Dans cette thèse nous nous intéressons à l'analyse d'erreur a priori et a posteriori de méthodes d'éléments finis mixtes et non-conformes. Nous considérons en particulier les équations de Darcy à perméabilité fortement variable et les équations de convection-diffusion-réaction en régime de convection dominante. Nous discrétisons les équations de Darcy par une méthode d'éléments finis mixtes non-conformes de type Petrov-Galerkin appelée schéma boîte. Les techniques d'estimations d'erreur a posteriori par résidu et hiérarchique conduisent à des estimateurs d'erreur a posteriori fiables et optimaux indépendamment des fluctuations de la perméabilité. Les résultats théoriques sont validés numériquement sur différents cas tests présentant de forts contrastes de perméabilité. Enfin, nous montrons comment les indicateurs d'erreur obtenus permettent de générer des maillages adaptatifs. Nous discrétisons les équations de convection-diffusion-réaction par des éléments finis nonconformes. Deux méthodes de stabilisation sont étudiées: la stabilisation par viscosité de sous-maille, conduisant à un schéma boîte et la méthode de pénalisation sur les faces. Nous montrons que les deux schémas ainsi obtenus ont les mêmes propriétés de convergence que les approximations par éléments finis conformes. Grâce aux techniques d'estimations d'erreur par résidu nous obtenons des estimateurs d'erreur a posteriori fiables et optimaux. Certains des indicateurs d'erreur sont robustes au sens de Verfürth, c'est à dire que le rapport des constantes intervenant dans les inégalités de fiabilité et d'optimalité explose en au plus l'inverse du nombre de Péclet. Les résultats théoriques sont validés numériquement et les indicateurs d'erreur a posteriori obtenus permettent de générer des maillages adaptatifs sur des problèmes présentant des couches intérieures.

Cette thèse est dédiée au développement et à l'analyse de schémas numériques de type volumes finis pour des équations de convection-diffusion, qui apparaissent notamment dans des modèles issus de la physique ou de la biologie. Nous nous intéressons plus particulièrement à la préservation de comportements asymptotiques au niveau discret. Ce travail s'articule en trois parties, composées chacune de deux chapitres. Dans la première partie, nous considérons la discrétisation du système de dérive-diffusion linéaire pour les semi-conducteurs par le schéma de Scharfetter-Gummel implicite en temps. Nous nous intéressons à la préservation par ce schéma de deux types d'asymptotiques : l'asymptotique en temps long et la limite quasi-neutre. Nous démontrons des estimations d'énergie--dissipation d'énergie discrètes qui permettent de prouver d'une part la convergence en temps long de la solution approchée vers une approximation de l'équilibre thermique, d'autre part la stabilité à la limite quasi-neutre du schéma. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à des schémas volumes finis préservant l'asymptotique en temps long dans un cadre plus général. Plus précisément, nous considérons des équations de type convection-diffusion non linéaires qui apparaissent dans plusieurs contextes physiques : équations des milieux poreux, système de dérive-diffusion pour les semi-conducteurs... Nous proposons deux discrétisations en espace permettant de préserver le comportement en temps long des solutions approchées. Dans un premier temps, nous étendons la définition du flux de Scharfetter-Gummel pour une diffusion non linéaire. Ce schéma fournit des résultats numériques satisfaisants si la diffusion ne dégénère pas. Dans un second temps, nous proposons une discrétisation dans laquelle nous prenons en compte ensemble les termes de convection et de diffusion, en réécrivant le flux sous la forme d'un flux d'advection. Le flux numérique est défini de telle sorte que les états d'équilibre soient préservés, et nous utilisons une méthode de limiteurs de pente pour obtenir un schéma précis à l'ordre deux en espace, même dans le cas dégénéré. Enfin, la troisième et dernière partie est consacrée à l'étude d'un schéma numérique pour un modèle de chimiotactisme avec diffusion croisée pour lequel les solutions n'explosent pas en temps fini, quelles que soient les données initiales. L'étude de la convergence du schéma repose sur une estimation d'entropie discrète nécessitant l'utilisation de versions discrètes d'inégalités fonctionnelles telles que les inégalités de Poincaré-Sobolev et de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. La démonstration de ces inégalités fait l'objet d'un chapitre indépendant dans lequel nous proposons leur étude dans un contexte assez général, incluant notamment le cas de conditions aux limites mixtes et une généralisation au cadre des schémas DDFV.

