In this thesis the main purpose is to use extreme value theory and time series analysis to find modelsfor estimating the two risk measures for potential losses, value at risk and expected shortfall. Focus ison the time horizon needed to obtain predictions that are consistent with the actual outcome of anasset or a portfolio of assets. The extreme value based methods used are the Hill estimator and the peak over threshold method.The Hill estimator is also combined with a time series model. The time series model used is an AR(1)-GARCH(1,1) model. For extreme value theory based models the choice of threshold between the observations belongingto the tail and the observations belonging to the center of the distribution is crucial. In this study thethreshold is set to be 10% of the sample size, by conventional choice. There are additional methodsof choosing the threshold and some of them are presented in this paper. For each models different length of historical data is used when predictions of the risk measures aremade for different assets. The main result is that the best model and appropriate time horizon ofhistorical data to use for estimating value at risk and expected shortfall differs from dataset todataset. However, the methods that combine extreme value theory and time series models are themost flexible ones and those are the ones most likely to capture extreme events. The conditional Hillmethods with shorter time horizons seem preferable when estimating the risk measures for indices,while the Hill estimator with time horizon of three or four years is preferable for foreign exchangerates. In this study only models for single assets are evaluated, but the models could easily beimplemented on a time series of a portfolio. A multivariate case of the extreme value theory existsbut its complexity makes it disadvantageously to implement. So if for example the univariateextreme value models alone are considered inadequate to capture all the relations in a portfolio themodels could be used as a complement to the commonly used model based solely on historicalsimulation and thereby improve the risk analysis.

Syftet med detta examensarbete är att kunna beräkna sannolikheten av extrema grundvattennivåers återkomsttid. Detta är av betydelse för till exempel dimensionering av grundläggning när risken för hydraulisk bottenupptryckning eller skredrisk måste vantifieras. I föreliggande examensarbete valdes 139 långa grundvattennivåmätserier med varierande hydrogeologiskt miljö ut ur SGU:s grundvattennät. Dessa tidsserier anpassas till olika statistiska fördelningsfunktioner för att prognostisera grundvattennivån som uppträder med en visst återkommsttid. Normal-, Weibull- och Gumbelfördelning liksom logpearson typ 3-fördelning (LP3) och Generaliserad Extremvärdesfördelning (GEV) samt Generaliserad Paretofördelning (GPD) testades och jämfördes. Därutöver beräknades huruvida dessa är lämpliga som modeller för predikteringen av återkommstnivåer. Två olika ansatser diskuteras för att välja ut tidsseriernas extremvärden, årliga maximiserier och överskridelseserier samt deras lämplighet med hänsyn till grundvattennivåns årstidsfluktuation och periodicitet. I undersökningen framgår att den vedertagna normalfördelningen oftast är en lämplig modell men i vissa fall måste förkastas. GEV och LP3 tillåter oftast en bättre anpassning än normalfördelningen men är känsligare mot outliers. GPD visar sig ha god anpassningsgrad till överskridelseserier. Det krävs dock deklustring av mätserier vilket leder till ett minskad antal värden som fördelningen kan anpassas på. / The ability to calculate the probability of extreme groundwater levels is fundamental, when estimating the risk of hydraulic heave at the bottom of an excavation or landslides triggered by excess pore water pressure. This can be done by fitting historic groundwater level data to probability density functions and extrapolating to certain return levels. However, very little research has been done in the field of estimating extreme groundwater level with probability density functions. The design guide (TK-Geo) of the Swedish Transport Administration (Trafikverket) gives a brief description of a method developed in the eighties. It is based on applying well-established hydrological theory to groundwater level time series. In this study, recent research on hydrologic extreme value analysis is applied and used to bring the methods in groundwater up to date. More than 100 long time-series of groundwater data recorded by SGU in the Swedish groundwater network (often used as reference series) are utilized for testing. Established parameter estimation techniques such as Maximum Likelihood Estimation and Probability-Weighted Moments with L-moments are compared and weighed against the traditionally used Method of Moments. Swedish research with focus on this topic usually takes advantage of the simplicity of the Block Maxima Approach, while evading the more complex Peaks over Threshold method. These methods are also applied and discussed as to how their use influences the inferences made. Traditionally used statistical distributions such as the Normal, Weibull and Gumbel distributions are compared to the more flexible and presently more popular Generalized Extreme Value distribution and Generalized Pareto distribution. In order to estimate model adequacy a number of goodness-of-fit tests are discussed and implemented, such as the Anderson-Darling test and Kolmogorov-Smirnoff test. This results in a general overview of how to compute return levels for high return periods and which models should be preferred. Fitting probability density distributions requires the data to be independent and identically distributed, a condition, which groundwater level measurements are generally not in accordance with. This is a consequence of the groundwater’s inherent seasonality not only within one year, but also over random numbers of years. Using data with seasonality results in underestimation of extremes and should be avoided. Examples of identification and recommendations for handling this sort of phenomena are given.

