L'étude des états moléculaires à énergie élevée est à la frontière entre divers domaines des sciences qui relèvent de la physique/chimie (mécanique quantique, calcul ab initio des structures électroniques, spectroscopie à haute résolution, physique atmosphérique) et de la dynamique des systèmes complexes. Pour bien interpréter les données expérimentales il y a un fort besoin de modèles théoriques utilisant les algorithmes mathématiques efficaces qui peuvent décrire des spectra avec une haute précision. Le projet de ce travail en co-tutelle est axé vers le développement de modèles et des outils théoriques qui soient adaptés à une description des états du mouvement nucléaire de molécules très excitées. L’objectif est d’accompagner les analyses des spectres et de permettre une modélisation suffisamment précise des mesures expérimentales. Le développement des algorithmes mathématiques et outils informatiques, leurs optimisations, programmations et applications pour des problèmes atmosphérique et environnementales représente le sujet central de la thèse, qui doit s’appuyer sur les compétences du candidat en mathématique appliquée / programmations scientifique et en spectroscopie moléculaire. Des méthodes mathématiques sont considérées dans le contexte des tâches physiques suivantes: 1) Construction et ajustement des modèles d'Hamiltonians effectifs pour décrire un grand nombre des transitions ro-vibrationnelles de protoxyde d'azote (N2O). 2) Construction de modèles analytiques de surface d'énergie potentielle (SEP) d'ozone (O3) à partir de calculs ab initio et ajustements aux données expérimentales vibrationnels. 3) Amélioration d'algorithme des transformations contactes (TC) pour calculer spectra des molécules poly-atomiques avec signifiant nombre des atomes. / The studies of highly excited molecular states are located on the frontier between different scientific domains involving physics / chemistry (quantum mechanics, ab initio electronic structure calculations, high-resolution spectroscopy, atmospheric physics) and dynamics of the very complex molecular systems. For good interpreting of this kind of data it is necessary to have theoretical models which are based on optimized algorithms permitting to predict the experimental data with acceptable precision. The subject of this work is focused in the field of development of theoretical models and algorithms which are adapted to the description of states of the nuclear movements of molecules in highly excited states. Our main goal is to provide efficient computational means to perform spectral analyses and to model the spectroscopic experimental measurements with good accuracy. This task includes developing and enhancing mathematical algorithms, creating and optimization of the necessary field-specific software for applications to the environmental and atmospheric problems. The tasks are in the following competences of the candidate: applied mathematics, scientific programming and molecular spectroscopy.Mathematical methods are considered in the context of the following physical tasks: 1) Construction and fitting of the models of effective Hamiltonians for description of high number of ro-vibrational transitions of nitrous oxide (N2O). 2) Construction of analytical models of the potential energy surface of ozone (O3) using ab initio calculations and fittings to experimental vibrational data. 3) Improvement of the algorithm of contact transformations (CT) aimed at the calculation of ro-vibrational spectra of polyatomic molecules with significant number of atoms.

