La complexité arithmétique est l'étude des ressources nécessaires pour calcu- ler des polynômes en n'utilisant que des opérations arithmétiques. À la fin des années 70, Valiant a défini (de manière semblable à la complexité booléenne) des classes de polynômes. Les polynômes, ayant des circuits de taille polyno- miale, considérés faciles forment la classe VP. Les sommes exponentielles de ces derniers correpondent alors à la classe VNP. L'hypothèse de Valiant est la conjecture que VP ̸= VNP.Bien que cette conjecture soit encore grandement ouverture, cette dernière semble toutefois plus accessible que son homologue booléen. La structure algé- brique sous-jacente limite les possibilités de calculs. En particulier, un résultat important du domaine assure que les polynômes faciles peuvent aussi être cal- culés efficacement en paralèlle. De plus, quitte à autoriser une augmentation raisonnable de la taille, il est possible de les calculer avec une profondeur de calcul bornée par une constante. Comme ce dernier modèle est très restreint, de nombreuses bornes inférieures sont connues. Nous nous intéresserons en premier temps à ces résultats sur les circuits de profondeur constante.Bürgisser a montré qu'une conjecture (la τ-conjecture) qui borne supérieu- rement le nombre de racines de certains polynômes univariés, impliquait des bornes inférieures en complexité arithmétique. Mais, que se passe-t-il alors, si on essaye de réduire, comme précédemment, la profondeur du polynôme consi- déré? Borner le nombre de racines réelles de certaines familles de polynômes permetterait de séparer VP et VNP. Nous étudierons finalement ces bornes su- périeures sur le nombre de racines réelles.

In recent years the field of real numbers expanded by a multiplicative subgroup has been studied extensively. In this thesis, the known results will be extended to expansions of the real field. I will consider the structure R consisting of the field of real numbers and an irrational power function. Using Schanuel conditions, I will give a first-order axiomatization of expansions of R by a dense multiplicative subgroup which is a subset of the real algebraic numbers. It will be shown that every definable set in such a structure is a boolean combination of existentially definable sets and that these structures have o-minimal open core. A proof will be given that the Schanuel conditions used in proving these statements hold for co-countably many real numbers. The results mentioned above will also be established for expansions of R by dense multiplicative subgroups which are closed under all power functions definable in R. In this case the results hold under the assumption that the Conjecture on intersection with tori is true. Finally, the structure consisting of R and the discrete multiplicative subgroup 2^{Z} will be analyzed. It will be shown that this structure is not model complete. Further I develop a connection between the theory of Diophantine approximation and this structure.

Pour tout entier naturel impair d, on construit un domaine fondamental pour l'action sur l'espace affine de dimension 2d+1 de certains groupes de transformations affines libres non abéliens, discrets, agissant proprement et de partie linéaire Zariski-dense dans SO(d+1, d). Pour tout groupe de Lie semisimple réel non compact G, on construit ensuite un groupe de transformations affines de son algèbre de Lie g qui est libre non abélien, discret, agit proprement sur g et a sa partie linéaire Zariski-dense dans Ad G. Enfin, on donne quelques résultats sur le comportement local des fonctions harmoniques sur le triangle de Sierpinski, plus précisément de leur restriction à un bord du triangle. / For every odd positive integer d, we construct a fundamental domain for the action on the 2d+1-dimensional space of certain groups of affine transformations which are free, nonabelian, act properly discontinuously and have linear part Zariski-dense in SO(d+1,d). Next for every semisimple noncompact real Lie group G, we construct a group of affine transformations of its Lie algebra g which is free, nonabelian, acts properly discontinuously and has linear part Zariski-dense in Ad G. Finally, we give some results about the local behavior of harmonic functions on the Sierpinski triangle restricted to a side of the triangle.

