Copulas functions are a flexible tool for modelling the dependence structure between variables. The joint and marginal distributions of Copulas are not constrained by the assumptions of normality. This study examines the dependence structure between the gold, platinum prices and the ZAR/U.S.D exchange rate using Copulas. The study found that marginal distributions of Copulas follows the ARMA (1, 1)-EGARCH (1, 1) and ARMA(1, 1)-APARCH (1, 1) models under different error terms including the normal, the student-t and the skew student-t error terms. It used the Normal, the Student-t, the Gumbel, the rotated Gumbel, the Clayton, the rotated Clayton, the Plackett, the Joe Clayton and the Normal time varying Copulas to analyse the dependence structure between returns prices of gold, platinum and ZAR/U.S.D exchange rate. The results showed evidence of a positive strong dependence between the returns prices of gold, platinum and returns on the Rand/U.S.D exchange rate for constant and time varying Copulas. The result also showed a co-movement of exchange rates and gold and platinum prices during a rise or declining prices of gold and platinum. The results imply that fluctuations in gold and platinum prices generate Rand/U.S.D exchange rate volatility. / Statistics / M. Sc. (Statistics)

[pt] Algoritmos de estimação de distribuição (EDAs – Estimation of Distribution Algorithms) são uma classe de algoritmos evolutivos capazes de extrair e utilizar conhecimento ao longo do processo de busca. O passo mais importante e um gargalo, que estabelece diferenciação entre esses algoritmos, é a estimação da distribuição de probabilidade conjunta das soluções mais promissoras determinadas pela função de avaliação. Recentemente, uma nova abordagem baseada em teoria das cópulas foi desenvolvida. Este trabalho apresenta um algoritmo de estimação baseado em cópulas para problemas de otimização numérica. Este modelo implementa um EDA através da expansão multivariada de cópulas (EDA-MEC – Estimation of Distribution Algorithm based on Multivariate Extension of Copulas) para estimar a distribuição de probabilidade da qual é gerada uma população de indivíduos. O EDA-MEC difere de outros EDAs baseados em cópulas em alguns aspectos: o parâmetro de cópula é estimado de forma dinâmica, através de medidas de dependência; utiliza uma variação da distribuição de probabilidade aprendida para gerar indivíduos que ajudam a evitar a convergência prematura; e utiliza uma heurística para reinicializar a população ao longo da evolução elitista como uma técnica adicional para tentar preservar a diversidade de soluções. Após um conjunto de testes de parâmetros, inclusive das distribuições marginais, este trabalho mostra que estas abordagens melhoram o desempenho global da otimização comparativamente a outros EDAs baseados em cópulas, com a perspectiva promissora de ser um algoritmo competitivo frente a outras heurísticas comprovadamente eficientes, tais como a Estratégia Evolutiva com Adaptação da Matriz de Covariância (CMA-ES - Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy). / [en] Estimation of distribution algorithms constitute a class of evolutionary algorithms that can extract and use knowledge acquired throughout the search process. Its most important step that differs most among EDAs, and also a bottleneck, is the estimation of the joint probability distribution associated with the variables from the most promising solutions determined by the evaluation function. Recently, a new approach to EDAs has been developed that is based on copula theory. This work presents a copula-based estimation of distribution algorithm for numeric optimization problems. This model implements an estimation of distribution algorithm using a Multivariate Extension of Copulas (EDA-MEC) to estimate the probability distribution for generating a population of individuals. EDA-MEC differs from other copula-based EDAs in some aspects: the copula parameter is estimated dynamically, using dependency measures; it uses a variation of the learned probability distribution to generate individuals that help to avoid premature convergence; and it uses a heuristic to reinitialize the population throughout an elitist evolution as an additional technique to try to preserve the diversity of solutions. After a set of parametric tests, including marginal distributions, this work shows that these approaches improve the overall performance of the optimization compared to other copula-based EDAs and promises to be a competitive algorithm compared to other efficient heuristics, such as Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy (CMA-ES).

