The subject of the thesis are vector-valued Markov Games. Chapter 1 presents the idea, that has led to the development of the theory of general stochastic games. The work of Lloyd S. Shapley is outlined, and the most important authors and bibliography are stated. Also, the motivation behind the research of vector-valued game-theoretic problems is presented. Chapter 2 develops a rigorous mathematical model of vector-valued N-person Markov games. The corresponding definitions are stated, and the notations, as well as the notion of a strategy are explained in detail. On the basis of these definitions a probability measure is constructed, in an appropriate probability space, which controls the stochastic game process. Furthermore, as in all models of stochastic control, a payoff is specified, in our case the expected discounted payoff. The principles of vector optimization are stated in Chapter 3, and the concept of optimality with recpect to some convex cone is developed. This leads to the generalization of Nash-equilibria from scalar- to vector-valued games, the so-called D-equilibria. Examples are provided to show, that this definition really is a generalization of the existing definitions for scalar-valued games. For a given convex cone D, necessary and sufficient conditions are found to show, when a strategy is also a D-equilibrium. Furthermore it is shown that a D-equilibrium in stationary strategies exists, as one could expect from the known results from the theory of scalar-valued stochastic games. The main result of this chapter is a generalization of an existing result for 2-person vector-valued Markov games to N-person Markov Games, namely that a D-equilibrium of an N-person Markov game is a subgradient of specially constructed support functions of the original payoff functions. To be able to develop solution procedures in the simplest case, that is, the 2-person zero-sum case, Chapter 4 introduces the Denardo dynamic programming formalism. In the space of all p-dimensional functions we define a dynamic programming operator H? to describe the solutions of Markov games. The first of the two main results in this chapter is the following: the expected overall payoff to player 1, f(??), for a fixed stationary strategy ??, is the fixed point of the operator H?. The second theorem then shows, that the latter result is exactly the vector-valued generalization of the famous Shapley result. These theorems are fundamental for the subsequent development of two algorithms, the successive approximations and the Hoffman-Karp algorithm. A numerical example for both algorithms is presented. Chapter 4 finishes with a discussion on other significant results, and the outline of the further research. The Appendix finally presents the main results from general Game Theory, most of which were used for developing both theoretic and algorithmic parts of this thesis. / Das Thema der vorliegenden Arbeit sind vektorwertige Markov-Spiele. Im Kapitel 1 wird die Idee vorgestellt, die zur