Bei der Modellierung elektrischer Schaltungen ergeben sich Algebro-Differentialgleichungen (DAEs) mit proper formuliertem Hauptterm. Diese Gleichungen müssen z.B. bei der transienten Schaltungssimulation numerisch gelöst werden. Bei den klassischen Ansätzen der Linearen Mehrschrittverfahren oder der Runge-Kutta Verfahren ergeben sich Nachteile, die durch Verwendung von Allgemeinen Linearen Verfahren vermieden werden können. Sowohl Lineare Mehrschrittverfahren als auch Runge-Kutta Verfahren sind als Spezialfälle in dieser allgemeineren Klasse enthalten. Darüberhinaus sind aber neue Verfahren mit verbesserten Eigenschaften möglich. In dieser Arbeit werden DAEs der Schaltungssimulation eingehend studiert und Allgemeine Lineare Verfahren für solche Gleichungen untersucht. Die Verfahrenskonstruktion und Implementierungsfragen werden ausführlich diskutiert. Diese Arbeit erscheint im Logos Verlag Berlin (www.logos-verlag.de, ISBN 3-8325-1353-1). / Modelling electrical circuits leads to differential algebraic equations (DAEs) having a properly stated leading term. These equations need to be solved numerically, e.g. in case of a transient analysis of the given circuit. Classical methods such as linear multistep methods or Runge-Kutta schemes suffer from disadvantages that can be overcome by studying general linear schemes. Both Runge-Kutta methods and linear multistep schemes belong to this class as special cases, but there is plenty of room for new methods with improved properties. This work presents both a detailed study of DAEs in the framework of integrated circuit design and a thorough analysis of general linear methods for these kind of equations. The construction and implementation of general linear methods for DAEs is discussed in detail. This work is published by Logos Verlag Berlin (www.logos-verlag.de, ISBN 3-8325-1353-1).

In der vorliegenden Arbeit wird das Entstehen von Singularitäten an Oberflächen von dünnen Flüssigkeitsfilmen studiert. Unter einer Singularität versteht man hier das plötzliche Aufreißen einer Flüssigkeitsoberfläche an einer Stelle. Nach einer Diskussion physikalischer Phänomene, wird ein 2D Modell zur Beschreibung von Flüssigkeitsfilmen hergeleitet. Dieses Modell beinhaltet u.a. Oberflächenspannung, van der Waals''sche Kräfte und eine Navier-slip Randbedingung (Schlupf-Randbedingung) zwischen Substrat und Flüssigkeit, d.h. die Flüssigkeite haftet nicht an der Grenzfläche zum Substrat. Dieses Phänomen wird vor allen Dingen im Nano- und Mikrometerbereich beobachtet. Dieses Modell wird vereinfacht und man erhält die sogenannte "strong-slip" Gleichung. In dieser Dissertation werden verschiedene Ansätze verfolgt, um die Singularität der Flüssigkeitsoberfläche zu beschreiben. Der Entstehungsprozess der Singularität wird durch die lineare Stabilitätsuntersuchung beschrieben. Da die Linearisierung schnell ihre Gültigkeit verliert, wird das nichtlineare Verhalten der Singularität mit einem numerischen Verfahren beschrieben. Das dazu hier konstruierte Finite-Differenzen-Schema besitzt eine hohe räumliche und zeitliche Genauigkeit. Dadurch können verschiedene Regime, in denen die Singularität eine selbstähnliche Dynamik besitzt, untersucht und beschrieben werden. Im zweiten Teil der Arbeit werden die Gleichungen weiter vereinfacht. Dadurch können qualitative Eigenschaften der Singularitätsentstehung bewiesen werden. Weiterhin kann so eine Verbindung zu Modellen der Ostwald-Reifung hergestellt werden und man gelangt zu ähnlichen mathematischen Aussagen wie für selbstähnliche Vergröberungsprozesse. Insbesondere wird in der Arbeit gezeigt, dass die