Este trabalho, cuja metodologia foi inspirada na Engenharia Didática, discute e investiga a viabilidade de inserir o ensino/estudo das equações diofantinas lineares no ensino médio. Foi desenvolvida e aplicada uma sequência didática em uma turma do 1º semestre do ensino médio integrado de química do Instituto Federal Sul-Rio-Grandense, Campus Pelotas. Através das atividades executadas pelos alunos, das anotações feitas pela mestranda e da filmagem de todas as aulas, foi possível coletar os dados sobre toda a experiência. Esta foi iniciada e baseada em um jogo nomeado “escova diofantina”, derivado do jogo “escova”, seguido de atividades estruturadas com exercícios, questionamentos e debates que encaminharam os alunos, de forma natural, para a construção e estudo do conteúdo desejado. Elaboramos a sequência didática com objetivos bem definidos em cada atividade. Após o término das aulas, analisamo-las e reformulamo-las. Assim, no Apêndice B, apresentamos uma proposta de sequência didática renovada e pronta para ser aplicada por qualquer professor interessado em lecionar equações diofantinas no ensino médio. Os resultados das análises dos dados indicaram que os alunos do primeiro ano do ensino médio apresentam plenas condições matemáticas para a compreensão e construção dos conceitos e propriedades básicas relacionadas às equações diofantinas lineares. / This work, whose methodology is inspired by didactical engineering, discusses and investigates the viability of introducing linear diophantine equations at High School level study and teaching. We developed and applied a didactical sequence to a first semester chemistry oriented high school at the Pelotas campus of the Sul-Rio-Grandense Federal Institute. We collected the data of this whole experience, starting with all the activities performed by the students and continuing with notes taken by the author as well as the whole class footage. We started the seminars with a card game that we called “diophantine escova”, derived from the usual “escova” card game. We followed it by structured activities with exercises and several debates that led the students, in a natural way, to understand the definitions, concepts and results about Diophantine Equations. The didactical sequence we have created had very clear and specific goals in each activity. When the seminars ended, we analyzed and reformulated the sequence and therefore, in Appendix C, we present a totally improved and ready to use sequence for any teacher interested in developing linear diophantine equations in high school. The data analysis indicated that fist year high school students have the necessary mathematical skills to understand all concepts and results of basic linear diofantine equations.

Este trabalho, cuja metodologia foi inspirada na Engenharia Didática, discute e investiga a viabilidade de inserir o ensino/estudo das equações diofantinas lineares no ensino médio. Foi desenvolvida e aplicada uma sequência didática em uma turma do 1º semestre do ensino médio integrado de química do Instituto Federal Sul-Rio-Grandense, Campus Pelotas. Através das atividades executadas pelos alunos, das anotações feitas pela mestranda e da filmagem de todas as aulas, foi possível coletar os dados sobre toda a experiência. Esta foi iniciada e baseada em um jogo nomeado “escova diofantina”, derivado do jogo “escova”, seguido de atividades estruturadas com exercícios, questionamentos e debates que encaminharam os alunos, de forma natural, para a construção e estudo do conteúdo desejado. Elaboramos a sequência didática com objetivos bem definidos em cada atividade. Após o término das aulas, analisamo-las e reformulamo-las. Assim, no Apêndice B, apresentamos uma proposta de sequência didática renovada e pronta para ser aplicada por qualquer professor interessado em lecionar equações diofantinas no ensino médio. Os resultados das análises dos dados indicaram que os alunos do primeiro ano do ensino médio apresentam plenas condições matemáticas para a compreensão e construção dos conceitos e propriedades básicas relacionadas às equações diofantinas lineares. / This work, whose methodology is inspired by didactical engineering, discusses and investigates the viability of introducing linear diophantine equations at High School level study and teaching. We developed and applied a didactical sequence to a first semester chemistry oriented high school at the Pelotas campus of the Sul-Rio-Grandense Federal Institute. We collected the data of this whole experience, starting with all the activities performed by the students and continuing with notes taken by the author as well as the whole class footage. We started the seminars with a card game that we called “diophantine escova”, derived from the usual “escova” card game. We followed it by structured activities with exercises and several debates that led the students, in a natural way, to understand the definitions, concepts and results about Diophantine Equations. The didactical sequence we have created had very clear and specific goals in each activity. When the seminars ended, we analyzed and reformulated the sequence and therefore, in Appendix C, we present a totally improved and ready to use sequence for any teacher interested in developing linear diophantine equations in high school. The data analysis indicated that fist year high school students have the necessary mathematical skills to understand all concepts and results of basic linear diofantine equations.

