Humboldt-Universiẗat, Diss. 2002--Berlin.

Zugl.: Erlangen, Nürnberg, Universiẗat, Diss., 2008.

Techn. Univ., Habil.--Chemnitz, 2003.

Universiẗat, Diss., 1998--Osnabrück.

Freiburg, Univ., Diss., 2002.

In der vorliegenden Habilitationsschrift wird der Diracsee im äußeren Feld definiert und im Detail im Ortsraum untersucht. Kapitel 1 gibt eine allgemeine Einführung und einen Überblick. In Kapitel 2 wird gezeigt, daß der Diracsee für die Diracgleichung mit allgemeiner Wechselwirkung eindeutig definiert werden kann, wenn man eine Kausalitätsbedingung für den Diracsee fordert. Wir leiten eine explizite Formel für den Diracsee als Potenzreihe in den bosonischen Potentialen ab. Die Konstruktion wird auf Systeme von Diracseen verallgemeinert. Falls das System chirale Fermionen enthält, liefert die Kausalitätsbedingung eine Einschränkung für die bosonischen Potentiale. In Kapitel 3 untersuchen wir den Diracsee in chiralen und skalaren/pseudoskalaren Feldern. Als Vorbereitung wird eine Methode entwickelt, mit der die avancierte und retardierte Greensche Funktion um den Lichtkegel entwickelt werden kann. Dazu werden zunächst alle Feynman-Diagramme entwickelt und anschließend die Störungsreihe aufsummiert. Diese Lichtkegelentwicklung beschreibt die Greenschen Funktionen mittels einer unendlichen Reihe von Linienintegralen über das äußere Potential und dessen partielle Ableitungen. Der Diracsee wird in einen kausalen und einen nichtkausalen Anteil zerlegt. Der kausale Anteil hat eine Lichtkegelentwicklung, die mit der Lichtkegelentwicklung der Greenschen Funktionen eng verwandt ist; sie beschreibt das singuläre Verhalten des Diracsees mit Hilfe geschachtelter Linienintegrale längs des Lichtkegels. Der nichtkausale Anteil ist dagegen in jeder Ordnung Störungstheorie eine glatte Funktion im Ortsraum. / In this habiltation, the Dirac sea in the presence of an external field is defined and analyzed in detail in position space. Chapter 1 gives a general introduction and overview. In Chapter 2, it is shown that the Dirac sea can be uniquely defined for the Dirac equation with general interaction, if we impose a causality condition on the Dirac sea. We derive an explicit formula for the Dirac sea in terms of a power series in the bosonic potentials. The construction is extended to systems of Dirac seas. If the system contains chiral fermions, the causality condition yields a restriction for the bosonic potentials. In Chapter 3, we study the Dirac sea in the presence of chiral and scalar/pseudoscalar fields. In preparation, a method is developed for calculating the advanced and retarded Green's functions in an expansion around the light cone. For this, we first expand all Feynman diagrams and then explicitly sum up the perturbation series. The light-cone expansion expresses the Green's functions as an infinite sum of line integrals over the external potential and its partial derivatives. The Dirac sea is decomposed into a causal and a non-causal contribution. The causal contribution has a light-cone expansion which is closely related to the light-cone expansion of the Green's functions; it describes the singular behavior of the Dirac sea in terms of nested line integrals along the light cone. The non-causal contribution, on the other hand, is, to every order in perturbation theory, a smooth function in position space.

University, Diss., 2003--Bonn.