Apresentamos conceitos da teoria de Grupos de Lie e Ações Próprias e descrevemos a demonstração da Conjectura de Palais-Terng efetuada por Alexandrino. Tal conjectura garante que uma folheação riemanniana singular com distribuição normal é uma folheação riemanniana singular com seções. Adaptamos para o caso particular das ações isométricas. / We present some aspects of the theory of Lie Groups and Proper Actions, and we review the proof of the Palais-Terng Conjecture given by Alexandrino. This theorem assures that a singular Riemannian foliation with integrable normal distribution is a singular Riemannian foliation with section. We adapt the proof for isometric actions.

Cerný, em 1964, conjecturou que um autômato sincronizado com n estados possui uma palavra sincronizadora mínima de tamanho no máximo (n-1)². Esta conjectura permanece em aberto. Neste trabalho são apresentados algoritmos para obter palavras sincronizadoras e é feito um experimento comparativo entre os resultados obtidos por estes algoritmos em relação a algumas séries infinitas de autômatos. Por fim, é feito um breve histórico sobre os resultados parciais obtidos até a presente data e alguns destes trabalhos são apresentados em mais detalhes. / Cerný, on 1964, conjectured that a synchronizing automata with n states has a synchronizing word of size at most (n-1)². The conjecture remains open. We show some algorithms for obtaining synchronizing sequences and a comparative experiment between these algorithms with respect to some infinite series of automata. Furthermore, we briefly survey some of the partial results obtained until the present day.

A Conjectura de Bateman-Horn dá condições sobre uma família de polinômios com coeficientes inteiros $f_1(X),\\dots,f_k(X)$ para que hajam infinitos $n \\in \\N$ tais que $f_1(n),\\dots,f_k(n)$ sejam todos primos, e determina qual deve ser o comportamento assintótico de tais inteiros $n$. Neste texto, vamos estudar essa conjectura, assim como um método desenvolvido por Solomon W. Golomb que pode ser usado para demonstrá-la. Veremos que esse cálculo prova a Conjectura de Bateman-Horn a menos da troca de um limite com uma série infinita, que é o único passo ainda não provado desse método. Também estudaremos uma tentativa para solucionar esse problema por meio do uso de teoremas abelianos de regularidade, e provaremos que teoremas tão gerais não são suficientes para provar a troca do limite com a série. / Given a family of polynomials with integer coefficients $f_1(X),\\dots,f_k(X)$, one would like to answer the following question: does there exist infinitely many $n \\in \\N$ such that $f_1(n),\\dots,f_k(n)$ are all primes? Schinzel conjectured that if these polynomials satisfy certain simple conditions, then the answer to this question is affirmative. Assuming these conditions, Bateman and Horn proposed a formula for the asymptotic density of the integers $n \\in \\N$ such that $f_1(n),\\dots,f_k(n)$ are all primes. In this text, we shall study the Bateman-Horn Conjecture, as well as a method proposed by Solomon W. Golomb that may be used to prove this conjecture. We shall see that Golomb\'s $\\Lambda$-method would prove the Bateman-Horn Conjecture, except for a single unproved step, namely, the commutation of a limit with an infinite series.