This thesis investigates the overall risks of flooding over the Design Basis Flooding Level (DBFL) at the Swedish nuclear power plants (Oskarshamn, Ringhals and Forsmark), using statistical data and methods, but also considers historical events which might affect the overall risk of flooding at the specified sites. Considering the nuclear accident which happened in Fukushima in conjuction with the earthquake and tsunami which struck eastern Japan on 11 March 2011, operators and licensors of nuclear power plants all over the world conducted reviews and investigations on the overall risks posed to the plants from external events. One important such event is extreme water level. One part of the thesis includes an extreme value analysis (using Generalized Extreme Value distribution and Generalized Pareto distribution) of water level data from SMHI (Sweden's Meteorological and Hydrological Institute) measured at stations close to the Swedish nuclear power plants. The results of the statistical studies indicate that considering the return period used in the thesis (100 000 years), the water levels at the Swedish nuclear power plants are not expected to exceed DBFL. The other part of the thesis consists of a historical study of extreme weather-related events. The results of this study indicate that no historical events seem to have occured which would indicate a higher risk of flooding than the one suggested by the statistical study. / Detta examensarbete undersöker den övergripande risken för översvämningar över Design Basis Flooding Level (DBFL), den konstruktionsstyrande översvämningsnivån, vid de svenska kärnkraftverken Oskarshamn, Ringhals och Forsmark. För att bedöma risken för översvämning har både statistiska data och metoder använts, men även historiska extrema väderhändelser har analyserats för att bedöma den övergripande risken. Med anledning av kärnkraftsolyckan som skedde i Fukushima i samband med den jordbävning och tsunami som drabbade östra Japan den 11 mars 2011 har kärnkraftsoperatörer och -tillståndsgivare över hela världen genomfört många studier för att utreda hur stor risken för yttre händelser som kan påverka säkerheten på verken är. En viktig sådan typ av händelse är extremt högt vattenstånd. En av anledningarna till att händelseförloppet blev så pass katastrofalt som det blev på kärnkraftverket Fukushima I var att operatörerna inte hade räknat med att kunna drabbas av havsvågor högre än 6 meter, och därför ej hade kostat på sig att bygga skyddsvallar mot havet som var högre än denna nivå. Den tsunamivåg som drabbade verket i mars 2011 var dock över 14 meter hög, vilket översvämmade verket och slog ut viktig säkerhetsutrustning, vilket i slutändan ledde till härdsmältor i verkets reaktorer. I bedömningen av risken för naturkatastrofer är det dock viktigt att försöka få ett så brett informationsmaterial som möjligt, och inte enbart ta i beaktande den mest uppenbara informationen. I fallet med Fukushima fanns det exempelvis nedtecknade historiska vittnesmål, bland annat genom stentavlor uppsatta längs med den drabbade kusten, som varnade om att tsunamivågor högre än 12 meter inträffat tidigare i regionens historia. Vare sig kärnkraftsoperatörerna eller myndigheterna tog dock uppenbarligen dessa historiska vittnesmål i beaktande.  Den ena delen av denna uppsats inkluderar en extremvärdesanalys av vattenstånddata från SMHI, vilka uppmätts vid mätstationer i närheten av de svenska kärnkraftverken. I denna analys har de statistiska metoderna generaliserad extremvärdedistribution (GEV-distribution) och generaliserad Paretodistribution (GP-distribution) använts. GEV-distributionen går ut på att man delar upp sin tillgängliga datamängd i block, oftast med storleken ett år, och därefter väljer ut de högsta värdena från varje block. Därefter anpassar man sina distributionsparametrar efter dessa datavärden. GP-distributionen går ut på att man väljer ut alla värden som är högre än ett visst högt tröskelvärde, och