Tesis para optar al grado de Doctor en Economía / Abordamos el problema de la existencia de equilibrio cuando la participación financiera está restringida. En una primera aproximación, estudiamos la existencia de equilibrio cuando restricciones exógenas vienen dadas por las dotaciones de información de los individuos. Todo esto, en un entorno donde los precios revelan información induciendo una actualización endógena de la información individual. Luego, permitiendo que las restricciones en la participación dependan de variables endógenas de la economía, analizamos dos métodos para la prueba de existencia : mediante una propiedad de super-replicación de la estructura financiera y a través de un tipo de impaciencia en las preferencias de los agentes económicos. / We study the equilibrium existence problem when there are restriction in the financial participation. In a first approach, we analyze equilibrium existence when exogenous restriction are given by information endowments. This is done, in an environment where prices reveal information inducing an endogenous update of private information. Then, including restrictions that depend on endogenous variables of the economy, we analyze two methods for the proof of equilibrium existence: invoking a super replication property on the financial structure and through a kind of impatience in preferences of economic agents.

The controversial topic of which the conditions of transversality are for problems of infinite temporal horizon is presented here within the general context of the theory of Optimal Control. Results are presented for linear and autonomous case, as well as Arrow's theorem.

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La presente investigación desarrolla en detalle el artículo Continuity properties of Paretian Utility. International Economic Review, 5, 1964 de Gerard Debreu. Cuyo principal resultado es representar preferencias mediante una función de utilidad continua u= g o v. Esta investigación tiene como principal aporte presentar un ejemplo ilustrativo de una cierta función v , que es el paso necesario, pero no suficiente para lograr dicha representación numérica de preferencias. Cabe señalar que este ejemplo no se encuentra dado en el artículo ni en ningún otro documento relacionado con el tema. La teoría económica concerniente al tema será representada matemáticamente; esto nos facilitara el uso de herramientas y resultados de Análisis y Topología para poder lograr la representación mediante una función de utilidad continua. Así, las preferencias se representan mediante una relación binaria la cual será reflexiva y transitiva y para el conjunto de alternativas será dotado de una estructura topológica. Surge, entonces las interrogantes ¿Es esto suficiente para representar numéricamente las preferencias? ¿Bajo qué condiciones podemos tener esta representación? ¿Es siempre posible representar una preferencia? ¿Bajo qué condiciones podemos tener esta representación? A ello se responde con el clásico ejemplo de las Preferencias Lexicográficas, las cual es una relación binaria reflexiva y transitiva pero no admiten representación. En seguida, se presenta la definición de cierta función creciente v, la cual logra representar preferencias pero que no siempre es continua. Aquí presentamos ejemplos ilustrativos para los cuales se ve cuando esta función es continua o no. Debido a que pueden darse estas posibilidades es que es necesario definir una función g para la cual a partir de definiciones, lemas y proposiciones se verifica que los saltos de g(S) son abiertos. Con estas funciones v y g es posible definir la función u: g o v la cual es continua, logrando así la representación buscada. / Tesis

La presente investigación desarrolla en detalle el artículo Continuity properties of Paretian Utility. International Economic Review, 5, 1964 de Gerard Debreu. Cuyo principal resultado es representar preferencias mediante una función de utilidad continua u= g o v. Esta investigación tiene como principal aporte presentar un ejemplo ilustrativo de una cierta función v , que es el paso necesario, pero no suficiente para lograr dicha representación numérica de preferencias. Cabe señalar que este ejemplo no se encuentra dado en el artículo ni en ningún otro documento relacionado con el tema. La teoría económica concerniente al tema será representada matemáticamente; esto nos facilitara el uso de herramientas y resultados de Análisis y Topología para poder lograr la representación mediante una función de utilidad continua. Así, las preferencias se representan mediante una relación binaria la cual será reflexiva y transitiva y para el conjunto de alternativas será dotado de una estructura topológica. Surge, entonces las interrogantes ¿Es esto suficiente para representar numéricamente las preferencias? ¿Bajo qué condiciones podemos tener esta representación? ¿Es siempre posible representar una preferencia? ¿Bajo qué condiciones podemos tener esta representación? A ello se responde con el clásico ejemplo de las Preferencias Lexicográficas, las cual es una relación binaria reflexiva y transitiva pero no admiten representación. En seguida, se presenta la definición de cierta función creciente v, la cual logra representar preferencias pero que no siempre es continua. Aquí presentamos ejemplos ilustrativos para los cuales se ve cuando esta función es continua o no. Debido a que pueden darse estas posibilidades es que es necesario definir una función g para la cual a partir de definiciones, lemas y proposiciones se verifica que los saltos de g(S) son abiertos. Con estas funciones v y g es posible definir la función u: g o v la cual es continua, logrando así la representación buscada. / Tesis

