Optimal kontroll är studien om hur man på bästa sätt kan kontrollera ett system, givet kontrollvariabler, för att minimera ett specifikt prestationsindex. Denna teori användes för att studera hur en cykel optimalt skulle kunna balanseras. Cykeln modellerades med tre tillståndsparametrar, dess lutning theta, vinkelhastigheten hos lutningen theta' samt dess styrvinkeln alpha, som togs fram ifrån två differentialekvationer. Dessa tillstånd, tillsammans med en kontrollvariabel delta=alpha' (styrets vinkelhastighet), användes sedan med dynamisk programmering samt LQR-kontroll, två grenar inom optimal kontroll, för att undersöka kontroll av cykeln. Resultaten visar på att alla tillståndsparametrar konvergerar mot noll för båda metoderna innan sluttiden vilket indikerar på att cykeln lyckades balanseras, i teorin. Kontrollen som användes, styrets vinkelhastighet, var även rimlig och uppfattades som intuitiva.

The transition from plastic packaging to renewable materials, a growing population and increased e-commerce, have resulted in a greater need for paper packaging. Furthermore, increasingly stringent regulations for shelf-ready packaging and food safety mean that the market, for fresh fiber-based packaging that are chemical free and have good strength and printability, is expanding. Given these trends, SCA decided in 2019 to expand the paper mill in Obbola, to be able to meet the rising demand. The planned expansion will see SCA Obbola go from operating Europe’s largest Kraftliner machine, to the world’s largest Kraftliner machine. With the new paper machine going into service, there will be an increased pressure on internal transports of products from the Obbola factory to the terminal in Holmsund, where they are stored in preparation for the onward journey to deliver them to customers. These internal transports work according to two set goals. On the one hand, it is desirable to achieve a high degree of filling in the trucks to reduce transport costs. On the other hand, one wants to avoid the trucks traveling long distances in the terminal, again in order to minimize costs. However, the current storage system is set up to optimize the terminal’s bearing surfaces rather than the resulting mileage for the trucks. SCA Logistics therefore saw a need for investigating how internal transports could be optimized, with the aim of minimizing total costs. This was the starting point of this project, which was carried out in five phases. First, a feasibility study was conducted, where the focus was on gathering information about the intended problem area. Secondly, the warehouse logistics at SCA Logistics Umeå, the terminal operated by SCA Logistics in Holmsund, were investigated by means of a thorough data analysis. In a third phase, a model was created to simulate future paper production at SCA Obbola. In a fourth phase, it was possible to simulate the flow of internal transports and design tests to investigate the outcome of different strategies. The final phase of the project included continuous verification and validation of first four phases. The results confirm the company management’s fear, that a one-sided optimization of the degree of filling will lead to long and time-consuming driving segments for the trucks. It also demonstrates that all components of the flow must be considered, in order to minimize the total costs associated with internal transports. Accordingly, this report proposes a new strategy for internal transports, which take the entire flow into account.

High-speed railways provide fast, comfortable and environmentally friendly transportation for passengers. However, they are fraught with high investment costs that decrease the willingness of governments to construct new lines. This thesis proposes a new way of building high-speed railways to decrease investment costs, where power from overhead wire is, for the majority of a journey, substituted with power from batteries located on the train sets. Not only can the construction and maintenance costs for the overhead wire itself be reduced; as tunnels can be narrowed when no overhead wire is needed, tunnelling costs decrease as well. An algorithm using dynamic programming is devised which calculates the optimal placement of overhead wire given a velocity and altitude profile of a journey, which is then applied on the planned Swedish high-speed line Ostlänken. The cost savings amount in total to approximately 5.689 billion SEK. It is a significant reduction in absolute terms, but is likely even higher, as the cost estimates for electrification are conservative. More studies on this aspect is needed to obtain more exact estimates. / Höghastighetståg erbjuder snabba, bekväma och miljövänliga passagerartransporter. Dock kräver dess banor höga investeringskostnader som kan avskräcka för nybyggnationer. För att minska dessa kostnader föreslår denna uppsats ett nytt sätt att bygga höghastighetsbanor på, där kontaktledning byggs på endast delar av sträckan. Där kontaktledning inte byggs drivs tågen av batterier placerade ombord. Utöver lägre kostnader för konstruktion och underhåll av själva kontaktledningen kan också kostnaden för tunneldrivning reduceras, då diametern på tunnlar kan minskas när ingen kontaktledning krävs. I rapporten presenteras en metod med dynamisk programmering för att beräkna den optimala placeringen av kontaktledningssträckor givet en hastighets- och höjdkurva för en bana. Metoden appliceras på den planerade höghastighetsbanan Ostlänken, där kostnadsbesparingarna beräknas uppgå till ungefär 5,689 miljarder SEK. Det är en signifikant besparing i absoluta mått som troligen är ännu större i verkligheten, eftersom de uppskattade kostnaderna för elektrifiering är konservativa. Det behövs fler studier kring dessa kostnader för att kunna erhålla mer exakta uppskattningar av kostnadsbesparingar.