Entwicklung genereller stochastischer Spiele geführt hat. Die Arbeit von Lloyd S. Shapley wird kurz dargestellt, und die wichtigsten Autoren und Literaturquellen werden genannt. Es wird weiter die Motivation für das Studium der vektorwertigen Spiele erklärt. Kapitel 2 entwickelt ein allgemeines mathematisches Modell vektorwertiger N-Personen Markov-Spiele. Die entsprechenden Definitionen werden angegeben, und es wird auf die Bezeichnungen, sowie den Begriff einer Strategie eingegangen. Weiter wird im entsprechenden Wahrscheinlichkeitsraum ein Wahrscheinlichkeitsmaß konstruiert, das den zugrunde liegenden stochastischen Prozeß steuert. Wie bei allen Modellen gesteuerter stochastischen Prozesse wird eine Auszahlung spezifiziert, konkret der erwartete diskontierte Gesamtertrag. Im Kapitel 3 werden die Prinzipien der Vektoroptimierung erläutert. Es wird der Begriff der Optimalität bezüglich gegebener konvexer Kegel entwickelt. Dieser Begriff wird weiter benutzt, um die Definition der Nash-Gleichgewichte für skalarwertige Spiele auf unser vektorwertiges Modell, die sogenannten D-Gleichgewichte, zu erweitern. Anhand mehrerer Beispiele wird gezeigt, dass diese Definition eine Verallgemeinerung der existierenden Definitionen für skalarwertige Spiele ist. Weiter werden notwendige und hinreichende Bedingungen hinsichtlich des Optimierungskegels D angegeben, wann eine Strategie ein D-Gleichgewicht ist. Anschließend wird gezeigt, dass man sich ? wie bei Markov'schen Entscheidungsprozessen und skalarwertigen stochastischen Spielen - beim Suchen der D-Gleichgewichte auf stationäre Strategien beschränken kann. Das Hauptresultat dieses Kapitels ist die Verallgemeinerung einer schon bekannten Aussage für 2-Personen Markov-Spiele auf N-Personen Markov-Spiele: Ein D-Gleichgewicht im N-Personen Markov-Spiel ist ein Subgradient speziell konstruierter Trägerfunktionen des Gesamtertrags der Spieler. Um im einfachsten Fall der Markov-Spiele, den Zwei-Personen Nullsummenspielen, ein Lösungskonzept entwickeln zu können, wird im Kapitel 4 die Methode des Dynamischen Programmierens benutzt. Es wird der Denardo-Formalismus übernommen, um einen Operator H? im Raum aller p-dimensionalen vektorwertigen Funktionen zu entwickeln. Die Haputresultate dieses Kapitels sind zwei Sätze über optimale Lösungen, bzw. D-Gleichgewichte. Der erste Satz zeigt, dass für eine fixierte stationäre Strategie ?? der erwartete diskontierte Gesamtertrag f(??) der Fixpunkt des Operators H? ist. Anschließend zeigt der zweite Satz, dass diese Lösung genau der vektorwertigen Erweiterung des Resultats von Shapley entspricht. Anhand dieser Resultate werden nun zwei Algorithmen entwickelt: sukzessive Approximationen und Hoffman-Karp-Algorithmus. Es wird ein numerisches Beispiel für beide Algorithmen berechnet. Kapitel 4 schließt mit dem Abschnitt über weitere Resultate und Ansätze für weitere Forschung. Im Anhang werden die Hauptresultate der statischen Spieltheorie vorgestellt, viele von denen werden in der vorliegenden Arbeit benutzt.

