Cette thèse, constitué en trois parties, est consacrée à l'étudie des valeurs spéciales de fonctions L automorphes. La première partie contient un survol rapide de la théorie des formes modulaires et des fonctions L de puissance symétrique associées qui est nécessaire dans la suite. Dans la seconde partie, nous nous concentrons sur les valeurs centrales, par l'étude des moments intégraux dans petit intervalle, pour les fonctions L automorphes. On prouve la conjecture de Conrey et al. et donne l'ordre exact pour les moments sous l'hypothèse de Riemann généralisée. La troisième partie présente des travaux sur les valeurs en s=1 de la fonction L de puissance symétrique en l'aspect de niveau-poids. On généralise et/ou améliore les résultats sur l'encadrement de la fonction L de puissance symétrique, la conjecture de Montgomery-Vaughan et également la fonction de répartition. Une application des valeurs extrêmes sur la distribution des coefficients des formes primitives concernant la conjecture de Sato-Tate est donnée / Special values of automorphic L-functions are considered in this work in three parts. In the first part, elementary information about automorphic forms and associated symmetric power L-functions, which will be very useful in the following parts, is introduced. In the second part, we study the central values, in the form of higher moment in short interval, of automorphic L-functions and give a proof for the conjecture of Conrey et al. to get the sharp bound for the moment under Generalized Riemann Hypothesis. In the last part, values of automorphic L-functions at s=1 are considered in level-weight aspect. We generalize and/or improve related early results about the bounds of values at s=1, the Montgomery-Vaughan's conjecture and distribution functions. As an application of our results on extreme values, the distribution of coefficients of primitive forms concerning the Sato-Tate conjecture is studied

Ce travail interroge la valeur du syntagme « expérience de pensée » rapporté aux textes de philosophie et d’histoire naturelle du dix-huitième siècle. La prégnance de ce syntagme, tant dans la littérature critique que dans son usage oral spontané ne doit pas occulter sa quasi-absence littérale au XVIIIe siècle, qui lui préfère d’autres noms : l’« investigation » rousseauiste, le « problème » de Molyneux ou les « expériences philosophiques » de Mérian. C’est donc le besoin de trouver le lien manquant entre cette quasi-absence littérale et cette volonté commune de caractériser conceptuellement certains procédés dix-huitiémistes en « expériences de pensées » qui motive notre recherche. À travers un corpus étendu mais représentatif (Lamy, Locke, Fontenelle, Condillac, Buffon, Rousseau, Diderot, Mérian, Fortis) nous analysons les procédés qui légitiment ou non le recours à l’expérience de pensée, en spécifiant les textes par une typologie nouvelle, fondée sur le rapport aux concepts de nature et de possibilité. À partir d’une étude générale du concept d’expérience de pensée, nous analysons son emploi à la charnière des XVIIe et XVIIIe siècles, par le renouveau des arts de bien penser et parler, puis à travers son importance dans les discussions scientifiques et philosophiques. Nous procédons à l’application typologique de ce qu’il nous semble nécessaire de nommer des espèces de l’expérience de pensée (imaginaire, hypothétique ou conjecturale, projective et extravagante) afin de mettre en évidence les ressorts connus du procédé, à savoir son scénario, sa vocation cognitive et son usage de l’imagination, tout en proposant d’autres données conceptuelles du travail d’écriture et de lecture de l’expérience de pensée : la place conférée à la fiction, l’usage des personnages et la fonction d’un lecteur capable d’expérimenter en pensée de manière rigoureuse et ludique. / This work questions the value of the phrase “thought experiment” related to the texts of philosophy and natural history of the eighteenth century. The importance of this phrase, both in critical literature and in its spontaneous oral use, should not overshadow its literal quasi-absence in the eighteenth century, which prefers other names: Rousseau’s “investigation”, the “problem” of Molyneux or the “philosophical experiments” of Merian. It is thus the need to find the missing link between this quasi-literal absence and this common desire to characterize conceptually certain eighteenth-century processes in “thought experiments” that motivates our research. Through an extensive but representative corpus (Lamy, Locke, Fontenelle, Condillac, Buffon, Rousseau, Diderot, Mérian, Fortis) we analyze the processes that legitimize or not the use of thought experiment, by specifying the texts by a new typology, based on the relationship to the concepts of nature and possibility. Based on a general study of the concept of thought experience, we analyze its use at the turn of the 17th and 18th centuries, through the renewal of the arts of thinking and speaking well, and then through its importance in scientific and philosophical discussions. We proceed to the typological application of what it seems necessary to name species of the thought experiment (imaginary, hypothetical or conjectural, projective and extravagant) in order to highlight the known springs of the process, namely its scenario, its cognitive vocation and its use of the imagination, while proposing other conceptual data of the work of writing and reading the thought experiment: the place conferred on fiction, the use of characters and the function of a reader able to experiment in thought in a rigorous and playful way.