Work includes choosen properties and problems pair with Heronian triangles. It's available like mathematical utility for work in special-interest mathematics on secondary school.

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Ao longo das Ãltimas dÃcadas, a transmissÃo do conhecimento matemÃtico na EducaÃÃo BÃsica sofreu diversas mudanÃas. âO Ensino Tradicionalâ da matemÃtica era baseado na memorizaÃÃo de fÃrmulas, havendo assim uma mecanizaÃÃo no processo de resoluÃÃo de problemas, onde o discente era visto como um ser passivo. A nova visÃo de ensino, que busca significar o que conteÃdo exposto em sala, motivou a escolha desse tema, visto que situaÃÃes problemas envolvendo equaÃÃes diofantinas podem ser facilmente percebidas em nosso cotidiano. O objetivo deste trabalho à oportunizar a realizaÃÃo de uma leitura consultiva para o professor do Ensino BÃsico, e asseverar que essas equaÃÃes podem ser aplicadas na EducaÃÃo BÃsica como uma ferramenta que instiga o pensamento lÃgico, o raciocÃnio, a compreensÃo e a interpretaÃÃo matemÃtica. A formulaÃÃo desse material que està dividido em cinco capÃtulos se deu atravÃs de levantamento bibliogrÃfico por meio de pesquisas descritivas. A introduÃÃo compÃe o primeiro capÃtulo. O segundo capÃtulo versa sobre o Legado de Diofanto: vida e obras, ressaltando sua obra titulada âArithmeticaâ que contribuiu significativamente para o desenvolvimento da teoria dos nÃmeros. O terceiro capÃtulo trata das equaÃÃes diofantinas lineares de n variÃveis. O quarto capÃtulo aborda as ternas itagÃricas, o MÃtodo das Secantes e Tangentes de Fermat na busca de soluÃÃes racionais para quaÃÃes, com coeficientes racionais, da forma ax2+by2 = c, e um caso particular do Ãltimo Teorema de Fermat. O quinto capÃtulo à composto de problemas sobre equaÃÃes diofantinas lineares. / Over the past decades, the transmission of mathematical knowledge in basic education has undergone several changes. The âTeaching Traditionalâ math was based on memorizing formulas, so there mechanization in problem solving where the student was seen as a liability to be process. The new vision of education that seeks to signify exposed to room content, motivated the choice of this theme, as diophantine equations involving situations problems can be easily noticed in our daily lives. The objective of this work is an opportunity for a realization of an advisory reading for the teacher of basic education, and assert that these equations can be applied in basic education as a tool that encourages the logical thinking, reasoning, understanding and mathematical interpretation. The formulation of this material which is divided into five chapters was through literature review through descriptive research. The introduction comprises the first chapter. The second chapter deals with the Legacy of Diophantus: life and works, emphasizing his work entitled âArithmeticaâ which contributed significantly to the development of number theory. The third chapter deals with linear Diophantine equations in n variables. The fourth chapter discusses the Pythagorean tender, Fermatâs of secants and Tangents method, in finding rational solutions to equations with rational coefficients, of the form ax2 + by2 = c and a particular case Fermatâs Last Theorem. The fifth chapter is composed of problems on linear diophantine equations.

