>Magister Scientiae - MSc / In this thesis, we discuss methods for optimising the expected rate of return of a portfolio with minimal risk. As part of the work we look at the Modern Portfolio Theory which tries to maximise the portfolio's expected rate of return for a cer- tain amount of risk. We also use Quadratic Programming to optimise portfolios. Generally it is recognised that portfolios with a high expected return, carry higher risk. The Modern Portfolio Theory assists when choosing portfolios with the lowest possible risk. There is a nite number of assets in a portfolio and we therefore want to allocate them in such a way that we're able to optimise the expected rate of return with minimal risk. We also use the Markowian approach to allocate these assets. The Capital Asset Pricing Model is also used, which will help us to reduce our e cient portfolio to a single portfolio. Furthermore we use the Black-Litterman model to try and optimise our portfolio with a view to understanding the current market conditions, as well as considering how the market will perform in the future. An additional tool we'll use is Value at Risk. This enables us to manage the market risk. To this end, we follow the three basic approaches from Jorion [Value at Risk. USA: McGraw-Hills, 2001]. The Value at Risk tool has become essential in calcu- lating a portfolio's risk over the last decade. It works by monitoring algorithms in order to nd the worst possible scenarios within the portfolio. We perform several numerical experiments in MATLAB and Microsoft Excel and these are presented in the thesis with the relevant descriptions.

Le présent manuscrit est composé de deux parties relativement indépendantes.La première partie est consacrée au problème de la stéréovision binoculaire, et plus particulièrement au traitement de l'occultation. En partant d'une analyse de ce phénomène, nous en déduisons un modèle de régularité qui inclut une contrainte convexe de visibilité. La fonctionnelle d'énergie qui en résulte est minimisée par relaxation convexe. Les zones occultées sont alors détectées grâce à la pente horizontale de la carte de disparité avant d'être densifiées.Une autre méthode gérant l'occultation est la méthode des graph cuts proposée par Kolmogorov et Zabih. L'efficacité de cette méthode justifie son adaptation à deux problèmes auxiliaires rencontrés en stéréovision, qui sont la densification de cartes éparses et le raffinement subpixellique de cartes pixelliques.La seconde partie de ce manuscrit traite de manière plus générale de deux algorithmes d'optimisation convexe, pour lequels deux variantes accélérées sont proposées. Le premier est la méthode des directions alternées (ADMM). On montre qu'un léger relâchement de contraintes dans les paramètres de cette méthode permet d'obtenir un taux de convergence théorique plus intéressant.Le second est un algorithme de descentes proximales alternées, qui permet de paralléliser la résolution approchée du problème Rudin-Osher-Fatemi (ROF) de débruitage pur dans le cas des images couleurs. Une accélération de type FISTA est également proposée. / This thesis is splitted into two relatively independant parts. The first part is devoted to the binocular stereovision problem, specifically to the occlusion handling. An analysis of this phenomena leads to a regularity model which includes a convex visibility constraint. The resulting energy functional is minimized by convex relaxation. The occluded areas are then detected thanks to the horizontal slope of the disparity map and densified. Another method with occlusion handling was proposed by Kolmogorov and Zabih. Because of its efficiency, we adapted it to two auxiliary problems encountered in stereovision, namely the densification of sparse disparity maps and the subpixel refinement of pixel-accurate maps.The second part of this thesis studies two convex optimization algorithms, for which an acceleration is proposed. The first one is the Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM). A slight relaxation in the parameter choice is shown to enhance the convergence rate. The second one is an alternating proximal descent algorithm, which allows a parallel approximate resolution of the Rudin-Osher-Fatemi (ROF) pure denoising model, in color-image case. A FISTA-like acceleration is also proposed.