därefter anpassar sina distributionsparametrar efter dessa tröskelöverskridande värden. Den faktiska statistiska analysen genomfördes med hjälp av datorprogrammen MATLAB och R. Utifrån behandlingen av mätdatat från SMHI återficks så kallade återkomstnivåplottar. Detta är grafer som visar de förväntade högsta vattenstånden för olika återkomsttider. Återkomsttid definieras som den tid som det i genomsnitt förväntas förflyta mellan två inträffanden av ett visst vattenstånd. Detta kan också enkelt omformuleras som sannolikheten att en viss händelse inträffar under ett år. Om sannolikheten för en händelse är 10-3 per år är det samma sak som att återkomsttiden är 1000 år. I denna uppsats har sannolikhetsnivån 10-5/år undersökts. Analys av de av de extremvärdesstatistiska distributionerna givna återkomstnivåplottarna och vattenstånden för de aktuella återkomstperioderna har genomförts. Resultaten av den statistiska undersökningen indikerar att med avseende på den återkomstperiod som använts i uppsatsen (100 000 år) förväntas vattenstånden vid de svenska kärnkraftverken ej stiga över DBFL. Den andra delen av uppsatsen består av en historisk studie av extrema väderrelaterade händelser. Flertalet olika historiska händelser som bedömdes vara relevanta för undersökningen identifierades. En av de händelser som studerades var Backafloden. Detta var en stormflod som inträffade i sydvästra Östersjön i november 1872, och som ledde till extremt höga vattenstånd på flera platser. Bland annat observerades 3,6 meter över medelvattenståndet i Abbekås i Skåne. En annan extrem historisk händelse som identifierades i rapporten var Storeggaraset. Detta var ett undervattensras som skedde cirka 6100 år f.kr. utanför den norska atlantkusten. Raset skapade enorma tsunamivågor som bland annat drabbade den norska och skotska kusten. Resultaten av den historiska studien visade dock att vare sig dessa båda händelser, eller några av de andra historiska händelser som det redogjorts för, indikerade på en högre risk för översvämning än de som påvisades av den statistiska undersökningen. Detta innebär att för att avgöra den övergripande risken för översvämningar vid de svenska kärnkraftverken borde man först och främst ha i beaktande de statistiska resultaten av denna undersökning. Som redan nämnt visar den statistiska undersökningen på att vid den använda sannolikhetsnivån (10-5/år) riskerar de svenska kärnkraftverken inte att översvämmas över den konstruktionsstyrande översvämningsnivån.

This thesis gives an example of assessing the risk of a financial portfolio with international assets, where the assets may be of different classes, by the use of Monte Carlo simulation and Extreme Value Theory. The simulation uses univariate modelling, models of the assets’ returns as stochastic processes, as well as vine copulas to create dependency between the variables. For the asset returns a modified version of a discretized Merton jump diffusion model was used. The risk assessment used Extreme Value Theory to calculate Value at Risk and Expected Shortfall of the simulated portfolio. However, the resulting return distribution, and the risk assessment thereof, was not entirely satisfactory due to unreasonably large values ascertained. / Denna uppsats ger ett exempel på hur riskbedömning av finanisella portföljer med internationella tillgångar av olika tillgångsslag genom Monte Carlo simulering och extremvärdesteori. Simuleringen använder univariat modelling, modeller för tillgångarnas avkastningar som stokastiska processer, såväl som vine-copulas för att skapa ett beroende mellan tillgångarna. Tillgångarnas avkastningar modellerades med en modifierad version av en diskretiserad Merton-jump-diffusion model. Riskbedömningen använde extremvärdesteori för att beräkna Value-at-Risk och Expected-Shortfall. Dock blev den resulterande avkastningsfördelningen och riskbedömningen därav inte helt tillfredsällande på grund av att orimligt stora värden erhölls.

