une généralisation où le terme dépendant de la densité de portée nulle est<br />remplacé par un terme de portée finie. Les paramètres intervenant dans la forme<br />analytique de la force sont ajustés sur les propriétés de la matière nucléaire<br />infinie symétrique et de la matière neutronique, et sur les observables globales<br />de quelques noyaux stables, en particulier celles associées aux corrélations<br />d'appariement. Nous présentons la méthode permettant d'inclure ce type de<br />force dans les codes de calcul Hartree-Fock-Bogoliubov et nous analysons les<br />résultats obtenus dans de nombreux noyaux. Les nouvelles versions de la force<br />de Gogny apparaissent reproduire la structure nucléaire avec une qualité égale<br />ou supérieure à la version traditionnelle.

Il y a presque trente ans, un des probl??mes les plus difficiles de la physique moderne voyait le jour: la supraconductivit?? ?? haute temp??rature critique dans les cuprates. Depuis, l'hypoth??se nomm??e mod??le Hubbard est rapidement devenu un des candidats les plus prometteurs ?? en d??tenir la solution. Dans ce contexte, ce m??moire pr??sente des travaux de calculs num??riques sur les phases de la mati??re pr??dites par le mod??le de Hubbard. Le projet poursuit notamment deux objectifs. En premier lieu, on consid??re un couplage interplan dans le mod??le, ce qui le rend plus r??aliste que sa version 2D habituelle. Et en deuxi??me lieu, on laisse les phases antiferromagn??tique et supraconductrice coexister avec en plus une autre phase supraconductrice de type pi-triplet. Plus de d??tails sur le contexte et ces deux objectifs sont pr??sent??s au chapitre 1 et le mod??le de Hubbard est d??taill?? au chapitre 2. Pour obtenir des solutions num??riques au mod??le, les m??thodes utilis??es sont la th??orie de champ moyen dynamique sur amas (CDMFT) et l'approximation de l'amas variationnel (VCA). Ces m??thodes ainsi que le formalisme n??cessaire pour les aborder sont pr??sent??s au chapitre trois. Notons qu'on utilise ces m??thodes pour amas avec des m??thodes de diagonalisation exacte qui ne feront pas partie de la discussion. Enfin, le dernier chapitre pr??sente tous les r??sultats obtenus avec ce projet, qui m??nent ?? deux conclusions principales. Premi??rement, le couplage tridimensionnel tel qu'ajout?? n'a pas fait ressortir de tendance nette dans les r??sultats. Cela indique une de deux choses: soit les effets interplans sont n??gligeables dans le mod??le de Hubbard, soit il faudra les inclure d'une fa??on plus compl??te dans le futur. Deuxi??mement, on observe que la phase pi-triplet appara??t lorsqu'il y a coexistence entre l'antiferromagn??tisme et la supraconductivit?? dans le mod??le mais que ces deux derni??res phases se nuisent fortement l'une ?? l'autre, confirmant qu'il y a comp??tition de phases.

Les applications reliées à la génération d'énergie motivent la recherche de matériaux ayant un fort pouvoir thermoélectrique (S). De plus, S nous renseigne sur certaines propriétés fondamentales des matériaux, comme, par exemple, la transition entre l'état cohérent et incohérent des quasi-particules lorsque la température augmente. Empiriquement, la présence de fortes interactions électron-électron peut mener à un pouvoir thermoélectrique géant. Nous avons donc étudié le modèle le plus simple qui tient compte de ces fortes interactions, le modèle de Hubbard. La théorie du champ moyen dynamique (DMFT) est tout indiquée dans ce cas. Nous nous sommes concentrés sur un système tridimensionnel (3d) cubique à face centrée (fcc), et ce, pour plusieurs raisons. A) Ce type de cristal est très commun dans la nature. B) La DMFT donne de très bons résultats en 3d et donc ce choix sert aussi de preuve de principe de la méthode. C) Finalement, à cause de la frustration électronique intrinsèque au fcc, celui-ci ne présente pas de symétrie particule-trou, ce qui est très favorable à l'apparition d'une grande valeur de S. Ce travail démontre que lorsque le matériau est un isolant à demi-remplissage à cause des fortes interactions (isolant de Mott), il est possible d'obtenir de grands pouvoirs thermoélectriques en le dopant légèrement. C'est un résultat pratique important. Du point de vue méthodologique, nous avons montré comment la limite de fréquence infinie de S et l'approche dite de Kelvin, qui considère la limite de fréquence nulle avant la limite thermodynamique pour S, donnent des estimations fiables de la vraie limite continue (DC) dans les domaines de température appropriée. Ces deux approches facilitent grandement les calculs en court-circuitant la nécessité de recourir à de problématiques prolongements analytiques. Nous avons trouvé que la méthode de calcul à fréquence infinie fonctionne bien lorsque les échelles d'énergie sont relativement faibles. En d'autres termes, cette approche donne une bonne représentation de S lorsque le système devient cohérent. Les calculs montrent aussi que la formule Kelvin est précise lorsque la fonction spectrale des électrons devient incohérente, soit à plus haute température. Dans la limite Kelvin, S est essentiellement l'entropie par particule, tel que proposé il y a longtemps. Nos résultats démontrent ainsi que la vision purement entropique de S est la bonne dans le régime incohérent, alors que dans le régime cohérent, l'approche à fréquence infinie est meilleure. Nous avons utilisé une méthode à la fine pointe, soit le Monte-Carlo quantique en temps continu pour résoudre la DMFT. Pour permettre une exploration rapide du diagramme de phase, nous avons dû développer une nouvelle version de la méthode des perturbations itérées pour qu'elle soit applicable aussi à forte interaction au-delà de la valeur critique de la transition de Mott. Un autre sujet a aussi été abordé. L'effet orbital du champ magnétique dans les systèmes électroniques fortement corrélés est une question très importante et peu développée. Cela est d'autant plus essentiel depuis la découverte des oscillations quantiques dans les supraconducteurs à haute temperature (haut-T[indice inférieur c]). Par désir de développer une méthode la moins biaisée possible, nous avons dérivé la DMFT lorsqu'un champ se couplant à l'opérateur énergie cinétique par la substitution de Peierls est présent. Ce type d'approche est nécessaire pour comprendre entre autres l'effet de la physique de Mott sur des phénomènes tels que les oscillations quantiques. Nous avons obtenu un résultat très important en démontrant rigoureusement que la relation d'auto-cohérence de la DMFT et le système intermédiaire d'impureté quantique restent les mêmes. L'effet du champ peut être contenu dans la fonction de Green locale, ce qui constitue la grande différence avec le cas habituel. Ceci permet de continuer à utiliser les solutionneurs d'impuretés standards, qui sont de plus en plus puissants. Nous avons aussi développé la méthode pour le cas d'un empilement de plans bidimensionnels selon z, ce qui permet d'étudier l'effet orbital du champ dans des nanostructures et même dans les matériaux massifs, si le nombre de plans est suffisant pour obtenir la limite tridimensionnelle.

