We start with the recollection of basic results about differential manifolds and Lie groups. We also recall some preliminary terminologies in Lie algebra. Then we define the Lie algebra corresponding to a Lie group. In the next section, we define a strongly continuous representation of a Lie group on a Banach space. We further define the smooth, analytic and entire vectors for a given representation. Then, we move on to develop some necessary and sufficient criteria to characterize smooth, analytic and entire vectors. We, in particular, take into account of some specific representations of Lie groups like the regular representation of R, the irreducible representations of Heisenberg groups, the irreducible representations of the group of Affine transformations and finally the representations of non-compact simple Lie groups.

This thesis deals with algebraic equations in the field of complex numbers and teaching of them in high school mathematics. The thesis is a web page, it includes the definition of complex numbers in various forms (form of ordered pair, algebraic, polar and exponential form) and operations with them, as well as conversions between forms. The main part of the thesis includes solving of linear, quadratic, binomial, trinomial, reciprocal and cubic equations in the field of complex numbers. The lecture is enhanced with interactive applets demonstrating given topic. The thesis also includes solved exercises, as well as exercises leading to sets of points satisfying a condition and two overall tests. Web page created within the thesis can be used by high school pupils and teachers. 1

Submitted by Marcos Afonso Da Silva (marcos.da.silvaaf@gmail.com) on 2018-05-02T18:35:06Z No. of bitstreams: 1 silva_ma_me_rcla.pdf: 1746007 bytes, checksum: 2ae251af6bbcaa3e703be73180764ea3 (MD5) / Rejected by Adriana Aparecida Puerta null (dripuerta@rc.unesp.br), reason: Prezado Marcos, O documento "Análise complexa e aplicações" enviado para a coleção IGCE- Rio Claro foi recusado pelo(s) seguinte(s) motivo(s): - Falta a capa, que é elemento obrigatório e deve vir em primeiro lugar, antes da folha de rosto. - Falta a folha de aprovação, que deve ser solicitada à Seção de Pós-Graduação e deve ser inserida após a ficha catalográfica. O documento enviado não foi excluído. Para revisá-lo e realizar uma nova tentativa de envio, acesse: https://repositorio.unesp.br/mydspace Em caso de dúvidas entre em contato pelo email repositoriounesp@reitoria.unesp.br. Agradecemos a compreensão e aguardamos o envio do novo arquivo. Atenciosamente, Biblioteca Campus Rio Claro Repositório Institucional UNESP https://repositorio.unesp.br on 2018-05-03T16:21:47Z (GMT) / Submitted by Marcos Afonso Da Silva (marcos.da.silvaaf@gmail.com) on 2018-05-04T00:42:07Z No. of bitstreams: 1 silva_ma_me_rcla.pdf: 1807104 bytes, checksum: 5b70e3ffe1793a2b25dc37beaa31e31f (MD5) / Rejected by Adriana Aparecida Puerta null (dripuerta@rc.unesp.br), reason: Prezado Marcos, - O arquivo foi rejeitado pois, de acordo com as normas, tanto na capa quando na folha de rosto é obrigatório constar a cidade de defesa e o ano ao final da página. Exemplo: Rio Claro (e embaixo da cidade, 2018) Aguardamos o envio do novo arquivo com a correção. Atenciosamente, Biblioteca Campus Rio Claro. Repositório Institucional on 2018-05-04T13:28:00Z (GMT) / Submitted by Marcos Afonso Da Silva (marcos.da.silvaaf@gmail.com) on 2018-05-04T14:39:38Z No. of bitstreams: 1 silva_ma_me_rcla.pdf: 1749221 bytes, checksum: 91fb75a089e7b171f8516ee87703344f (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Aparecida Puerta null (dripuerta@rc.unesp.br) on 2018-05-04T17:56:05Z (GMT) No. of bitstreams: 1 silva_ma_me_rcla.pdf: 1689269 bytes, checksum: 5b3bb5cf57504efea17305264a03cccb (MD5) / Made available in DSpace on 2018-05-04T17:56:05Z (GMT). No. of bitstreams: 1 silva_ma_me_rcla.pdf: 1689269 bytes, checksum: 5b3bb5cf57504efea17305264a03cccb (MD5) Previous issue date: 2018-04-20 / O objetivo principal deste trabalho é desenvolver um estudo introdutório, porém detalhado, sobre Análise Complexa e algumas de suas aplicações. Apresentamos o corpo dos números complexos, exploramos as funções complexas de uma variável complexa, exibimos parte da teoria das funções analíticas e parte da teoria de integração complexa. Provamos importantes resultados, tais como o Teorema de Cauchy, o Teorema de Taylor, o Teorema dos Resíduos, entre outros igualmente relevantes. Como aplicação da teoria, destacamos a utilização do Teorema dos Resíduos para determinar a transformada inversa de Laplace de uma função F(s). / The main objective of this work is to develop an introductory but detailed study on Complex Analysis and some of its applications. We present the field of the complex numbers, explore the complex functions of a complex variable, exhibit part of the theory of analytic functions, and part of the complex integration theory. We prove important results, such as Cauchy’s Theorem, Taylor’s Theorem, Residue Theorem, among others equally relevant. As an application of the theory, we highlight the use of the Residue Theorem to determine the inverse Laplace transform of a function F(s).

