Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Synchronisation chaotischer dynamischer Systeme. Synchronisationsphänomene periodischer Oszillatoren sind wohlbekannt und gut verstanden. Aber auch chaotische Systeme können miteinander synchronisieren, wobei eine Vielzahl neuer Phänomene auftritt. Bei identischen Systemen kann bei entsprechender Kopplung identische Synchronisation auftreten, wo die Systeme asymptotisch die exakt gleiche Zeitentwicklung besitzen. Zu diesem Zweck steht eine Vielzahl von Kopplungstechniken zu Verfügung, die aber bisher nicht die (chaotische) Eigendynamik der Systeme ausnutzen. Aus diesem Grund führen wir eine dynamische Kopplungsstrategie ein, welche von der Systemdynamik definiert wird und stabile Synchronisation garantiert ...

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Modeling complex gene interacting systems as Boolean networks lead to a significant simplification of computational investigation. This can be achieved by discretization of the expression level to ON or OFF states and classifying the interactions to inhibitory and activating. In this respect, Boolean functions are responsible for the evolution of the binary elements of the Boolean networks. In this thesis, we investigate the mostly used Boolean functions in modeling gene regulatory networks. Moreover, we introduce a new type of function with strong inhibitory namely the veto function. Our computational and analytic studies on the verity of the networks capable of constructing the same State Transition Graph lead to define a new concept namely the “degeneracy” of Boolean functions. We further derive analytically the sensitivity of the Boolean functions to perturbations. It turns out that the veto function forms the most robust dynamics. Furthermore, we verify the applicability of veto function to model the yeast cell cycle networks. In particular, we show that in an intracellular signal transduction network [Helikar et al, PNAS (2008)], the functions with veto are over-represented by a factor exceeding the over-representation of threshold functions and canalyzing functions in the same system. The statistics of the connections of the functional networks are studied in detail. Finally, we look at a different scale of biological phenomena using a binary model. We propose a simple correlation-based model to describe the pattern formation of Fly eye. Specifically, we model two different procedures of Fly eye formation, and provide a generic approach for Fly eye simulation.

Eine klassische Art, die Dynamik nichtlinearer Systeme zu beschreiben, besteht in der Analyse ihrer Fourierspektren. Für periodische und quasiperiodische Prozesse besteht das Fourierspektrum nur aus diskreten Deltafunktionen. Das Spektrum einer chaotischen Bewegung ist hingegen durch das Vorhandensein einer stetigen Komponente gekennzeichnet. In der Arbeit geht es um einen eigenartigen, weder regulären noch vollständig chaotischen Zustand mit sogenanntem singulärstetigen Leistungsspektrum. <br /> Unsere Analyse ergab verschiedene Fälle aus weit auseinanderliegenden Gebieten, in denen singulär stetige (fraktale) Spektren auftreten. Die Beispiele betreffen sowohl physikalische Prozesse, die auf iterierte diskrete Abbildungen oder gar symbolische Sequenzen reduzierbar sind, wie auch Prozesse, deren Beschreibung auf den gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichungen basiert. / One of the classical ways to describe the dynamics of nonlinear systems is to analyze theur Fourier spectra. For periodic and quasiperiodic processes the Fourier spectrum consists purely of discrete delta-functions. On the contrary, the spectrum of a chaotic motion is marked by the presence of the continuous component. In this work, we describe the peculiar, neither regular nor completely chaotic state with so called singular-continuous power spectrum. <br /> Our investigations concern various cases from most different fields, where one meets the singular continuous (fractal) spectra. The examples include both the physical processes which can be reduced to iterated discrete mappings or even symbolic sequences, and the processes whose description is based on the ordinary or partial differential equations.