J.-P. Serre a conjecturé à la fin des années 60 et P. Deligne a prouvé au début des années 70 que pour toute newform f = q + ∑ n⩾2 a n q n 2 S k (N; "), k ⩾ 2, et tout premier l du corps de nombres Kf = Q(a n ; n ⩾ 2), il existe une représentation galoisienne l-adique pf;l : Gal(Q=Q) ! GL2 (ZKf;l) qui est non-ramifiée en dehors de ℓN et telle que le polynôme caractéristique du Frobenius en p ∤ ℓN est X2 a pX + "(p)p k 1 .Après réduction modulo l et semi-simplification, on obtient une représentation galoisienne pf;l : Gal(Q=Q) ! GL2 (Fl) modulo l, non-ramifiée en dehors de ℓN et telle que lepolynôme caractéristique du Frobenius en p ∤ ℓN est X 2 a pX + "(p)p k 1mod l, d'où un moyen de calcul rapide de ap mod l pour p gigantesque.L'objet de cette thèse est l'étude et l'implémentation d'un algorithme reposant sur cette idée (initialement due à J.-M. Couveignes and B. Edixhoven), qui calcule les coefficients ap modulo l en calculant d'abord cette représentation modulo l, en s'appuyant sur le fait que pour k < ℓ, cette représentation est réalisée dans la ℓ-torsion de la jacobienne de la courbe modulaire X1 (ℓN ).Grâce à plusieurs améliorations, telles que l'utilisation des méthodes de K. KhuriMakdisi pour calculer dans la jacobienne modulaire J1(ℓN ) ou la construction d'une fonction a 2 Q (J1(ℓN )) au bon comportement arithmétique, cet algorithme est très efficace, ainsi qu'illustré par des tables de coefficients. Cette thèse se conclut par la présentation d'une méthode permettant de prouver formellement que les résultats de ces calculs sont corrects. / It was conjectured in the late 60's by J.-P. Serre and proved in the early 70's by P.Deligne that to each newform f = q +Σn ⩾2 anqn 2 Sk(N; "), k ⩾2, and each primel of the number field Kf = Q(an; n ⩾ 2), is attached an l-adic Galois representationPf;l : Gal(Q=Q) ! GL2(ZKf;l ), which is unrami fied outside ℓN and such the characteristicpolynomial of the Frobenius element at p ∤ ℓN is X2 apX +"(p)pk1. Reducing modulo land semi-simplifying, one gets a mod l Galois representation Pf;l : Gal(Q=Q) ! GL2(Fl),which is unrami filed outside ℓN and such that the characteristic polynomial of the Frobeniuselement at p ℓN is X2 apX +"(p)pk1 mod l. In particular, its trace is ap mod l, whichgives a quick way to compute ap mod l for huge p.The goal of this thesis is to study and implement an algorithm based on this idea(originally due to J.-M. Couveignes and B. Edixhoven) which computes the coefficients apmodulo l by computing the mod l Galois representation first, relying on the fact that ifk < ℓ, this representation shows up in the ℓ-torsion of the jacobian of the modular curveX1(ℓN).Thanks to several improvements, such as the use of K. Khuri-Makdisi's methods tocompute in the modular Jacobian J1(ℓN) or the construction of an arithmetically well-behaved function alph 2 Q(J1(ℓN)), this algorithm performs very well, as illustrated bytables of coefficients. This thesis ends by the presentation of a method to formally provethat the output of the algorithm is correct.

