Numerical schemes for the partial differential equations used to characterize stiffly forced conservation laws are constructed and analyzed. Partial differential equations of this form are found in many physical applications including modeling gas dynamics, fluid flow, and combustion. Many difficulties arise when trying to approximate solutions to stiffly forced conservation laws numerically. Some of these numerical difficulties are investigated. A new class of numerical schemes is developed to overcome some of these problems. The numerical schemes are constructed using an infinite sequence of conservation laws. Restrictions are given on the schemes that guarantee they maintain a uniform bound and satisfy an entropy condition. For schemes meeting these criteria, a proof is given of convergence to the correct physical solution of the conservation law. Numerical examples are presented to illustrate the theoretical results.

In this paper, by a new constructive method, the authors reprove the global exact boundary controllability of a class of quasilinear hyperbolic systems of conservation laws with linearly degenerate fields. It is shown that the system with nonlinear boundary conditions is globally exactly boundary controllable in the class of piecewise C¹ functions. In particular, the authors give the optimal control time of the system. Finally, a new application is also given.

This dissertation covers two di erent but related topics: the construction of new black hole solutions and the study of the microscopic origin of black hole entropy. In the solution part, two di erent sets of new solutions are found. The rst concerns a Plebanski-Demianski type solution in the ve-dimensional pure Einstein gravity, and the second concerns a three-charge (two of which equal) two-rotation solution to the ve-dimensional maximal supergravity. Obtaining new and interesting black hole solutions is an important and challenging task in studying general relativity and its extensions. During the past decade, the solutions become even more important because they might nd applications in the study of the gauge/gravity duality, which is currently in the central stage of the quantum gravity research. The Kerr/CFT correspondence is a recently propose example of the gauge/gravity duality. In the entropy part, we explicitly show that the Kerr/CFT correspondence can be applied to all known extremal stationary and axisymmetric black holes. We improve over previous works in showing that this can be done in a general fashion, rather than testing di erent solutions case by case. This e ort makes it obvious that the common structure of the near horizon metric for all known extremal stationary and axisymmetric black holes is playing a key role in the success of the Kerr/CFT correspondence. The discussion is made possible by the identi cation of two general ans atze that cover all such known solutions.

Thesis (Ph. D.)--University of Washington, 2002. / Vita. Includes bibliographical references (p. 178-185).

Orientador: Prof. Dr. Igor Leite Freire / Tese (doutorado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2016. / Neste trabalho estudamos diversos aspectos de algumas classes de equações ou sistemas de equações. Simetrias de Lie, de Noether, leis de conservação derivadas do Teorema de Noether e soluções invariantes são obtidas para uma classe de equações diferenciais ordinárias. Também consideramos equações e sistemas do tipo Camassa-Holm, alguns dos quais foram obtidos como soluções de um problema inverso. Para todos são encontradas as simetrias de Lie e, para alguns, obtemos leis de conservação utilizando o Teorema de Ibragimov. Além disso, para casos particulares das equações deduzidas via problema inverso, investigamos a existência de soluções peakon e multipeakon. Finalmente, consideramos uma família de equações evolutivas, a qual admite soluções peakon e membros integráveis. / In this work we study several aspects of some families of differential equations and systems. Lie point symmetries, Noether symmetries, conservation laws obtained from Noether Theorem and invariant solutions are derived for a class of ordinary differential equations. We also consider Camassa-Holm type equations and systems, some of which deduced from an inverse problem. For all of them we obtain Lie point symmetry classifications and, for some, conservation laws using Ibragimov¿s Theorem. Furthermore, for particular cases of the equations obtained as an inverse problem, we investigate the existence of peakon and multipeakon solutions. Finally, we consider a family of evolution equations, which admits peakon solutions and integrable members.

Made available in DSpace on 2014-10-09T12:23:44Z (GMT). No. of bitstreams: 0 / Made available in DSpace on 2014-10-09T14:03:48Z (GMT). No. of bitstreams: 1 00947.pdf: 5792768 bytes, checksum: 3655a803616339af18a1a368dc3f4567 (MD5) / Thesis / IEA/T / University of Sussex, England

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Made available in DSpace on 2014-10-09T12:23:44Z (GMT). No. of bitstreams: 0 / Made available in DSpace on 2014-10-09T14:03:48Z (GMT). No. of bitstreams: 1 00947.pdf: 5792768 bytes, checksum: 3655a803616339af18a1a368dc3f4567 (MD5) / Thesis / IEA/T / University of Sussex, England