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Modeling complex gene interacting systems as Boolean networks lead to a significant simplification of computational investigation. This can be achieved by discretization of the expression level to ON or OFF states and classifying the interactions to inhibitory and activating. In this respect, Boolean functions are responsible for the evolution of the binary elements of the Boolean networks. In this thesis, we investigate the mostly used Boolean functions in modeling gene regulatory networks. Moreover, we introduce a new type of function with strong inhibitory namely the veto function. Our computational and analytic studies on the verity of the networks capable of constructing the same State Transition Graph lead to define a new concept namely the “degeneracy” of Boolean functions. We further derive analytically the sensitivity of the Boolean functions to perturbations. It turns out that the veto function forms the most robust dynamics. Furthermore, we verify the applicability of veto function to model the yeast cell cycle networks. In particular, we show that in an intracellular signal transduction network [Helikar et al, PNAS (2008)], the functions with veto are over-represented by a factor exceeding the over-representation of threshold functions and canalyzing functions in the same system. The statistics of the connections of the functional networks are studied in detail. Finally, we look at a different scale of biological phenomena using a binary model. We propose a simple correlation-based model to describe the pattern formation of Fly eye. Specifically, we model two different procedures of Fly eye formation, and provide a generic approach for Fly eye simulation.

Eine Verallgemeinerung der klassischen Resultate von Von Neumann und Birkhoff ist die Frage nach gewichteten Versionen ihrer Theoreme. Eine zentrale Antwort auf diese Fragestellung lieferte Jean Bourgain 1988 mit seinem Rückkehrzeitentheorem. Aufbauend auf dem Beweis von Bourgain, Furstenberg, Katznelson und Ornstein aus dem Jahr 1989 sowie dem Buch von Assani präsentieren wir einen ausführlichen und vollständigen Beweis und besprechen insbesondere den Fall von dynamischen Systemen mit rein atomarer invarianter sigma-Algebra. / In this diploma thesis we present a detailed proof of Bourgain's Return Times Theorem due to Bourgain, Furstenberg, Katznelson and Ornstein following their paper as well as the book by Assani. In particular, we discuss the case of systems with a purely atomic invariant sigma-algebra in all details.

Klimawandel, Staatsdefizit, COVID-19, das eigene Bankkonto oder der Wasserstand in der Badewanne – dynamische Systeme unterschiedlichster Komplexität umgeben uns alle ständig. Da sich dynamische Systeme unablässig verändern, müssen auch wir Menschen immer wieder unser Verhalten anpassen, um unser Leben innerhalb der Systeme möglichst angenehm zu gestalten – bspw. die Erderwärmung begrenzen, das Staatsdefizit senken, die Ausbreitung von Pandemien zumindest verlangsamen, fürs Alter ansparen oder die Badewanne am Überlaufen hindern. Jedoch gelingt es uns nicht immer, alle unsere Ziele zu erreichen, was u.a. daran liegt, dass wir häufig die Struktur des dynamischen Systems nicht komplett verstehen und statt antizipierend Handlungen einzuleiten meist erst reaktiv handeln, wenn die Auswirkungen unseres (Nichts-)Tuns bereits offensichtlich sind. Dann ist ein Umsteuern im System jedoch i.d.R. deutlich schwieriger. Es gibt eine Vielzahl an Befunden, die darlegen, dass Menschen nicht erst bei komplexen dynamischen Systemen wie der oben genannten Klimakrise oder der Corona-Pandemie Probleme haben, das System zu verstehen. Selbst bei sehr einfachen dynamischen Systemen, bei denen man sich nur die Entwicklung von zwei Größen (Zu- und Abfluss) über die Zeit hinweg anschaut, fällt es vielen Menschen schwer, die Auswirkungen auf eine dritte Größe (den Bestand) richtig vorher zu sagen. Die Überlegung liegt nahe, dass wenn selbst diese basalen dynamischen Systeme (man spricht von sogenannten Stock Flow Systemen) nicht richtig verstanden werden, ein Verständnis der komplexen Systeme erst recht schwerfällt. Das Ziel der vorliegenden Dissertation war es, herauszufinden, worin das schlechte Verständnis von Stock Flow (SF) Systemen begründet liegt und welche Denkmuster für ein gutes Verständnis dieser einfachen dynamischen Systeme förderlich sind. Auf dieser Basis wurde eine einfache und kurze Intervention entwickelt, die es ermöglichen sollte, das Verhalten von SF Systemen verstehen und vorhersagen zu können. Nachdem zu Beginn der Dissertation ein systematischer Überblick über bisher unternommene Interventions- und Trainingsversuche und deren Wirkung auf das SF Verständnis gegeben wird, folgen drei experimentelle Teile und eine abschließende Diskussion. Der experimentelle Teil beginnt mit einer Laut Denken Studie, die untersuchte, welche Denkprozesse bei Lösern und Nichtlösern von SF Aufgaben während der Bearbeitung dieser Aufgaben auftreten. Die Denkmuster wurden mittels Thematischer Analyse zu Themen zusammengefasst, um daraus Interventionen für die dritte experimentelle Untersuchung der Dissertation abzuleiten. Die erste Studie diente zudem dazu den Einfluss einer generellen (GPS) gegenüber einer konventionellen Problemlösestrategie (CPS) auf die Lösungsrate von SF Aufgaben zu untersuchen. Im zweiten experimentellen Teil wurde untersucht, inwiefern das Erhebungssetting Einfluss auf die erfasste SF Leistung hat. Die meisten Studien bisher wurden papierbasiert erhoben. Die Intervention im dritten experimentellen Teil sollte jedoch online erfolgen, um eine größere Zahl von Personen zu erreichen. Dieses zweite Experiment diente daher dazu eine Baseline vor der Interventionsstudie zu etablieren. Insgesamt 171 Personen bearbeiteten entweder mit Papier und Bleistift vor Ort oder online über einen PC dieselben Aufgaben. Es zeigten sich höhere Lösungsraten für das Online-Setting gegenüber dem papierbasierten Ansatz. Eine mögliche Erklärung dafür ist Selbstselektion durch einen relativ hohen Dropout von Probanden in der Online-Studie nachdem sie die Aufgaben gesehen hatten. Von den Probanden vor Ort im Labor brach keiner die Datenerhebung ab. Neben dem Einfluss des Settings wurde in der zweiten Studie zudem untersucht, ob der in der Laut Denken Studie gefundene vorteilhafte Effekt einer GPS- gegenüber einer CPS-Strategie auch in einer größeren Stichprobe bestand hat. Dem war so. Einen noch deutlich größeren Effekt auf die Lösungsrate in beiden Experimenten hatte das Geschlecht der Probanden (Männer schnitten deutlich besser ab als Frauen). Interesse an und Note in Mathematik sowie ein Ausbildungshintergrund im MINT-Bereich waren darüber hinaus ebenfalls gute Prädiktoren für die SF Leistung. Im dritten experimentellen Teil schließlich wurden die bisherigen Erkenntnisse gebündelt, um eine kompakte, online präsentierbare Intervention zu entwickeln, die das Verständnis einfacher dynamischer Systeme erhöhen sollte. 241 Probanden nahmen in einer Initialerhebung t0 in einer von drei Bedingungen an der Studie teil. Hypothesenkonform schnitt die Kontrollgruppe am schlechtesten, die EG 2 am besten ab. Im Anschluss an die Aufgabenbearbeitung bekamen alle Probanden die korrekten Lösungen samt erklärendem Lösungsweg rückgemeldet. Um zu schauen, ob die Interventionseffekte auch mittel- und langfristig stabil waren und ob das Feedback am Studienende einen positiven Einfluss auf zukünftige SF Leistungen hatte, erfolgten zwei weitere Erhebungen ohne zusätzliche Interventionen nach zwei Monaten und erneut nach zweieinhalb Jahren. Zum ersten Nacherhebungszeitpunkt gab es noch 129, zum zweiten 73 auswertbare Datensätze. Während die Lösungsraten bei der ersten Nacherhebung verglichen mit t0 über alle Gruppen anstiegen, sanken sie nach zweieinhalb