In der Natur und in technischen Anwendungen findet man viele dynamische System mit zeitlicher Verzögerung (delay),zum Beispiel die Mackey-Glass Gleichung, die als Beschreibung vom Aufbau der Blutzelle angewendet wird, und die Ikeda Gleichung, die ein Modell von einem optischen Resonator ist. Hier ist zeitliche Verzögerung τ eine Konstante, aber sie ist nicht immer konstant in der Natur und in der Praxis. Wie sieht das System aus und welche Stabilitätseigenschaften hat es, wenn die Verzögerung schwankt? In dieser Arbeit benutze ich einige einfache diskrete Abbildungen, um die resultierenden Effekte zu untersuchen.

Die vorliegende Arbeit umfaßt drei Abhandlungen, welche allgemein mit einer stochastischen Theorie für die Lyapunov-Exponenten befaßt sind. Mit Hilfe dieser Theorie werden universelle Skalengesetze untersucht, die in gekoppelten chaotischen und ungeordneten Systemen auftreten. <br /> <br /> Zunächst werden zwei zeitkontinuierliche stochastische Modelle für schwach gekoppelte chaotische Systeme eingeführt, um die Skalierung der Lyapunov-Exponenten mit der Kopplungsstärke ('coupling sensitivity of chaos') zu untersuchen. Mit Hilfe des Fokker-Planck-Formalismus werden Skalengesetze hergeleitet, die von Ergebnissen numerischer Simulationen bestätigt werden. <br /> <br /> Anschließend wird gezeigt, daß 'coupling sensitivity' im Fall gekoppelter ungeordneter Ketten auftritt, wobei der Effekt sich durch ein singuläres Anwachsen der Lokalisierungslänge äußert. Numerische Ergebnisse für gekoppelte Anderson-Modelle werden bekräftigt durch analytische Resultate für gekoppelte raumkontinuierliche Schrödinger-Gleichungen. Das resultierende Skalengesetz für die Lokalisierungslänge ähnelt der Skalierung der Lyapunov-Exponenten gekoppelter chaotischer Systeme. <br /> <br /> Schließlich wird die Statistik der exponentiellen Wachstumsrate des linearen Oszillators mit parametrischem Rauschen studiert. Es wird gezeigt, daß die Verteilung des zeitabhängigen Lyapunov-Exponenten von der Normalverteilung abweicht. Mittels der verallgemeinerten Lyapunov-Exponenten wird der Parameterbereich bestimmt, in welchem die Abweichungen von der Normalverteilung signifikant sind und Multiskalierung wesentlich wird. / This work incorporates three treatises which are commonly concerned with a stochastic theory of the Lyapunov exponents. With the help of this theory universal scaling laws are investigated which appear in coupled chaotic and disordered systems. <br /> <br /> First, two continuous-time stochastic models for weakly coupled chaotic systems are introduced to study the scaling of the Lyapunov exponents with the coupling strength (coupling sensitivity of chaos). By means of the the Fokker-Planck formalism scaling relations are derived, which are confirmed by results of numerical simulations. <br /> <br /> Next, coupling sensitivity is shown to exist for coupled disordered chains, where it appears as a singular increase of the localization length. Numerical findings for coupled Anderson models are confirmed by analytic results for coupled continuous-space Schrödinger equations. The resulting scaling relation of the localization length resembles the scaling of the Lyapunov exponent of coupled chaotic systems. <br /> <br /> Finally, the statistics of the exponential growth rate of the linear oscillator with parametric noise are studied. It is shown that the distribution of the finite-time Lyapunov exponent deviates from a Gaussian one. By means of the generalized Lyapunov exponents the parameter range is determined where the non-Gaussian part of the distribution is significant and multiscaling becomes essential.