La modélisation numérique des décharges plasma joue un rôle important dans la compréhension des mécanismes physiques ou chimiques ayant lieu dans les dispositifs assistés par plasma. Une grande partie de ces mécanismes est déjà prise en compte dans les codes actuels. En revanche, beaucoup d'entre eux ne permettent pas de travailler avec des géométries complexes. Cette limitation provient essentiellement de l'utilisation de maillages structurés, cartésiens. Ceux-ci ne sont pas bien adaptés aux géométries courbes. Les calculs en maillages structurés deviennent rapidement compliqués et spécifiques à une géométrie donnée. Notre travail concerne la modélisation de décharge pour un réacteur de traitement à la pression atmosphérique développé par Dow Corning. Sa configuration complexe ainsi que ses grandes dimensions nous ont incités à faire un nouveau code fonctionnant en maillages non structurés. Celui-ci doit être capable de s'adapter à la présence d'une pointe, d'arrondis et de multiples diélectriques mais aussi permettre le passage rapide à de nouvelles géométries. De plus ses grandes dimensions nécessitent l'utilisation de maillages raffinés uniquement aux endroits nécessaires (pointe, surfaces des diélectriques...). Le modèle mathématique utilisé est basé sur l'équation de Poisson couplée aux équations de transport de type dérive-diffusion. Plusieurs discrétisations numériques ont été testées dans des configurations physiques différentes. Nous présentons et validons les méthodes numériques choisies. Les résultats obtenus pour le réacteur Dow Corning sont alors exposés et commentés.

Cette thèse est dédiée au développement et à l'analyse de schémas numériques de type volumes finis pour des équations de convection-diffusion, qui apparaissent notamment dans des modèles issus de la physique ou de la biologie. Nous nous intéressons plus particulièrement à la préservation de comportements asymptotiques au niveau discret. Ce travail s'articule en trois parties, composées chacune de deux chapitres. Dans la première partie, nous considérons la discrétisation du système de dérive diffusion linéaire pour les semi-conducteurs par le schéma de Scharfetter-Gummel implicite en temps. Nous nous intéressons à la préservation par ce schéma de deux types d'asymptotiques : l'asymptotique en temps long et la limite quasi-neutre. Nous démontrons des estimations d'énergie-dissipation d'énergie discrètes qui permettent de prouver d'une part la convergence en temps long de la solution approchée vers une approximation de l'équilibre thermique, d'autre part la stabilité à la limite quasi-neutre du schéma. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à des schémas volumes finis préservant l'asymptotique en temps long dans un cadre plus général. Plus précisément, nous considérons des équations de type convection-diffusion non linéaires qui apparaissent dans plusieurs contextes physiques : équations des milieux poreux, système de dérive-diffusion pour les semi-conducteurs... Nous proposons deux discrétisations en espace permettant de préserver le comportement en temps long des solutions approchées. Dans un premier temps, nous étendons la définition du flux de Scharfetter-Gummel pour une diffusion non linéaire. Ce schéma fournit des résultats numériques satisfaisants si la diffusion ne dégénère pas. Dans un second temps, nous proposons une discrétisation dans laquelle nous prenons en compte ensemble les termes de convection et de diffusion, en réécrivant le flux sous la forme d'un flux d'advection. Le flux numérique est défini de telle sorte que les états d'équilibre soient préservés, et nous utilisons une méthode de limiteurs de pente pour obtenir un schéma précis à l'ordre deux en espace, même dans le cas dégénéré. Enfin, la troisième et dernière partie est consacrée à l'étude d'un schéma numérique pour un modèle de chimiotactisme avec diffusion croisée pour lequel les solutions n'explosent pas en temps fini, quelles que soient les données initiales. L'étude de la convergence du schéma repose sur une estimation d'entropie discrète nécessitant l'utilisation de versions discrètes d'inégalités fonctionnelles telles que les inégalités de Poincaré-Sobolev et de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. La démonstration de ces inégalités fait l'objet d'un chapitre indépendant dans lequel nous proposons leur étude dans un contexte assez général, incluant notamment le cas de conditions aux limites mixtes et une généralisation au cadre des schémas DDFV.

