In the last decade l1-regularization became a powerful and popular tool for the regularization of Inverse Problems. While in the early years sparse solution were in the focus of research, recently also the case that the coefficients of the exact solution decay sufficiently fast was under consideration. In this paper we seek to show that l1-regularization is applicable and leads to optimal convergence rates even when the exact solution does not belong to l1 but only to l2. This is a particular example of over-smoothing regularization, i.e., the penalty implies smoothness properties the exact solution does not fulfill. We will make some statements on convergence also in this general context.

In terms of a considerable increase the quality of characterization of tight-gas reservoirs, the aim of the present thesis was (i) an accurate representation of specific conditions in a reservoir simulation model, induced after the hydraulic fracturing or as a result of the underbalanced drilling procedure and (ii) performing the history match on a basis of real field data to calibrate the generated model by identifying the main model parameters and to investigate the different physical mechanisms, e.g. multiphase flow phenomena, affecting the well production performance. Due to the complexity of hydrocarbon reservoirs and the simplified nature of the numerical model, the study of the inverse problems in the stochastic framework provides capabilities using diagnostic statistics to quantify a quality of calibration and reliability of parameter estimates. As shown in the present thesis the statistical criteria for model selection may help the modelers to determine an appropriate level of parameterization and one would like to have as good an approximation of structure of the system as the information permits.

Die Ergebnisse dieser Arbeit, insbesondere die Untersuchungen zur 3–D–Vibration belegen eindrucksvoll, dass die räumliche Herangehensweise an die Problematik der Befüllung von Modellhohlräumen und –hinterschneidungen sowie der Formsandverdichtung beim Lost–Foam–Prozess der richtige Lösungsansatz ist. D. h., um die Gesetzmäßigkeiten, Abhängigkeiten und gegenseitigen Beeinflussungen der Sandbewegungen in den drei Achsen des Raumes umfassend beurteilen zu können, ist es erforderlich, auch den Formstoffbehälter in diesen drei Achsrichtungen mit voneinander unabhängigen Frequenzen und Amplituden zu erregen. Durch die Kombination der drei Vibrationsrichtungen werden im Hohlraum Dichtewerte des Quarzsandes erreicht, die ihm eine hohe Stabilität und ausreichend Widerstand gegen das Penetrieren des flüssigen Metalls in die Sandschichten verleihen. Für die Erzielung eines optimalen Befüllungs- und Verdichtungsverhaltens werden also alle drei axialen Vibrationsrichtungen benötigt, eine optimale Vibrationsrichtung wurde nicht ermittelt.

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In der Arbeit wird ein fächerverbindender Zugang zur Sinusfunktion entwickelt. Periodische Funktionen werden über die Analyse und das Aufzeichnen von Instrumenten untersucht. Die Sinusfunktion wird als Modell für Töne eingeführt. Auf Basis dieses Modells werden Synthesizer entwickelt an denen mathematische und musikalische Fragestellungen behandelt werden. Das Konzept wird exemplarisch erprobt und reflektiert.:1. Einleitung 2. Vergleich verschiedener Lehrbuchansätze 3. Unterrichtskonzept 3.1. Motivation 3.2. Fachliche Grundlagen und erste didaktische Überlegungen 3.2.1. Der Funktionsbegriff 3.2.2. Der Begriff Sinus und die zugehörigen Schüler*innenvorstellungen 3.2.3. Grundbegriffe zu periodischen Prozessen und Schwingungen 3.2.4. ModellierungvonInstrumenten 3.2.5. Schüler*innenvorstellungen zu Schwingungen, Wellen und Tönen 3.2.6. AnwendungderentwickeltenModelle 3.2.7. Diagramme und damit verbundene Schwierigkeiten im Unterricht 3.3. Didaktische Grundlagen 3.3.1. Rahmenbedingungen und Curriculumsbezug 3.3.2. DasKonzeptunddieKMKBildungsstandards 3.3.3. Vorwissen 3.4. Einführung: Instrumentenanalyse - Töne als Wahrnehmung von Schwingungen 3.4.1. Didaktisches Konzept Instrumentenanalyse 3.4.2. Verlaufsplan Instrumentenanalyse 3.5. Mathematische Modellierung der Töne - Die Sinusfunktion 3.5.1. Didaktisches Konzept mathematische Modellierung 3.5.2. Verlaufsplan mathematische Modellierung 3.6. Anwendung des Modells von Tönen als harmonische Schwingungen 3.6.1. Didaktisches Konzept Anwendung des Modells von Tönen als harmonische Schwingungen 3.6.2. Verlaufsplan Anwendung des Modells von Tönen als harmonische Schwingungen 3.7. Verwendete Software 3.7.1. Audacity 3.7.2. Geogebra 3.7.3. Viana 3.7.4. SonicVisualiser 3.7.5. VCV-Rack 4. Durchführung des Konzepts 4.1.Rahmenbedingungen, Lerngruppe und Vorwissen 4.2. Betrachtung der Einzelstunden 4.2.1. Erste Stunde 4.2.2. Zweite Stunde 4.2.3. Dritte Stunde 4.2.4. Vierte Stunde 4.2.5. Fünfte Stunde 4.2.6. Sechste Stunde 4.2.7. Siebte Stunde 4.2.8. Achte Stunde 5. Evaluation des Konzepts 5.1. Auswertung des Tests 5.2. Evaluationsgespräch mit SuS 6. Entwicklung eines Synthesizers für den Unterricht auf Basis eines Mikrocontrollers 6.1. Konzept 6.2. Umsetzung A. Arbeitsblätter 114 A.1. Einführung: Instrumentenanalyse A.1.1. Die Begriffe periodisch, Periode, Periodendauer und Amplitude A.1.2. Parameter einer periodischen Schwingung A.1.3. Parameter einer periodischen Schwingung (bearbeitet) A.2. Mathematische Modellierung der Töne - Die Sinusfunktion A.2.1. Modell einer harmonischen Schwingung A.2.2. Die Sinusfunktion A.2.3. Parameter der Sinusfunktion A.2.4. Die Sinusfunktion als Modell für Töne A.3. Anwendung des Modells von Tönen als harmonische Schwingungen A.3.1. Entwicklung eines Synthesizers auf Basis des Modells für harmonische Schwingungen A.3.2. Amplitudenverlauf A.3.3. Intervalle A.3.4. Obertoene B. Test C. Präsentationen C.1. Parameter der Sinusfunktion und Zeitabhängigkeit C.2. Ausblick zum Abschluss der Erprobung D. Verlaufspläne der Erprobung D.1. Erste Stunde D.2. Zweite Stunde D.3. Dritte Stunde D.4. Vierte Stunde D.5. Fünfte Stunde D.6. Sechste Stunde D.7. Siebte Stunde D.8. AchteStunde E. Programmcode Synthesizer F. Quellenverzeichnis G. Abbildungsverzeichnis H. Verzeichnis der Erklärboxen I. Selbstständigkeitserklärung

