Cette thèse traite de l'étude de méthodes de diagonalisation conjointe de matrices complexes, en vue de la séparation de sources, que ce soit dans le domaine des télécommunications numériques ou de la radioastronomie. Après avoir présenté les motivations qui ont poussé cette étude, nous faisons un bref état de l'art dans le domaine. Le problème de la diagonalisation conjointe, ainsi que celui de la séparation de source sont rappelés, et un lien entre ces deux sujets est établi. Par la suite, plusieurs algorithmes itératifs sont développés. Dans un premier temps, des méthodes utilisant une mise à jour de la matrice de séparation, de type gradient, sont présentées. Elles sont basées sur des approximations judicieuses du critère considéré. Afin d'améliorer la vitesse de convergence, une méthode utilisant un calcul du pas optimal est présentée, et plusieurs variantes de ce calcul, basées sur les approximations faites précédemment, sont développées. Deux autres approches sont ensuite introduites. La première détermine la matrice de séparation de manière analytique, en calculant algébriquement les termes composant la matrice de mise à jour par paire à partir d'un système d'équations linéaire. La deuxième estime récursivement la matrice de mélange, en se basant sur une méthode de moindres carrés alternés. Afin d'améliorer la vitesse de convergence, une recherche de pas d'adaptation linéaire est proposée. Ces méthodes sont alors validées sur un problème de diagonalisation conjointe classique. Puis les algorithmes sont appliqués à la séparation de sources de signaux de télécommunication numérique, en utilisant des statistiques d'ordre deux ou supérieur. Des comparaisons sont également effectuées avec des méthodes standards. La deuxième application concerne l'élimination des interférences terrestres à partir de l'estimation de l'espace associé, afin d'observer au mieux des sources cosmiques, issues de données de station LOFAR.

Le sujet visé par cette dissertation est la logique ordinale de Turing. Nous nous référons au texte original de Turing «Systems of logic based on ordinals» (Turing [1939]), la thèse que Turing rédigea à Princeton sous la direction du professeur Alonzo Church. Le principe d’une logique ordinale consiste à surmonter localement l’incomplétude gödelienne pour l’arithmétique par le biais de progressions d’axiomes récursivement consistantes. Étant donné son importance considérable pour la théorie de la calculabilité et les fondements des mathématiques, cette recherche méconnue de Turing mérite une attention particulière. Nous retraçons ici le projet d’une logique ordinale, de ses origines dans le théorème d’incomplétude de Gödel jusqu'à ses avancées dans les développements de la théorie de la calculabilité. Nous concluons par une discussion philosophique sur les fondements des mathématiques en fonction d’un point de vue finitiste. / The main subject of this dissertation is Turing’s ordinal logic, i.e. Turing’s attempt to locally overcome Gödel’s incompleteness by means of transfinite recursive progressions. We shall refer to the original 1939 text «Systems of logic based on ordinals» which is, in fact, Turing’s Ph.D thesis at Princeton University under the direction of Professor Alonzo Church. Considering its importance for the theory of computability and the foundations of mathematics, Turing’s paper certainly didn’t get enough attention in the literature. Therefore, we want to retrace Turing’s project of an ordinal logic from its very foundation in Gödel’s incompleteness theorem to its further development in calculability theory. A discussion on the foundations of mathematics from a computational point of view will conclude this memoir.