The subject of the thesis are vector-valued Markov Games. Chapter 1 presents the idea, that has led to the development of the theory of general stochastic games. The work of Lloyd S. Shapley is outlined, and the most important authors and bibliography are stated. Also, the motivation behind the research of vector-valued game-theoretic problems is presented. Chapter 2 develops a rigorous mathematical model of vector-valued N-person Markov games. The corresponding definitions are stated, and the notations, as well as the notion of a strategy are explained in detail. On the basis of these definitions a probability measure is constructed, in an appropriate probability space, which controls the stochastic game process. Furthermore, as in all models of stochastic control, a payoff is specified, in our case the expected discounted payoff. The principles of vector optimization are stated in Chapter 3, and the concept of optimality with recpect to some convex cone is developed. This leads to the generalization of Nash-equilibria from scalar- to vector-valued games, the so-called D-equilibria. Examples are provided to show, that this definition really is a generalization of the existing definitions for scalar-valued games. For a given convex cone D, necessary and sufficient conditions are found to show, when a strategy is also a D-equilibrium. Furthermore it is shown that a D-equilibrium in stationary strategies exists, as one could expect from the known results from the theory of scalar-valued stochastic games. The main result of this chapter is a generalization of an existing result for 2-person vector-valued Markov games to N-person Markov Games, namely that a D-equilibrium of an N-person Markov game is a subgradient of specially constructed support functions of the original payoff functions. To be able to develop solution procedures in the simplest case, that is, the 2-person zero-sum case, Chapter 4 introduces the Denardo dynamic programming formalism. In the space of all p-dimensional functions we define a dynamic programming operator H? to describe the solutions of Markov games. The first of the two main results in this chapter is the following: the expected overall payoff to player 1, f(??), for a fixed stationary strategy ??, is the fixed point of the operator H?. The second theorem then shows, that the latter result is exactly the vector-valued generalization of the famous Shapley result. These theorems are fundamental for the subsequent development of two algorithms, the successive approximations and the Hoffman-Karp algorithm. A numerical example for both algorithms is presented. Chapter 4 finishes with a discussion on other significant results, and the outline of the further research. The Appendix finally presents the main results from general Game Theory, most of which were used for developing both theoretic and algorithmic parts of this thesis. / Das Thema der vorliegenden Arbeit sind vektorwertige Markov-Spiele. Im Kapitel 1 wird die Idee vorgestellt, die zur Entwicklung genereller stochastischer Spiele geführt hat. Die Arbeit von Lloyd S. Shapley wird kurz dargestellt, und die wichtigsten Autoren und Literaturquellen werden genannt. Es wird weiter die Motivation für das Studium der vektorwertigen Spiele erklärt. Kapitel 2 entwickelt ein allgemeines mathematisches Modell vektorwertiger N-Personen Markov-Spiele. Die entsprechenden Definitionen werden angegeben, und es wird auf die Bezeichnungen, sowie den Begriff einer Strategie eingegangen. Weiter wird im entsprechenden Wahrscheinlichkeitsraum ein Wahrscheinlichkeitsmaß konstruiert, das den zugrunde liegenden stochastischen Prozeß steuert. Wie bei allen Modellen gesteuerter stochastischen Prozesse wird eine Auszahlung spezifiziert, konkret der erwartete diskontierte Gesamtertrag. Im Kapitel 3 werden die Prinzipien der Vektoroptimierung erläutert. Es wird der Begriff der Optimalität bezüglich gegebener konvexer Kegel entwickelt. Dieser Begriff wird weiter benutzt, um die Definition der Nash-Gleichgewichte für skalarwertige Spiele auf unser vektorwertiges Modell, die sogenannten D-Gleichgewichte, zu erweitern. Anhand mehrerer Beispiele wird gezeigt, dass diese Definition eine Verallgemeinerung der existierenden Definitionen für skalarwertige Spiele ist. Weiter werden notwendige und hinreichende Bedingungen hinsichtlich des Optimierungskegels D angegeben, wann eine Strategie ein D-Gleichgewicht ist. Anschließend wird gezeigt, dass man sich ? wie bei Markov'schen Entscheidungsprozessen und skalarwertigen stochastischen Spielen - beim Suchen der D-Gleichgewichte auf stationäre Strategien beschränken kann. Das Hauptresultat dieses Kapitels ist die Verallgemeinerung einer schon bekannten Aussage für 2-Personen Markov-Spiele auf N-Personen Markov-Spiele: Ein D-Gleichgewicht im N-Personen Markov-Spiel ist ein Subgradient speziell konstruierter Trägerfunktionen des Gesamtertrags der Spieler. Um im einfachsten Fall der Markov-Spiele, den Zwei-Personen Nullsummenspielen, ein Lösungskonzept entwickeln zu können, wird im Kapitel 4 die Methode des Dynamischen Programmierens benutzt. Es wird der Denardo-Formalismus übernommen, um einen Operator H? im Raum aller p-dimensionalen vektorwertigen Funktionen zu entwickeln. Die Haputresultate dieses Kapitels sind zwei Sätze über optimale Lösungen, bzw. D-Gleichgewichte. Der erste Satz zeigt, dass für eine fixierte stationäre Strategie ?? der erwartete diskontierte Gesamtertrag f(??) der Fixpunkt des Operators H? ist. Anschließend zeigt der zweite Satz, dass diese Lösung genau der vektorwertigen Erweiterung des Resultats von Shapley entspricht. Anhand dieser Resultate werden nun zwei Algorithmen entwickelt: sukzessive Approximationen und Hoffman-Karp-Algorithmus. Es wird ein numerisches Beispiel für beide Algorithmen berechnet. Kapitel 4 schließt mit dem Abschnitt über weitere Resultate und Ansätze für weitere Forschung. Im Anhang werden die Hauptresultate der statischen Spieltheorie vorgestellt, viele von denen werden in der vorliegenden Arbeit benutzt.

