Many problems in the natural world have high contrast properties, like transport in composites, fluid in porous media and so on. These problems have huge numerical difficulties because of the singularities of their solutions. It may be really expensive to solve these problems directly by traditional numerical methods. It is necessary and important to understand these problems more in mathematical aspect first, and then using the mathematical results to simplify the original problems or develop more efficient numerical methods. In this thesis we are going to approximate the Dirichlet to Neumann map for the high contrast two phase composites. The mathematical formulation of our problem is to approximate the energy for an elliptic equation with arbitrary boundary conditions. The boundary conditions may have highly oscillations, which makes our problems very interesting and difficult. We developed a method to divide the domain into two different subdomains, one is close to and the other one is far from the boundary, and we can approximate the energy in these two subdomains separately. In the subdomain far from the boundary, the energy is not influenced that much by the boundary conditions. Methods for approximation of the energy in this subdomain are studied before. In the subdomain near the boundary, the energy depends on the boundary conditions a lot. We used a new method to approximate the energy there such that it works for any kind of boundary conditions. By this way, we can have the approximation for the total energy of high contrast problems with any boundary conditions. In other words, we can have a matrix up to any dimension to approximate the continuous Dirichlet to Neumann map of the high contrast composites. Then we will use this matrix as a preconditioner in domain decomposition methods, such that our numerical methods are very efficient to solve the problems in high contrast composites.

We study a boundary value problem for an overdetermined elliptic system of nonlinear first order differential equations with linear boundary operators. Such a problem is solvable for a small set of data, and so we pass to its variational formulation which consists in minimising the discrepancy. The Euler-Lagrange equations for the variational problem are far-reaching analogues of the classical Laplace equation. Within the framework of Euler-Lagrange equations we specify an operator on the boundary whose zero set consists precisely of those boundary data for which the initial problem is solvable. The construction of such operator has much in common with that of the familiar Dirichlet to Neumann operator. In the case of linear problems we establish complete results.

We consider a compact, oriented,smooth Riemannian manifold $M$ (with or without boundary) and wesuppose $G$ is a torus acting by isometries on $M$. Given $X$ in theLie algebra of $G$ and corresponding vector field $X_M$ on $M$, onedefines Witten's inhomogeneous coboundary operator $\d_{X_M} =\d+\iota_{X_M}: \Omega_G^\pm \to\Omega_G^\mp$ (even/odd invariantforms on $M$) and its adjoint $\delta_{X_M}$. First, Witten [35] showed that the resulting cohomology classeshave $X_M$-harmonic representatives (forms in the null space of$\Delta_{X_M} = (\d_{X_M}+\delta_{X_M})^2$), and the cohomologygroups are isomorphic to the ordinary de Rham cohomology groups ofthe set $N(X_M)$ of zeros of $X_M$. The first principal purpose isto extend Witten's results to manifolds with boundary. Inparticular, we define relative (to the boundary) and absoluteversions of the $X_M$-cohomology and show the classes haverepresentative $X_M$-harmonic fields with appropriate boundaryconditions. To do this we present the relevant version of theHodge-Morrey-Friedrichs decomposition theorem for invariant forms interms of the operators $\d_{X_M}$ and $\delta_{X_M}$; the proofinvolves showing that certain boundary value problems are elliptic.We also elucidate the connection between the $X_M$-cohomology groupsand the relative and absolute equivariant cohomology, followingwork of Atiyah and Bott. This connection is then exploited to showthat every harmonic field with appropriate boundary conditions on$N(X_M)$ has a unique corresponding an $X_M$-harmonic field on $M$to it, with corresponding boundary conditions. Finally, we