Cette thèse traite de l'étude de méthodes de diagonalisation conjointe de matrices complexes, en vue de la séparation de sources, que ce soit dans le domaine des télécommunications numériques ou de la radioastronomie. Après avoir présenté les motivations qui ont poussé cette étude, nous faisons un bref état de l'art dans le domaine. Le problème de la diagonalisation conjointe, ainsi que celui de la séparation de source sont rappelés, et un lien entre ces deux sujets est établi. Par la suite, plusieurs algorithmes itératifs sont développés. Dans un premier temps, des méthodes utilisant une mise à jour de la matrice de séparation, de type gradient, sont présentées. Elles sont basées sur des approximations judicieuses du critère considéré. Afin d'améliorer la vitesse de convergence, une méthode utilisant un calcul du pas optimal est présentée, et plusieurs variantes de ce calcul, basées sur les approximations faites précédemment, sont développées. Deux autres approches sont ensuite introduites. La première détermine la matrice de séparation de manière analytique, en calculant algébriquement les termes composant la matrice de mise à jour par paire à partir d'un système d'équations linéaire. La deuxième estime récursivement la matrice de mélange, en se basant sur une méthode de moindres carrés alternés. Afin d'améliorer la vitesse de convergence, une recherche de pas d'adaptation linéaire est proposée. Ces méthodes sont alors validées sur un problème de diagonalisation conjointe classique. Puis les algorithmes sont appliqués à la séparation de sources de signaux de télécommunication numérique, en utilisant des statistiques d'ordre deux ou supérieur. Des comparaisons sont également effectuées avec des méthodes standards. La deuxième application concerne l'élimination des interférences terrestres à partir de l'estimation de l'espace associé, afin d'observer au mieux des sources cosmiques, issues de données de station LOFAR. / This thesis deals with the study of joint diagonalization of complex matrices methods for source separation, wether in the field of numerical telecommunications and radioastronomy. After having introduced the motivations that drove this study, we present a brief state-of-the-art in the field. The joint diagonalization and source separation problems are reminded, and a link between these two themes is established. Thereafter, several iterative algorithms are developed. First, methods using a gradient-like update of the separation matrix are introduced. They are based on wise approximations of the considered criterion. In order to improve the convergence speed, a method using a computation of an optimal step size is presented, and variations around this computation, based on the previously introduced approximations are done. Two other approaches are then introduced. The first one analytically determines the separation matrix, by algebraically computing the terms composing the update matrix pairwise from a linear equation system. The second one recursively estimates the mixing matrix, based on an alternating least squares method. In order to enhance the convergence speed, a seek of an enhanced line search algorithm is proposed. These methods are then validated on a classical joint diagonalization problem. Aterwards, these algorithms are applied to the source separation of numerical communication signals, while using second or higher order statistics. Comparisons are also made with well-known methods. The second application relates to elimination of rterrestrial interferences from the estimation of the associated space in order to observe at best cosmic sources from LOFAR station data.

Le sujet visé par cette dissertation est la logique ordinale de Turing. Nous nous référons au texte original de Turing «Systems of logic based on ordinals» (Turing [1939]), la thèse que Turing rédigea à Princeton sous la direction du professeur Alonzo Church. Le principe d’une logique ordinale consiste à surmonter localement l’incomplétude gödelienne pour l’arithmétique par le biais de progressions d’axiomes récursivement consistantes. Étant donné son importance considérable pour la théorie de la calculabilité et les fondements des mathématiques, cette recherche méconnue de Turing mérite une attention particulière. Nous retraçons ici le projet d’une logique ordinale, de ses origines dans le théorème d’incomplétude de Gödel jusqu'à ses avancées dans les développements de la théorie de la calculabilité. Nous concluons par une discussion philosophique sur les fondements des mathématiques en fonction d’un point de vue finitiste. / The main subject of this dissertation is Turing’s ordinal logic, i.e. Turing’s attempt to locally overcome Gödel’s incompleteness by means of transfinite recursive progressions. We shall refer to the original 1939 text «Systems of logic based on ordinals» which is, in fact, Turing’s Ph.D thesis at Princeton University under the direction of Professor Alonzo Church. Considering its importance for the theory of computability and the foundations of mathematics, Turing’s paper certainly didn’t get enough attention in the literature. Therefore, we want to retrace Turing’s project of an ordinal logic from its very foundation in Gödel’s incompleteness theorem to its further development in calculability theory. A discussion on the foundations of mathematics from a computational point of view will conclude this memoir.