In this thesis the Lyapunov exponents of random dynamical systems are presented and investigated. The main results are: 1. In the space of all unbounded linear cocycles satisfying a certain integrability condition, we construct an open set of linear cocycles have simple Lyapunov spectrum and no exponential separation. Thus, unlike the bounded case, the exponential separation property is nongeneric in the space of unbounded cocycles. 2. The multiplicative ergodic theorem is established for random difference equations as well as random differential equations with random delay. 3. We provide a computational method for computing an invariant measure for infinite iterated functions systems as well as the Lyapunov exponents of products of random matrices. / In den vorliegenden Arbeit werden Lyapunov-Exponented für zufällige dynamische Systeme untersucht. Die Hauptresultate sind: 1. Im Raum aller unbeschränkten linearen Kozyklen, die eine gewisse Integrabilitätsbedingung erfüllen, konstruieren wir eine offene Menge linearer Kyzyklen, die einfaches Lyapunov-Spektrum besitzen und nicht exponentiell separiert sind. Im Gegensatz zum beschränkten Fall ist die Eingenschaft der exponentiellen Separiertheit nicht generisch in Raum der unbeschränkten Kozyklen. 2. Sowohl für zufällige Differenzengleichungen, als auch für zufällige Differentialgleichungen, mit zufälligem Delay wird ein multiplikatives Ergodentheorem bewiesen. 3.Eine algorithmisch implementierbare Methode wird entwickelt zur Berechnung von invarianten Maßen für unendliche iterierte Funktionensysteme und zur Berechnung von Lyapunov-Exponenten für Produkte von zufälligen Matrizen.

In der Natur und in technischen Anwendungen findet man viele dynamische System mit zeitlicher Verzögerung (delay),zum Beispiel die Mackey-Glass Gleichung, die als Beschreibung vom Aufbau der Blutzelle angewendet wird, und die Ikeda Gleichung, die ein Modell von einem optischen Resonator ist. Hier ist zeitliche Verzögerung τ eine Konstante, aber sie ist nicht immer konstant in der Natur und in der Praxis. Wie sieht das System aus und welche Stabilitätseigenschaften hat es, wenn die Verzögerung schwankt? In dieser Arbeit benutze ich einige einfache diskrete Abbildungen, um die resultierenden Effekte zu untersuchen.

In this thesis the Lyapunov exponents of random dynamical systems are presented and investigated. The main results are: 1. In the space of all unbounded linear cocycles satisfying a certain integrability condition, we construct an open set of linear cocycles have simple Lyapunov spectrum and no exponential separation. Thus, unlike the bounded case, the exponential separation property is nongeneric in the space of unbounded cocycles. 2. The multiplicative ergodic theorem is established for random difference equations as well as random differential equations with random delay. 3. We provide a computational method for computing an invariant measure for infinite iterated functions systems as well as the Lyapunov exponents of products of random matrices. / In den vorliegenden Arbeit werden Lyapunov-Exponented für zufällige dynamische Systeme untersucht. Die Hauptresultate sind: 1. Im Raum aller unbeschränkten linearen Kozyklen, die eine gewisse Integrabilitätsbedingung erfüllen, konstruieren wir eine offene Menge linearer Kyzyklen, die einfaches Lyapunov-Spektrum besitzen und nicht exponentiell separiert sind. Im Gegensatz zum beschränkten Fall ist die Eingenschaft der exponentiellen Separiertheit nicht generisch in Raum der unbeschränkten Kozyklen. 2. Sowohl für zufällige Differenzengleichungen, als auch für zufällige Differentialgleichungen, mit zufälligem Delay wird ein multiplikatives Ergodentheorem bewiesen. 3.Eine algorithmisch implementierbare Methode wird entwickelt zur Berechnung von invarianten Maßen für unendliche iterierte Funktionensysteme und zur Berechnung von Lyapunov-Exponenten für Produkte von zufälligen Matrizen.