define the interior and boundary portion of $X_M$-cohomology and then we definethe \emph{$X_M$-Poincar\' duality angles} between the interiorsubspaces of $X_M$-harmonic fields on $M$ with appropriate boundaryconditions.Second, In 2008, Belishev and Sharafutdinov [9] showed thatthe Dirichlet-to-Neumann (DN) operator $\Lambda$ inscribes into thelist of objects of algebraic topology by proving that the de Rhamcohomology groups are determined by $\Lambda$.In the second part of this thesis, we investigate to what extent is the equivariant topology of a manifold determined by a variant of the DN map?.Based on the results in the first part above, we define an operator$\Lambda_{X_M}$ on invariant forms on the boundary $\partial M$which we call the $X_M$-DN map and using this we recover the longexact $X_M$-cohomology sequence of the topological pair $(M,\partialM)$ from an isomorphism with the long exact sequence formed from thegeneralized boundary data. Consequently, This shows that for aZariski-open subset of the Lie algebra, $\Lambda_{X_M}$ determinesthe free part of the relative and absolute equivariant cohomologygroups of $M$. In addition, we partially determine the mixed cup product of$X_M$-cohomology groups from $\Lambda_{X_M}$. This shows that $\Lambda_{X_M}$ encodes more information about theequivariant algebraic topology of $M$ than does the operator$\Lambda$ on $\partial M$. Finally, we elucidate the connectionbetween Belishev-Sharafutdinov's boundary data on $\partial N(X_M)$and ours on $\partial M$.Third, based on the first part above, we present the(even/odd) $X_M$-harmonic cohomology which is the cohomology ofcertain subcomplex of the complex $(\Omega^{*}_G,\d_{X_M})$ and weprove that it is isomorphic to the total absolute and relative$X_M$-cohomology groups.

Differential equations arise frequently in modeling of physical systems, often resulting in linear eigenvalue problems. However, when dealing with large physical domains, solving such problems can be computationally expensive. This thesis examines an alternative approach to solving these problems, which involves utilizing absorbing boundary conditions and a Dirichlet-to-Neumann maps to transform the large sparse linear eigenvalue problem into a smaller nonlinear eigenvalue problem (NEP). The NEP is then solved using augmented Newton’s method. The specific equation investigated in this thesis is the two-dimensional Helmholtz equation, defined on the interval (x, y) ∈ [0, 10] × [0, 1], with the absorbing boundary condition introduced at x = 1. The results show a significant reduction in computational time when using this method compared to the original linear problem, making it a valuable tool for solving large linear eigenvalue problems. Another result is that the NEP does not affect the computational error compared to solving the linear problem, which further supports the NEP as an attractive alternative method.

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Cette thèse est dédiée à la résolution numérique tridimensionnelle des équations de Maxwell harmoniques, par des méthodes de décomposition de domaine couplant des résolutions par équations intégrales entre elles. Pour traiter les problèmes de diffraction d'ondes, la méthode des équations intégrales est un outil précieux. Elle consiste à paramétrer le champ électromagnétique solution par une source définie sur la surface de l'objet diffractant, solution d'une nouvelle équation linéaire (l'équation intégrale). Pour des applications à haute fréquence, le grand nombre d'inconnues (de l'ordre du million) nous oblige à utiliser un solveur itératif pour résoudre l'équation intégrale. Le problème du conditionnement des systèmes linéaires est alors crucial. De récents développements ont permis de construire une équation intégrale performante (la GCSIE) et de conditionnement stable avec la montée en fréquence. Cependant, la présence d'une cavité large et résonnante dans l'objet diffractant (telle que la cavité moteur d'un avion) dégrade le conditionnement de cette équation. Nous proposons deux méthodes de décomposition de domaine (DDM) afin de découpler le problème de la cavité du problème extérieur. La première (DDM en Y) s'exprime en fonction des opérateurs Dirichlet-to-Neumann Y, qui sont synthétisés via la résolution