<p dir="ltr">A bath of free electrons interacting with a local quantum impurity leads to various exotic non-Fermi liquid behaviors, such as the non-integer effective ground state degeneracy of the impurity and the correction to the zero temperature conductance, which is temperature to the power of a fractional number. The former indicates emergent anyons, which are the key ingredients for achieving topological protected quantum computations. The latter can be used for experimentally probing non-Fermi liquid physics. It was recently proposed that a Coulomb blockaded M-Majorana island coupled to normal metal leads realizes a novel type of Kondo effect where the effective impurity “spin” transforms under the orthogonal group SO(M). Inspired by the multichannel generalization of the original Kondo model, we introduce a physically motivated N-channel generalization of this topological Kondo model whose impurity spin stems from the non-local topological ground state degeneracy of the island. This multichannel topological Kondo model supports Z3 parafermion and Fibonacci anyon (not supported by one-channel topological Kondo model) but may be limited to experiments because it is unstable to channel anisotropy. Therefore, we propose a Majorana-free meso- scopic setup which implements the Kondo effect of the symplectic Lie group and can harbor emergent anyons (including Majorana fermions, Fibonacci anyons, and Z3 parafermions) even in the absence of perfect channel symmetry. Besides, I comment on the future work such as the strong tunneling case that is beyond the topological Kondo regime and the two-impurity Kondo physics.</p>

Dans une première partie, nous avons étudié quelques propriétés de molécules magnétiques impliquant des radicaux organiques (seuls ou conjointement avec des terres rares). Nous avons ainsi pu interpréter l'évolution de la susceptibilité magnétique et de l'aimantation en fonction de la température en évaluant par des approches ab initio fonctions d'onde les constantes d'échange ou le tenseur g au sein de ces matériaux. De plus, nous avons chercher à définir les conditions pour que des matériaux à base de radicaux organiques présentent simultanément des propriétés magnétiques et conductrices. Nous avons ainsi examiné différentes familles de composés et l'influence de la structure géométrique et chimique des radicaux organiques utilisés. Pour cette partie, nous avons extrait les intégrales physiques pertinentes par la méthode des Hamiltoniens effectifs.Dans une deuxième partie, nous avons utilisés ces quantités physiques (intégrale de saut, répulsion sur site, échange) pour décrire le phénomène de transport dans des jonctions pour lesquelles les effets de la corrélation électronique ne peuvent être écartés. Munis de ces paramètres ab initio, nous avons développé un modèle phénoménologique permettant de décrire la conduction moléculaire à l'aide d'un jeu d'équations maîtresses. Nous avons ainsi cherché à mettre en évidence l'intérêt des approches post Hartree-Fock empruntant une fonction d'onde corrélée et de spin adapté dans la description du transport électronique. Que ce soit dans le cas de transport polarisé en spin ou non, l'approche utilisée (mono ou multi-déterminentale) conditionne qualitativement et quantitativement la caractéristique courant/tension. / In a first part, we studied the magnetic properties of organic radicals (coupled with rare earth or between each other). We calculated the magnetic exchange and the g-tensor of these compounds to understand their magnetic susceptibility and thei magnetization curves via ab initio calculations based on the wave-function. We studied how the chemistry and the crystal stacking affect meaningful parameters linked to magnetism and conduction. Those parameters were extracted with the thory of effective Hamiltonians fo various families of organic radicals. From the observed trends for the different parameters, we predicted some ways to obtain multifunctional compounds. In a second part, we used the same parameters (hoping integral, coulombic repulsion, magnetic exchange) to describe transport properties through highly correlated molecular junctions. From the ab initio parameters, we developed a phenomenological model based on master equations to describe the electronic transport. We stressed the importance of a multiconfigurational description to reproduce properly the transport properties for spin unpolarized and spin polarized situations. In both cases, the mono- or multi-configurational description affects qualitatively and quantitatively the predicted conductance curve.

