La thèse présente une construction de variétés holomorphiquement symplectiques singulières comme fibrations lagrangiennes. Celles-ci sont des variétés de Prym compactifiées relatives associées aux courbes sur des surfaces symplectiques avec une involution antisymplectique. Elles sont identifiées au lieu fixe d'une involution symplectique sur des espaces de modules de faisceaux de dimension 1. Un exemple explicite d'une variété symplectique irréductible de dimension 6 singulière et sans résolution symplectique est décrit pour une surface K3 qui est un revêtement double d'une surface cubique. Pour surfaces abéliennes, une variation de la construction est étudiée pour obtenir des variétés symplectiques irréductibles: variétés 0-Prym compactifiées relatives. Un résultat partiel est obtenu pour involutions sans points fixes: soit la variété 0-Prym est birationnelle à une variété symplectique irréductible de K3[n]-type, soit elle n'admet pas de résolutions symplectiques. / The thesis presents a construction of singular holomorphically symplectic varieties as Lagrangian fibrations. They are relative compactified Prym varieties associated to curves on symplectic surfaces with an antisymplectic involution. They are identified with the fixed locus of a symplectic involution on singular moduli spaces of sheaves of dimension 1. An explicit example, giving a singular irreducible symplectic 6-fold without symplectic resolutions, is described for a K3 surface which is the double cover of a cubic surface. In the case of abelian surfaces, a variation of this construction is studied to get irreducible symplectic varieties: relative compactified 0-Prym varieties. A partial classification result is obtained for involutions without fixed points: either the 0-Prym variety is birational to an irreducible symplectic variety of K3[n]-type, or it does not admit symplectic resolutions.

Étant donné un espace topologique filtré X, nous donnons des critères explicites pour pouvoir scinder sa filtratlon associée par rapport à une théorie généralisée de l'homologie, Nous reproduisons ainsi et de manière unifiée les scindements classiques de Snaith (pour les espaces de lacets), de Steenrod (pour les produits symétriques) et multiples autres exemples. Ces scindements sont de grande utilité en topologie algébrique. Nous étendons également le scindement de Steenrod aux espaces de permutations et puis donnons plusieurs nouvelles applications de nos techniques de scindements aux espaces de confïgurations, aux produits polyèdraux, aux fonctions rationnelles et aux espaces de « particules ». / Given a fïltered space X, we provide useful criteria to split the associated filtration on X with respect to a generalized homology theory. We recover in a unifïed way the classlcal splittings of Snaith (for iterated loop spaces), of Steenrod (for the symmetric products) and mam others (contïguratlon spaces, classifying spaces). We extend the splitting of Steenrod to permutation products and to other situations. We then apply our techniques to exhibit splittings for polyhedral spaces, rational functions and "particle spaces"

Dans les années 90, Gowers démontre un théorème de type Ramsey pour les bloc-suites dans les espaces de Banach, afin de prouver deux dichotomies d'espaces de Banach. Ce théorème, contrairement à la plupart des résultats de type Ramsey en dimension infinie, ne repose pas sur un principe des tiroirs, et en conséquence, sa formulation doit faire appel à des jeux. Dans une première partie de cette thèse, nous développons un formalisme abstrait pour la théorie de Ramsey en dimension infinie avec et sans principe des tiroirs, et nous démontrons dans celui-ci une version abstraite du théorème de Gowers, duquel on peut déduire à la fois le théorème de Mathias-Silver et celui de Gowers. On en donne à la fois une version exacte dans les espaces dénombrables, et une version approximative dans les espaces métriques séparables. On démontre également le principe de Ramsey adverse, un résultat généralisant à la fois le théorème de Gowers abstrait et la détermination borélienne des jeux dénombrables. On étudie aussi les limitations de ces résultats et leurs généralisations possibles sous des hypothèses supplémentaires de théorie des ensembles.Dans une seconde partie, nous appliquons les résultats précédents à la preuve de deux dichotomies d'espaces de Banach. Ces dichotomies ont une forme similaire à celles de Gowers, mais sont Hilbert-évitantes : elles assurent que le sous-espace obtenu n'est pas isomorphe à un espace de Hilbert. Ces dichotomies sont une nouvelle étape vers la résolution d'une question de Ferenczi et Rosendal, demandant si un espace de Banach séparable non-isomorphe à un espace de Hilbert possède nécessairement un grand nombre de sous-espaces, à isomorphisme près / In the 90's, Gowers proves a Ramsey-type theorem for block-sequences in Banach spaces, in order to show two Banach-space dichotomies. Unlike most infinite-dimensional Ramsey-type results, this theorem does not rely on a pigeonhole principle, and therefore it has to have a partially game-theoretical formulation. In a first part of this thesis, we develop an abstract formalism for Ramsey theory with and without pigeonhole principle, and we prove in it an abstract version of Gowers' theorem, from which both Mathias-Silver's theorem and Gowers' theorem can be deduced. We give both an exact version of this theorem in countable spaces, and an approximate version of it in separable metric spaces. We also prove the adversarial Ramsey principle, a result generalising both the abstract Gowers' theorem and Borel determinacy of countable games. We also study the limitations of these results and their possible generalisations under additional set-theoretical hypotheses. In a second part, we apply the latter results to the proof of two Banach-space dichotomies. These dichotomies are similar to Gowers' ones, but are Hilbert-avoiding, that is, they ensure that the subspace they give is not isomorphic to a Hilbert space. These dichotomies are a new step towards the solution of a question asked by Ferenczi and Rosendal, asking whether a separable Banach space non-isomorphic to a Hilbert space necessarily contains a large number of subspaces, up to isomorphism.