Val av sparform vid ägande i aktier har blivit allt mer aktuellt sedan det år 2012 infördes en ny sparform. Beskattningsskillnader mellan de tre nuvarande sparformerna har lett till konfunderade och osäkra aktieägare. Att optimalt val av sparform beror på ett flertal föränderliga och individuella faktorer gör att ett generellt och entydigt svar saknas. Denna rapport ska på uppdrag av ett mindre förvaltningsföretag med anledning av ovanstående, ta fram ett matematiskt verktyg vilket illustrativt ska rekommendera val av sparform utifrån olika antaganden. Rekommendationerna ska leda till att aktieportföljens avkastning efter skatt maximeras. Vidare ska rekommendationer kring implementation av den matematiska modellen i företagets verksamhet ges, där fokus ligger på ökat kundvärde. Modellen som togs fram kan utefter aktieägarens förväntade årsavkastning, förväntad prognos över statslåneräntan, placeringshorisont samt individuellt courtage rekommendera vilken sparform som ska väljas, samt när och till vilken sparform ett byte ska ske, för att därigenom maximera avkastningen efter skatt, givet att byte av sparform enbart tillåts vid årsskiftet. Genom att utgå från co-operation vid implementation av den matematiska modellen i verksamheten kan det för två specifika kundsegment leda till ökat kundvärde vid kundmöten. / Selecting the form of savings on share ownership has become increasingly relevant since the year 2012, when a new form of savings was launched. Taxation differences between the three current saving forms have led to confused and uncertain shareholders. The optimal choice of the form of savings depends on several evolving and individual factors, making that no general and simple answer could be given. This report was assigned by a small shareholder management company by reason of the above, to provide a mathematical tool which illustratively should recommend the selection of savings form, based on different assumptions. The recommendations should lead to a maximized share portfolio return after tax. Furthermore, recommendations regarding implementation of the mathematical model in the company's operations should be given, focused on enhanced customer value. The model that was developed should be based on the shareholder's expected annual return, expected forecast of government interests, investment horizon and individual brokers courtage, recommend which form of saving to be selected, regarding when and to what form of saving to move to, thereby maximizing the return after tax, assuming that the changed form of savings only to be allowed at end of year. By base the work on co-operation along the implementation of the mathematical model for the business, it can for two specific customer segments lead to added customer value at client meetings.