<p>In this thesis are extreme value theory used to estimate the probability that large insuranceclaims are exceeding a certain threshold. The expected claim size, given that the claimhas exceeded a certain limit, are also estimated. Two different models are used for thispurpose. The first model is based on maximum domain of attraction conditions. A Paretodistribution is used in the other model. Different graphical tools are used to check thevalidity for both models. Länsförsäkring Kronoberg has provided us with insurance datato perform the study.Conclusions, which have been drawn, are that both models seem to be valid and theresults from both models are essential equal.</p> / <p>I detta arbete används extremvärdesteori för att uppskatta sannolikheten att stora försäkringsskadoröverträffar en vis nivå. Även den förväntade storleken på skadan, givetatt skadan överstiger ett visst belopp, uppskattas. Två olika modeller används. Den förstamodellen bygger på antagandet att underliggande slumpvariabler tillhör maximat aven extremvärdesfördelning. I den andra modellen används en Pareto fördelning. Olikagrafiska verktyg används för att besluta om modellernas giltighet. För att kunna genomförastudien har Länsförsäkring Kronoberg ställt upp med försäkringsdata.Slutsatser som dras är att båda modellerna verkar vara giltiga och att resultaten ärlikvärdiga.</p>

In this thesis are extreme value theory used to estimate the probability that large insuranceclaims are exceeding a certain threshold. The expected claim size, given that the claimhas exceeded a certain limit, are also estimated. Two different models are used for thispurpose. The first model is based on maximum domain of attraction conditions. A Paretodistribution is used in the other model. Different graphical tools are used to check thevalidity for both models. Länsförsäkring Kronoberg has provided us with insurance datato perform the study.Conclusions, which have been drawn, are that both models seem to be valid and theresults from both models are essential equal. / I detta arbete används extremvärdesteori för att uppskatta sannolikheten att stora försäkringsskadoröverträffar en vis nivå. Även den förväntade storleken på skadan, givetatt skadan överstiger ett visst belopp, uppskattas. Två olika modeller används. Den förstamodellen bygger på antagandet att underliggande slumpvariabler tillhör maximat aven extremvärdesfördelning. I den andra modellen används en Pareto fördelning. Olikagrafiska verktyg används för att besluta om modellernas giltighet. För att kunna genomförastudien har Länsförsäkring Kronoberg ställt upp med försäkringsdata.Slutsatser som dras är att båda modellerna verkar vara giltiga och att resultaten ärlikvärdiga.

One of today’s financial trends is securitization. Evaluating Securitization risk requires some strong quantitative skills and a deep understanding of both credit and market risk. For international securitization programs it is mandatory to take into account the exchange-rates-related risks. We will see the di˙erent methods to evaluate extreme variations of the exchange rates using the Extreme Value Theory and Monte Carlo simulations. / Värdepapperisering är en av dagens finansiella trender. Att utvärdera vär-depapperisering risk kräver starka kvantitativa kunskaper och en förståelseför både kredit- och marknadsrisk. För internationell värdepapperisering ärdet obligatoriskt att hänsyn tas till valutarisker. Vi kommer att se de olika metoder för att utvärdera extrema variationer i valutakurser med hjälp av extremvärdesteori och Monte Carlo-simuleringar.