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / As instituições financeiras são obrigadas por acordos internacionais, como o Acordo de Basiléia, a avaliar o risco de mercado ao qual a instituição está propensa de forma a evitar possíveis contaminações de desastres financeiros em seu patrimônio. Com o intuito de capturar tais fenômenos, surge a necessidade de construir modelos que capturem com mais acurácia movimentos extremos das séries de retornos. O trabalho teve como principal objetivo aplicar a Teoria do Valor Extremo juntamente com Copulas na estimação de quantis extremos para o VaR. Ele utiliza técnicas de simulação de Monte Carlo, Teoria do Valor Extremo e Cópulas com distribuições gaussianas e t. Em contrapartida, as estimativas produzidas serão comparadas com as de um segundo modelo, chamado de simulação histórica de Monte Carlo filtrada, mais conhecida como filtered historical simulation (FHS). As técnicas serão aplicadas a um portfólio de ações de empresas brasileiras. / Financial institutions are required by international agreements such as the Basel Accord, to assess the market risk to which the institution is likely to avoid possible contamination of its assets in financial disasters. In order to capture these phenomena, the need arises to build models that more accurately capture extreme movements of the return series. The work aimed to apply the Extreme Value Theory along with the estimation of copulas for VaR extremes quantiles. He uses techniques of Monte Carlo simulation, Extreme Value Theory and Copulas with Gaussian and t distributions. In contrast, the estimates produced will be compared with a second model, called Monte Carlo simulation of historical filtered, better known as filtered historical simulation (FHS). The techniques are applied to a portfolio of stocks of Brazilian companies.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / As instituições financeiras são obrigadas por acordos internacionais, como o Acordo de Basiléia, a avaliar o risco de mercado ao qual a instituição está propensa de forma a evitar possíveis contaminações de desastres financeiros em seu patrimônio. Com o intuito de capturar tais fenômenos, surge a necessidade de construir modelos que capturem com mais acurácia movimentos extremos das séries de retornos. O trabalho teve como principal objetivo aplicar a Teoria do Valor Extremo juntamente com Copulas na estimação de quantis extremos para o VaR. Ele utiliza técnicas de simulação de Monte Carlo, Teoria do Valor Extremo e Cópulas com distribuições gaussianas e t. Em contrapartida, as estimativas produzidas serão comparadas com as de um segundo modelo, chamado de simulação histórica de Monte Carlo filtrada, mais conhecida como filtered historical simulation (FHS). As técnicas serão aplicadas a um portfólio de ações de empresas brasileiras. / Financial institutions are required by international agreements such as the Basel Accord, to assess the market risk to which the institution is likely to avoid possible contamination of its assets in financial disasters. In order to capture these phenomena, the need arises to build models that more accurately capture extreme movements of the return series. The work aimed to apply the Extreme Value Theory along with the estimation of copulas for VaR extremes quantiles. He uses techniques of Monte Carlo simulation, Extreme Value Theory and Copulas with Gaussian and t distributions. In contrast, the estimates produced will be compared with a second model, called Monte Carlo simulation of historical filtered, better known as filtered historical simulation (FHS). The techniques are applied to a portfolio of stocks of Brazilian companies.