Dometic är ett stort industribolag som tillverkar lösningar främst för mobila hem. Fem procent av bolagets omsättning utgörs av en typ av kylbox, så kallad TE-box. TE-boxar består av kropp och ett lock där kylteknologin finns. Långa genomloppstider har resulterat i svårigheter med höga kostnader, långa ledtider från beställning till kund samt svårigheter att hantera fluktuationer i efterfrågan och planera lager. Syftet med detta arbete är att analysera Försörjningskedja för TE-boxarna och föreslå eventuelle förändrings- och förbättringsåtgärder gällande, material-, information- och penningflöde (direkta kostnader). Arbetet är utformat som en fallstudie hos Dometics huvudkontor i Solna strand. Metodvalet för att skapa en förståelse kring operationerna blev möten med intressepersoner. För att skapa en djupare förståelse kring hur problematiken och vilka delar av Supply Chain som är intressanta att undersöka användes teorier inom verksamhetsledning. För att lösa problem användes metoder från optimeringslära och systemteknik. All data som används i studien har tillhandahållits av olika representanter för Dometic. Resultatet visar att informationsflödet bör effektiviseras och att ledtiderna kan sänkas genom att ställa krav på underleverantörer att hålla råvarulager. Det visar även att den nuvarande placeringen av produktionsenheter är den optimala om man väger in olika kostnader och jämför med andra alternativ. Om resultatet skall användas som ett verkligt beslutsunderlag bör fler intressepersoner vara inblandade då man viktar kostnaderna. / Dometic group is a company that produces and sells products for mobile lifestyles. One of many products is a type of coolingbox, called TE-box. The TE-box stands for approximately five percent (5%) of Dometics revenue. Long lead times and presumably avoidable high costs are some problems connected to the production of TE-bxes. There are also imposing difficulties of meeting changes in demand and planning stock. The main purpose of this paper is to examine the supply chain of Dometic, with the TE-box in focus. Recommendations including improvement strategies with respect to material, information and money flows. These will be based on the results of our mathematical analysis and approach to the presented problem. The framework of this paper is the application of relevant mathematical theory to this real-life industrial problem. The models are derived from optimization and systems theory. Data was received directly from the source.

This thesis presents an approach to solve an optimal path planning problem for a swarm of drones. We optimize and improve information retrieval in area exploration within applications such a ‘Search and Rescue’-missions or reconnaissance missions. For this, dynamic programming has been used as a solving approach for a optimization problem. Different scenarios have been examined for two types of system, a single-agent system and a multi-agent system. First, there have been restrictions on the agents movement in a grid map and for that, optimal paths have been computed for both systems. Thereafter, two different solving approaches within dynamic programming have been tested and compared. The greedy approach which is a standard use where each agent computes the most optimal path from its own perspective and a simultaneous solving approach where the agents compute the most optimal paths according to all agents perspective. The simultaneous solving approach performed better than the greedy approach, which was expected since it is a more swarm optimal approach. However, it has a higher computational complexity which grows exponentially unlike to the greedy approach. Lastly, we discuss the case when the agents are allowed to move in all directions to optimize the information retrieval for the swarm. Here, dynamic programming turns out to have limitations for our use and purpose. For future work, a suggestion is to model the problem with multiple objective functions instead of one as has been done in this thesis. Also, it would be interesting trying another solving method for the problem. To this, I give example of two methods that would be interesting to compare, using model predictive control or a machine learning-based solution such as reinforcement learning. / Denna avhandling presenterar ett tillvägagångssätt för att lösa ett optimalt ruttplanerings problem för en drönarsvärm. Vi optimerar och förbättrar informationsinhämtningen i områdesutforskning inom applikationer som ’Search and Rescue’-uppdrag eller spaningsuppdrag. För detta har dynamisk programmering använts som en lösningsmetod till optimeringsproblem. Olika scenarier har undersökts för två typer av system, ett en-agent system och ett fler-agent system. Först har agenterna varit begränsade hur de har fått röra sig i en rutnätskarta och för det fallet har optimala vägar beräknats för båda systemen. Därefter har två olika lösningssätt inom dynamisk programmering testats och jämförts. Det giriga tillvägagångssättet som är en standardanvändning där varje agent beräknar den mest optimala vägen ur sitt eget perspektiv och en simultan lösningsmetod där agenterna beräknar de mest optimala vägarna enligt alla agenters perspektiv. Den simultana lösningsstrategin presterade bättre än den giriga, vilket var väntat eftersom det är ett mer svärmoptimalt tillvägagångssätt. Den har dock en högre beräkningskomplexitet som växer exponentiellt jämfört med den giriga metoden. Till sist diskuterar vi fallet då agenterna får röra sig i alla riktningar för att optimera informationssökningen för svärmen. Här visar sig dynamisk programmering ha begränsningar för våran användning och syfte. För framtida arbete är ett förslag att modellera problemet med flera mål funktioner istället för en som har gjorts i denna avhandling. Det skulle också vara intressant att prova ett annat lösningssätt för problemet. Till detta ger jag exempel på två metoder som skulle vara intressanta att jämföra, genom att använda modell prediktiv styrning eller en maskininlärningsbaserad lösning såsom förstärkande inlärning.