Dans cette thèse, nous étudions la sommabilité du développement de Taylor de fonctions appartenant à certains espaces de Banach de fonctions holomorphes sur le disque unité. Le premier chapitre sert d'introduction à la théorie de la sommabilité dans les espaces de Banach. Nous y présentons les principaux concepts tels que la définition d'une méthode de sommabilité, la définition d'inclusion de méthodes de sommabilité et le théorème de Silverman-Toeplitz. La première partie comporte deux chapitres. Nous présentons les propriétés principales de certaines familles de méthodes de sommabilité. Plus précisément, nous présentons les principales méthodes de sommabilité étudiées dans cette thèse : les méthodes de Cesàro, les méthodes de Riesz arithmétiques et les méthodes de série de puissances dont les méthodes d'Abel généralisées, de Borel généralisées et la méthode logarithmique. Nous présentons aussi les relations entre chacune de ces méthodes lorsqu'elles sont restreintes aux suites de scalaires. La deuxième partie comporte deux chapitres et porte sur la sommabilité dans les espaces de Dirichlet pondérés D[indice ω] où ω est une fonction non-négative et surharmonique. Nous exposons brièvement ces espaces de Hilbert au premier chapitre de cette deuxième partie. Ensuite, nous montrons que les moyennes de Cesàro d'ordre α > 1/2 des sommes partielles de la série de Taylor convergent vers la fonction originale dans la norme de D[indice ω]. Lorsque α = 1/2, on montre que ce n'est plus le cas et il existe une fonction f ∈ D[indice ω] telle que les moyennes de Cesàro d'ordre α = 1/2 des sommes partielles de sa série de Taylor ne sont pas bornées en norme. Ce résultat contraste grandement avec le résultat de M. Riesz pour l'espace A(D) (l'algèbre du disque) et le résultat de Hardy pour l'espace H¹ (espace de Hardy). Les résultats de cette partie ont été publiés dans le journal Complex Analysis and Operator Theory. La troisième partie a trois chapitres et traite des espaces de de Branges-Rovnyak. Après avoir présenté brièvement la théorie de ces espaces au premier chapitre de cette partie, nous démontrons qu'il existe un espace de de Branges-Rovnyak de fonctions holomorphes sur le disque unité et une fonction f de cet espace avec les propriétés suivantes : même si f peut être approximée par des polynômes dans la norme de l'espace, ni les sommes partielles, ni les moyennes de Cesàro, d'Abel, de Borel et logarithmiques ne convergent vers f dans la norme de l'espace. L'instrument principal pour démontrer ce théorème est un résultat puissant, montré dans la première partie, qui permet d'étendre aux suites de vecteurs dans un espace de Banach une propriété d'une méthode de sommabilité vraie pour les suites de scalaires. Les résultats de cette partie ont été soumis au journal Integral Equations and Operator Theory. Enfin, la dernière partie de cette thèse traite d'un cas exceptionnel d'espace de Hilbert de fonctions holomorphes sur le disque unité. En utilisant le concept de base de Markushevich et en adaptant une construction de Johnson, nous construisons un espace de Hilbert de fonctions holomorphes sur le disque unité tel que les polynômes sont denses, mais les polynômes impairs ne sont pas denses dans l'espace des fonctions impaires. Comme conséquence de ce résultat, nous montrons qu'il existe une fonction f qui n'appartient pas à la fermeture de l'espace vectoriel engendré par les sommes partielles de la série de Taylor de f. Ainsi, aucune méthode de sommabilité triangulaire appliquée aux sommes partielles ne permet d'approximer la fonction f dans la norme de l'espace. Les résultats de cette partie et quelques