We introduce decompositions determined by Galois field and degree of the space of algebraic numbers modulo torsion and the space of algebraic points on an elliptic curve over a number field. These decompositions are orthogonal with respect to the natural inner product associated to the L² Weil height recently introduced by Allcock and Vaaler in the case of algebraic numbers and the inner product naturally associated to the Néron-Tate canonical height on an elliptic curve. Using these decompositions, we then introduce vector space norms associated to the Mahler measure. For algebraic numbers, we formulate L[superscript p] Lehmer conjectures involving lower bounds on these norms and prove that these new conjectures are equivalent to their classical counterparts, specifically, the classical Lehmer conjecture in the p=1 case and the Schinzel-Zassenhaus conjecture in the p=[infinity] case. / text

In this thesis, we introduce and study several norms constructed to satisfy an extremal property with respect to the Mahler measure. These norms naturally generalize the metric Mahler measure introduced by Dubickas and Smyth. We show that bounding these norms on a certain subspace implies Lehmer's conjecture and in at least one case that the converse is true as well. We evaluate these norms on a class of algebraic numbers that include Pisot and Salem numbers, and for surds. We prove that the infimum in the construction is achieved in a certain finite dimensional space for all algebraic numbers in one case, and for surds in general, a finiteness result analogous to that of Samuels and Jankauskas for the t-metric Mahler measures. Next, we generalize Dirichlet's S-unit theorem from the usual group of S-units of a number field K to the infinite rank group of all algebraic numbers having nontrivial valuations only on places lying over S. Specifically, we demonstrate that the group of algebraic S-units modulo torsion is a Q-vector space which, when normed by the Weil height, spans a hyperplane determined by the product formula, and that the elements of this vector space which are linearly independent over Q retain their linear independence over R. / text

TORRES, Máro Règis Rebouças. Números algébricos e transcendentes. 66 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-09-15T05:05:08Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_mrrtorres.pdf: 1191154 bytes, checksum: bcb31593bd1a02e84caee6bd47906dab (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-09-15T11:00:00Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_dis_mrrtorres.pdf: 1191154 bytes, checksum: bcb31593bd1a02e84caee6bd47906dab (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-15T11:00:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_dis_mrrtorres.pdf: 1191154 bytes, checksum: bcb31593bd1a02e84caee6bd47906dab (MD5) Previous issue date: 2017 / The present work deals with algebraic and transcendent numbers characterizing them under different aspects. In particular we bring some demonstrations of the irrationality of the number π and the number of Euler, base of the natural logarithm. We will also present a demonstration of the transcendence of the number and based on the script of exercises proposed by D.G. de Figueiredo, in addition to a small historical survey on π, and, algebraic and transcendent numbers. / O presente trabalho trata sobre números algébricos e transcendentes caracterizando-os sob diferentes aspectos. Em particular trazemos algumas demonstrações da irracionalidade do número π e do número de Euler, base do logaritmo natural. Também apresentaremos uma demonstração da transcendência do número e baseada no roteiro de exercícios propostos por D.G. de Figueiredo em [4], além de um pequeno apanhado histórico sobre π, e, números algébricos e transcendentes.

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-10-09T11:08:09Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Cleuber Brasil de Siqueira - 2015.pdf: 1480705 bytes, checksum: a31ff863e787fa27a75c6aacdfa001fe (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-10-09T11:10:03Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Cleuber Brasil de Siqueira - 2015.pdf: 1480705 bytes, checksum: a31ff863e787fa27a75c6aacdfa001fe (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-10-09T11:10:03Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Cleuber Brasil de Siqueira - 2015.pdf: 1480705 bytes, checksum: a31ff863e787fa27a75c6aacdfa001fe (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2015-03-27 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The work is mainly focused on the study of Polynomial Equations and an introduction to the Transcendent Numbers with a special focus to Liouville numbers. However, it also approaches important issues such as numerical sets, the theory of whole numbers, the enumerability sets and the study of polynomials and always seeking to make connections between issues through relevant examples to them. / O trabalho tem como foco principal o estudo das Equações Polinomiais e uma introdu ção aos Números Transcendentes, com enfoque especial aos números de Liouville. No entanto, aborda também temas importantes como os conjuntos numéricos, a teoria dos números inteiros, a enumerabilidade de conjuntos e o estudo de polinômios, buscando sempre fazer ligações entre os assuntos através de exemplos pertinentes aos mesmos.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / O propÃsito da dissertaÃÃo à apresentar um pouco da Teoria dos NÃmeros Transcendentes, em especial, explicitar exemplos de nÃmeros transcendentesusando alguns resultados desta teoria. Este trabalho tenta aparecer como um pequeno survey" em Teoria Transcendente, e nele figuram alguns dos principais resultados dessa teoria. / The purpose of the dissertation is to present a little of the theory of transcendent numbers,in particular, explicit examples of transcendental numbers some results using this theory. This paper attempts to appear as a little "survey" in the transcendental theory, and it included some of main results of this theory.

In this thesis, we extend results of Emerald Stacy to compute an upper bound on the minimal height of a totally p-adic algebraic integer of degree 4 independent of p. We also compute actual values of the minimal height of a totally p-adic algebraic integer of degree 4 for small primes p.