de problèmes métalliques par équations intégrales dans chaque sous-domaine. La seconde (DDM en S) s'exprime en fonction des opérateurs de scattering S, synthétisés par résolution de problèmes de type métal-impédant, donc bien posés à toute fréquence. La DDM en S permet ainsi de se débarrasser des phénomènes de résonance dans les cavités. Nous proposons dans un premier temps un préconditionneur analytique pour la DDM en Y, basé sur l'opérateur électromagnétique de simple couche. Nous calculons ensuite les modes guidés le long d'un cylindre infini tangent à la cavité près de l'interface, et nous diagonalisons les opérateurs Dirichlet-to-Neumann et scattering dans la base des traces de modes guidés sur l'interface. On extrait de cette étude deux préconditionneurs spectraux respectivement pour la DDM en Y et la DDM en S. Les résultats numériques confirment l'efficacité des préconditionneurs proposés / This work is dedicated to the numerical solution of the tridimensional harmonic Maxwell equations, using domain decomposition methods coupling integral equations between them. To deal with scattering problems, integral equations methods are a precious tool. They allow to look for the electromagnetic field by parameterizing it with a source only defined on the boundary of the scattering object, solution of a new linear equation (the integral equation). For applications at high frequency, the great number of unknowns forces the use of iterative methods. To accelerate the solution of integral equations, one moreover has to ensure the good condition number of the linear systems, or to propose well-suited preconditioners. An efficient method, the GCSIE, was developed in Onera. It is an intrinsically well-conditioned integral equation whose condition number remains stable whith the frequency increase. However, the existence of large and resonant cavities (such as air intakes) deteriorates the condition number. In order to circumvent this problem, we propose two domain decomposition methods (DDM) allowing to decouple the exterior problem from the problem of the cavities. The first one (Y-DDM) is based on Dirichlet-to-Neumann operators Y, which are built through the solution of metallic problems using integral equations in each subdomain. The second one (S-DDM) is based on scattering operators S, built through the solution of problems of metallic-impedant type, which are well-posed at any frequency. The S-DDM allows to avoid the resonance phenomena inside the cavities. First, we propose an analytic preconditioner for the Y-DDM, based on the electromagnetic single layer operator. We then calculate the modes guided along an artificial infinite cylinder, that is tangent to the cavity near the interface. We diagonalize the Dirichlet-to-Neumann and scattering operators in the basis of the traces of the guided modes on the interface. We deduce from this study two spectral preconditioners for the Y-DDM and the S-DDM. The numerical results confirm the efficiency of the employed preconditioners.

Le travail de ma thèse est basé sur ces 4 points :i) Transport laplacien d'une cellule absorbante :Soit un certain espèce (cellule) de concentration C(x), qui diffuse dans un milieu homogène et isotrope à partir d'une lointaine source localisée sur la frontière fermée $partial Omega_{0}$ vers une interface compact semi-perméable $partial Omega$ (membrane de la "cellule") à laquelle elle disparaisse àun taux d'absorption donné : W>=0. La concentration C (transport laplacien avec un coefficient de diffusion D) satisfaite le problème (P1) (voir la thèse). On s'intéresse à résoudre le problème (P1) en dimension dim = 2; 3 et à calculer les courants local et total à travers les frontières des $partial Omega$ et $partial Omega_{0}$ qui seront utiles pour résoudre le problèmeinverse de localisation. Pour faciliter les calculs et les rendre explicites, on prend $partial Omega$ et $partial Omega_{0}$ avec des formes géométriquement régulières, précisément des boules, en distinguant les deux cas : $Omega$ et $Omega_{0}$ sont concentriques ou non-concentriques. Pour le cas non-concentriques , on utilise la technique de transformation conforme et le développement orthogonal en série de Fourier pour résoudre le problème (P1) en cas bidimensionnel. Tandis que en cas tridimensionnel, on