Introduction Capillarity describes the effects caused by the surface tension on liquids. When considering small amounts ofliquid,thesurfacetension becomes the dominating parameter. In this situation the arising mathematical task is to determine the occurring capillary surface. At the beginning of the research on this topic, problems such as the ascent of fluids in a circular tube, on a vertical wall or on a wedge were some of the first problems scientists were concerned with. At the beginning of the 19th century, scientists like Young1, Laplace2, Taylor 3 and Gauß 4 established the mathematical foundations of this field. For the capillary tube5 they found, by applying variational methods, the so called mean curvature equation or capillary equation with the associated boundary condition. As Finn in [Fin86, Chapter 1] describes, this leads to the following boundary value problem: divTu = u + in , · Tu = cos on @ where Tu = ∇u p 1 + |∇u|2 . is called the Lagrange6 multiplier and is the contact angle, established between the capillary surface and the container wall. In the past, one tried to solve the problem by linearisation – with more or less satisfying results. In the last decades, expedited by the developing of micromechanics and the arising space-technology, capillary effects became more and more significant. Thereby the observed results differed from the predicted. The reason is the strong non-linearity of the problem. Interior molecular forces are responsible for the establishing of equilibrium surfaces. The force, operating between two materials, is called adhesion and cohesion is the molecular force within a medium. Under some specifications there arises a non-negligible force, called disjoining pressure. This pressure causes an additional term in the capillary equation, which 1Thomas Young (*13 June 1773, Milverton; †10 May 1829, London); Englisch polymath; made notable contributions to the fields of vision, light, solid mechanics, energy, physiology, language, musical harmony and Egyptology, found the Young–Laplace equation 2Pierre-Simon (Marquis de) Laplace (28 March 1749, Beaumont-en-Auge; †5 March 1827, Paris); French mathematician and astronomer; found the Young–Laplace equation 3Brook Taylor (*18 August 1685, Edmonton; †29 December 1731, Somerset House/London); English mathematician; experiments in capillary attraction 4Johann Carl Friedlich Gauß (*30 April 1777, Braunschweig; †23 February 1855, G¨ottingen); German mathematician and scientist; contributed significantly to many fields, including number theory, statistics, analysis, differential geometry, geodesy, geophysics, electrostatics, astronomy and optics 5A capillary tube is a container with cross-section and perpendicular container walls, which contains an amount of liquid. 6Joseph-Louis de Lagrange (*25 January 1736, Turin; †10 April 1813, Paris); Italian mathematician and astronomer. 7 is called the disjoining pressure potential, denoted by P(x, u(x)). That is, we are led to the following modified capillary equation, see [MMS08]: divTu = u + P + in , with a similar boundary condition (see Section 1.3 for more details). The main task of this paper is to examine the behaviour of the capillary problem, considering the disturbance P. A generic example for such configurations is vapour nitrogen//liquid nitrogen//quartz, see also [Isr92, Chapter 11] or [MMS08]. The present work with regard to contents is divided in three parts. In the first part, inspired by the work of Concus and Finn [CF74], [FH89], we prove a Comparison Principle. As in the classical context, this principle is a powerful tool to find solutions of the boundary problem. Thus we can see that the disjoining pressure potential is the key for the asymptotic of the solutions. The second part is concerned with the asymptotic behaviour of the solutions for some classical cases. In particular for the capillary tube with circular cross-section (see [Mie93b], [Mie94], [Mie96] for the classical setting) the ascent on a horizontal wall and between two parallel horizontal plates, results are presented. There we are able to specify the asymptotic behaviour up to a constant term. In the last part we observe the solution of the problem on a corner. There it is more difficult to obtain a result. But in return, we gain a better result near the cusp of the edge. In the articles of Miersemann [Mie88], [Mie89], [Mie90] or Scholz [Sch04] some results for the classical setting are given. The formal arrangement is divided into three main chapters. The first of them is a summary of some notations which will be needed in the following chapters and also the physical background is illuminated. The main part, where asymptotic results are presented, is contained in Chapter 2. To afford a better reading, most of the proofs are given in Chapter 3.8

