Title: Model Problems of the Theory of Gravitation Author: Marián Pilc Department: Institute of Theoretical Physics Faculty of Mathematics and Physics Supervisor: prof. RNDr. Jiří Bičák, DrSc., dr. h. c., Institute of Theoretical Physics Faculty of Mathematics and Physics Abstract: Equations of motion for general gravitational connection and orthonormal coframe from the Einstein-Hilbert type action of the Einstein-Cartan theory are derived. Ad- ditional gauge freedom is geometrically interpreted. Our formulation does not fix coframe to be tangential to spatial section hence Lorentz group is still present as part of gauge freedom. 3+1 decomposition introduces tangent Minkowski structures hence Hamilton-Dirac approach to dynamics works with Lorentz connection over spatial sec- tion. The second class constraints are analyzed and Dirac bracket is defined.Reduction of phase space is performed and canonical coordinates are introduced. The second part of this thesis is dedicated to quantum formulation of Einstein-Cartan theory. Point version of Einstein-Cartan phase space is introduced. Basic variables, crucial for quan- tization, are derived via groups acting on the phase space and their selfadjoint represen- tation is found. Representation of basic variables of Einstein-Cartan theory is derived via infinite...

Les polaritons de microcavité sont des états hybrides lumière-matière à caractère bosonique.Dans les dernières décennies, un grand intérêt a été accordé à leur phase de condensation de Bose-Einstein.Nous avons développé dans ce travail des outils théoriques et numériques pour comprendre et interpréter la dynamique spatiale et temporelle de la formation des condensats de polaritons.Nous avons proposé une approche numérique pour la résolution complète des équations couplées du modèle Gross-Pitaevskii généralisé à deux dimensions en coordonnées cartésiennes.Nous avons cherché à comprendre les aspects du seuil de condensation sous différentes configurations spatiales et temporelles d'excitation optique non résonante.Nous avons en particulier proposé une nouvelle approche pour définir le seuil.Enfin, pour une condensation sous exciation focalisée, dans une microcavité ZnO, nous avons pu accéder à, et comprendre, quelques propriétés vues dans les expériences. / Microcavity polaritons are hybrid light-material states of a bosonic nature.In the last decades, an enormous interest has been paid to their Bose-Einstein condensation phase.We develop, in this work the theoretical and numerical tools to understand and interpret the spatial and temporal dynamics of the formation of condensates of polaritons.We propose a numerical approach for the comprehensive resolution of the generalized Gross-Pitaevskii model in two-dimensions in Cartesian coordinates.We sought to understand the aspects of the condensation threshold under different spatial and temporal configurations of non-resonant optical excitation.In particular, we propose a new approach to define the threshold.Finally, for a condensation under a focal exciation in a ZnO microcavity, we were able to access, and understand, some of the experimentally observed properties.