Orientador: Maria Cristina de Castro Cunha / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-09T14:47:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dorini_FabioAntonio_D.pdf: 1226170 bytes, checksum: e29fb88b09843fe42235d804cbd8b789 (MD5) Previous issue date: 2007 / Resumo: Modelos matemáticos para processos do mundo real freqüentemente têm a forma de sistemas de equações diferenciais parciais. Estes modelos usualmente envolvem parâmetros como, por exemplo, os coeficientes no operador diferencial, e as condições iniciais e de fronteira. Tipicamente, assume-se que os parâmetros são conhecidos, ou seja, os modelos são considerados determinísticos. Entretanto, em situações mais reais esta hipótese freqüentemente não se verifica dado que a maioria dos parâmetros do modelo possui uma característica aleatória ou estocástica. Modelos avançados costumam levar em consideração esta natureza estocástica dos parâmetros. Em vista disso, certos componentes do sistema são modelados como variáveis aleatórias ou funções aleatórias. Equações diferenciais com parâmetros aleatórios são chamadas equações diferenciais aleatórias (ou estocásticas). Novas metodologias matemáticas têm sido desenvolvidas para lidar com equações diferenciais aleatórias, entretanto, este problema continua sendo objeto de estudo de muitos pesquisadores. Assim sendo, é importante a busca por novas formas (numéricas ou analíticas) de tratar equações diferenciais aleatórias. Durante a realização do curso de doutorado, vislumbrando a possibilidade de aplicações futuras em problemas de fluxo de fluidos em meios porosos (dispersão de poluentes e fluxos bifásicos, por exemplo), desenvolvemos trabalhos relacionados à equação do transporte linear unidimensional aleatória e ao problema de Burgers-Riemann unidimensional aleatório. Nesta tese, apresentamos uma nova metodologia, baseada nas idéias de Godunov, para tratar a equação do transporte linear unidimensional aleatória e desenvolvemos um eficiente método numérico para os momentos estatísticos da equação de Burgers-Riemann unidimensional aleatória. Para finalizar, apresentamos também novos resultados para o caso multidimensional: mostramos que algumas metodologias propostas para aproximar a média estatística da solução da equação do transporte linear multidimensional aleatória podem ser válidas para todos os momentos estatísticos da solução / Abstract: Mathematical models for real-world processes often take the form of systems of artial differential equations. Such models usually involve certain parameters, for example, the coefficients in the differential operator, and the initial and boundary conditions. Usually, all the model parameters are assumed to be known exactly. However, in realistic situations many of the parameters may have a random or stochastic character. More advanced models must take this stochastic nature into account. In this case, the components of the system are then modeled as random variables or random fields. Differential equations with random parameters are called random (or stochastic) differential equations. New mathematical methods have been developed to deal with this kind of problem, however, solving this problem is still the goal of several researchers. Thus, it is important to look for new approaches (numerical or analytical) to deal with random differential equations. Throughout the realization of the doctorate and looking toward future applications in porous media flow (pollution dispersal and two phase flows, for instance) we developed works related to the one-dimensional random linear transport equation and to the onedimensional random Burgers-Riemann problem. In this thesis, based on Godunov¿s ideas, we present a new methodology to deal with the one-dimensional random linear transport equation, and develop an efficient numerical scheme for the statistical moments of the solution of the one-dimensional random Burgers-Riemann problem. Finally, we also present new results for the multidimensional case: we have shown that some approaches to approximate the mean of the solution of the multidimensional random linear transport equation may be valid for all statistical moments of the solution / Doutorado / Analise Numerica / Doutor em Matemática Aplicada

O objetivo deste projeto é o estudo de técnicas numéricas robustas para aproximação da solução de leis de conservação hiperbólicas escalares unidimensionais e bidimensionais e de sistemas de leis de conservação hiperbólicas. Para alcançar tal objetivo, estudamos esquemas conservativos com propriedades especiais, tais como, esquemas upwind, TVD, Godunov, limitante de fluxo e limitante de inclinação. A solução de um sistema de leis de conservação pode exibir descontinuidades do tipo choque, rarefação ou de contato. Assim, o desenvolvimento de técnicas numéricas capazes de reproduzir e tratar esses comportamentos é desejável. Além de representar corretamente a descontinuidade os esquemas numéricos têm ainda uma tarefa mais árdua; aquela de escolher a solução singular correta, a chamada solução entrópica. Os métodos de Godunov, limitantes de fluxo e limitantes de inclinação são técnicas numéricas que possuem as características apropriadas para aproximar a solução entrópica de uma lei de conservação. / The aim of this work is the study of robust numerical techniques for approximating the solution of scalar and systems of hyperbolic conservation laws. To achieve this, we studied conservative schemes with special properties, such as, schemes upwind, TVD, Godunov, flux limiters and slope limiters. The solution of a system of conservation laws can present discontinuities, like shocks, rarefaction or contact. Therefore, the development of numerical techniques capable of reproducing such featurs are highly desirable. Furthermore, besides resolving singularities, it is required that the numerical method chooses the correct weak solution, that is, the entropic solution. Godunov, flux limiters and slope limiters are techniques that show the appropriate behaviour when applied to conservation laws.