Este trabalho, cuja metodologia foi inspirada na Engenharia Didática, discute e investiga a viabilidade de inserir o ensino/estudo das equações diofantinas lineares no ensino médio. Foi desenvolvida e aplicada uma sequência didática em uma turma do 1º semestre do ensino médio integrado de química do Instituto Federal Sul-Rio-Grandense, Campus Pelotas. Através das atividades executadas pelos alunos, das anotações feitas pela mestranda e da filmagem de todas as aulas, foi possível coletar os dados sobre toda a experiência. Esta foi iniciada e baseada em um jogo nomeado “escova diofantina”, derivado do jogo “escova”, seguido de atividades estruturadas com exercícios, questionamentos e debates que encaminharam os alunos, de forma natural, para a construção e estudo do conteúdo desejado. Elaboramos a sequência didática com objetivos bem definidos em cada atividade. Após o término das aulas, analisamo-las e reformulamo-las. Assim, no Apêndice B, apresentamos uma proposta de sequência didática renovada e pronta para ser aplicada por qualquer professor interessado em lecionar equações diofantinas no ensino médio. Os resultados das análises dos dados indicaram que os alunos do primeiro ano do ensino médio apresentam plenas condições matemáticas para a compreensão e construção dos conceitos e propriedades básicas relacionadas às equações diofantinas lineares. / This work, whose methodology is inspired by didactical engineering, discusses and investigates the viability of introducing linear diophantine equations at High School level study and teaching. We developed and applied a didactical sequence to a first semester chemistry oriented high school at the Pelotas campus of the Sul-Rio-Grandense Federal Institute. We collected the data of this whole experience, starting with all the activities performed by the students and continuing with notes taken by the author as well as the whole class footage. We started the seminars with a card game that we called “diophantine escova”, derived from the usual “escova” card game. We followed it by structured activities with exercises and several debates that led the students, in a natural way, to understand the definitions, concepts and results about Diophantine Equations. The didactical sequence we have created had very clear and specific goals in each activity. When the seminars ended, we analyzed and reformulated the sequence and therefore, in Appendix C, we present a totally improved and ready to use sequence for any teacher interested in developing linear diophantine equations in high school. The data analysis indicated that fist year high school students have the necessary mathematical skills to understand all concepts and results of basic linear diofantine equations.

Orientador: Emerson Alexandre de Oliveira Lima / Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-13T21:19:45Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Silva_FilardesdeJesusFreitasda_M.pdf: 678989 bytes, checksum: 49b0b13ce88d8aa64141c17e237d85fe (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Neste trabalho focalizamos os principais conceitos da teoria elementar dos números objetivando uma melhor compreensão das Equações Diofantinas Clássicas e suas aplicações e para isto explicitamos os conceitos de Números primos, Algoritmo de Euclides, Máximo divisor comum e Mínimo múltiplo comum, assim como a teoria das Congruências, uma abordagem sobre a Criptografica RSA e Soma de Inteiros. Palavras-Chave: Congruências Lineares, Soma de Inteiros, Equação de Fermat, Soma de Quadrados / Abstract: In this work we focus the main concepts of the elementary theory of numbers seeking a better understanding of Classical diophantine equations and their applications for this and explained the concepts of prime numbers, algorithms of Euclid, maximum common divisor and least common multiple and the theory of congruence , an approach on the RSA encryption and Sum of Integers. Keywords: Linear congruence, Sum of Integers, equation of Fermat, Sum of Squares / Mestrado / Teoria dos Numeros / Mestre em Matemática