Fundação Carlos Chagas Filho de Amparo a Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro / A presente dissertação trata da relação entre o conceito de tempo tal como foi pensado pelo filósofo francês Henri Bergson (1859-1941) e pelo físico alemão Albert Einstein (1879-1955). Ambos foram contemporâneos e tiveram a chance de confrontar suas opiniões discordantes sobre a natureza do tempo. Em seu polêmico ensaio Duração e Simultaneidade (1922), Bergson expôs sua teoria sobre tempo, pensado enquanto duração, já levando em conta a teoria da relatividade de Einstein. O objetivo presente aqui é explicitar os conceitos de tempo em ambos os autores e relacioná-los, considerando os pontos críticos do ensaio de Bergson sobre a relatividade de Einstein. Para tanto, esse trabalho foi dividido em três partes: a primeira trata da teoria da duração de Bergson em seu pensamento filosófico; a segunda aborda a teoria da relatividade de Einstein a partir da evolução do pensamento físico sob o ponto de vista do movimento; e a terceira e última trata do embate de ambas as teses contidas em Duração e Simultaneidade. As principais conclusões obtidas são: (1) Bergson cometeu um erro em seu ensaio ao tentar transpor sua avaliação sobre a teoria da relatividade especial para a teoria da relatividade geral de Einstein; (2) tal erro não desfaz a tese de Bergson sobre a fundamentalidade da duração em relação ao tempo físico; (3) em sua tentativa de apontar a essencialidade de um tempo puro com respeito a um tempo espacializado, Bergson esbarra nos limites da linguagem conceitual que ele mesmo havia compreendido e denunciado em toda sua obra; (4) e ainda assim, permanece a força do pensamento da duração bergsoniano, cujo alcance é tão pouco considerado pela ciência de seu tempo, como pela ciência de hoje. Tal como proposto por Bergson, essas conclusões apontam para a possibilidade de um trabalho complementar entre filosofia e ciência a partir de uma melhor compreensão de seus respectivos trabalhos. Ademais, em tal trabalho cooperativo, intui-se a possibilidade de enxergar a realidade do devir-extensivo do universo para além do amálgama espaço-temporal. / This dissertation deals with the relation between the concepts of time as it was thought by the French philosopher Henri Bergson (1859-1941) and by the German physician Albert Einstein (1879-1955). Both of them were contemporary and had the chance to face their unequaled opinions about nature of time. In his polemic assay Duration and Simultaneity (1922), Bergson exposed his theory about time, thought it as duration, already regarding Einsteins relativity theory. The objective here present is to make clear both authors concepts of time and relate them considering the critical points contained in the Bergsons assay about the relativity of Einstein. Thus, this work was divided in three parts: the first one treats with the duration theory of Bergson in his philosophical thought; the second one considers the relativity theory of Einstein taking as start point the historic evolution of the physician thought in his aspect with the analysis of the movement; and the third and last one struggles to take care of the conflict between both thesis as it appears in Duration and Simultaneity. The main conclusions extracts are: (1) Bergson made a mistake in his assay as he tries to transpose the consequences from his analysis about the especial relativity theory to the general relativity theory of Einstein; (2) this mistake doesnt undo the Bergsons thesis about the fundamentality of the duration in its relation with the physician time; (3) in his trial to indicate the essentiality of one pure time in its respect with a spatialized time, Bergson dashes with the limits of the conceptual language which himself had comprehend and denounced all along of his work; (4) and even so, remains the strength of the bergsonian thought about duration whose reach is so far of being considered by the science of his time as so far as it is by science today. As it was proposed by Bergson, those conclusions indicate the possibility to establish a complementary work between philosophy and science since it has a better comprehension of their respective works. Besides, in this cooperative work, is given an intuition to the possibility to see the reality of the universes extensive becoming to beyond of the space-time amalgam.

Resumo: Investigamos as soluções estacionárias e dinâmicas da equação de Gross-Pitaevskii generalizada para sistemas atômicos com um potencial confinante e termos não conservativos associados à dissipação e à alimentação atômica, visando a descrição de condensados de Bose-Einstein. Consideramos os casos de comprimentos de espalhamento negativos (interações atrativas) e positivos (interações repulsivas) entre dois átomos. Verificamos como a variação dos parâmetros associados aos termos não conservativos pode produzir situações de instabilidade resultando no fenômeno conhecido como caos espaço temporal. Por outro lado, verificamos também quais combinações de parâmetros leva a soluções de equilíbrio, tipo solitônica. Nessa pesquisa, utilizando esse modelo de campo médio com uma parametrização conhecida, estudamos as propriedades de tais sistemas para alguns valores dos parâmetros não-conservativos, por meio de métodos numéricos e variacionais. / Abstract: We investigate the