Primeiramente consideramos uma família de \'C POT. 2\'-ações de \'R POT. 2\' sobre uma 3-variedade fechada. Uma das condições que esta família satisfaz é que admite apenas um número finito de órbitas singulares, sendo todas estas difeomorfas ao círculo. Para esta família, daremos uma descrição da estrutura das órbitas assim como das 3-variedades que as suportam. Isto generaliza resultados de classificação de ações localmente livres (isto é, sem singularidades) de \'R POT.2\' sobre 3-variedades fechadas obtidos por Chatelet-Rosenberg- Roussarie-Weil em [12], [30] e [31]. Finalmente, consideramos uma ação \\\'phi\' de \'RPOT. 2\' sobre uma 3-variedade fechada N topologicamente transitiva (isto é, tem uma órbita densa em N). Diremos que \\\'phi\' é metricamente transitiva se dado qualquer conjunto compacto e \\\'phi\'-invariante K, então ou K ou seu complementar tem medida nula com respeito a medida de Lebesgue. É conhecido que toda ação \\\'phi\' metricamente transitiva é topologicamente transitiva e que, em geral, a reciproca não é certa. No Entanto, Morse [27] em 1946 propôs a seguinte conjectura: Qualquer sistema dinâmico topologicamente transitivo, com algum grau de regularidade, é metricamente transitivo. A frase \"algum grau de regularidade\", pode significar, por exemplo, que o sistema dinâmico é analítico real, suave, tem um número finito de singularidades, etc. Na segunda parte da tese, mostramos a conjectura de Morse para o sistema dinâmico definido por uma \'R POT. 2\'-ação sobre uma 3-variedade fechada, cujo conjunto singular é uma união finita de órbitas círculo. Isto generaliza um resultado análogo obtido por Ding [18] para fluxos sobre superfícies fechadas / First we consider a family of \'C POT. 2\' actions of \'R POT. 2\' on a closed 3-manifold. One of the conditions of this family is that it admits only a finite number of singular orbits, which are all diffeomorphic to circle. For this family we will give a description of the structure of the orbits as well the 3-manifolds supporting this actions. This generalizes results of classification for locally free actions (i. e. without singularities) of \'R POT. 2\' on closed 3- manifolds obtained by Chatelet-Rosenberg-Roussarie-Weil in [12], [30] and [31]. Finally, we consider an action \\\'phi\' of \'R POT. 2\' on a closed 3-manifold N which is topologically transitive (i.e. has a dense orbit in N). We will say that \\\'phi\' is metrically transitive if, given any \\\'phi\'-invariant compact set K, then, either K or its complement has zero measure with respect to Lebesgue measure. It is known that every action \\\'phi\' topologically transitive is metrically transitive and that, in general, the reciprocal is not true. However, Morse [27] in 1946 proposed the following conjecture: any topologically transitive dynamical system with any degree of regularity is metrically transitive. The phrase \"some degree of regularity\" may mean, for example, that the dynamical system is real analytic, smooth, have a finite number of singularities, etc. In the second part of the thesis, we show the conjecture to the Morse for an dynamical system defined by a \'R POT. 2\'-action on a closed 3-manifold whose singular set is a finite union of orbits circle. This is a generalization of a similar result obtained by Ding in [18] for flows on closed surfaces

Este trabalho é destinado a mostrar soluções parciais para a conjectura de Verjovsky para ações, a qual afirma que: Toda ação Anosov de codimensão 1 irredutível de Rk sobre uma variedade compacta M de dimensão maior do que k+2 é topologicamente equivalente a suspensão de uma ação Anosov de Zk. Os teoremas principais da tese são dois. No primeiro, generalizamos um teorema devido a Barbot e Maquera [1], provando que sob as hipóteses da conjectura e supondo que se Ess ⊕ Euu é de classe C1, então a ação é topologicamente equivalente a suspensão de uma ação de Zk. Este resultado também é uma extensão de um teorema, para fluxos de Anosov (k = 1), devido a Ghys [2]. Para mostrar este resultado foi necessário desenvolver um análogo da teoria, que mostra a existência das partições de Markov para fluxos devido a Ratner [3], para ações Anosov. Finalmente, no segundo resultado principal, retiramos a hipótese da ação ser irredutível e provamos que se alguma das folheações fortes não é minimal então a conjectura é verdadeira. Para provar este resultado foi necessário estendermos um teorema de Plante [4]. / This work is destined to show parcial results for the Verjosvkys conjecture for actions, which says that Every irreducible codimension-one Anosov action of Rk on a manifold M of dimension at least k+3 is topologically conjugate to the suspension of a Anosov action of Zk. The main results are two. In the first, we show that if Ess ⊕ Euu is C1 then the Verjosvkys conjecture does hold, generalizing Barbot-Maqueras theorem [1]. This theorem is also an extension of a result, for flows, of Ghys [2]. An important step to show this theorem was to construct the Markov system for Anosov actions. The Markov system has similar properties of Markov partitions for Anosov flows obtained by Ratner,[3]. Finally, in the second main theorem, without irreducibility, we show that if some strong foliation is not minimal then the conjecture is true. For to prove this result, was necessary we extend a Plante\'s theorem,[4].

