Dans cette thèse, nous considérons le problème d'Euler surface libre sur un domaine à fond non plat, dans le cadre du régime d'ondes longues de faible amplitude. L'objectif est de construire, justifier et comparer de nouveaux modèles asymptotiques pour ce problème, permettant de prendre en compte les effets liés aux variations bathymétriques. En premier lieu, nous construisons rigoureusement deux classes de modèles de Boussinesq symétriques dans le cadre de deux régimes topographiques distincts, celui de faible variations bathymétriques et celui de fortes variations. Dans un second temps, nous retrouvons et discutons dans le cas de faibles variations topographiques l'approximation classique de Korteweg-de Vries, et proposons une nouvelle approximation via l'ajout de termes bathymétriques. Dans une troisième partie, ces deux modèles, ainsi que les modèles de Boussinesq construits dans la première partie, sont simulés numériquement et comparés sur des cas tests de topographie. Enfin, il est présenté une étude numérique des équations de Green-Naghdi, dont le domaine de validité physique est plus étendu, ainsi qu'une comparaison numérique de ce modèle avec les modèles précédents sur des bathymétries spécifiques.

Cette étude propose une approche aéroacoustique hybride pour le calcul du bruit rayonné par des écoulements subsoniques turbulents anisothermes. La partie aérodynamique est obtenue à l'aide d'une simulation numérique directe des équations de Navier-Stokes dans une approximation à faible nombre de Mach. Cette formulation permet de se libérer des effets de la compressibilité - numériquement pénalisants - tout en préservant l'influence des phénomènes relatifs à la dilatation thermique sur l'écoulement. La propagation acoustique est calculée par la résolution des équations d'Euler linéarisées. La définition rigoureuse des sources acoustiques constitue le lien entre ces deux étapes. Des sources spécifiques aux écoulements anisothermes, compatibles avec celles déjà connues pour les écoulements isothermes, sont obtenues. Cette approche est d'abord validée pour des couches de mélange isothermes et anisothermes par comparaison à des calculs directs. D'autres validations sont réalisées pour une couche de mélange isotherme spatiale et confrontés à des résultats de la littérature. Les contributions au bruit des différents termes sources sont examinées pour une couche de mélange spatiale anisotherme. L'évolution du rayonnement acoustique en fonction du rapport de températures est étudié pour une couche de mélange temporelle. Les résolutions numériques reposent sur une discrétisation spatiale par des schémas aux différences finies d'ordres élevés (schémas compacts) et des schémas d'intégration en temps de Runge-Kutta. Ces schémas d'ordres élevés, et les conditions aux limites performantes respectent les exigences numériques spécifiques à l'aéroacoustique.

Dans cette thèse, un modèle de propagation acoustique dans le domaine temporel est proposé pour des applications en milieu extérieur. Dans le contexte du transport ferroviaire, il est nécessaire de considérer des sources étendues et en mouvement dont le contenu fréquentiel peut aller jusqu'à8000 Hz. La résolution des équations d'Euler linéarisées dans le domaine temporel est alors une méthode bien adaptée à ce problème. Pour cela, des méthodes de différences finies, développées par la communauté de l'aéroacoustique numérique, sont utilisées. Le modèle ainsi développé permet de prendre en compte les effets météorologiques (profils de vent et de température) ainsi que les effets de sol (impédance et topographie).Dans le premier chapitre, les méthodes différences finies ainsi que la condition limite d'impédance dans le domaine temporel, basée sur une technique de convolution récursive, sont présentées dans le cadre général d'un calcul tridimensionnel. Une étude sur la propagation d'ondes acoustiques dans une atmosphère stratifiée au-dessus de sols impédants est ensuite proposée. En conditions homogènes, les formes d'ondes sont comparées à celles obtenues avec une solution analytique. En conditions défavorables, les temps d'arrivée des différentes contributions sont analysés avec une approche d'acoustique géométrique. Dans les deux cas, des ondes de surface sont mises en évidence. Enfin, dans une première analyse, une étude des effets de la compacité d'une source mobile harmonique à support spatial gaussien sur le champ de pression acoustique est proposée. Dans un second chapitre, le problème du couplage champ proche - champ lointain est traité. En effet, les méthodes de résolution des équations d'Euler linéarisées sont actuellement " lourdes " à mettre en œuvre pour modéliser la propagation à très grande distance. Une stratégie de couplage avec des méthodes d'équation parabolique est alors mise en place afin de réduire le temps de calcul et l'espace mémoire nécessaires. Une méthode split-step Padé est utilisée afin d'obtenir une approximation parabolique dans un cône d'angle voulu. Une étude sur les conditions initiales adaptées à l'ordre du développement de l'approximant de Padé est proposée. La modélisation de la topographie dans le code différences finies fait l'objet d'un troisième chapitre. Pour cela, des coordonnées curvilignes sont introduites et permettent une résolution similaire au cas cartésien. Différentes applications sont proposées. La propagation au-dessus d'un cylindre est étudiée ; des ondes de surfaces sont mises en évidence. Ensuite, l'influence de la topographie d'un site ferroviaire sur la mesure des niveaux de pression est analysée. En champ proche, des écarts importants sont obtenus à basse fréquence. En champ lointain, les résultats dépendent des conditions météorologiques. Enfin, des comparaisons des niveaux de pression calculés et mesurés lors d'une campagne expérimentale menée en octobre 2001 à Saint-Berthevin sont réalisées. Dans une dernière étude, le modèle de propagation acoustique est validé avec des mesures effectuées en mai 2010 sur un site ferroviaire situé à La Veuve. Des mesures de la topographie, des impédances de surface et de différents paramètres météorologiques ont été réalisées. Les niveaux de pression et les formes d'ondes calculés avec le modèle de propagation sont en bon accord avec ceux obtenus expérimentalement pour le cas d'une source impulsionnelle.