stationary and dynamical solutions of the Gross-Pitaevskii equation extended for atomic systems with confining potential in the presence of nonconservative terms associated to atomic dissipation and feeding, in order to describe Bose-Einstein Condensates. We considered the cases of negative (attractive interaction) and positive (repulsive interaction) two-body lenght. We verified how the variation of the parameters associated to those nonconservative terms could produce instabilities resulting in occurrence of spacetemporal chaos. In other hand, we looked for parameters combinations that give us stable solitonic-like solutions. In this research, by using the mean-field approach with a particular parameterization, we studied the properties of these systems for some values of the nonconservative parameters, by means of numerical and variational methods. / Orientador: Lauro Tomio / Coorientador: Victo dos Santos Filho / Banca: Gerson Francisco / Banca: Arnaldo Gammal / Mestre

Fundação Carlos Chagas Filho de Amparo a Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro / A presente dissertação trata da relação entre o conceito de tempo tal como foi pensado pelo filósofo francês Henri Bergson (1859-1941) e pelo físico alemão Albert Einstein (1879-1955). Ambos foram contemporâneos e tiveram a chance de confrontar suas opiniões discordantes sobre a natureza do tempo. Em seu polêmico ensaio Duração e Simultaneidade (1922), Bergson expôs sua teoria sobre tempo, pensado enquanto duração, já levando em conta a teoria da relatividade de Einstein. O objetivo presente aqui é explicitar os conceitos de tempo em ambos os autores e relacioná-los, considerando os pontos críticos do ensaio de Bergson sobre a relatividade de Einstein. Para tanto, esse trabalho foi dividido em três partes: a primeira trata da teoria da duração de Bergson em seu pensamento filosófico; a segunda aborda a teoria da relatividade de Einstein a partir da evolução do pensamento físico sob o ponto de vista do movimento; e a terceira e última trata do embate de ambas as teses contidas em Duração e Simultaneidade. As principais conclusões obtidas são: (1) Bergson cometeu um erro em seu ensaio ao tentar transpor sua avaliação sobre a teoria da relatividade especial para a teoria da relatividade geral de Einstein; (2) tal erro não desfaz a tese de Bergson sobre a fundamentalidade da duração em relação ao tempo físico; (3) em sua tentativa de apontar a essencialidade de um tempo puro com respeito a um tempo espacializado, Bergson esbarra nos limites da linguagem conceitual que ele mesmo havia compreendido e denunciado em toda sua obra; (4) e ainda assim, permanece a força do pensamento da duração bergsoniano, cujo alcance é tão pouco considerado pela ciência de seu tempo, como pela ciência de hoje. Tal como proposto por Bergson, essas conclusões apontam para a possibilidade de um trabalho complementar entre filosofia e ciência a partir de uma melhor compreensão de seus respectivos trabalhos. Ademais, em tal trabalho cooperativo, intui-se a possibilidade de enxergar a realidade do devir-extensivo do universo para além do amálgama espaço-temporal. / This dissertation deals with the relation between the concepts of time as it was thought by the French philosopher Henri Bergson (1859-1941) and by the German physician Albert Einstein (1879-1955). Both of them were contemporary and had the chance to face their unequaled opinions about nature of time. In his polemic assay Duration and Simultaneity (1922), Bergson exposed his theory about time, thought it as duration, already regarding Einsteins relativity theory. The objective here present is to make clear both authors concepts of time and relate them considering the critical points contained in the Bergsons assay about the relativity of Einstein. Thus, this work was divided in three parts: the first one treats with the duration theory of Bergson in his philosophical thought; the second one considers the relativity theory of Einstein taking as start point the historic evolution of the physician thought in his aspect with the analysis of the movement; and the third and last one struggles to take care of the conflict between both thesis as it appears in Duration and Simultaneity. The main conclusions extracts are: (1) Bergson made a mistake in his assay as he tries to transpose the consequences from his analysis about the especial relativity theory to the general relativity theory of Einstein; (2) this mistake doesnt undo the Bergsons thesis about the fundamentality of the duration in its relation with the physician time; (3) in his trial to indicate the essentiality of one pure time in its respect with a spatialized time, Bergson dashes with the limits of the conceptual language which himself had comprehend and denounced all along of his work; (4) and even so, remains the strength of the bergsonian thought about duration whose reach is so far of being considered by the science of his time as so far as it is by science today. As it was proposed by Bergson, those conclusions indicate the possibility to establish a complementary work between philosophy and science since it has a better comprehension of their respective works. Besides, in this cooperative work, is given an intuition to the possibility to see the reality of the universes extensive becoming to beyond of the space-time amalgam.