Tomando como punto de partida el proceso revisión de los fundamentos matemáticos llevado a cabo durante el siglo XIX, este estudio se centra en uno de los conceptos matemáticos más importantes: el infinito. Es innegable la importancia de este concepto en el avance de las Matemáticas y es fácil encontrar ejemplos matemáticos en los que interviene (definición de límite, definición de derivada, definición de integral de Riemann, entre otras). Debido a que algunas de las paradojas y contradicciones originadas por la falta de rigor en las Matemáticas están relacionadas con este concepto, se comienza con el estudio epistemológico del concepto matemático del infinito revisando la bipolaridad que presentan algunos conceptos semánticos, definidos de forma inseparable y conjunta, constituyendo un único concepto como si representaran los polos de un imán. En este estudio se concluye que la bipolaridad revela que una lógica conceptual que puede asumir la comprensión de la negación, debe ser una lógica dialéctica, es decir que admite como verdaderas algunas contradicciones. En el caso del concepto matemático de lo finito-infinito, nos encontramos de nuevo con una bipolaridad lógica. Por todo lo expuesto se presenta una teoría no cantoriana para el infinito potencial y actual, basada en la imprecisión lingüística del concepto de infinito, y utilizando el concepto de conjunto homógono, formado por una sucesión convergente y su límite, previamente introducido por Leibniz, que permite aunar los dos polos del concepto de infinito en un único conjunto. Esta nueva teoría de conjuntos permitirá presentar en lenguaje homogónico, algunos de los conceptos fundamentales del análisis tales como, la diferencial y la integral, así como algunas aplicaciones a la Óptica y a la Mecánica Cuántica. Posteriormente se presenta la categoría lógica de la oposición cualitativa a través de diferentes ejemplos de diversas áreas de la ciencia, y se define, a través de tres reglas o normas básicas, el paso de la lógica aristotélica o analítica a la lógica sintética, que incluye al neutro como parte de la oposición cualitativa. Con la aplicación de estas normas a la oposición cualitativa y, en particular, a su neutro, se demuestra que la lógica sintética permite la verdad de algunas contradicciones. Esta lógica sintética es dialéctica y multivaluada y da a cada proposición un valor de verdad en el intervalo [0,1], que coincide con el cuadrado del módulo de un número complejo. Esto marca una notable novedad respecto de la lógica aristotélica o analítica que otorga valores de verdad reales, o incluso a la lógica difusa que, a pesar de ser una lógica multivaluada otorga valores de verdad reales en el intervalo [0,1]. En esta lógica dialéctica, las contradicciones del neutro de una oposición pueden ser verdaderas. Finalmente se plantea la aplicación de la lógica dialéctica, a la Mecánica Cuántica, cuyo carácter es no determinista y en la que es posible encontrar ejemplos de situaciones contradictorias debido a la dualidad onda-corpúsculo. Para ello se establece un isomorfismo entre la lógica dialéctica y la teoría de la probabilidad, a la que se añade el concepto de fortuidad, precisamente para reflejar el carácter no determinista.

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