Singularität nach endlicher Zeit auftritt. Für das vereinfachte Problem werden hinreichende und notwendige Bedingungen für selbstähnliches Verhalten angegeben. / In this thesis we study the formation of surface singularites of thin liquid films, i.e., rupture of thin liquid films. First, important physical phenomena are discussed and a two-dimensional model for thin-film rupture is derived . That model contains surface tension, van der Waals forces between a liquid and a underlying substrate, and a Navier-slip condition. Using the thin-film hypothesis, this model is simplified and one obtains the so-called strong-slip equation. The phenomenon slip, where the velocity of the liquid is non-zero at a fluid-solid interface, is particularly important at microscopic length scales. In this text we study interfacial singularities with various approaches. The creation of a singularity is described by a linear stability analysis. The non-linear behavior is investigated by a numerical analysis. A finite-difference scheme is used to study the non-linear self-similar dynamics of the singularity. In the second part of this thesis the equations are further simplified. This allows to study qualitative properties of the singularity formation. Furthermore, we can establish a correspondence to models for Ostwald rippending and obtain similar mathematical statements as they are known for self-similar coarsening processes. In particular it is shown that rupture happens after a finite time. In addition, necessary and sufficient condition for self-similar rupture are proven.

Wir betrachten die stochastische Differentialgleichung mit Gedächtnis (SDDE) mit Gedächtnislänge r dX(t) = b(X(u);u in [t-r,t])dt + sigma(X(u);u in [t-r,t])dB(t) mit eindeutiger schwacher Lösung. Dabei ist B eine Brownsche Bewegung, b and sigma sind stetige, lokal beschränkte Funktionen mit Definitionsbereich C[-r,0], und X(u);u in [t-r,t] bezeichnet das Segment der Werte von X(u) für Zeitpunkte u im Intervall [t,t-r]. Unser Ziel ist eine Folge von diskreten Zeitreihen Xh höherer Ordung zu konstruieren, so dass mit h gegen 0 die Zeitreihen Xh schwach gegen die Lösung X der stochastischen Differentialgleichung mit Gedächtnis konvergieren. Desweiteren werden wir Bedingungen angeben, unter denen eine gegeben Folge von Zeitreihen Xh höherer Ordung schwach gegen die Lösung X einer stochastischen Differentialgleichung mit Gedächtnis konvergiert. Als ein Beispiel werden wir den schwachen Grenzwert einer Folge von diskreten GARCH-Prozessen höherer Ordnung ermitteln. Dieser Grenzwert wird sich als schwache Lösung einer stochastischen Differentialgleichung mit Gedächtnis herausstellen. / Consider the stochastic delay differential equation (SDDE) with length of memory r dX(t) = b(X(u);u in [t-r,t])dt + sigma(X(u);u in [t-r,t])dB(t), which has a unique weak solution. Here B is a Brownian motion, b and sigma are continuous, locally bounded functions defined on the space C[-r,0], and X(u);u in [t-r,t] denotes the segment of the values of X(u) for time points u in the interval [t,t-r]. Our aim is to construct a sequence of discrete time series Xh of higher order, such that Xh converges weakly to the solution X of the stochastic differential delay equation as h tends to zero. On the other hand we shall establish under which conditions time series Xh of higher order converge weakly to a weak solution X of a stochastic differential delay equation. As an illustration we shall derive a weak limit of a sequence of GARCH processes of higher order. This limit tends out to be the weak solution of a stochastic differential delay equation.