Condensados de Bose-Einstein (BEC) são sistemas macroscópicos excelentes para a observação do comportamento quântico da matéria. Desde sua obtenção experimental em gases atômicos alcalinos diluídos aprisionados por campos magnéticos, há importantes aspectos relacionados a esse sistema que foram intensamente explorados, como os modos coletivos do BEC harmonicamente aprisionado, seu tunelamento através de barreiras de potencial e os estados excitados desse sistema, incluindo vórtice e sóliton. O último consiste de pacote de onda localizado, que propaga sem mudança de forma. Nesse trabalho, investigamos os novos aspectos que surgem da dinâmica de um sistema composto (condensado aprisionado contendo um sóliton). Há muitos estudos tratando cada parte separadamente: estado fundamental do BEC ou um sóliton em um BEC infinito uniforme estacionário. Estamos nos baseando nessas análises prévias, além da simulação numérica de campo médio do nosso sistema submetido a diferentes condições iniciais (BEC aprisionado no mínimo do potencial harmônico ou BEC deslocado na armadilha contendo um sóliton, além de uma deformação no potencial) para caracterizar a dinâmica desse sistema. Alguns dos nossos resultados puderam ser explicados por meio de predições analítica da chamada aproximação de Thomas-Fermi. Ao final, comparamos as simulações de campo médio (equação de Gross-Pitaevskii) com as advindas da teoria de múltiplos orbitais a fim de justificar o regime de validade da nossa teoria. / Bose-Einstein Condensates (BEC) are excellent macroscopic systems to observe the quantum behavior of matter. Since it experimental production in dilute atomic alkali gases trapped by magnetic fields, there are important aspects related to this system that have been intensely explored, like the collective modes of the harmonically trapped BEC, its tunneling through a potential barrier and the excited states of this system, that include the vortex and soliton. The latter consist of localized disturbances, which propagate without change of form. In this work, we investigate the singular aspects that coming from the dynamics of a composite system (trapped BEC containing a soliton). There are many studies that treat each part separately, that include a fundamental state BEC or a soliton inside a uniform infinite extent stationary BEC. We are basing on these previous analyses, besides mean-field numeric simulating our particular system submitted to diferent initial conditions (minimum harmonic potential trapped BEC or dislocated trapped BEC plus a soliton, in addition to a deformation in the potential) to characterize the tunneling dynamics. Some of our results could be explained using analytical predictions of the so called Thomas-Fermi approximation. At the end, we compar the meanfield simulations (Gross-Pitavskii equation) with the simulations from the multiple orbitals theory to justify the validity regime of our theory.

