Många gymnasieelever har svårt att förstå algebra, specifikt linjära ekvationer och linjära ekvationssystem, vilket hindrar deras vidare lärande i både matematik och andra ämnen.  Lärare måste därför ha en klar uppfattning om vilka dessa svårigheter är för att kunna hjälpa sina elever till förståelse och lärande av detta område i algebra. I studien undersöks forskningslitteraturens resultat om vilka dessa svårigheter är. Påvisade svårigheter som har illustrerats med exempel på elevlösningar är: brister i elevers algebraiska förkunskaper, procedurkunskaper och konceptuella kunskaper (särskilt om likhetstecken, konstanter och variabler), brister i elevers kunskaper om algebraisk syntax, samt brister i elevers hantering av de operationer som används för lösning av ekvationer och ekvationssystem, t ex hur man hanterar negativa koefficienter och konstanter och använder substitutionsmetoden. / Many students of secondary school find it difficult to understand algebra, specifically linear equations and systems of linear equations, which prevents their further learning in both mathematics and other subjects. Teacher must therefore have a clear idea of what these difficulties are in order to assist their students in understanding and learning this area in algebra. The study examines the findings of the research literature as to what these difficulties are. Proven difficulties that have been illustrated with examples of students´ solutions are: deficiencies in their algebraic prerequisites, procedural knowledge and conceptual knowledge (especially about similarities, constants and variables), lack of knowledge of the algebraic syntax, and incorrect handling of the operations used to solve equations and systems of equations, for example how to handle negative coefficients and constants and use the substitution method.

I studien undersöks svenska gymnasieelevers svårigheter att lösa linjära ekvationer och linjära ekvationssystem. Elever från två klasser, 29 elever, fick skriva ett test inom linjära ekvationer och linjära ekvationssystem och därefter ordnades en gruppintervju där intervjun ljudinspelades. Elevernas lösningar analyserades och gruppintervjun transkriberades och de funna matematiska svårigheterna av elevlösningar identifierades. Funna svårigheter i det tidigare konsumtionsarbete användes i denna studie för att jämföra med de matematiska svårigheterna och finna nya hos svenska gymnasieelever som kan vara användbara för framtida yrket. De mest förekommande svårigheter som resultatet av elevlösningar visar är bland annat hantering och beräkning av negativa tecken och rationella tal vid lösning av linjära ekvationer och linjära ekvationssystem.

Syftet med studien är att undersöka vilka svårigheter gymnasieelever stöter på när de löser uppgifter om räta linjens ekvation, ekvationssystem och förenkling av uttryck. Studien undersöker även hur eleverna klarar av att växla mellan olika representationsformer i matematikuppgifter. Undersökningen har genomförts med hjälp av kvalitativa intervjuer med fyra andraårselever på vård- och omsorgsprogrammet som läser matematik 2a.Resultatet av studien visar att eleverna tycks ha kunskaper för att lösa uppgifterna antingen algebraiskt eller grafiskt, däremot har de stora svårigheter med att omformulera, eller växla, mellan algebraiska och grafiska representationer i uppgifter om räta linjens ekvation.

Under många år har formativ bedömning blivit ett begrepp som används flitigt i undervisningsdiskussioner. Detta för att resultatet utav arbetsmetoden varit så positivt. Man har sett att man genom att uppmärksamma elever på deras kunskapsnivå kan lägga upp en mer individuell strategi för hur de ska nå sitt slutmål. Syftet med denna studie är att undersöka hur gymnasielärare idag använder formativ bedömning som metod i sin undervisning. Mer specifikt rör denna studie de insatser som genomförts i undervisningsområdet linjära ekvationssystem. Studien är en kvantitativ undersökning som genomförts med hjälp av en enkät som låtit lärare återge sin personliga uppfattning om deras insats, upptäckter samt tankar om framtida utveckling. Resultatet visar att lärare i den svenska gymnasieskolan besitter kunskaper för att implementera formativ bedömning som metod i sin undervisning. De använder i stor utsträckning olika IKT-verktyg för att stärka elevernas utveckling, men även formativa metoder som kamratbedömning, tester under lektionstid, samt värderingsmatriser. De svårigheter lärarna upptäckt med dessa metoder är att de elever som har svårt i arbetet med linjära ekvationssystem framförallt har bristfälliga kunskaper inom aritmetik och förståelse för likhetstecknets betydelse. Lärarna visar tecken på en vilja att utveckla sitt arbete med formativ bedömning. De anser att de vill ha mer fortbildning på området och dessutom arbeta närmare sina kollegor. Det är också tydligt att de är medvetna om att de själva har en stor roll i att denna utveckling äger rum. / For many years, formative assessment has become a term used extensively in teaching discussions. Mostly because the achieved results have been so positive while using this method. It has been shown that by determining students’, and drawing attention to students’, level of knowledge, one can lay down a more individual strategy for how the students will reach their final goals. The purpose of this study is to investigate how upper secondary school teachers implement formative assessment as a method in their teaching. More specifically, this study relates to the efforts undertaken in the field of teaching linear equations. This is a quantitative study conducted using a survey that allowed teachers to present their own views of their personal perceptions of their efforts, discoveries, and thoughts about future development in the work with formative assessment. The result show that teachers in Swedish upper secondary schools have the knowledge to implement formative assessment as a method of teaching. They use a wide range of ICT tools to enhance student development, but also formative methods such as peer assessment, classroom testing, and evaluation charts. The difficulties they discovered by using these methods are that the students who struggle in the field of linear equations have inadequate knowledge of the arithmetic rules and an insufficient understanding of the meaning of the equal sign. The teachers show signs of a willingness to further develop their work in formative assessment. They believe that they in the future will need more education in the field and, moreover, more cooperation with their colleagues. It is also clear that they are aware of the fact that they themselves play a major role in the progress of this development.