A ideia deste trabalho é apresentar a conjetura de Boyland para o anel e mostrar algums resultados nessa direção. Tal conjectura diz que: Dado um homeomorfismo irrotacional do anel, que possui uma medida com número de rotação positivo, é verdade que, neste caso, existem pontos com número de rotação negativo? Para dar uma resposta parcial a esta pregunta, nesta dissertação (baseada no estudo do [7]) começamos considerando os homeomorfismos do anel que preservam orientação, as componentes de fronteira, com número de rotação positivos em ambas fronteiras, e que tem un levantamento transitivo (o motivo desta hipoteses vem de [3]), mostrando que neste caso 0 está no interior do conjunto de rotação. Este resultado vai permitir provar a conjetura para os homeomorfismos do anel irrotacionais, sem pontos fixos na fronteira e com um levantamento transitivo. Além disso vai permitir estudar a dinâmica de tais homeomorfismos. No final do trabalho, estendemos algums dos teoremas provados ao longo dos capítulos anteriores a um conjunto maior de homeomorfismos e estudamos o comportamento de tais homeomorfismos com base nestes resultados. / The idea of this work is to present Boyland´s Conjecture for the annulus and show some results in its direction. The conjecture is the following: Given a homeomorphism of the annulus, which has a measure with positive rotation number, is it true that, in this case, there are points with negative rotation number?. To give a partial answer to this question, in this dissertation (based on [7]) we begin considering the homeomorphisms of the annulus that preserve orientation and boundary components, with positive rotation numbers in the boundaries, with has a transitive lift (the reason for this hypothesis is in [3]), and we show that 0 is in the interior of the rotation set. This result will be of help to prove the Boyland´s Conjecture for rotationless homeomorphisms of the annulus, without fixed points in the boundaries and with a transitive lift. In addition, we will be able to study the dynamics of such homeomorphisms. In the end of this work, we extend some of the theorems proved in the previous chapters to a bigger set of homeomorphisms and we study the behavior of such homeomorphisms using these results.

Esta tese objetiva apresentar duas abordagens inovadoras acerca de dois assuntos clássicos da teoria dos números: bases aditivas e prime gaps. O primeiro tópico é estudado de um ponto de vista topológico, com o intuito de oferecer uma visão abrangente e resultados gerais sobre o conjunto de todas as bases aditivas, não versando sobre uma base aditiva específica, como é de costume. Por meio da introdução de uma métrica, são apresentadas várias ferramentas topológicas que permitem tratar problemas de difícil ataque direto sobre bases aditivas por meio de argumentos indiretos sobre bases melhor comportadas e suficientemente próximas das originalmente consideradas. Já a contribuição sobre prime gaps é realizada utilizando ferramentas algébricas, no lugar das analíticas, como habitual. Por meio de técnicas oriundas tanto da teoria de Galois quanto da teoria algébrica dos números, é apresentado um estudo da conjectura de Firoozbakht, juntamente com algumas de suas consequências, caso ela venha a ser provada / This thesis aims to present two innovative approaches about two classical subjects on number theory: additive bases and prime gaps. The first topic is studied from a topological point of view, in order to offer a comprehensive treatment and general results on the set of all additive bases, not dealing with one specific additive basis, as usual. By the introduction of a metric, it\'s presented a variety of topological tools that allows to treat problems of difficult direct attack on additive bases through indirect arguments on bases better behaved and sufficiently close to the originally considered. The contribution on the prime gaps subject is performed by the use of algebraic tools instead of analytical methods, as usual. Utilizing techniques from Galois theory and algebraic number theory, it\'s presented a study of the Firoozbakht\'s conjecture, along with some of its consequences if the conjecture is proved