Jahren zwar wieder etwas ab, lagen im Mittel aber immer noch über denen von t0. Der Interventionseffekt zwischen den Gruppen war selbst nach dieser langen Zeit deskriptiv noch sichtbar. Obgleich die Intervention nicht alle Teilnehmer erreichte, so erzielten die Personen, die von der kurzen Intervention profitierten, einen nachhaltigen Erkenntnisgewinn. Verschiedene Personencharakteristika wie Geschlecht, Mathematiknote und Motivation beeinflussten die gezeigte SF Leistung mit. Der letzte Teil dieser Dissertation fasst die Befunde zusammen, diskutiert potentielle Einschränkungen und gibt einen Ausblick auf mögliche Anschlussfragestellungen. So wurden in der Dissertation essentielle Denkprozesse identifiziert, die Löser von SF Aufgaben durchlaufen, Nichtlöser hingegen nicht. Die Arbeit zeigte einen vorteilhaften Effekt bei Nutzung einer generellen gegenüber einer konventionellen Problemlösestrategie und durch ein nur 20-minütiges Programm, welches verschiedene Interventionsansätze kombinierte, konnte ich einen langfristig positiven Effekt auf das SF Verständnis erzielen. Zukünftige Arbeiten sollten einen Fokus darauf legen Personen mit einem niedrigen Grundverständnis für dynamische Systeme für eine Intervention zu gewinnen, da diese Personengruppe das Experiment überproportional oft abbrach, gleichzeitig aber vermutlich besonders stark von einer entsprechenden Intervention profitieren könnte. Die Untersuchung inwiefern ein gesteigertes Verständnis einfacher dynamischer Systeme auch zu einem besseren Verständnis komplexer dynamischer Systeme im Alltag führt stellt eine von mehreren spannenden Anschlussfragestellungen dar.:Danksagung Anmerkung zur geschlechtsneutralen Formulierung Zusammenfassung Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis Abkürzungsverzeichnis 1. Einleitung 2. Theoretische Grundlagen zum Verständnis dynamischer Systeme 2.1 Komplexe dynamische Systeme, Systems Thinking, System Dynamics und Stock Flow 2.1.1 Komplexe dynamische Systeme 2.1.2 Systems Thinking 2.1.3 System Dynamics 2.1.4 Stock Flow als Basis-Element komplexer dynamischer Systeme 2.2 Praktische Relevanz – Warum sollte jeder dynamische Systeme verstehen 2.2.1 Beispiele für die Bedeutung im Alltag 2.2.2 Probleme beim Stock Flow Verständnis 2.3 Bisher untersuchte Interventionsansätze bei Stock Flow Aufgaben 2.3.1 Einfach zu manipulierende Größen 2.3.2 Schwierig experimentell zu manipulierende Aspekte/ in der Person liegende Variablen 2.3.3 Instruktions-/Trainingsansätze 2.4 Interventionsansätze bei anderen kognitiven Aufgaben 2.5 Offene Fragen 2.6 Erforschen, wo das Problem liegt – Lautes Denken 2.7 Evaluation eines Interventionsansatzes 2.8 Zielsetzungen und untersuchte Fragestellungen 3 Worin liegen die Verständnisschwierigkeiten bei Stock Flow Aufgaben begründet? Eine Laut Denken Studie 3.1 Theorie 3.1.1 Qualitative Fragestellungen 3.1.2 Quantitative Hypothesen 3.2 Methode 3.2.1 Stichprobe 3.2.2 Materialien 3.2.3 Design und Versuchsdurchführung 3.3 Ergebnisse 3.3.1 Quantitative Auswertung 3.3.2 Qualitative Auswertung 3.4 Diskussion 4 Sind verschiedene Erhebungsmodi vergleichbar und hat der Einfluss der Problem- lösestrategie bestand? 4.1 Theorie 4.2 Methode 4.2.1 Stichprobe 4.2.2 Materialien 4.2.3 Design und Versuchsdurchführung 4.3 Ergebnisse 4.4 Diskussion 5 Eine Intervention für ein nachhaltig besseres Stock Flow Verständnis 5.1 Erstellung und Erprobung des Interventionsprogramms 5.1.1 Einleitung 5.1.2 Methode 5.1.2.1 Stichprobe 5.1.2.2 Materialien 5.1.2.3 Design und Versuchsdurchführung 5.1.3 Ergebnisse 5.1.4 Diskussion 5.2 Nacherhebung und Evaluation des Interventionsprogramms 5.2.1 Einleitung 5.2.2 Methode 5.2.2.1 Stichprobe 5.2.2.2 Materialien 5.2.2.3 Design und Versuchsdurchführung 5.2.3 Ergebnisse 5.2.4 Diskussion der Nacherhebungen und Bewertung der Interventionsstudie gesamt 6 Generelle Diskussion 6.1 Zusammenfassung der durchgeführten Studien 6.2 Ziele und Ergebnisse der Studien 6.3 Mögliche Einschränkungen der Untersuchungen 6.4 Unerwartete Befunde und denkbare Ursachen 6.5 Weitere Forschung zur Verbesserung der Lösungsraten bei Stock Flow Aufgaben 6.6 Praktische Implikationen für künftige Interventionsansätze 6.7 Fazit/ Schlusswort Literaturverzeichnis Anhang ............................................................................................................. 238 ANHANG A.1 ANHANG A.2 ANHANG A.3 ANHANG B.1 ANHANG B.2 ANHANG B.3 ANHANG C.1 ANHANG C.2 ANHANG C.3 ANHANG C.4 ANHANG C.5