Le travail présenté porte sur l'analyse et l'interprétation théorique du spectre d'absorption du dioxyde de carbone dans le proche infrarouge: spectroscopie d'absorption ultrasensible et modélisation théorique des positions et intensités des raies d'absorption. Ce travail vise à affiner et étendre l'ensemble des paramètres des opérateurs effectifs nécessaires à la génération des listes de raies pour les bases de données spectroscopiques. Les résultats obtenus peuvent être divisés en trois parties.Dans la première partie, nous avons établi les équations relatives aux paramètres q0 J, qJ, q2J and q3J-types des éléments de matrice de l'opérateur moment dipolaire effectif en fonction des dérivées du moment dipolaire et des constantes de force obtenues par transformation de contact pour les isotopologues: 16O12C18O, 16O12C17O, 16O13C18O, 16O13C17O, 17O12C18O. En utilisant ces équations et les relations isotopiques obtenues pour les constantes moléculaires, des calculs numériques nous ont permis de dériver les paramètres effectifs du moment dipolaire des séries de transitions ∆P= 0, 2, 4, 6 et 8, pour les six isotopologues asymétriques ci-dessus. La comparaison des paramètres rapportés dans la littérature et obtenus dans ce travail a été effectuée et discutée.La deuxième partie est consacrée à l'analyse du spectre d'absorption du dioxyde de carbone hautement enrichi en 18O, enregistré avec une très grande sensibilité par spectroscopie CW-Cavity Ring Down Spectroscopy entre 5851 et 6990 cm-1 (1.71-1.43 µm). Au total, 19526 transitions appartenant à onze isotopologues (12C16O2, 13C16O2, 16O12C18O, 16O12C17O, 16O13C18O, 16O13C17O, 12C18O2, 17O12C18O, 12C17O2, 13C18O2 et 17O13C18O) ont été attribuées sur la base des prévisions du modèle de l'Hamiltonien effectif. Toutes les bandes identifiées correspondent aux séries de transitions ∆P= 8, 9 et 10, où P=2V1+V2+3V3 est le nombre de polyade (V1,V2,V3 sont les nombres quantiques vibrationnels). Les intensités des transitions les plus faibles sont de l'ordre de 2×10-29 cm/molécule. Les paramètres spectroscopiques précis de 211 bandes appartenant à neuf isotopologues ont été calculés. Au total, neuf perturbations de résonance de la structure rotationnelle de l'état supérieur ont été observées et identifiées pour les isotopologues 16O12C18O, 12C18O2, 13C18O2, 16O13C18O, 16O12C17O et 17O12C18O. Un nouvel ensemble de paramètres du Hamiltonien effectif a été obtenu par un ajustement global de nos données et de l'ensemble des données de la littérature. En utilisant une approche similaire, les ajustements globaux des intensités obtenues pour les transitions des séries ∆P= 8, 9 and 10 ont permis d'obtenir l'ensemble de paramètres effectifs du moment dipolaire.Dans la troisième partie, nous présentons l'analyse du spectre CW-CRDS du dioxyde de carbone naturel entre 7909 et 8370 cm-1 (1.26-1.19 µm). Au total, 3425 transitions appartenant à 61 bandes de six isotopologues - 12C16O2, 13C16O2, 16O12C18O, 16O12C17O, 16O13C18O et 16O13C17O- ont été attribuées. Dans la région spectrale étudiée, toutes les bandes appartiennent à la série ∆P=11. Les paramètres spectroscopiques précis des états supérieurs de 57 bandes ont été obtenus à partir d'un ajustement des positions mesurées (rms typiques des écarts de l'ordre de 0.6×10-3 cm-1). Les ajustements globaux des intensités obtenues ont permis de déterminer les paramètres effectifs du moment dipolaire de la série ∆P=11 des six isotopologues étudiés.Les résultats obtenus ont eu un grand impact sur la modélisation globale des spectres de du dioxyde de carbone. Ils ont permis d'affiner et d'étendre les mesures existantes et d'améliorer considérablement les paramètres de l'Hamiltonien et moment dipolaire effectifs. Les résultats obtenus ont d'ores et déjà été intégrés dans les bases de données spectroscopiques de CO2 les plus couramment utilisées (HITRAN, GEISA, CDSD). / This thesis is devoted to the investigation of the high resolution near infrared spectra of carbon dioxide and includes experimental measurements and theoretical modeling of line positions and intensities and refinement and extension of the set of effective operator parameters. The obtained results can be divided by three parts:In the first part, we present the equations for the q0 J, qJ, q2J and q3J-types parameters of the matrix elements of the effective dipole-moment operator in terms of the dipole-moment derivatives and force field constants derived by means of contact transformation method for the following carbon dioxide isotopologues: 16O12C18O, 16O12C17O, 16O13C18O, 16O13C17O, 17O12C18O and 17O13C18O. Using these equations and the obtained isotopic relations for the molecular constants, we derived the effective dipole-moment parameters for the ∆P= 0, 2, 4, 6 and 8 series of transitions of the six above asymmetric carbon dioxide isotopologues (P=2V1+V2+3V3 is the polyad number where V1,V2 and V3 are the vibrational quantum numbers). The comparison of the parameters reported in the literature and obtained in this work is performed and discussed.The second part is devoted to the analysis of the room temperature absorption spectrum of highly 18O enriched carbon dioxide recorded by very high sensitivity CW-Cavity Ring Down Spectroscopy between 5851 and 6990 cm-1 (1.71-1.43 µm ). Overall, 19526 transitions belonging to eleven isotopologues (12C16O2, 13C16O2, 16O12C18O, 16O12C17O, 16O13C18O, 16O13C17O, 12C18O2, 17O12C18O, 12C17O2, 13C18O2 and 17O13C18O) were assigned on the basis of the predictions of the effective Hamiltonian model. Line intensities of the weakest transitions are on the order of 2×10-29 cm/molecule. The line positions were determined with accuracy better than 1×10-3 cm-1 while the absolute line intensities are reported with an uncertainty better than 10%. All the identified bands correspond to the ∆P= 8, 9 and 10 series of transitions. The accurate spectroscopic parameters for a total of 211 bands belonging to nine isotopologues were derived. Nine resonance perturbations of the upper state rotational structure were identified for 16O12C18O, 12C18O2, 13C18O2, 16O13C18O, 16O12C17O and 17O12C18O isotopologues. New sets of Hamiltonian parameters have been obtained by the global modeling of the line positions within the effective Hamiltonian approach. Using a similar approach, the global fits of the obtained intensity values of the ∆P= 8, 9 and 10 series of transitions were used to derive the corresponding set of effective dipole moment parameters.In the third part, we report the analysis of the absorption spectrum of natural carbon dioxide by high sensitivity CW-Cavity Ring Down spectroscopy between 7909 and 8370 cm-1 (1.26-1.19 µm). Overall, 3425 transitions belonging to 61 bands of 12C16O2, 13C16O2, 16O12C18O, 16O12C17O, 16O13C18O and 16O13C17O were assigned. In the studied spectral region, all bands correspond to ∆P= 11 series of transitions. The accurate spectroscopic parameters of the upper states of 57 bands were derived from a fit of the measured line positions (typical rms deviations of about 0.6×10-3 cm-1). The global fits of the obtained intensity values of the ∆P= 11 series of transitions were used to determine the corresponding set of effective dipole moment parameters of the six studied isotopologues.The large set of new observations obtained in this thesis has an important impact on the global modeling of high resolution spectra of carbon dioxide. It has allowed refining and extending the sets of effective dipole moment and effective Hamiltonian parameters. The obtained results have allowed improving importantly the quality of the line positions and intensities in the most currently used spectroscopic databases of carbon dioxide (HITRAN, GEISA, CDSD).