variantes de celui-ci ont été soumis au journal Constructive Approximation. / In this thesis, we study summability questions on the Taylor expansion of functions belonging to certain Banach spaces of holomorphic functions on the unit disk. The first chapter serves as an introduction to the theory of summability in Banach spaces. We present the main concepts such as the definition of a summability method, the definition of inclusion of summability methods and the Silverman-Toeplitz theorem in the Banach space setting. The first part consists of two chapters and presents the main properties of certain families of summability methods. More precisely, we present the main summability methods studied in this thesis : Cesàro's methods, Riesz's discrete arithmetic methods and power series methods including generalized Abel, generalized Borel and logarithmic methods. We also present the relations between each of these methods when they are restricted to sequences of scalars. The second part has two chapters and deals with summability in weighted Dirichlet spaces D[subscript ω] where ω is a non-negative superharmonic function. We briefly introduce these Hilbert spaces in the first chapter of this second part. Then we show that the Cesàro means of order α > 1/2 of the partial sums of the Taylor series converge to the original function in the norm of D[subscript ω]. When α = 1/2, we show that this is no longer the case and there exists a function f ∈ D[subscript ω] such that the Cesàro means of order α = 1/2 of the partial sums of its Taylor series are unbounded in norm. This result contrasts sharply with M. Riesz's classical result on the convergence of Cesàro means of order α > 0 in the space A(D) (the disk algebra) and Hardy's classical result on the convergence of the Cesàro means of order α > 0 in the space H¹ (the Hardy space). The results of this part have been published in the journal Complex Analysis and Operator Theory. The third part consists of three chapters and treats the de Branges-Rovnyak spaces. After having briefly presented the theory of de Branges-Rovnyak spaces in the first chapter of this part, we prove that there exists a de Branges-Rovnyak space of holomorphic functions on the unit disk and a function f belonging to this space with the following properties : even if f can be approximated by polynomials in the norm of the space, neither the partial sums, nor the Cesàro, Abel, Borel and logarithmic means converge to f in the norm of the space. The main instrument to prove this theorem is a powerful result, established in the first part, which allows extending a property of a summability method valid over sequences of scalars to the sequences of vectors in a Banach space. The results of this part have been submitted to the journal Integral Equations and Operator Theory. Finally, the last part of this thesis treats an exceptional case of Hilbert space of holomorphic functions on the unit disk. Using the concept of a Markushevich basis and by adapting a construction of Johnson, we construct a Hilbert space of holomorphic functions on the unit disk such that the polynomials are dense but the linear vector space spanned by the odd polynomials is not dense in the space of odd functions. As a consequence of this result, we show that there exists a function f which does not belong to the closure of the linear span of the partial sums of the Taylor series of f. Thus no triangular summability method applied to the partial sums can approximate the function f in the norm of the space. The results of this part and some variants of it have been submitted to the journal Constructive Approximation.