Ziel dieser Dissertation ist die Untersuchung der asymptotischen Stabilität numerischer Verfahren für Index-2-Algebro-Differentialgleichungen. Es werden Anfangswertaufgaben für quasilineare Algebro-Differentialgleichungen (ADGln). Die meisten anwendungsrelevanten Aufgaben können damit behandelt werden. Zuerst werden einige Stabilitätsbegrife und Aussagen vorgestellt, die das Fundament für den Rest der Arbeit darstellen. Dies erstreckt sich sowohl auf den kontinuierlichen als auch auf den diskreten Fall. Insbesondere werden Kontraktivitätskonzepte eingeführt und Beziehungen zwischen der Kontraktivität der ADGl und derer der Anwendung eines numerischen Verfahrens. Die eingeführte Kontraktivitätsbegriffe erweitern oder verallgemeinern die bereits bekannten Konzepte. Als wichtigste Aussage in dem Kontraktivitätskontext geht ein Theorem hervor, das allgemeine Bedingungen aufstellt, damit die Anwendung eines IRK(DAE)-Verfahrens auf eine ADGl stabil ist. Bekannte Aussagen für gewöhnliche und Algebro-Differntialgleichungen können als Sonderfälle dieses Ergebnisses gesehen werden. Im weiteren Verlauf der Arbeit wird anhand von neuartigen Index-2-Entkopplungs- und Indexreduktionstechniken die Stabilität von Diskretisierungsverfahren untersucht. Die durchgeführte Analyse erbringt neue Ergebnisse, die eine Verbesserung des Kenntnissstandes in diesem Gebiet darstellen. Die erzielte Aussagen stellen hinreichende Bedingungen, damit ein BDF- oder IRK-Verfahren für eine ADGl das gleiche Stabilitätsverhalten wie für eine gewöhnliche Differentialgleichung besitzt. Diese Ergebnisse werden durch numerishce Beispiele veranschaulicht. Weiterhin stellt man fest, dass eine der gefundenen Voraussetzungen für die Kontraktivität der Anwendung eines algebraisch stabilen IRK(DAE)-Verfahrens, auf eine ebenfalls kontraktive ADGl, genügt. Dieses Ergebnis wurde durch die Anwendung der im ersten Teil dieser Arbeit erzielten Kontraktivitätsaussagen ermöglicht. Die Konsequenzen der soeben genannten Aussage für bestimmte Modelle der Schaltkreissimulation werden ebenfalls erläutert. Aus der oben genannten Analyse, ebenso wie aus der Fachliteratur, geht hervor, dass bei manchen ADGl-Aufgaben die Diskretisierungsverfahren Stabilitätsprobleme aufweisen. Um solche Probleme zu behandeln sind bereits einige Ansätze bekannt. Im letzten Teil der Arbeit werden zwei repräsentativen Ansätze betrachtet und ihre Aussichtschancen für Index-2-Aufgaben anhand eines kritischen Beispieles evaluiert. Des Weiteren wird eine Verallgemeinerung für vollimplizite lineare ADGln des Gear-Gupta-Leimkuhler-Ansatzes (GGL) vorgeschlagen. Der Rest der Arbeit beschäftigt sich mit der Stabilitätsuntersuchung der GGL-Formulierung und der auf sie angewandten numerischen Verfahren. Dafür werden Aussagen dieser Arbeit eingesetzt und man kommt zu der Schlussfolgerung, dass sowohl für die IRK(DAE)- als auch für die BDF-Verfahren die Integration der GGL-Formulierung, natürlich unter bestimmten Voraussetzungen, stabil ist. Dieses Ergebniss wird durch ein numerisches Beispiel belegt. Dabei handelt es um eine Gleichung, die mit einer direkten Anwendung eines Verfahrens Instabilitäten aufweist. Jedoch ist die Integration der entsprechenden GGL stabil. / The purpose of the present PhD work is the asymptotic stability investigation of numerical methods for index 2 differential algebraic equations. Initial value problems are considered for quasi linear differential algebraic equations (DAEs) that cover the most important applications. First some stability concepts and related results are presented, which represent the basis for further investigations. This background concerns both, the continuous and the discreet case. Especially contractivity concepts are introduced and the relationship between the asymptotic stability of the DAE and the numerical method applied to it is established. The new contractivity concepts extend or generalize the already known concepts. The most important result in this context is a theorem that establishes general conditions under which the application of an algebraic stable IRK(DAE) method to a DAE is contractive. Well-known assertions for ordinary and differential algebraic equations can be considered as special cases of this general result. Later on the stability of numerical discretizations applied to index-2 DAEs is investigated. This is made possible by the introduction of new decopling and index reduction techniques. The analysis makes new insights in the asymptotic of numerical methods for DAEs possible. The obtained results state sufficient conditions in order that a BDF or an IRK(DAE) method applying to DAEs shows the same asymptotic stability properties