Für einen R^d-wertigen stochastischen Prozess X auf R bezeichne X_t den Segmentprozess X_t:={X(t+u): u = 0. Es wird folgende affine stochastische Differentialgleichung mit unendlichem Gedächtnis betrachtet: dX(t)=L(X_t)dt + dW(t) für t >= 0, X_0=F, (A) wobei L:B -> R^d ein lineares stetiges Funktional, W einen Wiener-Prozess mit Werten in R^d sowie B einen semi-normierten linearen Unterraum von {f:(-00, 0] -> R^d} bezeichnen. Die Anfangsbedingung F ist eine B-wertige Zufallsvariable. Die Lösung X der Gleichung (A) lässt sich mittels einer Formel der Variation der Konstanten darstellen. Für die Existenz einer stationären Lösung werden hinreichende und notwendige Bedingungen vorgestellt. Für eine spezielle Klasse von Funktionalen L kann Gleichung (A) auf ein System gewöhnlicher stochastischer Gleichungen ohne Gedächtnis reduziert werden. Diese Reduktion wird im Detail untersucht, insbesondere gewinnt man hierdurch ein einfaches äquivalentes Kriterium für die Existenz stationärer Lösungen von Gleichungen mit Funktionalen L dieser Klasse. Durch Einbettung der Gleichung (A) in den Bidualraum B** gelingt die Bestimmung der Lyapunov-Exponenten der Lösung. Hierzu wird ein neuer Zusammenhang der Lösung der sogenannten adjungierten Gleichung von (A) und einer Spektralzerlegung des Raumes B benutzt. Die Untersuchung der stetigen Abhängigkeit der Lösung von dem Funktional L und der Anfangsbedingung F ermöglicht die Behandlung anwendungsorientierter Aspekte. In Verbindung mit den Ergebnissen über reduzierbare Gleichungen wird ein Verfahren zur Approximation der Lösung von Gleichung (A) durch Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse vorgestellt. Eine allgemeine Klasse von Ito-Differentialgleichungen mit nichtlinearen vergangenheitsabhängigen Drift- und Dispersionskoeffizienten wird eingeführt, in der die Gleichung (A) als eine spezielle affine Gleichung verstanden werden kann. Für diese allgemeinen Gleichungen wird ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz nachgewiesen. / For an R^d-valued stochastic process X denote the segment process by X_t:={X(t+u): u = 0. We consider the following affine stochastic differential equation with infinite delay: dX(t)=L(X_t)dt + dW(t) for t >= 0, X_0= F, (A) where L:B -> R^d denotes a linear continuous functional, W denotes a Wiener process with values in R^d and B is a semi-normed linear subspace of {f: (-00, 0] -> R^d}. The initial condition F is a B-valued random variable. The solution X of equation (A) can be represented by a variation of constants formula. We provide sufficient and necessary conditions for the existence of a stationary solution. For a special class of functionals L the equation (A) can be reduced to a system of ordinary stochastic differential equations without memory. This reduction is studied in detail. In particular, we deduce a simple equivalent condition for the existence of stationary solutions of equations with functionals L in this class. The embedding of equation (A) into the bidualspace B** enables us to calculate the Lyapunov exponents of the solution. For this purpose we exploit a new connection between the solution of the so-called adjoint equation of (A) and a spectral decompositon of the space B. By considering the continuous dependence of the solution on the functional L and the initial condition F we obtain results useful in applications. In conjunction with results on reducible equations we establish an approximation scheme for the solution of equation (A) by Ornstein-Uhlenbeck processes. Moreover, we introduce a general class of Ito differential equations with non-linear drift and dispersion hereditary coefficients. We deduce a result on the existence of unique solutions for this general class of equations. Equation (A) can be regarded as a special affine equation in this class.