Este trabajo estudia el modelo estocástico de precios spot de commodity de Schwartz y Smith (2000). Este modelo asume que el precio spot de un commodity St es una función de dos factores estocásticos, ln (St) = t + t, con una dinámica Xt = ( t, t) descrita por el sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas de difusión d t = − tdt + dB t d t = μ dt + dB t , donde el vector B t ,B t es un P−proceso Browniano correlacionado con coeficiente . Dado el modelo de precios spot y un conjunto de precios futuros de cierto commodity Yt, el problema general consiste en calibrar Xt y el conjunto de parámetros = { , μ , , , }, considerando de que Xt solo es observable indirectamente a través de Yt. Para el abordaje de este problema se recurre al método de filtraje estocástico a partir de data observable. El objetivo del filtraje estocástico es calcular la distribución condicional E [Xt | y1, ..., yt] dada una muestra finita (y1, ..., yt) de observaciones discretas de Yt. La solución al problema de filtraje no es directo y se basa en tres etapas. Primero, se encuentra la solución de Xt. Segundo, se realiza el cambio de medida de probabilidad P de nuestro modelo spot por una medida equivalente Q llamado medida de riesgo neutral, aplicando el Teorema de Girsanov con precios de mercado de riesgo ( , ). Con el cambio de medida se obtiene la curva de precios futuros para un T fijo ,aplicando la definición de precios futuros, F (t, T) = EQ (ST /Ft) : Yt log (Ft,T ) = e− (T−t) t + t + A(t, T) , donde A(t, T) es una función determinística. Luego de determinar la ecuación de futuros del modelo de Schwartz y Smith (2000), en la tercera etapa para n fijo y un panel de datos de futuros {Ft,T1 , ..., Ft,Tn} , se representa el modelo en la forma espacio estado discreto para aplicar el método de Filtro de Kalman en la estimación recursiva del sistema lineal discreto. Con las ecuaciones de filtraje se usa el método de máxima verosimilitud para estimar el conjunto de paramétros . / Tesis