[pt] Neste trabalho usamos o arcabouço dos modelos GAS para gerar previsões conjuntas de fator de capacidade eólico, pertencentes a diferentes usinas localizadas em áreas geográficas distintas. Esses cenários são insumos para gerar uma distribuição de fluxo de caixa associada a um portfólio de contratos atrelados aos parques eólicos em questão. Inicialmente modelamos as densidades marginais via um modelo GAS, supondo densidade Beta. De maneira a capturar a estrutura de dependência entre esses fatores de capacidade, usamos uma cópula t-Student com a matriz de correlação também sendo atualizada via mecanismo GAS. Uma das contribuições importantes desse trabalho para o setor elétrico está na geração de cenários conjuntos apenas em um passo, evitando a necessidade de modelar variáveis transformadas e posteriormente transforma-las para retornar às suas respectivas escalas originais. Assim como é feito no caso supondo normalidade para as marginais. Como é sabido, exponenciar valores simulados a partir de uma densidade normal pode gerar resultados equivocados para fatores de capacidade eólico, e por propagação, isso pode afetar severamente as medidas de risco que são obtidas a partir da distribuição simulada de fluxo de caixa associada com o portfolio das usinas eólicas. Nossos resultados mostram que quando a dependência é levada em consideração, os fluxos de caixa tendem a ser maiores do que quando ignora-se a dependência. / [en] In this work we use the framework of GAS models to generate joint forecasts for capacity factors of several wind plants belonging to different geographical areas. Such scenarios are then used as input to raise the distribution of cash flows associated with a portfolio of contracts attached to these wind plants. We first model the marginal density of each capacity factor using a GAS model with Beta density. In order to capture the observed dependence among these capacity factors, we use a copula t- Student with correlation matrix evolving through a GAS mechanism. One of the important contributions of our framework is that generation of scenarios is accomplished in just one step, avoiding the need of transforming back variables to its original scale, as it is the case under a Gaussian assumption for the marginals. As it is known, exponentiation of simulated Gaussian values can result in unrealistic sampling paths for the wind capacity factor, and by propagation, this can badly a ect the risk measures obtained from the simulated distribution of the cash flows associated with a particular portfolio of wind plants. Our results shows that when taking into account dependence the cash flows are higher than when ignoring dependence.

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Master of Science / Department of Industrial & Manufacturing Systems Engineering / Chih-Hang Wu / The recent economic crisis has been partially blamed on the decline in the housing market. This decline in the housing market resulted in an estimated 87% decline in value of collateralized debt obligations (CDOs) between 2007 and 2008. This drastic decline in home values was sudden and unanticipated, thus it was incomprehensible for many investors how this would affect CDOs. This shows that while analytical techniques can be used to price CDOs, these techniques cannot be used to demonstrate the behavior of CDOs under radically different economic circumstances. To better understand the behavior of CDOs under different economic circumstances, numerical techniques such as Monte Carlo simulation can be used instead of analytical techniques to price CDOs. Andersen et al (2005) proposed a method for calculating the probability of defaults that could then be used in the Monte Carlo simulation to price the collateralized debt obligation. The research proposed by Andersen et al (2005) demonstrates the process of calculating correlated probability of defaults for a group of obligors. This calculation is based on the correlations between the obligors using copulas. Using this probability of default, the price of a collateralized debt obligation can be evaluated using Monte Carlo simulation. Monte Carlo simulation provides a more simple yet effective approach compared to analytical pricing techniques. Simulation also allows investors to have a better understanding of the behaviors of CDOs compared to analytical pricing techniques. By analyzing the various behaviors under uncertainty, it can be observed how a downturn in the economy could affect CDOs. This thesis extends on the use of copulas to simulate the correlation between obligors. Copulas allow for the creation of one joint distribution using a set of independent distributions thus allowing for an efficient way of modeling the correlation between obligors. The research contained within this thesis demonstrates how Monte Carlo simulation can be used to effectively price collateralized debt obligations. It also shows how the use of copulas can be used to accurately characterize the correlation between obligor defaults for pricing collateralized debt obligations. Numerical examples for both the obligor defaults and the price of collateralized debt obligations are presented to demonstrate the results using Monte Carlo simulation.

The dependence structures in financial markets count among the most frequently discussed topics in the recent literature. However, no general consensus on modeling of the cross-market linkages has been reached. This thesis analyses the dependence structure and contagion in the financial markets in Central and Eastern Europe. Tail dependence, symmetry and dynamics of the dependence structure are examined. A conditional copula framework extended by recently developed dynamic generalized autoregressive score (GAS) model is used to capture the conditional time-varying joint distribution of stock market returns. Considering the Czech, Croatian, Hungarian, Austrian and Polish stock market indices over the 2005-2012 period, we find that time-varying Student's t GAS copula provides the best fit. The results show, that the degree of dependence increases substantially during the global financial crisis, having a direct impact on portfolio optimization.