Thesis submitted in fulfilment of the requirements for the degree Doctor technologiae (engineering: chemical) In the faculty of engineering at the cape peninsula university of technology / Since the first uses of hollow-fiber membrane bioreactors (MBR’s) to immobilize whole cells were reported in the early 1970’s, this technology has been used in as wide ranging applications as enzyme production to bone tissue engineering. The potential of these devices in industrial applications is often diminished by the large diffusional resistances of the membranes. Currently, there are no analytical studies on the performance of the MBR which account for both convective and diffusive transport. The purpose of this study was to quantify the efficiency of a biocatalytic membrane reactor used for the production of enzymes. This was done by developing exact solutions of the concentration and velocity profiles in the different regions of the membrane bioreactor (MBR). The emphasis of this study was on the influence of radial convective flows, which have generally been neglected in previous analytical studies. The efficiency of the MBR was measured by means of the effectiveness factor. An analytical model for substrate concentration profiles in the lumen of the MBR was developed. The model was based on the solution of the Navier-Stokes equations and Darcy’s law for velocity profiles, and the convective-diffusion equation for the solute concentration profiles. The model allowed for the evaluation of the influence of both hydrodynamic and mass transfer operating parameters on the performance of the MBR. These parameters include the fraction retentate, the transmembrane pressure, the membrane hydraulic permeability, the Reynolds number, the axial and radial Peclet numbers, and the dimensions of the MBR. The significant findings on the hydrodynamic studies were on the influence of the fraction retentate. In the dead-end mode it was found that there was increased radial convective flow, and hence more solute contact with the enzymes/biofilm immobilised on the surface of the membrane. The improved solute-biofilm contact however was only limited to the entrance half of the MBR. In the closed shell mode there was uniform distribution of solute, however, radial convective flows were significantly reduced. The developed model therefore allowed for the evaluation of an optimum fraction retentate value, where both the distribution of solutes and radial convective flows could be maximised.

The bacterium Escherichia coli is internationally recognized for being the only exact environmental indicator for fecal contamination. In the decades of 2000 and 2010, research found this bacterium does not live only in intestines habitat, losing its exactitude as a fecal indicator. Some important questions were not answered, for instance, soil types and under what physic, chemical and geological conditions, E. coli grows in the environment; how its concentrations in river bank interferes in the water column concentration; why the concentration is so high in soil and sediments in relation to water column; what is its validity as a fecal indicator. This research aimed to answer these questions, more specifically, (1) to verify the occurrence and growth of this bacterium in river bank soil in tropical rivers in Brazil; (2) to evaluate if it is a natural soil specie; (3) to establish some of its ecological relations; (4) to identify techniques to potentialize its use as a fecal indicator. Mathematical models were utilized for E. coli dispersion simulation in river considering the sediments ressuspension and the bank erosion. The E. coli concentration was measured with membrane filtration method using the culture medium Endo at 37° C. The results show a natural E. coli occurrence in soil with concentrations such as 104 CFU/g dry soil, identified as an E. coli source. This work also concluded that the population persistence and growth depend on the clay properties to maintain the temperature and humidity and to adsorb the bacterium, decreasing its lateral flux in the water column. The E. coli adhesion is an evolution adaptation to fix it into its habitat. River bank E. coli goes to water column through erosion and ressuspension, being associated to suspended sediment concentration. The relation between soil and water concentration was 26.762 times more in soil at low velocities of the river, and 266 times in high velocities, showing a direct relation with bank erosion rate and sediment ressuspension. / A bactéria Escherichia coli é reconhecida internacionalmente como o único indicador ambiental exato para contaminação fecal. Nas décadas de 2000 e 2010, pesquisas constataram que essa bactéria não tem habitat exclusivamente intestinos, perdendo sua exatidão. Algumas questões importantes não foram respondidas, como quais tipos de solo e sob quais condições físicas, químicas e geológicas E. coli cresce no meio ambiente; como sua concentração nas margens de rios interfere na sua concentração na coluna d água; porque a concentração é alta no solo das margens e sedimento dos rios em relação a coluna d água; qual sua validade como indicador de contaminação fecal. Essa pesquisa objetivou responder essas questões, mais especificamente, (1) verificar a ocorrência e crescimento desta bactéria no solo das margens em rios tropicais no Brasil; (2) avaliar se faz parte da microbiota natural do solo; (3) estabelecer algumas de suas relações ecológicas; (4) identificar técnicas de potencializar seu uso como indicador de contaminação fecal. Foram utilizados modelos matemáticos para simulação da dispersão de E. coli na água considerando a ressuspensão de sedimentos e erosão das margens. A concentração de E. coli foi medida através do método de filtração em membrana e cultivo em meio de cultura Endo a 37° C. Os resultados mostram ocorrência natural de E. coli no solo com concentrações de 104 UFC/ g de solo seco, que foi identificada como a fonte de entrada de E. coli na coluna d água. Concluiu-se também a sobrevivência e crescimento da população dependente das propriedades da argila de manter a temperatura e umidade relativamente constantes, e de fixar a bactéria no solo diminuindo seu arraste para a coluna d água. A adesão de E. coli ambiental ao solo é uma adaptação evolutiva de fixação no habitat, tem forte adsorção à partícula de sedimento. E. coli das margens somente entra na coluna d água através da erosão e ressuspensão, estando associada à concentração de sedimento suspenso. A relação da concentração no solo e na água foi de 26.762 vezes maior no solo em baixas velocidades do rio, e 266 maior no solo em altas velocidades, apresentando relação direta com a taxa de erosão das margens e de ressuspensão de sedimentos.