Der Spigot-Ansatz ist eine elegante Vorgehensweise, spezielle numerische Werte zuverlässig, effizient und mit beliebiger Genauigkeit zu berechnen. Die Stärke des Ansatzes ist seine Effizienz, seine totale Korrektheit und seine mathematisch exakt begründete Sicherstellung einer gewünschten absoluten Genauigkeit. Seine Schwäche ist möglicherweise die eingeschränkte Anwendbarkeit. Es gibt in der Literatur Spigot-Berechnung für e und pi. Wurzelberechnung und Logarithmenberechnung gehören zu den Hauptergebnissen der Dissertation. In Kombination mit den Methoden der Reihentransformation von Zeilberger und Wilf bzw. von Gosper ist der Einsatz zur Berechnung von hypergeometrischen Reihen sehr Erfolg versprechend. Eine interessante offene Frage ist die Berechnung der Feigenbaumkonstanten mit dem Ansatz. 'Spigot' bedeutet 'sukzessive Extraktion von Wertanteilen': die Wertanteile werden extrahiert, als ob sie durch einen Hahn (englisch: spigot) gepumpt werden. Es ist dabei besonders interessant, dass in bestimmten Fällen ein Wert-Anteil mit einer Ziffer der Kodierung des Ergebnisses versehen werden kann. Der Spigot-Ansatz steht damit im Gegensatz zu den konventionellen Iterationsverfahren: in einem Schritt des Spigot-Ansatzes wird jeweils ein Wert-Anteil 'extrahiert' und das gesamte Ergebnis ist die Summe der Wert-Anteile; während ein Schritt in einem Iterationsverfahren die Berechnung eines besseren gesamten Ergebnisses aus dem des vorigen Schritt beinhaltet. Das Grundschema der Berechnung mit dem Spigot-Ansatz sieht folgendermaßen aus: zuerst wird für den zu berechnenden numerischen Wert eine gut konvergierende Reihe mit rationalen Gliedern durch symbolisch-algebraische Methoden hergeleitet; dann wird für eine gewünschte Genauigkeit eine Teilsumme ausgewählt; anschließend werden aus der Teilsumme Wert-Anteile iterativ extrahiert. Die Extraktion von Wert-Anteilen aus der Teilsumme geschieht mit dem Spigot-Algorithmus, der auf Sale zurück geht, nur Integer-Arithmetik benötigt und sich als eine verallgemeinerte Form der Basis-Konvertierung dadurch auffassen lässt, dass die Teilsumme als die Kodierung des Wertes in einer inhomogenen Basis interpretiert wird. Die Spigot-Idee findet auch in der Überführung einer Reihe in eine besser konvergierende Reihe auf der Art und Weise Anwendung, dass Wert-Anteile aus der Reihe extrahiert werden, um die originale Reihe werttreu zur Reihe der Wert-Anteile zu transformieren. Dies geschieht mit den Methoden der Reihentransformation von Gosper bzw. Wilf. Die Dissertation umfasst im Wesentlichen die Formalisierung des Spigot-Algorithmus und der Gosperschen Reihentransformation, eine systematische Darstellung der Ansätze, Methoden und Techniken der Reihenentwiclung und Reihentransformation (die Herleitung von Reihen mit Hilfe charakteristischer Funktionalgleichungen; Methoden der Reihentransformation von Euler, Kummer, Markoff, Gosper, Zeilberger und Wilf) sowie die Methoden zur Berechnung von Wurzeln und Logarithmen mit dem Spigot-Ansatz. Es ist interessant zu sehen, wie sich die Grundideen des Spigot-Algorithmus, der Wurzelberechnung und der Logarithmenberechnung jeweils im Wesentlichen durch eine Gleichung ausdrücken lassen. Es ist auch interessant zu sehen, wie sich verschiedene Methoden der Reihentransformation auf einige einfache Grundideen zurückführen lassen. Beispiele für den Beweis von totalen Korrektheit (bei iterativer Berechnung von Wurzeln) könnte auch von starkem Interesse sein. Um die Zuverlässigkeit anderer Methoden zur Berechnung von natürlichen Logarithmen zu überprüfen, scheint der Vergleich der Ergebnisse mit den des Spigot-Ansatzes die beste Methode zu sein. Anders als bei Wurzelberechnung kann hierbei zur Überprüfung die inverse Berechnung nicht angewandt werden. / spigot, total correctness, acceleration of series, computation of roots, computation of logarithms Reliable numerical computations with spigot approach Spigot approach is an elegant way to compute special numerical values reliably, efficiently and with arbitrary accuracy. The advantage of this way are its efficiency and its total correctness including the bounding of the absolute error. The disadvantage is perhaps its restricted applicableness. There are spigot computation for e an pi. The computation of roots and logarithms belongs to the main results of this thesis. In combination with the methods for acceleration of series by Gosper as well as by Zeilberger and Wilf is the use for numerical summation of hypergeometric series very promising. An interesting open question is the computation of the Feigenbaum constant by this way. ‘Spigot’ means ‘successive extraction of portions of value’: the portions of value are ‘extracted’ as if they were pumped through a spigot. It is very interesting in certain case, where these portions can be interpreted as the digits of the result. With respect to that the spigot approach is the opposition to the iterative approach, where in each step the new better result is computed from the result of the previous step. The schema of spigot approach is characterised as follows: first a series for the value to be computed is derived, then a partial sum of the series is chosen with respect to an desired accuracy, afterwards the portions of value are extracted from the sum. The extraction of potions of value is carried by the spigot algorithm which is due to Sale an requires only integer arithmetic. The spigot algorithm can be understood as a generalisation of radix-conversion if the sum is interpreted as an encoding of the result in a mixed-radix (inhomogeneous) system. The spigot idea is also applied in transferring a series into a better convergent series: portions of value are extracted successively from the original series in order to form the series of extracted potions which should have the same value as the original series. This transfer is carried with the methods for acceleration of series by Gosper and Wilf. The thesis incorporates essentially the formalisation of the spigot algorithm and the method of Gosper for acceleration of series, a systematisation of methods and techniques for derivation and acceleration of series (derivation of series for functions by using their characteristic functional equations; methods for acceleration of series by Euler, Kummer, Markov, Gosper Zeilberger and Wilf) as well as the methods for computation of roots and logarithms by spigot approach. It is interesting to see how to express the basic ideas for spigot algorithm, computation of roots and computation of logarithm respectively in some equations. It is also interesting to see how to build various methods for acceleration of series from some simple basic ideas. Examples for proof of total correctness (for iterative computation of roots) can be of value to read. Comparing with the results produced by spigot approach is possibly the best way for verifying the reliability of other methods for computation of natural logarithms, because (as opposed to root computing) the verification by inverse computation is inapplicable.