O presente trabalho tem como objetivo apresentar os conjuntos fortemente nulos e fortemente magros. Mais especicamente, iremos apresentar algumas aplicações e avaliar a independência de ZFC de armações envolvendo tais conjuntos. Com relação às aplicações, daremos alguns exemplos de conjuntos fortemente nulos e fortemente magros, estudaremos a aditividade do ideal formado pelos subconjuntos fortemente nulos da reta real, apresentaremos uma análise da relação entre a propriedade fortemente nulo e translações de subconjuntos da reta, mostraremos equivalências da Conjectura de Borel em espaços métricos, com a armação R-BC e com uma armação envolvendo jogos. Com relação a análise de independência de armações de ZFC, mostraremos que a Conjectura Dual de Borel é independente de ZFC e que a negação da Conjectura de Borel é consistente com ZFC. / The present work aims to present the strongly null and strongly meager sets. More specically, we will present some applications and evaluate the independence of ZFC from statements involving such sets. With respect to the applications, we will give some examples of strongly null and strongly meager sets, we will study the additivity of the ideal formed by the strongly null subsets of the real line, we will present an analysis of the relation between the strongly null property and the subsets of the line, of the Borel Conjecture in metric spaces, with the statement R-BC and with a statement involving games. Regarding the analysis of the independence of ZFC statements, we will show that the Borel Dual Conjecture is independent of ZFC and that the negation of the Borel Conjecture is consistent with ZFC.

En 1940, Paul Erdős énonça une conjecture sur la distribution des classes inversibles modulo un entier. La présente thèse étudie la distribution des k-uplets de classes inversibles propose une preuve de la conjecture d'Erdős étendue au cas des k-uplets. / In 1940 Paul Erdos made a conjecture about the distribution of reduced residues. Here, in this thesis we studied the distribution of k-tuples of reduced residues, and proved extension of Erdos's conjecture for them.

Dans cette thèse nous explorons différentes décompositions de graphes. Le titre de la présente thèse est dû au fait que la majorité de ces décompositions sont des décompositions voisin-distinguantes. En d'autres mots, nous pouvons en extraire des colorations propres des sommets. La question principale présentée dans cette thèse a été introduite par Karoński, Łuczak et Thomason: Est il possible de pondérer les arêtes d'un graphes avec les poids 1, 2 et 3, afin que tous les sommets voisins soient distingués par la somme des poids de leurs arêtes incidentes ? Cette question deviendra plus tard la fameuse 1-2-3 Conjecture. Nous présentons différentes variantes de la 1-2-3 Conjecture, ainsi que leurs liens avec les décompositions localement irrégulières. Nous nous intéressons tant à des problèmes d'optimisation qu'à des problèmes algorithmiques. Nous commençons par introduire une variante équitable des arête-pondérations voisin-somme-distinguantes, où chaque poids doit être utilisé le même nombre de fois (à l'unité près). Ensuite nous présentons une variante injective ou chaque poids est utilisé au plus une seule fois. Ce qui est un cas particulier de la variante équitable. De plus les pondérations injectives sont une variante locale des étiquetages anti-magiques. Ensuite nous modifions les conditions de distinction entre voisin en introduisant une variante 2-distinguante. les pondérations voisins-somme-2-distinguantes requierent que deux sommets voisins dans le graphe aient des sommes incidentes qui diffèrent d'au moins 2. Nous étudions le poids maximum minimal dans de telles pondérations pour certaines familles de graphes, ainsi que des problèmes de complexité. Dû aux liens entre les pondérations voisins-sommet-distinguantes et les décompositions localement irrégulières, nous nous sommes aussi intéressé à ces dernières, particulièrement pour les graphes sub-cubiques, ainsi qu'à d'autres variantes des décompositions localement irrégulières. Finalement nous présentons un jeu de pondérations à deux joueurs, ainsi qu'une théorie de décompositions qui unifie les pondérations voisin-somme-distinguantes et les décompositions localement irrégulières. / In this thesis we explore graph decompositions under different constraints. The title of the is due to the fact that most of these decompositions are neighbour-distinguishing. That is, we can extract from each such decomposition a proper vertex colouring. Moreover, most of the considered decompositions are edge partitions, and therefore can be seen as edge-colourings. The main question presented in this thesis is was introduced by Karoński, Łuczak and Thomason in [KLT04]: Can we weight the edges of a graph G, with weights 1, 2, and 3, such that any two of adjacent vertices of G are distinguished by the sum of their incident weights ? This question later becomes the famous 1-2-3 Conjecture. In this thesis we explore several variants of the 1-2-3 Conjecture, and their links with locally irregular decompositions. We are interested in both optimisation results and algorithmic problems. We first introduce an equitable version of the neighbour-sum- distinguishing edge-weightings, that is a variant where we require every edge weight to be used the same number of times up to a difference of 1. Then we explore an inject- ive variant where each edge is assigned a different weight, which yields necessarily an equitable weighting. This gives us first general upper bounds on the equitable version. Moreover, the injective variant is also a local version of the well-known antimagic la- belling. After that we explore how neighbour-sum-distinguishing weightings behave if we require sums of neighbouring vertices to differ by at least 2. Namely, we present results on the smallest maximal weight needed to construct such weightings for some classes of graphs, and study some algorithmic aspects of this problem. Due to the links between neighbour-sum-distinguishing edge weightings and locally irregular decompositions, we also explore the locally irregular index of subcubic graphs, along with other variants of the locally irregular decomposition problem. Finally, we present a more general work to- ward a general theory unifying nsd edge-weightings and locally irregular decompositions. We also present a 2-player game version of neighbour-sum-distinguishing edge-weightings and exhibit sufficient conditions for each player to win the game.