as for ODEs. These results are illustrated by some numerical examples. Moreover, it can be realized that one of the found conditions is sufficient in order to show contractivity of the application of an algebraic stable IRK(DAE) method, supposed the DAE is contractive. This assertion is possible based on the general theorem mentioned in the paragraph above. Further some consequences of the mentioned results for electric network models are shown. According to both, the above mentioned analysis and the specialized literature of this field, the application of numerical methods to some special DAEs shows asymptotic stability problems. A few approaches are known to manage such difficult equations. Two exponents of these techniques are considered and their chances of success for index-2 DAEs are evaluated with the application to a critical example. A generalization of the Gear-Gupta-Leimkuhler (GGL) approach is proposed for full implicit linear DAEs. This generalization is investigated in detail in the rest of the paper, concerning both the analytical and the numerical asymptotic stability of the GGL equation and the numerical methods applied to it correspondingly. The result is, that, if some conditions are fulfilled, IRK(DAE) and BDF methods for the GGL equation will produce stable solutions. This result is illustrated by a numerical example. The application of the methods directly to the considered DAE produces unstable solutions. However, the integration of the corresponding GGL formulation is stable. The obtained result opens new possibility for the numerical treatment of instabilities by differential algebraic equations.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Verallgemeinerung von Reaktions-Diffusions-Systemen auf Subdiffusion. Die subdiffusive Dynamik auf mesoskopischer Skala wurde mittels Continuous-Time Random Walks mit breiten Wartezeitverteilungen modelliert. Die Reaktion findet auf mikroskopischer Skala, d.h. während der Wartezeiten, statt und unterliegt dem Massenwirkungsgesetz. Die resultierenden Integro-Differentialgleichungen weisen im Integralkern des Transportterms eine Abhängigkeit von der Reaktion auf. Im Falle der Degradation A->0 wurde ein allgemeiner Ausdruck für die Lösungen beliebiger Dirichlet-Randwertprobleme hergeleitet. Die Annahme, dass die Reaktion dem Massenwirkungsgesetz unterliegt, ist eine entscheidende Voraussetzung für die Existenz stationärer Profile unter Subdiffusion. Eine nichtlineare Reaktion stellt die irreversible autokatalytische Reaktion A+B->2A unter Subdiffusion dar. Es wurde ein Analogon zur Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piscounov-Gleichung (FKPP) aufgestellt und die resultierenden propagierenden Fronten untersucht. Numerische Simulationen legten die Existenz zweier Regimes nahe, die sowohl mittels eines Crossover-Argumentes als auch durch analytische Berechnungen untersucht wurden. Das erste Regime ist charakterisiert durch eine Front, deren Breite und Geschwindigkeit sich mit der Zeit verringert. Das zweite, fluktuationsdominierte Regime liegt nicht im Geltungsbereich der kontinuierlichen Gleichung und weist eine stärkere Abnahme der Frontgeschwindigkeit sowie eine atomar scharf definierte Front auf. Ein anderes Szenario, bei dem eine Spezies A in ein mit immobilen B-Partikeln besetztes Medium hineindiffundiert und gemäß dem Schema A+B->(inert) reagiert, wurde ebenfalls betrachtet. Diese Anordnung wurde näherungsweise als ein Randwertproblem mit einem beweglichen Rand (Stefan-Problem) formuliert. Die analytisch gewonnenen Ergebnisse bzgl. der Position des beweglichen Randes wurden durch numerische Simulationen untermauert. / The present work studies the generalization of reaction-diffusion schemes to subdiffusion. The subdiffusive dynamics was modelled by means of continuous-time random walks on a mesoscopic scale with a heavy-tailed waiting time pdf lacking the first moment. The reaction was assumed to take place on a microscopic scale, i.e. during the waiting times, obeying the mass action law. The resultant equations are of integro-differential form, and the reaction explicitly affects the transport term. The long ranged memory of the subdiffusion kernel is modified by a factor accounting for the reaction of particles during the waiting times. The degradation A->0 was considered and a general expression for the solution to arbitrary Dirichlet Boundary Value Problems was derived. For stationary solutions to exist in reaction-subdiffusion, the assumption of reactions according to classical rate kinetics is essential. As an example for a nonlinear reaction-subdiffusion system, the irreversible autocatalytic reaction A+B->2A