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Nesta dissertação, apresentamos os resultados de uma ampla pesquisa bibliográfica sobre as equações diofantinas e seus métodos de solução mais utilizados. A mais simples desta classe de equações é a da forma ax + by = c, com a, b e c números inteiros e ab 6= 0, chamada equação diofantina linear nas duas incógnitas x e y. No trabalho, expomos diversos métodos de resolução destas equações, em duas e três incógnitas. Para tanto, utilizamos conceitos de divisibilidade, divisão euclidiana, máximo divisor comum, números primos, dentre outros, que formam parte do currículo do Ensino Fundamental. No Brasil, as equações diofantinas não são comumente exploradas na Educação Básica, embora sejam perfeitamente compreensíveis nesse nível, como se mostra no texto do professor A. Guelfond, consultado na redação do trabalho. Na dissertação, incluímos, também, um capítulo sobre as contribuições de Diofanto para a Aritmética, que pode ser uma fonte de motivação para o estudo das equações diofantinas; e outro capítulo, ampliando as perspectivas sobre equações diofantinas não lineares. Esperamos que o trabalho seja uma fonte bibliográfica facilmente acessível aos professores da Educação Básica, e estimule seu interesse e criatividade para a introdução elementar desses conteúdos na prática docente e na preparação dos alunos para as Olimpíadas de Matemática. / In this dissertation, the results of a wide bibliographic research about Diophantine equations and their most used solution methods are exposed. The simplest equation of these class is the one in the form ax + by = c, with a, b and c integers numbers and ab 6= 0, called Diophantine linear equation in the unknowns x and y. Divers solutions methods for these equations, in two or three unknowns are discussed. Therefore, concepts like divisibility, Euclidean division, grated common divisor, prime numbers, among others, that are included in the Elementary Schools curriculum. In Brazil, Diophantine equations are not commonly exploited in Basic Education, even though they are perfectly understandable at this educational level, like Professor A. Guelfond shows in his book consulted in the redaction of the dissertation. There are also a chapter about Diophantuss contributions to Arithmetic, which can be a source of motivation to study the Diophantine equations; and another chapter, extending perspectives, about nonlinear Diophantine equations. We hope that the dissertation becomes a suitable easy accessible bibliographic font for Basic Education teachers and stimulates their interest and creativity for an elemental introducing of these contents in their teaching and in the students training for Math Olympiads.

Neste trabalho estudamos o célebre Teorema de Klaus F. Roth para aproximações diofantinas, também conhecido como Teorema de Thue-Siegel-Roth. Nossos objetivos consistem em fazer um estudo abrangente da evolução do problema, que se iniciou com um resultado de Liouville em 1844, e chegar à completa compreensão das ideias e das técnicas utilizadas na demonstração do Teorema de Roth. / In this work we study the celebrated Klaus F. Roth\'s Theorem in Diophantine approximations, also known as the Thue-Siegel-Roth Theorem. Our goals are to make a comprehensive study of the evolution of the problem that started with a result of Liouville in 1844 and achieve full understanding of ideas and techniques used in the proof of the Roth\'s Theorem.

Considere a variedade Tn x S1 com coordenadas (t;x) e considere uma 1-forma diferencial fechada e real a(t) em Tn. Neste trabalho consideramos o operador Lpa = dt +a(t) Λ ∂x de D\'p em D\'p+1, onde D\'p é o espaço das p-correntes da forma u = ∑ Ι I Ι = puI (t, x)dtI. O operador acima define um complexo de cocadeia formado pelos espaços vetoriais D\'p e pelos homomorfismos lineares Lpa : D\'p → D\'p+1. Definiremos o que significa resolubilidade global no complexo acima e caracterizaremos para quais 1-formas a o complexo é globalmente resolúvel. Faremos o mesmo com respeito a hipoeliticidade global no primeiro nível do complexo. / Consider the manifold Tn x S1 with coordinates (t;x) and let a(t) be a real and closed differential 1-form on Tn. In this work we consider the operator Lpsub>a = dt +a(t) Λ ∂x de D\'p from D\'p to D\'p+1, where D\'p is the space of all p-currents u = ∑ Ι I Ι = puI (t, x)dtI . The above operator defines a cochain complex consisting of the vector spaces D\'p and of the linear maps Lpa : D\'p → D\'p+1. We define what global solvability means for the above complex and characterize for which 1-forms a the complex is globally solvable. We will do the same with respect to global hypoellipticity on the first level of the complex.

For a dynamical system on a metric space a shrinking-target set consists of those points whose orbit hit a given ball of shrinking radius infinitely often. Historically such sets originate in Diophantine approximation, in which case they describe the set of well-approximable numbers. One aspect of such sets that is often studied is their Hausdorff dimension. We will show that an analogue of Bowen's dimension formula holds for such sets when they are generated by conformal non-autonomous iterated function systems satisfying some natural assumptions.