La présente thèse a été fortement influencée par deux conjectures, l'une de Gelfond et l'autre de Sarnak.En 1968, Gelfond a prouvé que la somme des chiffres modulo m est asymtotiquement équirépartie dans des progressions arithmétiques, et il a formulé trois problèmes nouveaux.Le deuxième et le troisième problèmes traitent des sommes des chiffres pour les nombres premiers et les suites polynomiales.En ce qui concerne les nombres premiers et les carrés, Mauduit et Rivat ont résolu ces problèmes en 2010 et 2009, respectivement.Drmota, Mauduit et Rivat ont réussi généraliser le résultat concernant la suite des sommes des chiffres des carrés.Ils ont démontré que chaque bloc apparaît asymptotiquement avec la même fréquence.Selon la conjecture de Sarnak, il n'y a pas de corrélation entre la fonction de Möbius et des fonctions simples.La présente thèse traite de la répartition de suites automatiques le long de sous-suites particulières ainsi que d'autres propriétés de suites automatiques.Selon l'un des résultats principaux du présent travail, toutes les suites automatiques vérifient la conjecture de Sarnak.Moyennant une approche légèrement modifiée, nous traitons également la répartition de suites automatiques le long de la suite des nombres premiers.Dans le cadre du traitement de suites automatiques générales, nous avons mis au point une nouvelle structure destinée aux automates finisdéterministes ouvrant une vision nouvelle pour les automates et/ou les suites automatiques.Nous étendons les résultat de Drmota, Mauduit et Rivat concernant les suites digitales.Cette approche peut également être considérée comme une généralisation du troisième problème de Gelfond. / The present dissertation was inspired by two conjectures, one by Gelfond and one of Sarnak.In 1968 Gelfond proved that the sum of digits modulo m is asymptotically equally distributed along arithmetic progressions.Furthermore, he stated three problems which are nowadays called Gelfond problems.The second and third questions are concerned with the sum of digits of prime numbers and polynomial subsequences.Mauduit and Rivat were able to solve these problems for primes and squares in 2010 and 2009 respectively.Drmota, Mauduit and Rivat generalized the result concerning the sequence of the sum of digits of squares.They showed that each block appears asymptotically equally frequently.Sarnak conjectured in 2010 that the Mobius function does not correlate with deterministic functions.This dissertation deals with the distribution of automatic sequences along special subsequences and other properties of automatic sequences.A main result of this thesis is that all automatic sequences satisfy the Sarnak conjecture.Through a slightly modified approach, we also deal with the distribution of automatic sequences along the subsequence of primes.In the course of the treatment of general automatic sequences, a new structure for deterministic finite automata is developed,which allows a new view for automata or automatic sequences.We extend the result of Drmota, Mauduit and Rivat to digital sequences.This is also a generalization of the third Gelfond problem.