under subdiffusion is considered. A subdiffusive analogue of the classical Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piscounov (FKPP) equation was derived and the resultant propagating fronts were studied. Two different regimes were detected in numerical simulations, and were discussed using both crossover arguments and analytic calculations. The first regime is characterized by a decaying front velocity and width. The fluctuation dominated regime is not within the scope of the continuous description. The velocity of the front decays faster in time than in the continuous regime, and the front is atomically sharp. Another setup where reactants A penetrate a medium initially filled with immobile reactants B and react according to the scheme A+B->(inert) was also considered. This problem was approximately described in terms of a moving boundary problem (Stefan-problem). The theoretical predictions concerning the moving boundary were corroborated by numerical simulations.

Die Dissertation behandelt methodische und algorithmische Aspekte der Spektralelementemethode zur räumlichen Diskretisierung partieller Differentialgleichungen. Die Weiterentwicklung einer symmetriebasierten Faktorisierung ermöglicht effiziente Operatoren für Tetraederelemente. Auf Grundlage einer umfassenden Leistungsanalyse werden Engpässe in der Implementierung der Operatoren identifiziert und durch algorithmische Modifikationen der Methode eliminiert.

The analysis of time-delayed dynamics on networks may help to understand many systems from physics, biology, and engineering, such as coupled laser arrays, gene-regulatory networks and complex ecosystems. Beside the complexity due to the network structure, the analysis is further complicated by the presence of the delays. Delay systems are in general infinite dimensional and thus can display complex dynamics as oscillations and chaos. The mathematical difficulties related to the delays hinders the analysis of delay networks. Thus, little is known yet about basic relations between network structure and delay dynamics. It has been shown that networks without delays can be studied efficiently with the generalized modeling approach, which analyzes the stability of an assumed steady state by a direct parametrization of the Jacobian matrix. In this thesis, I demonstrate the extension of the generalized modeling approach to delay networks and analyze networks of delay-coupled delay oscillators, with delayed auto-catalytic growth on the nodes and delayed transport between nodes. For degree-homogeneous networks (DHONs), in which each node has the same number of links, the bifurcation lines that border the stable areas can be calculated analytically, where the topology of the network is described only by the eigenvalues of the adjacency matrix. For undirected networks, the stability pattern in the parameter space of growth and transport delay is governed by two periodic sets of tongues of instability, which depend on the largest positive and the smallest negative eigenvalue. The direct relation between the eigenvalue and the bifurcation lines allows us to predict stability patterns for networks with certain topological properties. Thus, bipartite networks display a characteristic periodicity of tongues. In order to analyze the stability of degree-heterogeneous networks (DHENs), I apply a numerical sampling method based on Cauchy\'s Argument Principle. The stability patterns of these networks resembles the pattern of DHONs, which is governed by the two periodic sets. For networks with sufficiently many links, one set disappears, and the stability of DHENs can be approximates by the stability of a fully-connected network with the same average degree. However, random DHENs tend to be more stable than DHONs, and DHENs with a broad degree-distribution tend to be more stable than DHENs with a narrow distribution. Thus, such networks are more likely to give rise to amplitude death, i.e. the stabilization of an unstable steady state through diffusive coupling. The stability pattern of DHENs can be qualitatively different than the pattern in DHONs. However, for small growth delays, close to the critical delay of the single node system, the bifurcation lines of all DHENs with the same average degree coincide. This, is particularly interesting, because there the stability depends on a global property of the network, which suggests a diverging interaction length. In summary, the extension of generalized modeling to time-delay networks reveals basic relations between the delay dynamics and the topology. The generality of our model should allow to apply these results to a large class of real-world systems.