A turbulência clássica é um fenômeno de natureza caótica, mas de difícil estudo por ser constituída pela fusão e superposição de vórtices aleatórios, dificultando sua descrição matemática. A turbulência quântica (TQ), embora também caótica, é composta por vórtices quantizados, que favorecem o controle experimental e sua definição teórica. Embora a evidência experimental da TQ tenha sido obtida em sistemas de He líquido, sua caracterização em condensados de Bose-Einstein (BEC) ainda não foi totalmente realizada. Neste trabalho, estudamos a distribuição de momento em BECs expandidos em tempo de voo, nos regimes convencional e turbulento. Para a produção experimental da amostra quanticamente degenerada, utilizamos a técnica do resfriamento evaporativo em átomos de 87Rb, previamente resfriados em uma armadilha puramente magnética do tipo QUIC. A turbulência quântica foi produzida no sistema através de um par de bobinas de excitação capaz de produzir uma perturbação oscilatória na nuvem previamente condensada. O diagnóstico da amostra aprisionada é feito por imagem de absorção durante expansão livre da nuvem. Durante a expansão, tanto a nuvem condensada quanto a turbulenta, alcançaram um valor assintótico no aspect ratio, indicando uma evolução isotrópica. A partir deste resultado, elaboramos um método teórico capaz de determinar a projeção isotrópica da distribuição de momento, baseado na imagem produzida experimentalmente. Através de argumentos de simetria e de uma transformada integral, recuperamos a densidade de momento tridimensional da projeção, para então determinar o espectro de energia cinética da nuvem, observando uma lei de escala para um estreito intervalo de momento. A lei de escala já foi prevista teoricamente para sistemas quânticos e medida para o He superfluido, mas pela primeira vez foi evidenciada em um BEC. Desta forma, os resultados corroboram a existência da turbulência quântica em uma amostra quanticamente degenerada, introduzindo os BECs como candidatos alternativos ao He líquido superfluido no estudo deste fenômeno. / Classical turbulence is a chaotic phenomenon that requires labored work, because of its merging and overlapping of random vortices nature, which hinders its mathematical description. Quantum turbulence (QT), although chaotic, is comprised of quantized vortices that favor the experimental control and its theoretical definition. Although experimental evidence of QT has been proved in liquid helium systems, its characterization in Bose-Einstein condensates (BEC) has not been fully accomplished. In this work, we studied the momentum distribution of expanding turbulent and non-turbulent BEC. For experimental achievement of the quantum degenerated sample, we used evaporative cooling in rubidium atoms, previously cooled in a QUIC trap. Quantum turbulence was produced through a pair of excitation coils capable of producing an oscillatory perturbation in the cloud previously condensed. The diagnosis of the trapped sample is done by absorption image during free expansion of the cloud. During the expansion, both clouds achieved a asymptotic value of the aspect ratio, indicating an isotropic evolution. From this result, we have developed a theoretical method able to determine the projection of the isotropic distribution of momentum, based on the image produced experimentally. Through symmetry arguments and an integral transformation, we recovered the tridimensional momentum distribution of the projection and then determined the kinetic energy spectrum of the cloud, observing a scaling power law for a narrow range of momenta. The scaling law has been theoretically predicted for quantum systems and has been proved to liquid helium superfluid, but, in this work, was for the first time evidenced in a BEC. Thus, the results support the existence of quantum turbulence in our quantum degenerated sample, introducing the BECs as potential candidates besides liquid helium superfluid for the study of this phenomenon.

Neste trabalho é estudado o comportamento termodinâmico de um gás unidimensional de bosons sob a ação de uma impureza delta atrativa. O sistema apresenta o fenômeno da condensação de Bose- Einstein e a causa da transição é atribuida ao estado ligado introduzido pela impureza no espectro de partícula livre. A fase condensada é composta pelas partículas capturadas pela impureza, formando uma gota de partículas bem localizadas no espaço. Isto dá à condensação de Bose-Einstein apresentada pelo sistema a aparência da conhecida transição líquido-vapor. A ordem de transição é analisada pela equação de Clausius-Clayperon e interpretada como de primeira ordem. Deste modo, a semelhança entre a condensação de Bose-Einstein neste sistema ma e a transição líquido-vapor é reforçada.O cálculo do calor específico a comprimento constante, mostra a existência de uma descontinuidade finita na temperatura de transição. / The thermodynamic behavior of the one-dimensional Bose gas-attractive delta impurity system is studied in this work. The system is shown to undergo the Bose-Einstein condensation and the cause of the phase transition is attributed to the bound state introduced by the impurity in the free particle energy spectrum. The condensed phase is composed by particles captured by the impurity, forming a drop of particles well localized in space. This gives to the Bose-Einstein condensation in this system the appearance of the ordinary vapor-liquid phase transition. The order of the phase transition is analized with the aid of the Clausius-Clayperon equation wich allowed us to conclude that the transition is a first order one. This reinforce the interpretation of a vapor-liquid transition.The evaluation of the heat capacity at constant length shows the existence of a finite discontinuity at the transition temperature.