Titre de l'écran-titre (visionné le 13 novembre 2023) / Dans les dernières années, un analogue non linéaire aux séries de Fourier a intéressé plusieurs mathématiciens. Ce dernier permet d'approximer un signal par une somme de termes dont les composantes représentent la fréquence et l'amplitude. Il s'agit du déroulement de Blaschke de fonctions analytiques introduit par Coifman, ou développement de Fourier adaptatif. L'idée de Coifman a été de factoriser toutes les racines dans le disque unité en interprétant les monômes z ↦ zⁿ présents dans la série de Taylor comme des produits de Blaschke. Il a aussi utilisé la factorisation de Blaschke pour les fonctions analytiques sur un voisinage du disque unité. Ce développement en série a été appliqué à plusieurs autres problèmes depuis, car il présente de nombreux avantages sur les séries de Fourier classiques. Néanmoins, la question de convergence de cette représentation en série est un problème majeur depuis plusieurs décennies. On sait seulement qu'il y a convergence de la série dans certains sous-espaces de H² avec poids et, par des résultats récents, dans les espaces de Hardy. Dans ce mémoire, on présente un déroulement de fonctions dans les espaces de Hilbert à noyau reproduisant et dans les espaces de Hardy qui est une généralisation du déroulement de Blaschke et qui est inspiré par la théorie des opérateurs et les espaces de de Branges-Rovnyak. Pour ce faire, on développe d'abord les notions préalables de l'analyse complexe, harmonique et fonctionnelle. Nos résultats principaux sont des théorèmes de convergence pour ces développements en série. Quelques applications et exemples sont aussi présentés. / Over the last few years, many mathematicians became interested in a nonlinear analogue of Fourier series that allows them to approximate a signal by a sum of terms whose components represent frequency and amplitude. It is the Blaschke unwinding series introduced by Coifman, or adaptive Fourier decomposition. Coifman's idea was to factor all the roots in the unit disk by thinking of the monomials z ↦ zⁿ in the Taylor series as Blaschke products. He also used the Blaschke factorization for analytic functions in a neighbourhood of the unit disk. Because it has many advantages over the classical Fourier series, this series expansion has been used in several other problems since. Yet, the question of convergence of the series has remained a major problem for a few decades. We only know that it converges in certain weighted subspaces of H² and, by recent work, in Hardy spaces. In this thesis, we introduce an expansion scheme in reproducing kernel Hilbert spaces and Hardy spaces. It is a generalization of the Blaschke unwinding series expansion which is motivated by operator theory and de Branges-Rovnyak spaces. To do this, we first introduce the necessary background material in complex analysis, harmonic analysis, and functional analysis. Our main results are convergence theorems for these series expansions. We also present some applications and examples.

Le cadre théorique de la géométrie des réseaux consiste à placer des points, les nœuds, dans un espace métrique, puis les connecter par des liens par paires selon la distance qui les sépare. Lorsque la géométrie sous-jacente est hyperbolique, de nombreuses propriétés de réseaux qui proviennent de données empiriques peuvent être élégamment expliquées à l'aide de la proximité entre les nœuds et des caractéristiques de ces espaces si particuliers, dont la courbure est négative. Le modèle de réseaux hyperboliques le plus couramment utilisé attribue à chaque nœud une coordonnée radiale associée à son nombre total de liens et une coordonnée angulaire. Avec celle-ci, les nœuds peuvent être envoyés à un cercle, et à plus petite distance angulaire ils ont plus de chances d'être connectés, ce qui encode la similarité avec les autres nœuds. Or, dans de nombreux systèmes réels, il existe plus d'un facteur poussant les éléments à s'associer, et donc plusieurs manières d'être similaires ou pas. Cela se reflète dans les modèles de réseaux hyperboliques de plus grande dimension, où plus d'une coordonnée angulaire est associée à chaque nœud, qui est alors envoyé à une sphère de plus grande dimension à la place du cercle. Dans ce mémoire, on étudie les effets de la dimension des modèles de réseaux hyperboliques aléatoires. En particulier, la distribution des distances angulaires entre les nœuds connectés change selon la dimension. Or, la coordonnée angulaire des nœuds est aussi utilisée pour modéliser la structure communautaire, c'est-à-dire lorsque des sous-groupes de nœuds, les communautés, sont reliés plus densément entre eux qu'au reste du réseau. Par conséquent, augmenter le nombre de coordonnées angulaires affecte naturellement comment les communautés peuvent être générées et la manière dont elles sont reliées entre elles. Ces effets sont quantifiés en simulant des réseaux hyperboliques qui possèdent de la structure communautaire. Une différence marquée est observée entre le cas le plus simple et l'ajout d'une seule dimension, où la structure communautaire générée est plus diversifiée et réaliste. / The framework of network geometry involves placing points, nodes of a network, in a metric space and then creating pairwise connections, the edges, according to the distance between them. When the underlying geometry is hyperbolic, many network properties are elegantly explained by the closeness between nodes through properties of these negatively curved spaces. The flagship model of this framework assigns to each node one radial coordinate related to its total number of connections and one angular coordinate related to its similarity to other nodes. Nodes can thus be mapped to a circle where a smaller angular distance increases the chances to be connected, hence the idea of similarity. However, in many systems, there is more than one factors that drives relationships between elements, and thus more than one way in which they can be similar or not. This is captured by higher dimensional hyperbolic network models, where each node has more angular coordinates that maps it to a higher dimensional sphere instead of the circle. In this master's thesis, we study the effects of the dimension of hyperbolic network models. In particular, the distribution of angular distances between connected nodes changes with dimension. Yet, nodes' angular coordinates are also used to model hyperbolic networks' community structure, when some subgroups of nodes, the communities, are more densely connected than to the rest of the network. Hence, increasing the number of angular coordinates naturally affects how communities can be created and how they are related to one another. These effects are quantified through simulations of hyperbolic networks possessing community structure. A significant difference is observed between the simplest case and the addition of a single dimension, in which case the community structure generated is more diverse and realistic.