résout le problème (P1) en utilisant le développement orthogonal suivant les fonctions sphériques harmoniques.ii) Problème inverse de localisationOn s'intéresse dans cette partie à résoudre le problème inverse de localisation associé au problème (P1) où les domaines $Omega$ et $Omega_{0}$ sont considérés avec des formes géométriques régulières (précisément des boules) . Ce problème consiste à trouver les conditions de Dirichlet-Neumann sur $partial Omega_{0}$ (courant local, courant total) suffisantes pour déterminer la position de la cellule $partial$ (par rapport à $Omega_{0}$), dont ces conditions sont disponibles par une suite des mesures expérimentales.iii) Problème invesre géomètrique :Dans cette partie on traite un autre type de problème inverse qui consiste à trouver la forme géométrique de la cellule en sachant les conditions de Dirichlet-Neumann au bord extérieur(partial Omega_{0}) qui sont mésurables par une suite d'expérience. Ce type du problème, on l'appelle le problème inverse géométrique. On résout ce problème en utilisant des techniques concernant les fonctions harmoniques et les transformations conformes.iv) Opérateur de Dirichlet-NeumannOn étudie l'opérateur de Dirichlet-Neumann relatif au problème (P1) dans les dimension deux et trois en distinguant les deux cas concentriques et non-concentriques. Ensuite, on montre que cet opérateur de Dirichlet-Neumann engendre certain semi-groupe qu'on l'appelle semi-groupe de Lax. Enfin, on construit ce semi-groupe de Lax associé à cet opérateur en cas tridimensionnel concentriques afin de vérifier que ce semi-groupe admet les mêmes propriétés que celui dans le cas général. / The outline of my thesisi) Let some "species" of concentration C(p), x 2 Rd, diuse stationary in the isotropic bulk from a (distant) source localised on the closed boundary $partial Omega_{0}$ towards a semipermeable compact interface $partial Omega$ of the cell $Omega in Omega_{0}$ where they disappear at a given rate $W >= 0$. Then the steady field of concentrations C satisfy the problem $(P1)$. (see the Thesis). We interest to solve (P1) in Twodimensional and Tridimensional cases and to calculate the local and total flux in order to solving the localisation inverse problem. In order to make easy the calculations, we take $Omega$ and $Omega_{0}$ with a regularly geometricals forms by distinguishing the two cases : Concentrics and non-concentrics case. For the non-cncentrics case, we use the conformal mapping technique for resolving the problem (P1) in the twodimensional case. whereas in the tridimensional case, we use the development according to the spherical harmonics functions.ii) Localisation inverse problemThe aim of the localisation inverse problem is to find the necessary Dirichlet-to-Neumann conditions in order to determine the position of thecell $Omega$, where these conditions are measurable.iii) Geometrical inverse problemOur main results concerns a formal solution of the geometrical inverse problem for the form of absorbing domains. We restrict this study to two dimensions and we study it by the conformal mapping technique and harmonic functions.iv) Dirichlet-to-Neumann operatorWe study the Dirichlet-to-Neumann operatot relative to problem (P1) in the twodimensional and tridimensionnal cases by distinguishing the two cases : Concentrics and non-concentrics case. We prove that the Dirichlet-to-Neumann operator generates some semi-group, we call it the Lax semi-group. Finally we construct this semi group and verify that this demi-group satisfies the generals properties of a operator.

Cette thèse propose une étude originale de la propagation d'ondes acoustiques dans un guide d'ondes. La méthode consiste à factoriser l'équation des ondes grâce à la technique du plongement invariant: on introduit dans le domaine une frontière mobile, correspondant à une section du guide, et on résout le problème pour la partie du guide comprise entre cette section et une de ses faces. Cela permet d'obtenir un système couplé d'équations différentielles et de faire apparaître un opérateur de type Dirichlet-to-Neumann, solution d'une équation de Riccati. On étudie alors celui-ci à l'aide d'une formule de représentation: l'opérateur est semblable à un semi-groupe linéaire par une transformation homographique.

