In this work, using one parameter Lie groups, we analyze differential equations with partial fluxions, of second and third rank. Find equation symmetry groups of heat conductivity, undulatority, gas flow, waves spreading in shallow water and deducting appropriate formulas.

Darbe nagrinėjamas gegučių ir paukščių-šeimininkų sąveikos deterministinis modelis, priimant dėmesin paukščių amžių, ir atsižvelgiant į diskrečią jauniklių aibę bei jų globą. Visi individai yra skirstomi į tris grupes: priešreprodukcinio (dar negali turėti jauniklių), reprodukcinio (gali susilaukti palikuonių) ir poreprodukcinio amžiaus. Modelis yra sudarytas iš integro-dalinių diferencialinių lygčių, atsižvelgiant į integralinio tipo sąlygas. Šių lygčių skaičius priklauso nuo maksimalaus biologiškai įmanomo šeimininko kiaušinių lizde skaičiaus. Yra tiriami separabilieji uždavinio sprendiniai bei įrodoma egzistavimo teorema. / A Common Cuckoo and a host species dynamics deterministic model taking into account a discrete set of offsprings and their care, is considered. Individuals have three age intervals: pre-reproductive, reproductive (when they can produce offsprings) and post-reproductive. The model is described by integro-partial differential equations subject to conditions of integral type, where the number of equations depends on a maximal biologically possible number of eggs produced by the host birds. Separable solutions of this model are studied and the existence theorem is proved.

The differential equations are often used in practice for making different mathematical models of mechanical systems and they are the best help for modelling. The flow, coming around elastic mechanical system, when there are some conditions, awakes the auto-oscillations of it. At my work I onquire the change of auto-oscillations into the electrical signal. If we want to reach it, we must give for mechanical system an extra stimulation by electric network. The purpose of my work - inquire simplification model of this made system; area of existence synchronic processes, when we have relaxed and forced oscillations; to analyse different trajectories of different types this differential equation; to find spectral charakteristics. The analytical and graphical results were forthcoming, let uncover some steady treatments' and their surroundings' attributes of pending system.

Remiantis silpnąja Galiorkino formuluote darbe sukonstruoti trys paprastųjų diferencialinių lygčių integravimo metodai. Tyrinėtas metodų konvergavimas remiantis skaitiniais integravimo rezultatais, bei metodų tikslumas lyginant rezultatus su tiksliuoju sprendinių ir kitų integratorių rezultatais. / Three integrators of ordinary diferential equations based on Galiorkin's weak formulation were constructed in this work. The precision of ontegrators is evaluated numerically,by comparing the result with exact first integral and the solution got using Runge-Kutto method.

Šiame darbe yra sudaryta ir analiziškai išspręsta spindulių eigos idealiuose lęšiuose, diferencialinė lygtis. Rastas paviršius, į kurį kritę spinduliai po lūžimo eina lygiagrečiai simetrijos ašiai. Aprašyta, kaip sklinda perėję per idealųjį lęšį iš idealaus ir ne iš idealaus taškinio šaltinio išėję šviesos spinduliai. / In the present work, the differential equation is being structured and solved by analysis of beams motion in ideal lenses. There was a surface on witch motioned beams, after the refraction, come in parallel with symmetric axis. Also it includes how to gleams spread after passing through the ideal lens from ideal and non-ideal spot source witch they came from.

The new parallelization technology is presented in this work. The technology is suitable for parallelization of linear algebra problems that arise during solution of PDE and PDE systems. The new technology combines the strong points of "data parallel" and "global memory" parallel programming models. Using the pecularities of the problems of a given class, the technology allows to write effective code easily, with the addition of the possibility for semi-automatic parallelization. The work consists of 3 parts: the review of existing technologies, the description of the new one, various applications. / Šiame darbe pateikiama nauja tiesinės algebros algoritmų, atsirandančių sprendžiant dif. lygtis ir jų sistemas, lygiagretinimo technologija. Ši technologija apjungia "lygiagrečiųjų duomenų" ir "globalios atminties" lygiagretinimo modelių privalumus, ir, naudojant apibrėžtos klasės uždavinių yptaumus, leidžia lengvai gauti efektyvų programos kodą, kuris pusiau automatiškai lygiagretinamas. Darbas susideda iš 3 dalių: egzistuojančių priemonių apžvalga, naujos technologijos aprašymas, įvairūs taikymai.