Keine andere Wissenschaft ist in einem so hohen Maße mathematisiert wie die Physik. Aufgrund dieser engen Verbindung beider Wissenschaften muss geklärt werden, welche Rolle die Mathematik im Physikunterricht spielen soll. Um einen theoretischen Rahmen bereitzustellen, wird ein didaktisches Modell erarbeitet, das mathematik- und physikdidaktische Erkenntnisse mit wissenschaftstheoretischen Argumenten zur Rolle der Mathematik in der Physik verbindet. Unter der daraus resultierenden Perspektive der konzeptuell-mathematischen Physik wird die Aufgabenkultur im Physikunterricht beleuchtet und neue Aufgaben zum Themengebiet der Mechanik konstruiert, die die Übersetzung zwischen physikalischer Bedeutung und mathematischen Strukturen thematisieren. Auf diesen Aufgaben basiert die qualitative empirische Studie, die die Verständnisprobleme von Schülerinnen und Schülern neunter und zehnter Klassen verschiedener Gymnasien beim Verbinden von Physik und Mathematik untersucht. Die Analyse ergibt verschiedene Problembereiche, wobei sich insbesondere beim Übersetzen zwischen physikalischer Bedeutung und mathematischen Strukturen problematische Vorstellungen zeigen. So werden teilweise funktionale Abhängigkeiten zwischen den Faktoren eines Produktes gesehen. Andererseits zeigt sich aber auch, dass der Abgleich zwischen der mathematischen Herleitung und der physikalischen Interpretation der entscheidende Faktor für das erfolgreiche Lösen einer Aufgabe sein kann.