Many optimization problems for a smooth cost function f on a manifold M can be solved by determining the zeros of a vector field F; such as e.g. the gradient F of the cost function f. If F does not depend on additional parameters, numerous zero-finding techniques are available for this purpose. It is a natural generalization however, to consider time-dependent optimization problems that require the computation of time-varying zeros of time-dependent vector fields F(x,t). Such parametric optimization problems arise in many fields of applied mathematics, in particular path-following problems in robotics, recursive eigenvalue and singular value estimation in signal processing, as well as numerical linear algebra and inverse eigenvalue problems in control theory. In the literature, there are already some tracking algorithms for these tasks, but these do not always adequately respect the manifold structure. Hence, available tracking results can often be improved by implementing methods working directly on the manifold. Thus, intrinsic methods are of interests that evolve during the entire computation on the manifold. It is the task of this thesis, to develop such intrinsic zero finding methods. The main results of this thesis are as follows: - A new class of continuous and discrete tracking algorithms is proposed for computing zeros of time-varying vector fields on Riemannian manifolds. This was achieved by studying the newly introduced time-varying Newton Flow and the time-varying Newton Algorithm on Riemannian manifolds. - Convergence analysis is performed on arbitrary Riemannian manifolds. - Concretization of these results on submanifolds, including for a new class of algorithms via local parameterizations. - More specific results in Euclidean space are obtained by considering inexact and underdetermined time-varying Newton Flows. - Illustration of these newly introduced algorithms by examining time-varying tracking tasks in three application areas: Subspace analysis, matrix decompositions (in particular EVD and SVD) and computer vision. / Das Optimieren einer glatten Kostenfunktion f auf einer Mannigfaltigkeit M kann oft dadurch erreicht werden, dass man die Nullstellen eines Vektorfeldes F bestimmt; z.B. dann, wenn F der Gradient von f ist. Für solche Problemstellungen gibt es zahlreiche Nullstellensuchmethoden, sofern F nicht von zusätzlichen Parametern abhängt. Es ist jedoch eine nahe liegende Erweiterung, zeitvariante Optimierungsaufgaben zu betrachten, für die dann Verfahren zur Berechnung der zeitvarianten Nullstelle von Vektorfeldern F(x,t) benötigt werden. Solche parametrisierte Optimierungsprobleme tauchen in vielen Teilgebieten der angewandten Mathematik auf, insbesondere Verfolgungsprobleme in der Robotik, rekursive Eigenwert- und Singulärwertbestimmung in der Signalverarbeitung sowie in der numerischen linearen Algebra und inverse Eigenwertprobleme in der Kontrolltheorie. In der Literatur gibt es bereits einige Nullstellen-Verfolgungsmethoden für solche Aufgaben. Jedoch wird dabei meistens nicht die Struktur der Mannigfaltigkeit hinreichend berücksichtigt, was aber wünschenswert wäre. Methoden, die direkt auf M arbeiten liefern nämlich andere und ggf. bessere Ergebnisse. Dies begründet unser Interesse an intrinsische Methoden, und es ist die zentrale Aufgabe dieser Arbeit, solche Methoden herzuleiten. Die Hauptergebnisse sind wie folgt: - Neue Klassen von diskreten und kontinuierlichen Methoden zur Verfolgung von Nullstellen von zeitvarianten Vektorfeldern auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten werden etabliert. Dazu wurden der zeitvariante Newton Fluss und der zeitvariante Newton Algorithmus auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten neu eingeführt und studiert. - Die Konvergenzanalyse wird auf beliebigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten durchgeführt. - Die Ergebnisse werden durch Betrachtung von Untermannigfaltigkeiten konkretisiert. Dabei wird eine neue Klasse von Algorithmen hergeleitet, die lokalen Parametrisierungen der Mannigfaltigkeit nutzt. - Durch Betrachtung der Ergebnisse im euklidischen Raum werden diese zunächst weiter vereinfacht und dann um inexakte und unterbestimmte zeitvariante Verfahren erweitert. - Die neu eingeführten Algorithmen werden durch das ausführliche Studium von zeitvarianten Verfolgungsproblemen in drei Anwendungsgebieten veranschaulicht: Unterraumberechnung, Matrizenzerlegungen (insbesondere Diagonalisierung von Matrizen und Singulärwertzerlegung) und Bewegungsrekonstruktion aus Kamerabildern.

Univ., Diss.--Siegen, 2007.

Univ., Diss.--Mannheim, 2005.

University, Diss.--St. Gallen, 2003.

Stuttgart, Univ., Diss., 2002.

Jena, Universiẗat, Diss., 1997.

Techn. Hochsch., Diss., 2002--Aachen.

Neben Wertpapieren sind heutzutage auch Optionen von entscheidender Bedeutung. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist das Finden einer Strategie zur Absicherung des Verkaufes einer Option auf einem illiquiden binomialen Markt und die Bestimmung der dadurch entstehenden Superreplikationskosten. Es werden Barriere-, Europäische und Amerikanische Optionen betrachtet. Wir zeigen, dass das Verfahren der diskreten dynamischen Optimierung auf das Problem der Bestimmung der Superreplikationskosten übertragber ist. Auf dieser Grundlage wird ein Algorithmus entwickelt, mit dessen Hilfe sich die Superreplikationskosten auf einem Markt mit mehreren Zeitschritten bestimmen lassen. Ebenfalls werden die Auswirkungen von Transaktionskosten auf das Problem untersucht.