A pressão e o volume não podem ser definidos corretamente em um sistema nãohomogêneo. Neste trabalho, definimos variáveis macroscópicas globais para um gás confinado em uma armadilha harmônica, os quais são análogos à pressão e o volume. Um sistema ultra-frio tem variáveis termodinâmicas naturais como o número de átomos e a temperatura. Introduzimos um novo conjunto de variáveis globais conjugadas para caracterizar o sistema macroscopicamente. Construímos diferentes diagramas de fase para um gás de Bose de 87Rb aprisionado em uma armadilha harmônica em termos dessas novas variáveis globais obtidas a partir das frequências da armadilha e a distribuição da densidade dos átomos. Nós construímos estes diagramas de fase, identificando os principais aspectos relacionados à transição da condensação de Bose-Einstein em um gás aprisionado. Este procedimento pode ser usado para explorar aspectos relacionados com a condensação de Bose-Einstein, tais como a compressão isotérmica relacionados com a transição de fase. Por outro lado, estas novas quantidades termodinâmicas nos permitem estudar a natureza dos fenômenos quânticos como a pressão do ponto zero relacionada ao princípio da incerteza. / The pressure and volume can not be defined correctly on a non-homogeneous system. In this work we define macroscopic variables for a gas confined in an harmonic trap, which are analogous to pressure and volume. An ultra-cold system has natural thermodynamic variables as number of atoms and temperature. We introduce a new set of global conjugate variables to characterize the system macroscopically. We measure different phase diagrams of a 87Rb Bose gas in a harmonic trap in terms of these new global variables obtained from frequencies of trap and the density distribution of atoms. We construct these phase diagrams identifying the main features related to the Bose- Einstein condensation transition in a trapped gas. This procedure can be used to explore different aspects related to Bose-Einstein condensation, such as the isothermal compressibility related with the phase transition characteristics. On the other hand, these new thermodynamic quantities allow us to study the nature of quantum phenomena as the zero-point pressure related to the uncertainty principle.

In this thesis we present some studies that were done in a trapped 87Rb Bose-Einstein condensate using the thermodynamic global variables. We have measured the global sound velocity by studying the variation of the total number of trapped atoms as a function of temperature. This method allowed us to determine the contribution of thermal and BEC components at each temperature. In order to study the sound velocity in each component, we treated both fluids as they were completely independent and we found great similarity with a published work. In addition, we analyze theoretically the validity of the global variables by comparing this approach with other methods. The specific heat for an ideal gas was evaluated using the global variables and by using the usual statistical approach found in textbooks. After finding the same result for both methods, we used the simplicity to implement the interaction in the global approach, to study the variation in the specific heat when the interactions are taken into account. The last comparison was done between global variables and the local density approximation. We have obtained that, for the isothermal compressibility and a equation of state, both methods provide equivalent results. / Nesta tese descrevemos estudos que foram feitos em um Condensado de Bose-Einstein de 87Rb usando variáveis termodinâmicas globais. A velocidade do som foi medida através de variações do número de átomos aprisionados em função da temperatura. Com este método fomos capazes de determinar qual a contribuição da componente térmica e do condensado em cada temperatura. Com o objetivo de estudar a velocidade do som em cada componente, analisamos ambas componentes como se elas fossem totalmente independentes, e encontramos grande similaridade com outro trabalho publicado. Adicionalmente, um estudo teórico foi feito para analisar a validade das variáveis globais comparando com outros métodos. O calor específico para um gás ideal foi calculado usando as variáveis globais e também usando o tratamento estatístico convencional encontrado em livros-texto. Depois de encontrar os mesmos resultados com os dois métodos, usamos a facilidade que temos em considerar as interações entre os átomos usando as variáveis globais, e estudamos a variação no calor específico quando estas interações são consideradas. Em um último estudo, comparamos as variáveis globais com o método de aproximação da densidade local. Para a compressibilidade isotérmica e para uma equação de estado obtemos resultados equivalentes com os dois métodos.