In this thesis the Lyapunov exponents of random dynamical systems are presented and investigated. The main results are: 1. In the space of all unbounded linear cocycles satisfying a certain integrability condition, we construct an open set of linear cocycles have simple Lyapunov spectrum and no exponential separation. Thus, unlike the bounded case, the exponential separation property is nongeneric in the space of unbounded cocycles. 2. The multiplicative ergodic theorem is established for random difference equations as well as random differential equations with random delay. 3. We provide a computational method for computing an invariant measure for infinite iterated functions systems as well as the Lyapunov exponents of products of random matrices. / In den vorliegenden Arbeit werden Lyapunov-Exponented für zufällige dynamische Systeme untersucht. Die Hauptresultate sind: 1. Im Raum aller unbeschränkten linearen Kozyklen, die eine gewisse Integrabilitätsbedingung erfüllen, konstruieren wir eine offene Menge linearer Kyzyklen, die einfaches Lyapunov-Spektrum besitzen und nicht exponentiell separiert sind. Im Gegensatz zum beschränkten Fall ist die Eingenschaft der exponentiellen Separiertheit nicht generisch in Raum der unbeschränkten Kozyklen. 2. Sowohl für zufällige Differenzengleichungen, als auch für zufällige Differentialgleichungen, mit zufälligem Delay wird ein multiplikatives Ergodentheorem bewiesen. 3.Eine algorithmisch implementierbare Methode wird entwickelt zur Berechnung von invarianten Maßen für unendliche iterierte Funktionensysteme und zur Berechnung von Lyapunov-Exponenten für Produkte von zufälligen Matrizen.

Be it in the weather forecast or while swimming in the Baltic Sea, in almost every aspect of every day life we are confronted with flow phenomena. A common model to describe the motion of viscous incompressible fluids are the Navier-Stokes equations. These equations are not only relevant in the field of physics, but they are also of great interest in a purely mathematical sense. One of the difficulties of the Navier-Stokes equations originates from a non-linear term. In this thesis, we consider the Oseen equations as a linearisation of the Navier-Stokes equations. We restrict ourselves to the two-dimensional case. Our domain will be the unit square. The aim of this thesis is to find a suitable numerical method to overcome known instabilities in discretising these equations. One instability arises due to layers of the analytical solution. Another instability comes from a divergence constraint, where one gets poor numerical accuracy when the irrotational part of the right-hand side of the equations is large. For the first cause, we investigate the layer behaviour of the analytical solution of the corresponding stream function of the problem. Assuming a solution decomposition into a smooth part and layer parts, we create layer-adapted meshes in Chapter 3. Using these meshes, we introduce a numerical method for equations whose solutions are of the assumed structure in Chapter 4. To reduce the instability caused by the divergence constraint, we add a grad-div stabilisation term to the standard Galerkin formulation. We consider Taylor-Hood elements and elements with a discontinous pressure space. We can show that there exists an error bound which is independent of our perturbation parameter and get information about the convergence rate of the method. Numerical experiments in Chapter 5 confirm our theoretical results.

In several mathematical models of physical or technical processes there are non-local boundary-value problems in terms of partial differential equations with integral conditions. In this article we consider hyperbolic differential equations of second order in the rectangle with some integral conditions and their relationship to boundary-value problems for some certain type of loaded equations. / Dieser Beitrag ist mit Zustimmung des Rechteinhabers aufgrund einer (DFG-geförderten) Allianz- bzw. Nationallizenz frei zugänglich.