Les chambres réverbérantes à brassage de modes (CRBM) utilisées dans l'industrie pour tester l'immunité ou la susceptibilité des systèmes électroniques embarqués (avion, automobile , smartphone,...) vis-à-vis des ondes électromagnétiques (EM) présentes dans leur environnement. Les CRBM doivent toutes répondre à un certain nombre de critères statistiques fixés par une norme internationale. Le critère principale étant l'obtention d'un champ statistiquement uniforme et isotrope autour de l'objet sous test. Afin améliorer et de mieux maîtriser les propriétés statistiques de ces systèmes pour des fréquences proches de leur fréquence minimale d'utilisation, nous proposons de les rendre chaotiques afin de profiter des propriétés statistiques universelles des résonances des cavités chaotiques. Nous commencerons par montrer comment rendre chaotique, par des modifications simples, des chambres réverbérantes conventionnelles, et comment étendre les prédictions de la théorie des matrices aléatoire appliquée (TMA) à l'hamiltonien effectif, permettant de décrire les systèmes chaotiques ouverts, au cas de systèmes décrits par des champs vectoriels. Ensuite, nous comparerons, au moyen de simulations et d’expériences, les distributions d'intensité et les fluctuations des maxima du champ EM dans une CRBM conventionnelle et dans une CR chaotique au voisinage de la fréquence minimale d’utilisation. Ce travail illustre que les propriétés statistiques spectrales et spatiales universelles des CR chaotiques permettent de mieux répondre aux critères exigés par la norme internationale pour réaliser des tests de compatibilité électromagnétiques. / Mode-stirred reverberation chambers (RC) are used in the industry to test the immunity or the susceptibility of on-board electronic systems (plane, automobile, smartphone) towards the electromagnetic waves present in their environment. Mode-stirred RCs have to comply with a number of statistical criteria fixed by international standards. The chief criterion relies on a statistically uniform and isotropic field around the object under test. In order to improve and master the statistical properties of these systems for frequencies close to their lowest useable frequency, we suggest making them chaotic to take advantage of universal statistical properties of the resonances of chaotic cavities. We first show how to make chaotic RCs by simple modifications of a conventional RC and how to extend the predictions of the random matrix theory applied to the effective hamiltonien describing the open chaotic systems, to the case of vectorial fields. Then, we compare, by means of simulations and experiments, the distributions of intensity and the fluctuations of the maxima of the field in a conventional RC and in a chaotic RC close to the lowest useable frequency. This work illustrates that the universal spectral and spatial statistical properties of chaotic RCs allow to better comply with the criteria required by the international standards.

Cette thèse porte sur la construction de solutions particulières de type ondes progressives ou ondes planes pour différentes équations aux dérivées partielles (EDP) et en particulier le modèle de Frenkel-Kontorova et une équation des ondes régularisée. Ce mémoire s’articule comme suit. Le chapitre 1 est destiné à une introduction générale dans laquelle je présente une motivation physique et un résumé de mon travail. Le chapitre 2 est destiné à l’étude d’existence et d’unicité des ondes progressives avec le terme d’accélération. Ce modèle consiste d’un système d’ODE qui décrit le mouvement de particules en interaction. Les applications les plus importantes que nous avons à l’esprit est le mouvement des défauts cristallins appelés dislocations. Pour ce modèle, nous montrons l’existence des ondes progressives sous des hypothèses très faibles. L’unicité de la vitesse a été étudiée ainsi que l’unicité du profil en utilisant les différents types du principe de maximum fort. Comme ce que nous savons, c’est le premier résultat concernant les ondes progressives pour un système accéléré, spatialement discret. Ce chapitre est un article publié à la revue Journal of Dynamic and Differential Equation : Existence and uniqueness of traveling wave for accelerated Frenkel-Kontorova model, Journal of Dynamic and Differential Equation : Volume 26, Issue 24 (2014), page 1133-1169. Le chapitre 3 est réservé à l’homogénéisation numérique du modèle Frenkel-Kontrova dans le cas amortie. Je présente deux méthodes pour calculer l’hamiltonien effectif: la méthode grand temps et la méthode de Newton. Quelques simulations de l’hamiltonien effectif sont fournies. Le chapitre 4 est destiné à l’étude d’équation d’onde dans un domaine