In recent years, sustainable investments have risen in popularity as a result of climate change. However, there is a shortage of reliable tools to aid investors in allocating their funds more sustainably, while still ensuring maximum profitability. Another issue introduced in connection with climate change is greenwashing - companies falsely marketing themselves as sustainable without working on minimizing their environmental impact. The aim of the project is to solve the aforementioned problems and investigate the cost of deterring from profitability for sustainability.  This paper explores if there is a way to allocate a stock portfolio to ensure optimally while taking sustainability into account. The method features predicting the future revenue of stocks, evaluating and quantifying sustainability from companies, and optimizing the portfolio in order to find the optimal set of stocks. The optimization is performed using dynamic programming by treating the problem as a Knapsack Problem. The algorithm is evaluated for two investor profiles - with focus on profitability and with focus on sustainability. The results concluded in a set of shares following a stationary distribution for both investment profiles. Consequently, it is reasoned that Dynamic Programming is a suitable method of optimization within the scope of the thesis however it is also reasoned that improvements can be made to include more sophisticated optimization methods. The cost of selecting the more sustainable option is determined to adhere to a linear relation for all budget levels. / Under de senaste åren har intresset ökat för hållbara investering till följd av klimatkrisen. Den snabba förändringen har emellertid medfört att det inte finns tillförlitliga hjälpverktyg tillgängliga för investerare att fördela sin tillgångar. Ännu ett problem som har dykt upp i samband med klimatkrisen är greenwashing - att företag marknadsför sig som miljövänliga, utan att försöka minska sin klimatpåverkan. Projektets mål är att försöka lösa dem nämnda problemen, samt att undersöka förlusten av att prioritera hållbarhet före lönsamhet.  Syftet med denna uppsats är att utforska möjligheterna med att optimera en aktieportfölj när hållbarhet betraktas som värderingsfaktor. Metoden omfattar att bestämma aktiernas förväntade framtida avkastning, utvärdering och modellering av företags hållbarhetsarbete samt optimering av portföljen. I detta projekt tillämpades dynamisk programmering som optimeringsmetod. Algoritmen utvärderas för två investerings profiler - en som prioriterar lönsamhet och en som prioriterar hållbarhet. Undersökningsresultaten visar att den optimala portföljen följer en stationär fördelning i båda fallen. Följaktligen dras slutsatsen att dynamisk programmering är en tillräckligt bra optimeringsmetod inom undersökningens avgränsningar men att det i framtiden går att införa förbättringar för att ta hänsyn till mer sofistikerade optimeringsmetoder. Det visas även att kostnaden för frångå lönsamhet beskrivs av ett linjärt samband på ala budgetnivåer.

In this thesis, we explore the potential of financing a fast charging system with energy storage by delivering ancillary services from the energy storage in an optimal way. Specifically, a system delivering frequency regulation services FCR-D Up and FCR-D Down in combination with energy arbitrage trading is considered. An optimization model is developed that could be implemented operationally and then used in a Monte-Carlo simulation to estimate the net present value of the system for four identified cases at three different energy market price scenarios. The main modeling approach is to formulate the system as a state-space model serving as the foundation for model predictive control, with the delay between decision and delivery of the frequency regulation services incorporated as a part of the system state. The optimization of the system is implemented using a dynamic programming approach with a time horizon of 48h, where the choice of admissible controls is optimized for computational efficiency. The result shows that the system could profitable under optimal operation, but it is heavily dependent on the size of the grid connection, future price levels for ancillary services, and the nature of fast-charging demand. As such, the business case and profitability should be evaluated with a specific use case in mind. The developed model showed relatively good computational efficiency for operational implementations with a run time for one iteration of the optimization problem of 15 seconds. The model could therefore be used as the foundation for future research within the specific field and for similar control problems considering delayed controls and stochastic demand. Several proposed