Einfache oder komplexe dynamische Systeme stellen Individuen und Gesellschaften gleichermaßen vor mitunter große Herausforderungen, wie regionale und globale Krisen immer wieder zeigen. Ein basales und allgemeines Verständnis dynamischer Zusammenhänge scheint daher nicht nur wünschenswert, sondern mit Blick auf ausgewählte aktuelle Krisen sogar notwendiger denn je. Doch auch in alltäglichen Situationen oder im Schulkontext kann ein fundamentales Verständnis dynamischer Systeme die individuellen Entscheidungen oder den mathematischen Erkenntnisgewinn unterstützen. Allerdings zeigt eine breite Basis empirischer Befunde, dass bereits relativ einfache Dynamiken, wie Fluss-Bestands-Systeme (FB-Systeme), nur unzureichend erfasst zu werden scheinen. Diese Dissertationsschrift verfolgt daher die generelle Fragestellung, wie sich ein basales Verständnis formal einfacher FB-Systeme fördern oder generieren lassen könnte. Aufgrund einer bislang fehlenden einheitlichen theoretischen Beschreibung des FB-Verständnisses und dessen Einflussfaktoren basiert die vorgestellte Untersuchungsserie einerseits auf drei ausgewählten generellen theoretischen Perspektiven und daraus abgeleiteten Einflussfaktoren. Zusätzlich wurden einzelne weitere theoretische Modelle und eine Vielzahl spezifischer empirischer Befunde, zur Wirksamkeit verschiedener Präsentationsformate auf kognitive Fähigkeiten, für die Begründung der experimentellen Manipulationen herangezogen. In einer Serie von sieben experimentellen Untersuchungen wurden diverse Möglichkeiten grafischer Darstellungen, isoliert und in Wechselwirkung mit verschiedenen Personenmerkmalen, empirisch bezüglich ihres Einflusses auf das basale Verständnis illustrierter FB-Systeme überprüft. Unter Anwendung geltender wissenschaftlicher Standards und durch Nutzung moderner inferenzstatistischer Verfahren erlauben die gewonnen Ergebnisse eine fundierte Beurteilung der untersuchten Einflussfaktoren. Organisiert in drei Teilen, konnten in einer Folge von einfachen statischen Abbildungen, über passive dynamische Repräsentationen, bis hin zu interaktiven animierten Interventionsformaten, zahlreiche Illustrationsvarianten in ihrer Wirkung auf ein basales FB-Verständnis beurteilt werden. In den Experimenten 1 bis 3 wurden zunächst ausgewählte statische Darstellungsformate, spezifische Kontexteinbettungen und adaptierte Instruktionsansätze überprüft. Dabei zeigte sich keiner der manipulierten Darstellungsaspekte als genereller Wirkfaktor auf das basale FB-Verständnis. Weder kombinierte oder angepasste Diagrammdarstellungen, noch Zusatzinformationen oder überlebensrelevante Kontexteinbettungen führten zu den erwarteten Verbesserungen des FB-Verständnisses. Selbst, auf etablierten pädagogischen Interventionen basierende Instruktionsformen zeigten keinen systematischen Einfluss auf die Lösungsraten von FB-Aufgaben. In den anschließenden Experimenten 4 bis 6 konnten unter passiven dynamischen Darstellungen – rezipierende Animationen ohne Eingriffsmöglichkeiten – gleichfalls keine generell wirksamen Formate identifiziert werden. Ob fließend oder segmentiert, einmalig oder repetitiv, einzeln oder kombiniert: Keine der untersuchten passiven Animationsarten schlug sich in verbesserten Lösungsraten nieder. Im letzten Teil der Dissertation wurden schließlich interaktiv dynamische Formate am Beispiel von eigens konzipierten computerspielbasierten