périodique. Selon certaines hypothèses, je construis une solution d’onde plane pour le problème approché et je montre que cette solution satisfait certaines propriétés. Je définis un opérateur non local et un terme correcteur afin de contrôler les oscillations de la solution dans l’espace et dans le temps. Je prouve la construction d’une solution d’onde plane pour un problème approché en utilisant la notion de solution de viscosité. / This thesis deals with the construction of particular solutions of traveling wave or plane wave for different equations partial derivative (EDP) and in particular the Frenkel-Kontorova model and a regularized wave equation. This memory is structured as follows. The chapter 1 is preserved for a general introduction in which i present a physical motivation and a abstract of my work. In chapter 2, I interested to the study the existence and uniqueness of traveling wave solution for the accelerated Frenkel-Kontorova model. This model consist in a system of ODE that describe the motion particles in interaction. The most important applications ihave inmind in the motion of cristal defects called dislocations. For this model, i prove the exxistence of traveling wave solutions under very weak assumptions. The uniqueness of the velocity is also studied as well the uniqueness of the profile which used ddifferent types of strpng maximum principle. As far as we know, this is the first result concerning traveling waves for accelerated, spatially discrete system. This chapter is an article published in the Journal Dynamic and Differential Equation:Existence and uniqueness of traveling wave for accelerated Frenkel-Kontorova model, Journal of dynamic and Differential Equation : Volume 26, Issue 24 (2014), page 1133-1169. In chapter 3, i interested in the numerical homogenization of fully overdomped frenkel-Kontorova model. I present two methods for computing the effective hamiltonian : large time method and Newton-like method. Some simulations of the effective hamiltonian are provided. Le chapter 4 is preserved to the study a wave equation in a periodic medium. Under certain assumption, i construct a plane wave like solution, and show that this solution satisfy some properties. I define a non- local operator and a term corrector in order to control the oscillations of the solution in space and in time. We prove the construction of a plane wave like solution for the approched problem using the notion of viscosity solution.

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Em sistemas com acoplamento spin-órbita (SO) é possível manipular eletricamente o spin do elétron via a aplicação de um campo elétrico.1 Isso permite a potencial aplicação do grau de liberdade de spin (Spintronica) no desenvolvimento de novos dispositivos e tecnologias, como por exemplo na tecnologia da informação (computação quântica).2,3 No entanto, sabe-se que a interação SO causa efeitos indesejáveis, como por exemplo a relaxação e o defasamento de spin.4 Dessa maneira, do ponto de vista de aplicações, torna-se desejável maximizar o tempo de vida do spin. Neste trabalho, investigamos a relaxação de spin dos elétrons de condução em poços quânticos com duas sub-bandas5 crescidos ao longo das direções [001] e [110] via o mecanismo de D\'yakonov-Perel\'.6 Combinando teoria de grupos, o método k.p, a aproximação da função envelope e teoria de perturbação de Löwdin obtemos um Hamiltoniano efetivo para os elétrons da banda de condução na presença das interações SO de Rashba e Dresselhaus. Aqui, diferentemente de alguns trabalhos anteriores,7,8 além de incluir o termo cúbico de Dresselhaus, também levamos em conta as contribuições devido à influência da segunda sub-banda de mais baixa energia do poço. A partir deste Hamiltoniano derivamos expressões para os tempos de relaxação do spin e analisamos como estas novas contribuições (termos do acoplamento com a segunda sub-banda) afetam os tempos de vida dos spins. Comparamos os tempos de relaxação para as direções [001] com os calculados para a direção [110]. Nossos resultados mostram que as contribuições devido à segunda sub-banda são desprezíveis para ambas as direções. Mostramos também que o tempo de relaxação para a direção [110] é mais longo que o da [001], resultado consistente com experimentos9,10 e outros trabalhos teóricos anteriores.7 / In systems with spin-orbit (SO) coupling, it is possible to electrically manipulate the electron spin via applied gate voltages.1 This allows for the potential use of the spin degree of freedom (Spintronics) in the development of new devices and technologies, for instance information technology (quantum computing).2,3 It is known however, that the SO interaction leads to the undesired effect