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Dans ce travail, on étudie les espaces des modules dans le cadre de la géométrie hyperbolique complexe. L'espace des modules des variétés hyperboliques a été auparavant construit par Brody et Wright. On montre l'existence de l'espace des modules des espaces complexes hyperboliques, en considérant des déformations localement triviales et des déformations équisingulières et que ces dernières ne dépendent pas de la résolution choisie en utilisant le théorème de factorisation faible des applications birationelles entre variétés projectives. La construction utilise un critère de représentabilité des foncteurs analytiques par un espace de modules grossier, du à Schumacher et Kosarew-Okonek. Les deux ingrédients principaux de la construction sont l'existence d'une déformation semi-universelle et le théorème de stabilité sur les fibres proches de l'hyperbolicité à travers des morphismes propres. Enfin, en appliquant le même critère, on obtient l'espace des modules des variétés hyperboliquement plongées. Les objets des déformations sont des couples $(X,D)$ où $X$ est une variété compacte et $D$ un diviseur à croisement normaux dans $X$ tel que $X \setminus D$ soit hyperboliquement plongé dans $X$. Les déformations considérées ici sont les déformations logarithmiques.

Cette thèse se situe dans le cadre de l'analyse réelle. Nous introduisons dans un premier temps une nouvelle fonction maximale dans les espaces de tentes de Coifman, Meyer et Stein pour laquelle nous obtenons une inégalité maximale. Dans un second temps nous démontrons un principe de domination qui nous permet d'obtenir des inégalités de normes entre des fonctionnelles ``croissantes'' à partir d'inégalités plus faibles (domination des moyennes de l'une des fonctionnelles par le produit des normes infinies des autres fonctionnelles) Enfin, nous appliquons ces résultats à l'étude de propriétés de continuité de la fonctionnelle densité d'intégrale d'aire. Nous montrons notamment que cette fonctionnelle envoie continûment les espaces de Hardy Hp dans Lp.

Ce travail introduit la notion de schéma d'Atiyah et Hitchin. Une variété algébrique raisonnable Y étant fixée, il s'agit d'une famille de nouveaux schémas, indexée par un entier positif m et notée $R_m(Y)$. Nous étudions les propriétés homotopiques de ces « espaces » au sens de Morel et Voevodsky. Les schémas $F_m$ des fractions rationnelles pointées de degré m constituent un exemple fondateur et fondamental. Du point de vue topologique, les travaux de G. Segal et F. Cohen et al. montrent que l'espace $F_m(C)$ approxime l'espace de lacets $Ω^2 S^3$. Nous formulons une série précise de conjectures visant à généraliser ces résultats dans un cadre algébrique. Le schéma $R_m(Y)$ approximerait l'espace de lacets motivique $Ω^{P¹} Σ^{P¹} Y$. Nous obtenons plusieurs résultats dans cette direction. En particulier : 1) Nous déterminons l'ensemble des composantes connexes algébriques naïves du schéma de fractions rationnelles $F_m$, au-dessus d'un corps de base. Le calcul est simple et élémentaire. On retrouve, à une complétion près, le groupe des classes d'homotopie d'endomorphismes pointés de la droite projective $P¹$, tel que calculé par Morel. 2) Nous construisons un morphisme algébrique reliant $R_mY$ à $Ω^{P¹} Σ^{P¹} Y$. 3) Lorsque Y est une variété algébrique complexe, nous explicitons le type d'homotopie de l'espace topologique $R_m(Y)(C)$ comme un foncteur en $Y(C)$. De plus, nous montrons que l'espace $R_m(Y)(C)$ admet un scindement stable dont les facteurs sont ceux du scindement de Snaith de l'espace $Ω² Σ² Y (C)$.