Neste trabalho estudamos o célebre Teorema de Klaus F. Roth para aproximações diofantinas, também conhecido como Teorema de Thue-Siegel-Roth. Nossos objetivos consistem em fazer um estudo abrangente da evolução do problema, que se iniciou com um resultado de Liouville em 1844, e chegar à completa compreensão das ideias e das técnicas utilizadas na demonstração do Teorema de Roth. / In this work we study the celebrated Klaus F. Roth\'s Theorem in Diophantine approximations, also known as the Thue-Siegel-Roth Theorem. Our goals are to make a comprehensive study of the evolution of the problem that started with a result of Liouville in 1844 and achieve full understanding of ideas and techniques used in the proof of the Roth\'s Theorem.

Neste trabalho estudamos o célebre Teorema de Klaus F. Roth para aproximações diofantinas, também conhecido como Teorema de Thue-Siegel-Roth. Nossos objetivos consistem em fazer um estudo abrangente da evolução do problema, que se iniciou com um resultado de Liouville em 1844, e chegar à completa compreensão das ideias e das técnicas utilizadas na demonstração do Teorema de Roth. / In this work we study the celebrated Klaus F. Roth\'s Theorem in Diophantine approximations, also known as the Thue-Siegel-Roth Theorem. Our goals are to make a comprehensive study of the evolution of the problem that started with a result of Liouville in 1844 and achieve full understanding of ideas and techniques used in the proof of the Roth\'s Theorem.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this dissertation subtly discuss some historical facts in relation to the number and number of Euler and some basics on the sets of rational numbers and reais. We will also show some numbers algebraic and transcendental, as well as their enumerabilidades, the rst transcendental number and nally the demonstration of the transcendence of Liouville numbers, Euler and . / Nesta dissertação abordaremos de maneira sutil alguns fatos históricos em relação ao número Pi e ao número de Euler e alguns conceitos básicos sobre os conjuntos dos números racionais e reais. Mostraremos também alguns números algébricos e transcendentes, assim como suas enumerabilidades, o primeiro número transcendental e por fim a demonstração da transcendência dos números de Liouville, Euler e de Pi.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:52Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Aloisio Daniel Vendeniatti.pdf: 1272014 bytes, checksum: 1262d89ac2880970c73eca396d22ca43 (MD5) Previous issue date: 2009-04-24 / Secretaria da Educação do Estado de São Paulo / The goal of this essay is to show aspects of genesis of number π, inherent to the question of squaring the circle, which consists in constructing a square which has the same area as a given circle. This problem does not refer to a practical application of mathematics, but to the theoretic question that involves the distinction between a valid approach and thinking accuracy. The first attempt to squaring the circle dates back in the fifth century before Christ. After that, it was established that this construction should be carried through using a finite number of times, also the non-graduated ruler and the drawing compass itself. In the constructions with ruler and drawing compass we are referring to the first three postulates of Euclides Elements: 1) It´s possible to join two points by a straight line, 2) to expand a straight line until the necessary point, and 3) to draw a circumference around any point and with any radius. These postulates are the base of these constructions, sometimes called euclidean´s constructions. A real number α is constructible, if feasible building a segment of legth α with ruler and drawing compass, since a segment is taken as a unity. We show the idea of translating the geometrical problem of constructions made with ruler and drawing compass to the algebraic language and this allowed us to solve the problem of squaring the circle. We exposed that all constructible numbers are algebraic, over the rational numbers, establishing the impossibility of squaring the circle, with Lindemann´s demonstration, in 1882, of the number π transcendence. This problem has been fascinating people for more than twenty centuries. We tried to supply all mathematical tools needed for this demonstration. Demonstrations play a fundamental role in the development of this essay, which purpose is not only to contribute to the math teacher formation, but also to detail the resolution of the problem of squaring the circle / O objetivo deste trabalho é apresentar aspectos da gênese do número π, inerentes à questão da quadratura do círculo, a qual consiste em construir um quadrado de área igual à área de um círculo de raio r dado. Esse problema não diz respeito a uma aplicação prática da matemática, mas sim a uma questão teórica que envolve uma distinção entre uma boa aproximação e a exatidão do pensamento. O registro da primeira tentativa de se quadrar o círculo remonta a Anaxágoras, no século V a.C. Posteriormente, ficou estabelecido que essa construção deveria ser realizada utilizando-se, um número finito de vezes, a régua não graduada e o compasso. Nas construções com régua e compasso, estamos nos referindo aos três primeiros postulados dos Elementos de Euclides: 1) é possível unir dois pontos por uma reta, 2) prolongar uma linha reta até onde seja necessário e 3) traçar uma circunferência em torno de qualquer ponto e com qualquer raio. Esses postulados são a base dessas construções, muitas vezes chamadas de construções euclidianas. Um número real α é construtível, se for possível "construir com régua e compasso um segmento de comprimento igual a α, a partir de um segmento tomado como unidade". Apresentamos a idéia de traduzir o problema geométrico das construções com régua e compasso para a linguagem algébrica, e isso permitiu solucionar o problema da quadratura do círculo. Expomos que todo número construtível é algébrico sobre os racionais, estabelecendo a impossibilidade de quadrar o círculo com a demonstração de Lindemann, em 1882, da transcendência do número π. Vemos que esse problema fascinou estudiosos por mais de 20 séculos. Procuramos fornecer todas as ferramentas matemáticas necessárias para essa demonstração. As demonstrações desempenham um papel fundamental no desenvolvimento deste trabalho, que tem por finalidade não só contribuir para a formação do professor de matemática, mas também detalhar a resolução do problema da quadratura do círculo