Lerninterventionen empirisch untersucht. Erneut zeigten sich keine Haupteffekte für die Attribute dieser Art der Informationsvermittlung. Einerseits bieten die gewonnenen Daten insgesamt keine konkreten Hinweise darauf, welche Formate generell geeignet sein könnten, FB-Zusammenhänge verständlich zu kommunizieren. Andererseits ließen sich wiederholt relevante Individualfaktoren identifizieren, die, spezifisch und in Wechselwirkungen mit den Repräsentationsformaten, das Ausmaß des individuellen FB-Verständnisses substanziell zu beeinflussen scheinen. Bereits in den ersten Experimenten traten spezifische Personenmerkmale hervor, die sich über die gesamte Untersuchungsserie hinweg als eigenständige Determinanten prädiktiv für das FB-Verständnis zeigten. Das Geschlecht (wobei Männer im Mittel ein besseres FB-Verständnis zeigten) und die mathematischen Fähigkeiten der Versuchspersonen bestimmen offenbar das Verständnis einfacher dynamischer Systeme deutlich stärker, als jedes der manipulierten Darstellungsformate. Gleichfalls scheinen sie für alle untersuchten Varianten der Repräsentationsformate vergleichbar und unabhängig voneinander relevant zu sein – wie statistische Kontrollmaßnahmen zeigen konnten. Vereinzelt, aber weniger stringent, konnten ebenfalls prädiktive Einflüsse motivationaler und kognitiver Faktoren, wie räumliche Intelligenz, beobachtet werden. Einige dieser Personenmerkmale traten wiederholt, wenn auch ohne erkennbare Systematik, in Wechselwirkung mit den experimentellen Darstellungsvarianten in Erscheinung. In Abhängigkeit von bestimmten Personenmerkmalen wirkten sich demnach einige der untersuchten Darstellungsformen unterschiedlich auf die Leistung in FB-Aufgaben aus. Insbesondere für animierte Präsentationsformate zeigten sich dabei Interaktionseffekte mit dem Geschlecht, wonach Männer und Frauen offenbar von verschiedenen Illustrationsarten profitieren. In nahezu allen Experimenten der Teile II und III konnte ein derartiger Geschlechter-Darstellungsformat-Interaktionseffekt beobachtet werden. Weitaus seltener zeigten sich hingegen Moderatoreffekte von motivationalen oder kognitiven Faktoren. Obwohl die mathematischen Fähigkeiten über alle Experimente hinweg als substanzieller Prädiktor des FB-Verständnisses in Erscheinung traten, fanden sich überdies durchgängig keine Anzeichen für dementsprechende Interaktionseffekte. Darüber hinaus boten explorative Vergleiche zwischen den verschiedenen Experimenten weitere interessante Hinweise auf die Hintergründe des generell relativ schwach ausgeprägten basalen FB-Verständnisses. Da Experiment 6 in Kooperation mit der Pädagogischen Hochschule Heidelberg durchgeführt werden konnte, ließen sich mathematisch sehr gut vorgebildete Versuchspersonen für die Teilnahme gewinnen. Diese zeigten, im Vergleich zu den Kohorten der vorangegangenen Experimente, ein sehr hohes Verständnis der illustrierten FB-Systeme. Dies unterstreicht, über die Bedeutung individueller mathematischer Fähigkeiten hinaus, dass ein gutes bis sehr gutes FB-Verständnis prinzipiell realisierbar ist. Weitere explorative Analysen deuten überdies auf eine besonders positive Wirkung passiver dynamischer Repräsentationen im Kontext der kreierten computerspielbasierten Interventionen. Die in Experiment 7 ursprünglich als Kontrollbedingung konzipierte Darstellungsvariante führte gegenüber einer vergleichbaren Stichprobe weiblicher Versuchsteilnehmer zu deutlich verbesserten Lösungsraten. Ergänzend zu vergleichenden Diskussionen der drei separaten Dissertationsteile folgt eine abschließende Generaldiskussion. Neben generellen Aspekten der Ergebnisse werden darin die zentralen Schlussfolgerungen und Erkenntnisse zusammengefasst. Die Erörterung potenzieller theoretischer und praktischer Implikationen sowie die Vorstellung spezifischer Anschlussfragestellungen und zukünftiger Forschungsanstrengungen bilden den Abschluss dieser Dissertationsschrift.