Ce travail s'inscrit dans l'étude mathématique d'écoulements de fluides environnementaux. Nous en abordons deux aspects, à travers deux contextes distincts d'application.En lien avec la simulation des écoulements en milieux poreux, on s'intéresse dans une première partie à la discrétisation d'opérateurs de diffusion anisotropes hétérogènes par des méthodes de volumes finis sur des maillages généraux. Dans le but d'obtenir des solutions approchées qui respectent les bornes physiques des modèles, notre attention se porte sur la conservation du principe du maximum pour les opérateurs elliptiques. Nous présentons des mécanismes généraux permettant de corriger tout schéma volumes finis afin de garantir un principe du maximum discret tout en préservant certaines de ses propriétés principales. On étudie en particulier les propriétés de coercivité et de convergence des schémas corrigés.La deuxième partie est consacrée à la construction de modèles approchés pour la propagation des vagues en eaux peu profondes et sur des topographies irrégulières. A cet effet, nous proposons tout d'abord une adaptation de la démarche d'étude classique à des écoulements bidimensionnels sur des topographies polygonales. Dans un cadre plus général, nous développons ensuite une démarche formelle qui débouche sur des alternatives non locales à quelques modèles classiques (équations de Saint-Venant, équations de Serre, système de Boussinesq). Ces nouveaux modèles contiennent des termes régularisants pour les contributions du fond.

<p align="justify">Une approche multidimensionelle pour la résolution numérique des équations d'Euler et de Navier-Stokes sur maillages non-structurés est proposée. Dans une première partie, un exposé complet des schémas de distribution, dits de "fluctuation-splitting" ,est décrit, comprenant une étude comparative des schémas décentrés, positifs et de 2ème ordre, pour résoudre l'équation de convection à coefficients constants, ainsi qu'une étude théorique et numérique de la précision des schémas sur maillages réguliers et distordus. L'extension à des lois de conservation non-linéaires est aussi abordée, et une attention particulière est portée au problème de la linéarisation conservative. Dans une deuxième partie, diverses discrétisations des termes visqueux pour l'équation de convection-diffusion sont développées, avec pour but de déterminer l'approche qui offre le meilleur compromis entre précision et coût. L'extension de la méthode aux systèmes des lois de conservation, et en particulier à celui des équations d'Euler de la dynamique des gaz, représente le noyau principal de la thèse, et est abordée dans la troisième partie. Contrairement aux schémas de distribution classiques, qui reposent sur une extension formelle du cas scalaire, l'approche développée ici repose sur une décomposition du résidu par élément en équations scalaires, modélisant le transport de variables caracteristiques. La difficulté vient du fait que les équations d'Euler instationnaires ne se diagonalisent pas, et admettent une infinité de solutions élémentaires (ondes simples) se propageant dans toutes les directions d'espace. En régime stationnaire, en revanche, les équations se diagonalisent complètement dans le cas des écoulements supersoniques, et partiellement dans le cas des écoulements subsoniques. Ainsi, les équations sous forme conservative peuvent être remplacées par un système équivalent comprenant deux équations totalement découplées, exprimant l'invariance de l'entropie et de l'enthalpie totale le long des lignes de courant, et deux autres équations, modélisant les effets purement acoustiques. En régime supersonique, celles-ci se découplent aussi, et expriment la convection le long des lignes de Mach d'invariants de Riemann généralisés. La discrétisation de ces équations par des schémas scalaires décentrés permet de simuler des écoulements continus et discontinus avec une grande précision et sans oscillations. Finalement, dans une dernière partie, l'extension aux équations de Navier-Stokes est abordée, et la discrétisation des termes visqueux par une approche éléments finis est proposée. Les résultats numériques confirment la précision et la robustesse de la méthode.</p> / Doctorat en sciences appliquées / info:eu-repo/semantics/nonPublished