In this thesis we present research on mathematical properties of methods for solv- ing symmetric systems of linear equations that arise in various optimization problem formulations and in methods for solving such problems. In the first and third paper (Paper A and Paper C), we consider the connection be- tween the method of conjugate gradients and quasi-Newton methods on strictly convex quadratic optimization problems or equivalently on a symmetric system of linear equa- tions with a positive definite matrix. We state conditions on the quasi-Newton matrix and the update matrix such that the search directions generated by the corresponding quasi-Newton method and the method of conjugate gradients respectively are parallel. In paper A, we derive such conditions on the update matrix based on a sufficient condition to obtain mutually conjugate search directions. These conditions are shown to be equivalent to the one-parameter Broyden family. Further, we derive a one-to-one correspondence between the Broyden parameter and the scaling between the search directions from the method of conjugate gradients and a quasi-Newton method em- ploying some well-defined update scheme in the one-parameter Broyden family. In paper C, we give necessary and sufficient conditions on the quasi-Newton ma- trix and on the update matrix such that equivalence with the method of conjugate gra- dients hold for the corresponding quasi-Newton method. We show that the set of quasi- Newton schemes admitted by these necessary and sufficient conditions is strictly larger than the one-parameter Broyden family. In addition, we show that this set of quasi- Newton schemes includes an infinite number of symmetric rank-one update schemes. In the second paper (Paper B), we utilize an unnormalized Krylov subspace frame- work for solving symmetric systems of linear equations. These systems may be incom- patible and the matrix may be indefinite/singular. Such systems of symmetric linear equations arise in constrained optimization. In the case of an incompatible symmetric system of linear equations we give a certificate of incompatibility based on a projection on the null space of the symmetric matrix and characterize a minimum-residual solu- tion. Further we derive a minimum-residual method, give explicit recursions for the minimum-residual iterates and characterize a minimum-residual solution of minimum Euclidean norm. / I denna avhandling betraktar vi matematiska egenskaper hos metoder för att lösa symmetriska linjära ekvationssystem som uppkommer i formuleringar och metoder för en mängd olika optimeringsproblem. I första och tredje artikeln (Paper A och Paper C), undersöks kopplingen mellan konjugerade gradientmetoden och kvasi-Newtonmetoder när dessa appliceras på strikt konvexa kvadratiska optimeringsproblem utan bivillkor eller ekvivalent på ett symmet- risk linjärt ekvationssystem med en positivt definit symmetrisk matris. Vi ställer upp villkor på kvasi-Newtonmatrisen och uppdateringsmatrisen så att sökriktningen som fås från motsvarande kvasi-Newtonmetod blir parallell med den sökriktning som fås från konjugerade gradientmetoden. I den första artikeln (Paper A), härleds villkor på uppdateringsmatrisen baserade på ett tillräckligt villkor för att få ömsesidigt konjugerade sökriktningar. Dessa villkor på kvasi-Newtonmetoden visas vara ekvivalenta med att uppdateringsstrategin tillhör Broydens enparameterfamilj. Vi tar också fram en ett-till-ett överensstämmelse mellan Broydenparametern och skalningen mellan sökriktningarna från konjugerade gradient- metoden och en kvasi-Newtonmetod som använder någon väldefinierad uppdaterings- strategi från Broydens enparameterfamilj. I den tredje artikeln (Paper C), ger vi tillräckliga och nödvändiga villkor på en kvasi-Newtonmetod så att nämnda ekvivalens med konjugerade gradientmetoden er- hålls. Mängden kvasi-Newtonstrategier som uppfyller dessa villkor är strikt större än Broydens enparameterfamilj. Vi visar också att denna mängd kvasi-Newtonstrategier innehåller ett oändligt antal uppdateringsstrategier där uppdateringsmatrisen är en sym- metrisk matris av rang ett. I den andra artikeln (Paper B), används ett ramverk för icke-normaliserade Krylov- underrumsmetoder för att lösa symmetriska linjära ekvationssystem. Dessa ekvations- system kan sakna lösning och matrisen kan vara indefinit/singulär. Denna typ av sym- metriska linjära ekvationssystem uppkommer i en mängd formuleringar och metoder för optimeringsproblem med bivillkor. I fallet då det symmetriska linjära ekvations- systemet saknar lösning ger vi ett certifikat för detta baserat på en projektion på noll- rummet för den symmetriska matrisen och karaktäriserar en minimum-residuallösning. Vi härleder även en minimum-residualmetod i detta ramverk samt ger explicita rekur- sionsformler för denna metod. I fallet då det symmetriska linjära ekvationssystemet saknar lösning så karaktäriserar vi en minimum-residuallösning av minsta euklidiska norm. / <p>QC 20150519</p>