Dans cette thèse, nous proposons une nouvelle classe de conditions aux limites absorbantes locales de type DtN (ou Robin généralisées) à utiliser pour des frontières artificielles de forme elliptique (2D) ou sphéroïdale prolate (3D), c'est-à-dire adaptées à des obstacles de forme allongée. Ces nouvelles conditions absorbantes sont construites de façon à être exactes pour les premiers modes. Elles peuvent être facilement incorporées dans un code d'éléments finis tout en préservant la structure locale du système algébrique. De plus, comme elles sont adaptées à des obstacles allongés, elles permettent de prendre en compte un domaine de calcul plus petit, ce qui contribue à limiter les coûts numériques. Nous montrons que la condition DtN d'ordre 2 construite est performante en régime basse fréquence pour les problèmes de scattering 2D et 3D, dans le cadre d'une formulation On-Surface Radiation Condition (OSRC). Cette condition conserve sa précision quel que soit l'allongement de la frontière artificielle elliptique (2D) ou ellipsoïdale (3D). Pour des régimes de fréquences plus élevées, on étudie la formulation en volume du problème. On observe qu'il n'est pas nécessaire de trop éloigner la frontière pour avoir un bon niveau de précision, et tout particulièrement lorsque l'on considère la condition DtN d'ordre 2. Afin de préciser cette observation, nous avons mené une analyse haute fréquence pour mesurer l'amplitude des réflexions parasites générées par la frontière artificielle. On montre que le coefficient de réflexion associé à une famille de modes propagatifs tend vers 0 comme une puissance inverse de λka où λ exprime la distance entre l'obstacle et la frontière artificielle et ka désigne la fréquence. De plus, en choisissant une sous-classe particulière de modes, on affine ce résultat et on obtient que si l'excentricité est supérieure à 0.5, le coefficient de réflexion tend vers 0 de façon exponentielle et ce résultat est valable pour toute la sous-classe de modes considérés, qu'ils soient propagatifs, rampants ou évanescents.

Cette thèse est dédiée à la résolution numérique tridimensionnelle des équations de Maxwell harmoniques, par des méthodes de décomposition de domaine couplant des résolutions par équations intégrales entre elles. Pour traiter les problèmes de diffraction d'ondes, la méthode des équations intégrales est un outil précieux. Elle consiste à paramétrer le champ électromagnétique solution par une source définie sur la surface de l'objet diffractant, solution d'une nouvelle équation linéaire (l'équation intégrale). Pour des applications à haute fréquence, le grand nombre d'inconnues (de l'ordre du million) nous oblige à utiliser un solveur itératif pour résoudre l'équation intégrale. Le problème du conditionnement des systèmes linéaires est alors crucial. De récents développements ont permis de construire une équation intégrale performante (la GCSIE) et de conditionnement stable avec la montée en fréquence. Cependant, la présence d'une cavité large et résonnante dans l'objet diffractant (telle que la cavité moteur d'un avion) dégrade le conditionnement de cette équation. Nous proposons deux méthodes de décomposition de domaine (DDM) afin de découpler le problème de la cavité du problème extérieur. La première (DDM en Y) s'exprime en fonction des opérateurs Dirichlet-to-Neumann Y, qui sont synthétisés via la résolution de problèmes métalliques par équations intégrales dans chaque sous-domaine. La seconde (DDM en S) s'exprime en fonction des opérateurs de scattering S, synthétisés par résolution de problèmes de type métal-impédant, donc bien posés à toute fréquence. La DDM en S permet ainsi de se débarrasser des phénomènes de résonance dans les cavités. Nous proposons dans un premier temps un préconditionneur analytique pour la DDM en Y, basé sur l'opérateur électromagnétique de simple couche. Nous calculons ensuite les modes guidés le long d'un cylindre infini tangent à la cavité près de l'interface, et nous diagonalisons les opérateurs Dirichlet-to-Neumann et scattering dans la base des traces de modes guidés sur l'interface. On extrait de cette étude deux préconditionneurs spectraux respectivement pour la DDM en Y et la DDM en S. Les résultats numériques confirment l'efficacité des préconditionneurs proposés