We investigate a nonlinear reaction-diffusion system coupled with convection- diffusion system. This combined system corresponds to physical description of heteroge- neous catalysis when the flow of bulk-constituents is driven by a given stationary velocity field; diverse mechanisms between bulk- and surface-parts of the model-domain are de- scribed by Langmuir-Hinshelwood absorption kinetics; and the irreversible reactions on the catalytic walls meets the law of mass action with quadratic rate. The first part of the thesis is focused on analytical results; in Chapter 2 we prove existence and unique- ness of a mild solution for so-called near-by problem using nonlinear semigroup theory; in Chapter 3 we investigate the weak formulation of the problem. We prove an existence of a weak solution for little modified problem which, under an assumption, coincides with the original problem. In the second part of the thesis (Chapter 4) we numerically investigate the evolution of the bio-diesel microreactor. We compute numerical solutions using several methods and we test the results by analytical and physical conditions; with the aim to find the most efficient way to compute precise and physically correct solution. Keywords: heterogeneous catalysis, coupled reaction-diffusion/convection-diffusion system, nonlinear...

Dans ce mémoire on s'intéresse à la modélisation du changement de phase solide-liquide en convection naturelle et en convection forcée en utilisant l'équation de diffusion de la chaleur et une forme modifiée de la conductivité. Comme on ne cherche pas à résoudre le champ des vitesses, on intègre à l'intérieur de la conductivité modifiée les effets thermiques des mouvements convectifs, puis on résout l'équation de conduction en utilisant ces conductivités modifiées. L'objectif du mémoire est de prédire la position de l'interface solide-liquide en fonction du temps dans un processus de fusion ou de solidification en présence de convection, et ce avec un modèle conductif. Dans les deux cas types que nous avons traités, la valeur de la conductivité modifiée à utiliser dans le modèle conductif simplifié est d'abord estimée par une étude d'ordre de grandeur. Le premier cas type étudié est celui du changement de phase en présence de convection forcée se déroulant dans une conduite à paroi froide. On a réussi à développer une relation permettant d'obtenir la valeur de la conductivité modifiée directionnelle à utiliser dans le modèle conductif en fonction du nombre de Reynolds de l'écoulement ainsi que du facteur de forme de la conduite. Cette relation a montré de bons résultats en comparaison avec ceux issus d'un modèle numérique complet plus classique (CFD). Le deuxième cas type étudié est celui de la fusion d'un matériau sous l'effet de la convection naturelle à l'intérieur d'une enceinte. Nous avons réussi à paramétrer l'évolution des valeurs de conductivité modifiée à utiliser par notre modèle conductif, celles-ci sont fonction de l'avancement du front de fusion et du nombre de Nusselt. Cette modélisation est comparée à la fois avec les résultats fournis par un modèle numérique complet (CFD) mais aussi avec des résultats expérimentaux issus de la littérature. Ces comparaisons ont montré une bonne concordance entre notre modélisation et la réalité. / In this work we have developed an enhanced conduction model for predicting solid-liquid interface positions in convection-dominated phase-change processus. The flow field is not calculated and the effects of convection are taken into account via the modification of the material conductivity. Our objective is to obtain a good approximation of the solid-liquid interface evolution. It is shown that the enhanced thermal conductivity of the melt may be formulated in terms of directional thermal conductivity components and that their value may be correlated in terms of dimensional numbers obtained from an order of magnitude analysis. The proposed approach is then tested for two different cases. The first test case is devoted to forced convection dominated solidification in a duct while the second test case is concerned with buoyancy dominated melting in an enclosure. The results of the simulations using our conduction model are then compared with a full CFD model and in the case of melting in an enclosure experimental data, they show good agreements.