Die vorliegende Arbeit beschaeftigt sich mit der Herleitung, Analyse und Numerik von reduzierten Systemen gewoehnlicher Differenzialgleichungen (bezeichnet als reduzierte Modelle), die einer Familie von eindimensionalen Schmierfilmgleichungen (lubrication equations) entsprechen. Diese Familie wurde von Muench et al. 06'' hergeleitet und beschreibt den Entnetzungsprozess von nanoskopischen duennen Fluessigkeitsfilmen auf hydrophoben Polymersubstraten als Folge von anziehenden van der Waals und abstossenden Born Intermolekularkraeften. Dabei wurden verschiedene Regime von Schlupf-Laengen auf der Grenzflaeche zwischen Fluessigkeit und Polymersubstrat betrachtet. Die letzte Phase des Entnetzungsprozesses ist durch eine sehr langsame Vergroeberungsdynamik der verbleibenden Tropfen charakterisiert. Reduzierte Modelle, hergeleitet aus den zugrunde liegenden Schmierfilmgleichungen, ermoeglichen die effiziente analytische und numerische Untersuchung des Vergroeberungsprozesses. Im ersten Teil dieser Studie leiten wir unter Verwendung von asymptotischen Methoden reduzierte Modelle fuer verschiedene Schmierfilmgleichungen ab. Der zweite Teil dieser Studie widmet sich einer neuen Methode fuer die Herleitung und die Begruendung solcher reduzierter Modelle. Diese Methode basiert auf der Idee der Reduktion auf eine Zentrumsmannigfaltigkeit. Zuerst beschreiben wir eine formale Reduktion auf eine sogenannte "approximative invariante" Mannigfaltigkeit. Danach betrachten wir die Linearisierung der Schmierfilmgleichung um den stationaeren Tropfen. Hier geben wir eine rigorose Herleitung fuer das asymptotische Verhalten des Spektrums bezuglich des kleinen Parameters epsilon. Fuer das entsprechende Eigenwertproblem belegen wir die Existenz von einer von epsilon abhaengigen Luecke im Spektrum, die eine wichtige Eigenschaft fuer die strenge Begruendung unserer formalen Reduktion auf die "approximative invariante" Mannigfaltigkeit ist. / In this dissertation the topic of reduced ODE models corresponding to a family of one-dimensional lubrication equations derived by Muench et al. 06'' is addressed. This family describes the dewetting process of nanoscopic thin liquid films on hydrophobic polymer substrates due to the presence of several intermolecular forces and takes account of different ranges of slip-lengths at the polymer substrate interface. Reduced ODE models derived from underlying lubrication equations allow for an efficient analytical and numerical investigation of the latest stage of the dewetting process: coarsening dynamics of the remaining droplets. We first give an asymptotical derivation of these models and use them to investigate the influence of slip-length on the coarsening dynamics. In the second part of the talk we present a new geometric approach which can be used for an alternative derivation and justification of above reduced ODE models and is based on a center-manifold reduction recently applied by Mielke and Zelik 08'' to a certain class of semilinear parabolic equations. One of the main problems for a rigorous justification of this approach is investigation of the spectrum of a lubrication equation linearized at the stationary solution, which describes physically a single droplet. The corresponding eigenvalue problem turns out to be a singularly perturbed one with respect to a small parameter epsilon tending to zero. For this problem we show existence of an epsilon-dependent spectral gap between a unique exponentially small eigenvalue and the rest of the spectrum.

In dieser Arbeit befassen wir uns mit einem reaktiven Transportmodell mit Niederschlags-Auflösung Reaktionen das aus den Geowissenschaften stammt. Es besteht aus PDGs, gewöhnlichen Differentialgleichungen, algebraischen Gleichungen und Komplementaritätsbedingungen. Nach Diskretisation dieses Modells erhalten wir eine großes nichtlineares und nichtglattes Gleichungssystem. Wir lösen dieses System mit der semismoothen Newtonverfahren, das von Qi und Sun eingeführt wurde. Der Fokus dieser Arbeit ist in der Anwendung und Konvergenz dieses Algorithmus. Wir zeigen, dass dieser Algorithmus für dieses Problem wohldefiniert ist und sogar lokal quadratisch konvergiert gegen eine BD-reguläre Lösung. Wir befassen uns auch mit den dabei entstehenden linearen Gleichungssystemen, die sehr groß und dünn besetzt sind, und wie sie effizient gelöst werden können. Ein wichtiger Bestandteil dieser Untersuchung ist die Beschränktheit einer gewissen matrixwertigen Funktion, die in einem eigenen Kapitel gezeigt wird. Als Seitenbetrachtung untersuchen wir wie die extremalen Eigenwerte (und Singulärwerte) von gewissen PDE-Operatoren, welche in unserem diskretisierten Modell vorkommen, genau abgeschätzt werden können. / In this thesis we consider a reactive transport model with precipitation dissolution reactions from the geosciences. It consists of PDEs, ODEs, algebraic equations (AEs) and complementary conditions (CCs). After discretization of this model we get a huge nonlinear and nonsmooth equation system. We tackle this system with the semismooth Newton method introduced by Qi and Sun. The focus of this thesis is on the application and convergence of this algorithm. We proof that this algorithm is well defined for this problem and local even quadratic convergent for a BD-regular solution. We also deal with the arising linear equation systems, which are large and sparse, and how they can be solved efficiently. An integral part of this investigation is the boundedness of a certain matrix-valued function, which is shown in a separate chapter. As a side quest we study how extremal eigenvalues (and singular values) of certain PDE-operators, which are involved in our discretized model, can be estimated accurately.