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La teoría económica es un ambiente donde las matemáticas brindan muchos aportes para modelizar comportamientos de agentes económicos. En este contexto, la presente tesis enfatiza el despliegue matemático para tratar el problema del consumidor en una economía descrita por bienes de consumo. Estos conforman canastas de consumo que son identi ficados con elementos de un cono convexo de un espacio vectorial apropiado como es el caso estándar de Rn, y por un sistema de precios, los cuales son identi ficados con vectores del cono dual topológico asociado al cono de las canastas de consumo. El problema del consumidor, es un modelo en el que un consumidor elige canastas de bienes (los cuales son accesibles para él considerando su restricción presupuestaria) de tal forma que maximice su satisfacción por el consumo de estas. El problema del consumidor se puede formular desde dos perspectivas distintas, ya sea mediante preferencias o mediante funciones de utilidad que representan la satisfacción del agente. En ambas formulaciones la solución al problema del consumidor es un conjunto de canastas de bienes dando lugar a una aplicación que asigna a cada vector de precios un conjunto de canastas (puede ser vacío, unitario o de varios elementos), a esta aplicación se le denomina correspondencia de demanda. En el presente trabajo se realiza una exposición pormenorizada de la monotonicidad de la correspondencia de demanda, vía preferencias y vía funciones de utilidad, tomando en cuenta condiciones de diferenciabilidad así como de no diferenciabilidad en lo que concierne a las funciones de utilidad. En algunos casos se debilita la clásica condición de concavidad para la función de utilidad. Asimismo, se evidencia el papel que juega la función de utilidad indirecta en el tratamiento de la monotonicidad de la función de demanda. / Economic theory is an environment where mathematics provides many contributions to model the behavior of economic agents. In this context, this thesis emphasizes the mathematical deployment to deal with the problem of the consumer in an economy described by consumer goods. These form bundles of consumption that are identi ed with elements of a convex cone of an appropriate vector space as is the standard case of Rn, and by a price system, which are identi ed with vectors of the topological dual cone associated with the cone of the bundles of consumption. The problem of the consumer, is a model in which a consumer chooses bundles of goods (which are accessible to him considering his budget constraint) in such a way that maximizes his satisfaction for the consumption of these. The consumer problem can be formulated from two di erent perspectives, either through preferences or through utility functions that represent the agent's satisfaction. In both formulations the solution to the problem of the consumer is a set of bundles of goods giving rise to an application that assigns to each price vector a set of bundles (it can be empty, unitary or of several elements), this application is called correspondence of demand. In the present work a detailed exposition is made of the monotonicity of the correspondence of demand, through preferences and through utility functions, taking into account conditions of di erentiability as well as non-di erentiability with respect to utility functions. In some cases the classic concavity condition for the utility function is weakened. Likewise, the role played by the indirect utility function in the treatment of the monotonicity of the demand function is evident. / Tesis

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática En Cotutela con la Universidad Paris-Dauphine / En esta tésis se estudian aspectos teóricos del modelo de Agente-Principal y se presentan algunas aplicaciones en economía. En la primera parte de la tésis se presentan dos aplicaciones del modelo. En la primera, un proveedor de electricidad determina la tarifa óptima para cobrar a los clientes por su consumo. La población es heterogénea y el proveedor observa perfectamente el consumo de cada cliente. Esto conlleva a una situación de selección adversa sin riesgo moral. El problema del Principal se escribe como un problema variacional no estándar que se resuelve para formas particulares de la utilidad de reserva de la población. El contrato óptimo resulta ser o bien lineal o polinomial con respecto al consumo y el proveedor contrata solo a aquellos consumidores que presentan una alta o una baja necesidad de electricidad. En la segunda aplicación, un banco monitorea un conjunto de préstamos idénticos sujetos a contagio Markoviano. El banco obtiene fondos de un inversor, que no puede observar las acciones del banco y tampoco conoce su competencia para el trabajo. Este trabajo es una extensión del modelo de Pagès and Possamaï [84] al caso de incluye tanto riesgo moral como selección adversa. Siguiendo el enfoque de Cvitanić, Wan and Yang [31] para este tipo de problemas, el conjunto creíble dinámico es calculado explícitamente y la función valor del inversor se obtiene a través de un sistema recursivo de inecuaciones variacionales. Las propiedades del contrato óptimo se discuten en detalle. En la segunda parte de la tesis se estudia el problema de un Agente que controla el retorno esperado de un proceso de difusión bajo incerteza de la volatilidad. Se asume que tanto el Principal como el Agente tiene un enfoque pesimista al problema y actúan como si un tercer jugador, la Naturaleza, escogiera la peor volatilidad posible. Este trabajo es una extensión de Mastrolia y Possamaï [64] y de Sung [125] a un marco más general. Se demuestra que la función valor del Agente puede ser representada como la solución de una Ecuación Diferencial Estocástica Retrógrada de segundo orden, y también que la función valor del Principal corresponde a la única solución viscosa de la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman- Isaacs asociada, asumiendo que esta última satisface un principio de comparación. / Este trabajo ha sido parcialmente financiado por CONICYT-Beca Doctorado Nacional 2013