Dans cette thèse, nous étudions des réseaux sans fil dans lesquels les terminaux mobiles sont autonomes dans le choix de leurs configurations de communication. Cette autonomie de décision peut notamment concerner le choix de la technologie d'accès au réseau, le choix du point d'accès, la modulation du signal, les bandes de fréquences occupées, la puissance du signal émis, etc. Typiquement, ces choix de configuration sont réalisés dans le but de maximiser des métriques de performances propres à chaque terminal. Sous l'hypothèse que les terminaux prennent leurs décisions de manière rationnelle afin de maximiser leurs performances, la théorie des jeux s'applique naturellement pour modéliser les interactions entre les décisions des différents terminaux. Plus précisément, l'objectif principal de cette thèse est d'étudier des stratégies d'équilibre de contrôle de puissance d'émission afin de satisfaire des considérations d'efficacité énergétique. Le cadre des jeux stochastiques est particulièrement adapté à ce problème et nous permet notamment de caractériser la région de performance atteignable pour toutes les stratégies de contrôle de puissance qui mènent à un état d'équilibre. Lorsque le nombre de terminaux en jeu est grand, nous faisons appel à la théorie des jeux à champ moyen pour simplifier l'étude du système. Cette théorie nous permet d'étudier non pas les interactions individuelles entre les terminaux, mais l'interaction de chaque terminal avec un champ moyen qui représente l'état global des autres terminaux. Des stratégies de contrôle de puissance optimales du jeu à champ moyen sont étudiées. Une autre partie de la thèse a été consacrée à des problématiques d'apprentissage de points d'équilibre dans les réseaux distribués. En particulier, après avoir caractérisé les positions d'équilibre d'un jeu de positionnement de points d'accès, nous montrons comment des dynamiques de meilleures réponses et d'apprentissage permettent de converger vers un équilibre. Enfin, pour un jeu de contrôle de puissance, la convergence des dynamiques de meilleures réponses vers des points d'équilibre a été étudiée. Il est notamment proposé un algorithme d'adaptation de puissance convergeant vers un équilibre avec une faible connaissance du réseau.

La théorie des jeux en champ moyen constitue un formalisme puissant introduit récemmentpour étudier des problèmes d’optimisation stochastiques avec un grand nombre d’agents. Aprèsavoir rappelé les principes de base de cette théorie et présenté quelques cas d’applicationtypiques, on étudie en détail un modèle stylisé de séminaire, de type champ moyen. Nousdérivons une équation exacte qui permet de prédire l’heure de commencement du séminaire etanalysons différents régimes limites, dans lesquels on parvient à des expressions approchées de lasolution. Ainsi on obtient un "diagramme de phase" du problème. On aborde ensuite un modèleplus complexe de population avec des effets de groupe attractifs. Grâce à une analogie formelleavec l’équation de Schrödinger non linéaire, on met en évidence des lois d’évolutions généralespour les valeurs moyennes du problème, que le système vérifie certaines lois de conservation etl’ on développe des approximations de type variationnel. Cela nous permet de comprendre lecomportement qualitatif du problème dans le régime de fortes interactions. / Mean Field Games Theory is a theoretical framework developed recently to deal withstochastic optimization problems when the number of agents is large. First the mathematicaltools are introduced heuristically, step by step, and some examples are presented in finance,economy and social problems. I study then thoroughly a seminar toymodel and derive anequation for the starting time of the meeting. The analysis of the limit regimes allows to builda "phase diagram" of the problem. In a second time, a herding problem, where individualshave their own preferences and are attracted by the group, is tackled. Thanks to a formal analogywith the Non Linear Schrödinger equation, some explicit solutions, conservation laws andso-called variational approximations are derived. Finally I use these tools to get a qualitativeunderstanding of the solution’s behaviour in the strong interaction regime.