Dans cette thèse, nous nous sommes attaqués au problème de séparation aveugle de mélanges linéaires de sources ayant des propriétés de cyclo-stationnarité. Trois applications ont été abordées à savoir : télécommunications, vibrations mécaniques et biomécaniques. Dans un premier temps, deux nouvelles méthodes ont été proposées, la première a pour but de séparer aveuglement des sources cyclo-stationnaires partageant une ou plusieurs fréquences cycliques inconnues. Elle combine la diagonalisation conjointe à un nouveau détecteur de points utiles (retard-fréquence cyclique) permettant de composer l’ensemble de matrices de corrélation cyclique devant être diagonalisées conjointement. Quant à la deuxième méthode, elle vise à identifier la matrice de mélange de sources cyclostationnaires de fréquences cycliques inconnues et différentes. L’identification commence par une étape de détection des matrices de rang un, puis décompose en éléments propres le produit de matrices sélectionnées, enfin une méthode de regroupement hiérarchique restitue les colonnes de notre matrice recherchée. Les deux solutions ont été appliquées aux signaux de télécommunications. Dans un second temps, nous avons appliqué d’abord la première méthode proposée sur des signaux mécaniques issus d’un banc de roulements défaillants afin de tester son aptitude à séparer les sources. Ensuite, nous avons proposé une approche qui s’appuie sur l’analyse en composantes parcimonieuses pour séparer les composantes de la force de réaction au sol ayant des propriétés cyclo-stationnaires à l’ordre 1 et 2 / In this thesis, we have tackled the problem of blind separation of linear mixtures of sources with cyclo-stationarity properties. Three applications were studied : telecommunications, mechanical vibrations and biomechanics. First, two new methods have been proposed, the first one aims to blindly separate cyclo-stationary sources sharing one or more unknown cyclic frequencies. It combines the joint diagonalization with a new useful point detector (time lag-cyclic frequency) to compose the set of cyclic correlation matrices to be jointly diagonalized. As for the second method, it aims to identify the mixture matrix of cyclo-stationary sources of unknown and different cyclic frequencies. The identification begins with a step of detecting the matrices of rank one, then the product of selected matrices is decomposed into eigen-elements, and finally a hierarchical regrouping method returns the columns of our sought matrix. Both solutions have been applied to telecommunications signals. In a second step, we first applied the first proposed method on mechanical signals coming from a bank of faulty bearings in order to test its ability to separate the sources. Next, we proposed an approach based on sparse component analysis to separate the components of the ground reaction force with cyclo-stationary properties at order 1 and 2

Il s'agit d'utiliser par la production de logiciels effectivement opérationnels, les techniques graphiques interactives dans le domaine de l'analyse structurale de système. On s'est orienté plus précisément vers une catégorie précise de représentation des systèmes: les graphes.

Cette thèse présente de nouveaux algorithmes de diagonalisation conjointe par similitude. Cesalgorithmes permettent, entre autres, de résoudre le problème de décomposition canonique polyadiquede tenseurs. Cette décomposition est particulièrement utilisée dans les problèmes deséparation de sources. L’utilisation de la diagonalisation conjointe par similitude permet de paliercertains problèmes dont les autres types de méthode de décomposition canonique polyadiquesouffrent, tels que le taux de convergence, la sensibilité à la surestimation du nombre de facteurset la sensibilité aux facteurs corrélés. Les algorithmes de diagonalisation conjointe par similitudetraitant des données complexes donnent soit de bons résultats lorsque le niveau de bruit est faible,soit sont plus robustes au bruit mais ont un coût calcul élevé. Nous proposons donc en premierlieu des algorithmes de diagonalisation conjointe par similitude traitant les données réelles etcomplexes de la même manière. Par ailleurs, dans plusieurs applications, les matrices facteursde la décomposition canonique polyadique contiennent des éléments exclusivement non-négatifs.Prendre en compte cette contrainte de non-négativité permet de rendre les algorithmes de décompositioncanonique polyadique plus robustes à la surestimation du nombre de facteurs ou lorsqueces derniers ont un haut degré de corrélation. Nous proposons donc aussi des algorithmes dediagonalisation conjointe par similitude exploitant cette contrainte. Les simulations numériquesproposées montrent que le premier type d’algorithmes développés améliore l’estimation des paramètresinconnus et diminue le coût de calcul. Les simulations numériques montrent aussi queles algorithmes avec contrainte de non-négativité améliorent l’estimation des matrices facteurslorsque leurs colonnes ont un haut degré de corrélation. Enfin, nos résultats sont validés à traversdeux applications de séparation de sources en télécommunications numériques et en spectroscopiede fluorescence. / This thesis introduces new joint eigenvalue decomposition algorithms. These algorithms allowamongst others to solve the canonical polyadic decomposition problem. This decomposition iswidely used for blind source separation. Using the joint eigenvalue decomposition to solve thecanonical polyadic decomposition problem allows to avoid some problems whose the others canonicalpolyadic decomposition algorithms generally suffer, such as the convergence rate, theoverfactoring sensibility and the correlated factors sensibility. The joint eigenvalue decompositionalgorithms dealing with complex data give either good results when the noise power is low, orthey are robust to the noise power but have a high numerical cost. Therefore, we first proposealgorithms equally dealing with real and complex. Moreover, in some applications, factor matricesof the canonical polyadic decomposition contain only nonnegative values. Taking this constraintinto account makes the algorithms more robust to the overfactoring and to the correlated factors.Therefore, we also offer joint eigenvalue decomposition algorithms taking advantage of thisnonnegativity constraint. Suggested numerical simulations show that the first developed algorithmsimprove the estimation accuracy and reduce the numerical cost in the case of complexdata. Our numerical simulations also highlight the fact that our nonnegative joint eigenvaluedecomposition algorithms improve the factor matrices estimation when their columns have ahigh correlation degree. Eventually, we successfully applied our algorithms to two blind sourceseparation problems : one concerning numerical telecommunications and the other concerningfluorescence spectroscopy.