Neste texto é feita uma discussão sobre alguns resultados que fornecem condições suficientes para que um difeomorfismo local, do espaço euclideano n-dimensional nele próprio, seja injetivo. Dentro deste cenário, são exploradas as contribuições destes resultados na tentativa de solucionar conhecidas conjecturas no meio científico como a Conjectura Jacobiana e a Conjectura de Ponto Fixo. Do ponto de vista dinâmico, existem relações entre injetividade global e estabilidade assintótica global. Neste sentido, os resultados também são contextualizados com respeito a importantes conjecturas de estabilidade assintótica: Conjectura de Markus-Yamabe e o Problema de LaSalle / We present some results which give suficient conditions for a local diffeomorphism from the n-dimensional Euclidean space into itself be globally injective. Within this context, we consider some partial results addressed to solve the well known Fixed Point Conjecture and Jacobian Conjecture. From the dynamical point of view, there are connections between global injectivity and global asymptotic stability. In this way, we present a solution of the Markus-Yamabe Conjecture and of the LaSalle Problem

Cette thèse est composée de deux parties. Nous étudions dans la première la conjecture de Wilf pour les semi-groupes numériques et la résolvons dans certains cas. Dans la seconde nous considérons une classe de semi-groupes presque arithmétiques et donnons pour ces semi-groupes des formules explicites pour la base d’Apéry, le nombre de Frobenius, et les nombres de pseudo-Frobenius. Nouscaractérisons aussi ceux qui sont symétriques (resp. pseudo-symétriques). / The thesis is made up of two parts. We study in the first part Wilf’s conjecture for numerical semigroups. We give an equivalent form of Wilf’s conjecture in terms of the Apéry set, embedding dimension and multiplicity of a numerical semigroup. We also give an affirmative answer for the conjecture in certain cases. In the second part, we consider a class of almost arithmetic numerical semigroups and give for this class of semigroups explicit formulas for the Apéry set, the Frobenius number, the genus and the pseudo-Frobenius numbers. We also characterize the symmetric (resp. pseudo-symmetric) numerical semigroups for this class of numerical semigroups.

Pour X une courbe sur un corps global k, lisse, projective et géométriquement connexe, nous déterminons la Q-structure du groupe de Quillen K1(X) : nous démontrons que dimQ K1(X) ? Q =2r, où r désigne le nombre de places archimédiennes de k (y compris le cas r = 0 pour un corps de fonctions). Cela con?rme une conjecture de Bloch annoncée dans les années 1980. Dans le langage de la K-théorie de Milnor, que nous dé?nissons pour les variétés algébriques via les groupes de Somekawa, le premier K-groupe spécial de Milnor SKM1 (X) est de torsion. Pour la preuve, nous développons une théorie des hauteurs applicable aux K-groupes de Milnor, et nous généralisons l’approche de base de facteurs de Bass-Tate. Une structure plus ?ne de SKM 1 (X) émerge en localisant le corps de base k, et une description explicite de la décomposition correspondante est donnée. En particulier, nous identi?ons un sous-groupe WKl(X):= ker (SKM 1 (X) ? Zl ? Lv SKM 1 (Xv) ? Zl) pour chaque entier rationnel l, nommé noyau sauvage, dont nous croyons qu’il est ?ni. / For a smooth projective geometrically connected curve X over a global ?eld k, we determine the Q-structure of its ?rst Quillen K-group K1(X) by showing that dimQ K1(X) ? Q =2r, where r denotes the number of archimedean places of k (including the case r = 0 for k a function ?eld). This con?rms a conjecture of Bloch. In the language of Milnor K-theory, which we de?ne for varieties via Somekawa groups, the ?rst special Milnor K-group SKM 1 (X) is torsion. For the proof, we develop a theory of heights applicable to Milnor K-groups, and generalize the factor basis approach of Bass-Tate. A ?ner structure of SKM 1 (X) emerges when localizing the ground ?eld k, and we give an explicit description of the resulting decomposition. In particular, we identify a potentially ?nite subgroup WKl(X):= ker (SKM 1 (X) ? Zl ? Lv SKM 1 (Xv) ? Zl) for each rational prime l, named wild kernel.