L’entropie d’une distribution sur un ensemble de variables aléatoires discrètes est toujours bornée par l’entropie de la distribution factorisée correspondante. Cette propriété est due à la sous-modularité de l’entropie. Par ailleurs, les fonctions sous-modulaires sont une généralisation des fonctions de rang des matroïdes ; ainsi, les fonctions linéaires sur les polytopes associés peuvent être minimisées exactement par un algorithme glouton. Dans ce manuscrit, nous exploitons ces liens entre les structures des modèles graphiques et les fonctions sous-modulaires. Nous utilisons des algorithmes gloutons pour optimiser des fonctions linéaires sur des polytopes liés aux matroïdes graphiques et hypergraphiques pour apprendre la structure de modèles graphiques, tandis que nous utilisons des algorithmes d’inférence sur les graphes pour optimiser des fonctions sous-modulaires. La première contribution de cette thèse consiste à approcher par maximum de vraisemblance une distribution de probabilité par une distribution factorisable et de complexité algorithmique contrôlée. Comme cette complexité est exponentielle dans la largeur arborescente du graphe, notre but est d’apprendre un graphe décomposable avec une largeur arborescente bornée, ce qui est connu pour être NP-difficile. Nous posons ce problème comme un problème d’optimisation combinatoire et nous proposons une relaxation convexe basée sur les matroïdes graphiques et hypergraphiques. Ceci donne lieu à une solution approchée avec une bonne performance pratique. Pour la seconde contribution principale, nous utilisons le fait que l’entropie d’une distribution est toujours bornée par l’entropie de sa distribution factorisée associée, comme conséquence principale de la sous-modularité, permettant une généralisation à toutes les fonctions sous-modulaires de bornes basées sur les concepts de modèles graphiques. Un algorithme est développé pour maximiser les fonctions sous-modulaires, un autre problème NP-difficile, en maximisant ces bornes en utilisant des algorithmes d’inférence vibrationnels sur les graphes. En troisième contribution, nous proposons et analysons des algorithmes visant à minimiser des fonctions sous-modulaires pouvant s’écrire comme somme de fonctions plus simples. Nos algorithmes n’utilisent que des oracles de ces fonctions simple basés sur minimisation sous-modulaires et de variation totale de telle fonctions. / The entropy of a probability distribution on a set of discrete random variables is always bounded by the entropy of its factorisable counterpart. This is due to the submodularity of entropy on the set of discrete random variables. Submodular functions are also generalisation of matroid rank function; therefore, linear functions may be optimised on the associated polytopes exactly using a greedy algorithm. In this manuscript, we exploit these links between the structures of graphical models and submodular functions: we use greedy algorithms to optimise linear functions on the polytopes related to graphic and hypergraphic matroids for learning the structures of graphical models, while we use inference algorithms on graphs to optimise submodular functions.The first main contribution of the thesis aims at approximating a probabilistic distribution with a factorisable tractable distribution under the maximum likelihood framework. Since the tractability of exact inference is exponential in the treewidth of the decomposable graph, our goal is to learn bounded treewidth decomposable graphs, which is known to be NP-hard. We pose this as a combinatorial optimisation problem and provide convex relaxations based on graphic and hypergraphic matroids. This leads to an approximate solution with good empirical performance. In the second main contribution, we use the fact that the entropy of a probability distribution is always bounded by the entropy of its factorisable counterpart mainly as a consequence of submodularity. This property of entropy is generalised to all submodular functions and bounds based on graphical models are proposed. We refer to them as graph-based bounds. An algorithm is developped to maximise submodular functions, which is NPhard, by maximising the graph-based bound using variational inference algorithms on graphs. As third contribution, we propose and analyse algorithms aiming at minimizing submodular functions that can be written as sum of simple functions. Our algorithms only make use of submodular function minimisation and total variation oracles of simple functions.

L’estimation des matrices origine-destination (OD) est un sujet de recherche important depuis les années 1950. En effet, ces tableaux à deux entrées recensent la demande de transport d'une zone géographique donnée et sont de ce fait un élément clé de l'ingénierie du trafic. Historiquement, les seules données disponibles pour leur estimation par les statistiques étaient les comptages de véhicules par les boucles magnétiques. Ce travail s'inscrit alors dans le contexte de l'installation à Brisbane de plus de 600 détecteurs Bluetooth qui ont la capacité de détecter et d'identifier les appareils électroniques équipés de cette technologie.Dans un premier temps, il explore la possibilité offerte par ces détecteurs pour les applications en ingénierie du transport en caractérisant ces données et leurs bruits. Ce projet aboutit, à l'issue de cette étude, à une méthode de reconstruction des trajectoires des véhicules équipés du Bluetooth à partir de ces seules données. Dans un second temps, en partant de l'hypothèse que l'accès à des échantillons importants de trajectoires va se démocratiser, cette thèse propose d'étendre la notion de matrice OD à celle de matrice OD par lien afin de combiner la description de la demande avec celle de l'utilisation du réseau. Reposant sur les derniers outils méthodologies développés en optimisation convexe, nous proposons une méthode d'estimation de ces matrices à partir des trajectoires inférées par Bluetooth et des comptages routiers.A partir de peu d'hypothèses, il est possible d'inférer ces nouvelles matrices pour l'ensemble des utilisateurs d'un réseau routier (indépendamment de leur équipement en nouvelles technologies). Ce travail se distingue ainsi des méthodes traditionnelles d'estimation qui reposaient sur des étapes successives et indépendantes d'inférence et de modélisation. / Origin Destination matrix estimation is a critical problem of the Transportation field since the fifties. OD matrix is a two-entry table taking census of the zone-to-zone traffic of a geographic area. This traffic description tools is therefore paramount for traffic engineering applications. Traditionally, the OD matrix estimation has solely been based on traffic counts collected by networks of magnetic loops. This thesis takes place in a context with over 600 Bluetooth detectors installed in the City of Brisbane. These detectors permit in-car Bluetooth device detection and thus vehicle identification.This manuscript explores first, the potentialities of Bluetooth detectors for Transport Engineering applications by characterising the data, their noises and biases. This leads to propose a new methodology for Bluetooth equipped vehicle trajectory reconstruction. In a second step, based on the idea that probe trajectories will become more and more available by means of new technologies, this thesis proposes to extend the concept of OD matrix to the one of link dependent origin destination matrix that describes simultaneously both the traffic demand and the usage of the network. The problem of LOD matrix estimation is formulated as a minimisation problem based on probe trajectories and traffic counts and is then solved thanks to the latest advances in nonsmooth convex optimisation.This thesis demonstrates that, with few hypothesis, it is possible to retrieve the LOD matrix for the whole set of users in a road network. It is thus different from traditional OD matrix estimation approaches that relied on successive steps of modelling and of statistical inferences.