In the last decade, some researches on the star problem in trace monoids (is the iteration of a recognizable language also recognizable?) has pointed out the interest of the finite power property to achieve partial solutions of this problem. We prove that the star problem is decidable in some trace monoid if and only if in the same monoid, it is decidable whether a recognizable language has the finite power property. Intermediary results allow us to give a shorter proof for the decidability of the two previous problems in every trace monoid without C4-submonoid. We also deal with some earlier ideas, conjectures, and questions which have been raised in the research on the star problem and the finite power property, e.g. we show the decidability of these problems for recognizable languages which contain at most one non-connected trace.

This paper deals with decision problems related to the star problem in trace monoids, which means to determine whether the iteration of a recognizable trace language is recognizable. Due to a theorem by G. Richomme from 1994 [32, 33], we know that the star problem is decidable in trace monoids which do not contain a submonoid of the form {a,c}* x {b,d}*. Here, we consider a more general problem: Is it decidable whether for some recognizable trace language and some recognizable or finite trace language P the intersection R ∩ P* is recognizable? If P is recognizable, then we show that this problem is decidale iff the underlying trace monoid does not contain a submonoid of the form {a,c}* x b*. In the case of finite languages P, we show several decidability and undecidability results.

Wir konstruieren Beispiele von Kontaktmannigfaltigkeiten in jeder ungeraden Dimension, welche endliche nicht-triviale algebraische Torsion (im Sinne von Latschev-Wendl) aufweisen, somit straff sind und keine starke symplektische Füllung haben. Wir beweisen, dass Giroux Torsion algebraische 1-Torsion in jeder ungeraden Dimension impliziert, womit eine Vermutung von Massot-Niederkrüger-Wendl bewiesen wird. Wir konstruieren unendlich viele nicht diffeomorphe Beispiele von 5-dimensionalen Kontaktmannigfaltigkeiten, welche straff sind, keine starke symplektische Füllung zulassen und keine Giroux Torsion haben. Wir erhalten Obstruktionen für symplektische Kobordismen, ohne für deren Beweis die SFT Maschinerie zu verwenden. Wir geben eine provisorische Definition eines spinalen offenen Buchs in höherer Dimension an, basierend auf der vom 3-dimensionalen Fall aus Lisi-van Horn Morris-Wendl. In einem Anhang geben wir in gemeinsamer Autorenschaft mit Richard Siefring eine wesentliche Zusammenfassung der Schnitttheorie für punktierte holomorphe Kurven und Hyperflächen an, welche die 3-dimensionalen Resultate von Siefring auf höhere Dimensionen verallgemeinert. Mittels der Schnitttheorie erhalten wir eine Anwendung für holomorphe Blätterungen von Kodimension zwei, die wir benutzen um das Verhalten von holomorphem Kurven in unseren Beispielen einzuschränken. / We construct examples in any odd dimension of contact manifolds with finite and non-zero algebraic torsion (in the sense of Latschev-Wendl), which are therefore tight and do not admit strong symplectic fillings. We prove that Giroux torsion implies algebraic 1-torsion in any odd dimension, which proves a conjecture of Massot-Niederkrüger-Wendl. We construct infinitely many non-diffeomorphic examples of 5-dimensional contact manifolds which are tight, admit no strong fillings, and do not have Giroux torsion. We obtain obstruction results for symplectic cobordisms, for which we give a proof not relying on SFT machinery. We give a tentative definition of a higher-dimensional spinal open book decomposition, based on the 3-dimensional one of Lisi-van Horn Morris-Wendl. An appendix written in co-authorship with Richard Siefring gives a basic outline of the intersection theory for punctured holomorphic curves and hypersurfaces, which generalizes his 3-dimensional results to higher dimensions. From the intersection theory we obtain an application to codimension-2 holomorphic foliations, which we use to restrict the behaviour of holomorphic curves in our examples.