O objetivo deste trabalho consiste em identificar a existência de contágio financeiro utilizando a metodologia de redes bayesianas. Além da rede bayesiana, a análise da interdependência de mercados internacionais em períodos de crises financeiras, ocorridas entre os anos 1996 e 2009, foi modelada com outras duas técnicas - modelos GARCH multivariados e de Cópulas, envolvendo países nos quais foi possível avaliar seus efeitos e que foram objetos de estudos similares na literatura. Com os períodos de crise bem definidos e metodologia calcada na teoria de grafos e na inferência bayesiana, executou-se uma análise sequencial, em que as realidades que precediam períodos de crise foram consideradas situações a priori para os eventos (verossimilhanças). Desta combinação resulta a nova realidade (a posteriori), que serve como priori para o período subsequente e assim por diante. Os resultados apontaram para grande interligação entre os mercados e diversas evidências de contágio em períodos de crise financeira, com causadores bem definidos e com grande respaldo na literatura. Ademais, os pares de países que apresentaram evidências de contágio financeiro pelas redes bayesianas em mais períodos de crises foram os mesmos que apresentaram os mais altos valores dos parâmetros estimados pelas cópulas e também aqueles cujos parâmetros foram mais fortemente significantes no modelo GARCH multivariado. Assim, os resultados obtidos pelas redes bayesianas tornam-se mais relevantes, o que sugere boa aderência deste modelo ao conjunto de dados utilizados neste estudo. Por fim, verificou-se que, após as diversas crises, os mercados estavam muito mais interligados do que no período inicialmente adotado. / This work aims to identify the existence of financial contagion using a metodology of Bayesian networks. Besides Bayesian networks, the analysis of the international markets\' interdependence in times of financial crises, occurred between 1996 and 2009, was modeled using two other techniques - multivariate GARCH models and Copulas models, involving countries in which its effects were possible to assess and which were subject to similar studies in the literature. With well-defined crisis periods and a metodology based on graph theory and Bayesian inference, a sequential analysis was executed, in which the realities preceding periods of crisis were considered to be prior situations to the events (likelihood). From this combination results the new posterior reality, which serves as a prior to the subsequent period and so on. The results pointed to a large interconnection between markets and several evidences of contagion in times of financial crises, with well-defined responsibles and highly supported by the literature. Moreover, the pairs of countries that show evidence of financial contagion by Bayesian networks in over periods of crises were the same as that presented the highest values of the parameters estimated by copulas and the most strongly significant parameters in the multivariate GARCH model. Thus, the results obtained by Bayesian networks become more relevant, suggesting good adherence of the model to the data set used in this study. Finally, it was found that after the various crises, the markets were much more connected.

Esta dissertação teve como objetivo o estudo de modelos para séries temporais bivariadas, que tem a estrutura de dependência determinada por meio de funções de cópulas. A vantagem desta abordagem é que as cópulas fornecem uma descrição completa da estrutura de dependência. Em termos de inferência, foi adotada uma abordagem Bayesiana com utilização dos métodos de Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC). Primeiramente, um estudo de simulações foi realizado para verificar como os seguintes fatores, tamanho das séries e variações nas funções de cópula, nas distribuições marginais, nos valores do parâmetro de cópula e nos métodos de estimação, influenciam a taxa de seleção de modelos segundo os critérios EAIC, EBIC e DIC. Posteriormente, foram realizadas aplicações a dados reais dos modelos com estrutura de dependência estática e variante no tempo / The aim of this work was to study models for bivariate time series, where the dependence structure among the series is modeled by copulas. The advantage of this approach is that copulas provide a complete description of dependence structure. In terms of inference was adopted the Bayesian approach with utilization of Markov chain Monte Carlo (MCMC) methods. First, a simulation study was performed to verify how the factors, length of the series and variations on copula functions, on marginal distributions, on copula parameter value and on estimation methods, may affect models selection rate given by EAIC, EBIC and DIC criteria. After that, we applied the models with static and time-varying dependence structure to real data