improvements and suggested areas of future research are proposed. / I den här uppsatsen utforskar vi huruvida det är finansiellt lönsamt att leverera snabbladdning från ett energilager samtidigt som energilagret används för att leverera systemtjänster på ett optimalt sätt. Mer specifikt undersöks ett potentiellt system som levererar frekvensregleringstjänsterna FCR-D Up och FCR-D Down samt energiarbitragehandel. Vi utvecklar en optimeringsmodell som kan implementeras i ett fysiskt system och använder sedan modellen i en Monte-Carlo-simulering för att estimera nuvärdet av fyra olika systemkonfigurationer för tre olika prisscenarion. Den huvudsakliga modelleringsmetoden är att formulera systemet som en tillstånds-rum modell, som sedan används som grund för modellprediktiv styrning, där fördröjningen mellan beslut och leverans av frekvensregleringstjänster inkluderas som en del av systemets tillstånd. Optimeringen av systemet implementeras med en dynamisk programmeringsmetodik med en tidsram på 48 timmar, där valet av tillåtna kontroller optimeras för beräkningseffektivitet. Resultatet visar att systemet kan vara lönsamt under optimal drift, men det är starkt beroende av storleken på nätanslutningen, framtida prisnivåer för systemtjänster och typen av snabbladdningsbehovet. Därför bör lönsamheten utvärderas för varje specifikt fall. Den utvecklade modellen visade relativt god beräkningseffektivitet för praktiskt implementation med en körtid för en enskilt iteration på 15 sekunder. Modellen kan därför användas som grund för framtida forskning inom området och för liknande problem inom optimal styrteori som involverar fördröjda kontroller och stokastisk efterfrågan. Flera föreslagna förbättringar och områden för framtida forskning föreslås.

We have examinined the problem of constructing efficient strategies for continuous-time dynamic asset allocation. In order to obtain efficient investment strategies; a stochastic optimal control approach was applied to find optimal transaction control. Two mathematical problems are formulized and studied: Model I; a dynamic programming approach that maximizes an isoelastic functional with respect to given underlying portfolio dynamics and Model II; a more sophisticated approach where a time-inconsistent state dependent mean-variance functional is considered. In contrast to the optimal controls for Model I, which are obtained by solving the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) partial differential equation; the efficient strategies for Model II are constructed by attaining subgame perfect Nash equilibrium controls that satisfy the extended HJB equation, introduced by Björk et al. in [1]. Furthermore; comprehensive execution algorithms where designed with help from the generated results and several simulations are performed. The results reveal that optimality is obtained for Model I by holding a fix portfolio balance throughout the whole investment period and Model II suggests a continuous liquidation of the risky holdings as time evolves. A clear advantage of using Model II is concluded as it is far more efficient and actually takes time-inconsistency into consideration. / Vi har undersökt problemet som uppstår vid konstruktion av effektiva strategier för tidskontinuerlig dynamisk tillgångsallokering. Tillvägagångsättet för konstruktionen av strategierna har baserats på stokastisk optimal styrteori där optimal transaktionsstyrning beräknas. Två matematiska problem formulerades och betraktades: Modell I, en metod där dynamisk programmering används för att maximera en isoelastisk funktional med avseende på given underliggande portföljdynamik. Modell II, en mer sofistikerad metod som tar i beaktning en tidsinkonsistent och tillståndsberoende avvägning mellan förväntad avkastning och varians. Till skillnad från de optimala styrvariablerna för Modell I som satisfierar Hamilton-Jacobi-Bellmans (HJB) partiella differentialekvation, konstrueras de effektiva strategierna för Modell II genom att erhålla subgame perfekt Nashjämvikt. Dessa satisfierar den utökade HJB ekvationen som introduceras av Björk et al. i [1]. Vidare har övergripande exekveringsalgoritmer skapats med hjälp av resultaten och ett flertal simuleringar har producerats. Resultaten avslöjar att optimalitet för Modell I erhålls genom att hålla en fix portföljbalans mellan de riskfria och riskfyllda tillgångarna, genom hela investeringsperioden. Medan för Modell II föreslås en kontinuerlig likvidering av de riskfyllda tillgångarna i takt med, men inte proportionerligt mot, tidens gång. Slutsatsen är att det finns en tydlig fördel med användandet av Modell II eftersom att resultaten påvisar en påtagligt högre grad av effektivitet samt att modellen faktiskt tar hänsyn till tidsinkonsistens.