of causing spin relaxation and spin dephasing.4 Thus from the point of view of applications, it is desirable to maximize the spin lifetimes. Here, we investigate the spin relaxation of the conduction electrons in quantum wells with two sub-bands5 grown along the [001] and [110] directions via the D\'yakonov-Perel\' mechanism.6 By combining group theory, the k.p method, the envelope function approach and the Löwdin perturbation theory, we obtain an effective Hamiltonian for the conduction electrons in the presence of the Rashba and Dresselhaus SO interactions. Differently from some early works,7,8 in addition to the cubic Dresselhaus term, we also account for the contributions arising from the second lowest sub-band of the well. We derive expressions for the spin relaxation times and analyze how the new contributions (second sub-band terms) affect the spin lifetimes. We compare the relaxation times obtained in the [001] direction with those calculated for the [110] direction. Our results show that the contributions from the second sub-band are negligible for both directions. We also find that the relaxation time in the [110] direction is longer than the one in the [001], a result consistent with experiments9,10 and earlier theoretical works.7

Em sistemas com acoplamento spin-órbita (SO) é possível manipular eletricamente o spin do elétron via a aplicação de um campo elétrico.1 Isso permite a potencial aplicação do grau de liberdade de spin (Spintronica) no desenvolvimento de novos dispositivos e tecnologias, como por exemplo na tecnologia da informação (computação quântica).2,3 No entanto, sabe-se que a interação SO causa efeitos indesejáveis, como por exemplo a relaxação e o defasamento de spin.4 Dessa maneira, do ponto de vista de aplicações, torna-se desejável maximizar o tempo de vida do spin. Neste trabalho, investigamos a relaxação de spin dos elétrons de condução em poços quânticos com duas sub-bandas5 crescidos ao longo das direções [001] e [110] via o mecanismo de D\'yakonov-Perel\'.6 Combinando teoria de grupos, o método k.p, a aproximação da função envelope e teoria de perturbação de Löwdin obtemos um Hamiltoniano efetivo para os elétrons da banda de condução na presença das interações SO de Rashba e Dresselhaus. Aqui, diferentemente de alguns trabalhos anteriores,7,8 além de incluir o termo cúbico de Dresselhaus, também levamos em conta as contribuições devido à influência da segunda sub-banda de mais baixa energia do poço. A partir deste Hamiltoniano derivamos expressões para os tempos de relaxação do spin e analisamos como estas novas contribuições (termos do acoplamento com a segunda sub-banda) afetam os tempos de vida dos spins. Comparamos os tempos de relaxação para as direções [001] com os calculados para a direção [110]. Nossos resultados mostram que as contribuições devido à segunda sub-banda são desprezíveis para ambas as direções. Mostramos também que o tempo de relaxação para a direção [110] é mais longo que o da [001], resultado consistente com experimentos9,10 e outros trabalhos teóricos anteriores.7 / In systems with spin-orbit (SO) coupling, it is possible to electrically manipulate the electron spin via applied gate voltages.1 This allows for the potential use of the spin degree of freedom (Spintronics) in the development of new devices and technologies, for instance information technology (quantum computing).2,3 It is known however, that the SO interaction leads to the undesired effect of causing spin relaxation and spin dephasing.4 Thus from the point of view of applications, it is desirable to maximize the spin lifetimes. Here, we investigate the spin relaxation of the conduction electrons in quantum wells with two sub-bands5 grown along the [001] and [110] directions via the D\'yakonov-Perel\' mechanism.6 By combining group theory, the k.p method, the envelope function approach and the Löwdin perturbation theory, we obtain an effective Hamiltonian for the conduction electrons in the presence of the Rashba and Dresselhaus SO interactions. Differently from some early works,7,8 in addition to the cubic Dresselhaus term, we also account for the contributions arising from the second lowest sub-band of the well. We derive expressions for the spin relaxation times and analyze how the new contributions (second sub-band terms) affect the spin lifetimes. We compare the relaxation times obtained in the [001] direction with those calculated for the [110] direction. Our results show that the contributions from the second sub-band are negligible for both directions. We also find that the relaxation time in the [110] direction is longer than the one in the [001], a result consistent with experiments9,10 and earlier theoretical works.7