Systeme mit Zeitverzögerung sind dadurch charakterisiert, dass deren zukünftige Entwicklung durch den Zustand zum aktuellen Zeitpunkt nicht eindeutig festgelegt ist. Die Historie des Zustands muss in einem Zeitraum bekannt sein, dessen Länge Totzeit genannt wird und die Gedächtnislänge festlegt. In dieser Arbeit werden fundamentale Effekte untersucht, die sich ergeben, wenn die Totzeit zeitlich variiert wird. Im ersten Teil werden zwei Klassen periodischer Totzeitvariationen eingeführt. Da diese von den dynamischen Eigenschaften einer eindimensionalen iterierten Abbildung abgeleitet werden, die über die Totzeit definiert wird, werden die Klassen entsprechend der zugehörigen Dynamik konservativ oder dissipativ genannt. Systeme mit konservativer Totzeit können in Systeme mit konstanter Totzeit transformiert werden und besitzen gleiche charakteristische Eigenschaften. Dagegen weisen Systeme mit dissipativer Totzeit fundamentale Unterschiede z.B. in der Tangentialraumdynamik auf. Im zweiten Teil werden diese Ergebnisse auf Systeme angewendet, deren Totzeit im Vergleich zur internen Relaxationszeit des Systems groß ist. Es zeigt sich, dass ein durch dissipative Totzeitvariationen induzierter Mechanismus, genannt resonanter Dopplereffekt, unter anderem zu neuen Arten chaotischer Dynamik führt. Diese sind im Vergleich zur bekannten chaotischen Dynamik in Systemen mit konstanter Totzeit sehr niedrig-dimensional. Als Spezialfall wird das so genannte laminare Chaos betrachtet, dessen Zeitreihen durch nahezu konstante Phasen periodischer Dauer gekennzeichnet sind, deren Amplitude chaotisch variiert. Im dritten Teil dieser Arbeit wird auf der Basis experimenteller Daten und durch die Analyse einer nichtlinearen retardierten Langevin-Gleichung gezeigt, dass laminares Chaos robust gegenüber Störungen wie zum Beispiel Rauschen ist und experimentell realisiert werden kann. Es werden Methoden zur Zeitreihenanalyse entwickelt, um laminares Chaos in experimentellen Daten ohne Kenntnis des erzeugenden Systems zu detektieren. Mit diesen Methoden ist selbst dann eine Detektion möglich, wenn das Rauschen so stark ist, dass laminares Chaos mit bloßem Auge nur schwer erkennbar ist.:1. Introduction 2. Dissipative and conservative delays in systems with time-varying delay 3. Laminar Chaos and the resonant Doppler effect 4. Laminar Chaos: a robust phenomenon 5. Summary and concluding remarks A. Appendix / In systems with time-delay, the evolution of a system is not uniquely determined by the state at the current time. The history of the state must be known for a time period of finite duration, where the duration is called delay and determines the memory length of the system. In this work, fundamental effects arising from a temporal variation of the time-delay are investigated. In the first part, two classes of periodically time-varying delays are introduced. They are related to a specific dynamics of a one-dimensional iterated map that is defined by the time-varying delay. Referring to the related map dynamics the classes are called conservative or dissipative. Systems with conservative delay can be transformed into systems with constant delay, and thus have the same characteristic properties as constant delay systems. In contrast, there are fundamental differences, for instance, in the tangent space dynamics, between systems with dissipative delay and systems with constant delay. In the second part, these results are applied to systems with a delay that is considered large compared to the internal relaxation time of the system. It is shown that a mechanism induced by dissipative delays leads to new kinds of regular and chaotic dynamics. The dynamics caused by the so-called resonant Doppler effect is fundamentally different from the behavior known from systems with constant delay. For instance, the chaotic attractors in systems with dissipative delay are very low-dimensional compared to typical ones arising in systems with constant delay. An example of this new kind of low-dimensional dynamics is given by the so-called Laminar Chaos. It is characterized by nearly constant laminar phases of periodic duration, where the amplitude varies chaotically. In the third part of this work, it is shown that Laminar Chaos is a robust phenomenon, which survives perturbations such as noise and can be observed experimentally. Therefore experimental data is provided and a nonlinear delayed Langevin equation is analyzed. Using the robust features that characterize Laminar Chaos, methods for time series analysis are developed, which enable us to detect Laminar Chaos without the knowledge of the specific system that has generated the time series. By these methods Laminar Chaos can be detected even for comparably large noise strengths, where the characteristic properties are nearly invisible to the eye.:1. Introduction 2. Dissipative and conservative delays in systems with time-varying delay 3. Laminar Chaos and the resonant Doppler effect 4. Laminar Chaos: a robust phenomenon 5. Summary and concluding remarks A. Appendix