La séparation de sources consiste à extraire des signaux appelés sources à partir seulement de mélanges observés de ces signaux appelés observations. De nombreuses approches ont été brièvement présentées dans ce manuscrit. La plupart de ces approches exploite l'hypothèse d'indépendance des sources.<br />Dans cette thèse, nous avons considéré le cas des mélanges linéaires convolutifs. Nous proposons de calculer les contributions des sources sur les capteurs afin d'optimiser la procédure de séparation.<br />L'estimation des contributions dans les observations est réalisée grâce à un critère quadratique optimisé par un filtre de Wiener. Ensuite, nous étudions deux approches de séparation de sources. <br />La première utilise l'information mutuelle comme critère d'indépendance et la seconde dite fonction de contraste est basée sur les statistiques d'ordre quatre. L'utilisation des contributions des sources sur les capteurs dans la phase de séparation nous permet de proposer deux algorithmes de séparation, qui constituent deux généralisations d'algorithmes classiques.

Dans cette thèse, nous visons l'amélioration de quelques algorithmes en algèbre matricielle rapide et plus spécifiquement les algorithmes rapides sur les matrices structurées en calcul formel et numérique. Nous nous intéressons en particulier aux matrices de Hankel et de Toeplitz. Nous introduisons un nouvel algorithme de diagonalisation par blocs approchée de matrices réelles de Hankel. Nous décrivons la relation naturelle entre l'algorithme d'Euclide et notre factorisation par blocs approchée pour les matrices de Hankel associées à deux polynômes, ainsi que pour les matrices de Bézout associées aux mêmes polynômes. Enfin, dans le cas complexe, nous présentons un algorithme révisé de notre diagonalisation par blocs approchée des matrices de Hankel, en calculant la suite des restes et la suite des quotients apparues au cours de l'exécution de l'algorithme d'Euclide.

Cette thèse présente une contribution à l'amélioration de certains résultats concernant les algorithmes en Algèbre linéaire et plus particulièrement les algorithmes sur les matrices structurées. Nous présentons un nouvel algorithme de diagonalisation par blocs des matrices de Hankel, particulièrement efficace. Dans le cas où la matrice de Hankel correspond à une suite récurrente linéaire, nous retrouvons ainsi l'algorithme de Berlekamp-Massey, mais dans une version simplifiée (plus facile à expliquer et à programmer) et accélérée par des troncatures. En outre notre version permet une gestion dynamique des données. Notre diagonalisation par blocs, qui s'applique sur un corps arbitraire, nous permet de donner une démonstration purement algébrique et simple d'un délicat théorème de Frobenius pour la signature d'une forme de Hankel réelle. Nous donnons également une étude approfondie de l'algorithme d'Euclide signé et de ses versions matricielles pour les matrices de Hankel et de Bezout associées à un couple de polynômes. Nous expliquons les rapports existants entre différents algorithmes connus dans la littérature.