Cette thèse porte sur la modélisation, pour le contrôle, des profils de compositions dans les colonnes de distillation cryogénique. Nous obtenons un modèle non-linéaire de convection-diffusion par réduction d'un modèle d'équations-bilans singulièrement perturbé. Du point de vue de l'automatique, nous nous intéressons à la stabilité des profils de compositions résultants, ainsi qu'à leur observabilité. Du point de vue du procédé, la nouvauté de notre modèle réside dans la prise en compte d'une efficacité de garnissage dépendant des conditions d'opération de la colonne. Le modèle est validé par des comparaisons avec des données de fonctionnement dynamique issues d'une unité de séparation réelle, pour la séparation d'un mélange binaire. Sur le cas plus complexe d'une cascade de colonnes séparant un mélange ternaire, le modèle montre une grande sensibilité aux erreurs d'estimation des taux de reflux. Des résultats adaptés du champ de la chromatographie nous permettent de relier cette sensibilité à des erreurs d'estimation des vitesses d'ondes de compositions cohérentes. En parallèle, nous proposons et testons également un modèle de fonctions de transfert simple (fondé sur des gains statiques et des retards purs uniquement) pour les petites dynamiques de compositions, qui dépend explicitement de valeurs mesurables ou observables sur le procédé / This thesis addresses the problem of modeling the composition profiles dynamics inside cryogenic distillation columns, for control applications. We obtain a non-linear convection-diffusion model from the reduction of a singularly perturbed mass-balances model. In the control theory framework, we consider the stability of the resulting composition profiles and their observability. From the process viewpoint, we express the novelty of our model in terms of operating-conditions dependent packing efficiency. The model is validated against real dynamic plant data for a binary separation case. On a more complex, ternary separation columns cascade, the model shows highly sensitive to reflux rate estimation errors. Result adapted from the field of chromatography allows us to interpret this sensitivity in terms of erroneous coherent composition waves speeds. In parallel, we also propose and test a simple transfer functions model (based on static gains and pure delays only) for small composition dynamics, which explicitly depends on measurable or observable process data.

Problems governed by partial differential equations (PDEs) in deformable domains, t Rd; d = 2; 3; are of fundamental importance in science and engineering. They are of particular relevance in the design of many engineering systems e.g., aircrafts and bridges as well as to the analysis of several biological phenomena e.g., blood ow in arteries. However, developing numerical scheme for such problems is still very challenging even when the deformation of the boundary of domain is prescribed a priori. Possibility of excessive mesh distortion is one of the major challenge when solving such problems with numerical methods using boundary tted meshes. The arbitrary Lagrangian- Eulerian (ALE) approach is a way to overcome this difficulty. Numerical simulations of convection-dominated problems have for long been the subject to many researchers. Galerkin formulations, which yield the best approximations for differential equations with high diffusivity, tend to induce spurious oscillations in the numerical solution of convection dominated equations. Though such spurious oscillations can be avoided by adaptive meshing, which is computationally very expensive on ne grids. Alternatively, stabilization methods can be used to suppress the spurious oscillations. In this work, the considered equation is designed within the framework of ALE formulation. In the first part, Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) finite element method with conservative ALE formulation is proposed. Further, the first order backward Euler and the second order Crank-Nicolson methods are used for the temporal discretization. It is shown that the stability of the semi-discrete (continuous in time) ALE-SUPG equation is independent of the mesh velocity, whereas the stability of the fully discrete problem is unconditionally stable for implicit Euler method and is only conditionally stable for Crank-Nicolson time discretization. Numerical results are presented to support the stability estimates and to show the influence of the SUPG stabilization parameter in a time-dependent domain. In the second part of this work, SUPG stabilization method with non-conservative ALE formulation is proposed. The implicit Euler, Crank-Nicolson and backward difference methods are used for the temporal discretization. At the discrete level in time, the ALE map influences the stability of the corresponding discrete scheme with different time discretizations, and it leads to schemes where conservative and non-conservative formulations are no longer equivalent. The stability of the fully discrete scheme, irrespective of the temporal discretization, is only conditionally stable. It is observed from numerical results that the Crank-Nicolson scheme induces high oscillations in the numerical solution compare to the implicit Euler and the backward difference time discretiza-tions. Moreover, the backward difference scheme is more sensitive to the stabilization parameter k than the other time discretizations. Further, the difference between the solutions obtained with the conservative and non-conservative ALE forms is significant when the deformation of domain is large, whereas it is negligible in domains with small deformation. Finally, the local projection stabilization (LPS) and the higher order dG time stepping scheme are studied for convection dominated problems. The analysis is based on the quadrature formula for approximating the integrals in time. We considered the exact integration in time, which is impractical to implement and the Radau quadrature in time, which can be used in practice. The stability and error estimates are shown for the mathematical basis of considered numerical scheme with both time integration methods. The numerical analysis reveals that the proposed stabilized scheme with exact integration in time is unconditionally stable, whereas Radau quadrature in time is conditionally stable with time-step restriction depending on the ALE map. The theoretical estimates are illustrated with appropriate numerical examples with distinct features. The second order dG(1) time discretization is unconditionally stable while Crank-Nicolson gives the conditional stable estimates only. The convergence order for dG(1) is two which supports the error estimate.