There is investigated the weighted boundary value problem for the ordinary linear of the second order differential unhomogeneous equation with the strong singular coefficients at a separate point in this work and the singularity of the coefficients are of the degree type. The mentioned above boundary value problem are researched in interval which beginning coincides with the singular point of equation. Weighted condition is formed at singular point for the solution, the value of the solution is indicated in the another point. There are proved general characteristics of the homogeneous equation, also the existence and uniqueness of the solution of the analysed problem.

Įvairių sričių reiškinių matematiniai modeliai apima daug faktorių, kurie yra priklausomi nuo laiko, o taip pat pastebima jų tarpusavio priklausomybė. Vadinasi, norint nagrinėt šių reiškinių kitimo dėsnius, patartina sudaryti šių procesų dinaminį modelį. Šiame darbe dinaminio modelio sudarymui naudojami indikatoriai. Indikatorius tai specialus rodiklis, kuriuo pasinaudojus galima skaitiškai įvertinti svarbius analizuojamos srities faktorius. Indikatorių reikšmės gaunamos iš statistinių duomenų. Diferencialinių lygčių sistemos koeficientams skaičiuoti pristatomi du būdai: algebrinis ir mažiausių kvadratų metodai. Indikatorių išraiškas, gautas išsprendus diferencialinių lygčių sistemą, galima panaudoti prognozavimui. Tačiau įgyvendinant naujus projektus, šias indikatorių išraiškas reikia patikslinti, atsižvelgiant į naujus faktorius. Kadangi naujų faktorių reikšmės nėra tiksliai žinomos (gautos iš ekspertinio vertinimo), jų įtaka sistemai yra išreiškiama atsitiktiniu dydžiu su žinomu tikimybiniu skirstiniu. Naujų faktorių įtaka indikatoriams dinaminiame modelyje yra patikslinama Bajeso metodu. Kaip pavyzdys, sudarytas dinaminis modelis pritaikytas energijos tiekimo saugumo indikatorių modeliavimui. / In many areas mathematical models of processes take into acount variuos time dependent factors, they also can be dependent on each other. Thus, it is advisable to construct a dynamic model. In this master thesis we use indicators to describe dynamic model. An indicator is a special index, which provides numerical values to inportant factors for the investigated sector. The values of indicators are obtained from statistical data. There are presented two calculation ways of differential equations systems coefficients (using algebraic and least square methods). Furthermore created dynamic model enables us to forecast the dynamics of the indicators according to new factors. Since the parameters of different new factors are not exactly known (got from expert judgement), their influence on indicators are expressed as random variables with known probablistic distributions. Indicators model based on historical data is adjusted using a Bayesian approach. For practical demonstration of the proposed dynamic model energy security assessment indicators were chosen.

Magistro darbe nagrinėjami paprastųjų tiesinių antros eilės diferencialinių lygčių sistemos su ypatuma kraštiniai uždaviniai. Ištirta sprendinių asimptotika ypatingojo taško aplinkoje. Surasti lygčių sistemos sprendinio įverčiai. Nagrinėjamų diferencialinių uždavinių sprendiniai, konstruojami naudojant integralinius operatorius. Įrodyta sprendinių vienatis. / In this paper the some boundary value problems for a system of ordinary second order differential equations with singularity are considered. The asymptotic of solutions in the neighborhood of singular point are discussed. The estimates of the solution are given. The solutions of considered differential problems are constructed using some integral operators. The uniqueness of the solutions is proved.