This thesis aims to develop a new model for stress-testing financial portfolios using Extreme Value Theory (EVT) and General Adversarial Networks (GANs). The current practice of risk management relies on mathematical or historical models, such as Value-at-Risk and expected shortfall. The problem with historical models is that the data which is available for very extreme events is limited, and therefore we need a method to interpolate and extrapolate beyond the available range. EVT is a statistical framework that analyzes extreme events in a distribution and allows such interpolation and extrapolation, and GANs are machine-learning techniques that generate synthetic data. The combination of these two areas can generate more realistic stress-testing scenarios to help financial institutions manage potential risks better. The goal of this thesis is to develop a new model that can handle complex dependencies and high-dimensional inputs with different kinds of assets such as stocks, indices, currencies, and commodities and can be used in parallel with traditional risk measurements. The evtGAN algorithm shows promising results and is able to mimic actual distributions, and is also able to extrapolate data outside the available data range. / Detta examensarbete handlar om att utveckla en ny modell för stresstestning av finansiella portföljer med hjälp av extremvärdesteori (EVT) och Generative Adversarial Networks (GAN). Dom modeller för riskhantering som används idag bygger på matematiska eller historiska modeller, som till exempel Value-at-Risk och Expected Shortfall. Problemet med historiska modeller är att det finns begränsat med data för mycket extrema händelser. EVT är däremot en del inom statistisk som analyserar extrema händelser i en fördelning, och GAN är maskininlärningsteknik som genererar syntetisk data. Genom att kombinera dessa två områden kan mer realistiska stresstestscenarier skapas för att hjälpa finansiella institutioner att bättre hantera potentiella risker. Målet med detta examensarbete är att utveckla en ny modell som kan hantera komplexa beroenden i högdimensionell data med olika typer av tillgångar, såsom aktier, index, valutor och råvaror, och som kan användas parallellt med traditionella riskmått. Algoritmen evtGAN visar lovande resultat och kan imitera verkliga fördelningar samt extrapolera data utanför tillgänglig datamängd.

This thesis investigates applying the semiparametric method Peaks-Over-Threshold on data generated from a Monte Carlo simulation when estimating the financial risk measures Value-at-Risk and Expected Shortfall. The goal is to achieve a faster convergence than a Monte Carlo simulation when assessing extreme events that symbolise the worst outcomes of a financial portfolio. Achieving a faster convergence will enable a reduction of iterations in the Monte Carlo simulation, thus enabling a more efficient way of estimating risk measures for the portfolio manager.  The financial portfolio consists of US life insurance policies offered on the secondary market, gathered by our partner RessCapital. The method is evaluated on three different portfolios with different defining characteristics.  In Part I an analysis of selecting an optimal threshold is made. The accuracy and precision of Peaks-Over-Threshold is compared to the Monte Carlo simulation with 10,000 iterations, using a simulation of 100,000 iterations as the reference value. Depending on the risk measure and the percentile of interest, different optimal thresholds are selected.  Part II presents the result with the optimal thresholds from Part I. One can conclude that Peaks-Over-Threshold performed significantly better than a Monte Carlo simulation for Value-at-Risk with 10,000 iterations. The results for Expected Shortfall did not achieve a clear improvement in terms of precision, but it did show improvement in terms of accuracy.  Value-at-Risk and Expected Shortfall at the 99.5th percentile achieved a greater error reduction than at the 99th. The result therefore aligned well with theory, as the more "rare" event considered, the better the Peaks-Over-Threshold method performed.  In conclusion, the method of applying Peaks-Over-Threshold can be proven useful when looking to reduce the number of iterations since it do increase the convergence of a Monte Carlo simulation. The result is however dependent on the rarity of the event of interest, and the level of precision/accuracy required. / Det här examensarbetet tillämpar metoden Peaks-Over-Threshold på data genererat från en Monte Carlo simulering för att estimera de finansiella riskmåtten Value-at-Risk och Expected Shortfall. Målet med arbetet är att uppnå en snabbare konvergens jämfört med en Monte Carlo simulering när intresset är s.k. extrema händelser som symboliserar de värsta utfallen för en finansiell portfölj. Uppnås en snabbare konvergens kan antalet iterationer i simuleringen minskas, vilket möjliggör ett mer effektivt sätt att estimera riskmåtten för portföljförvaltaren.  Den finansiella portföljen består av amerikanska livförsäkringskontrakt som har erbjudits på andrahandsmarknaden, insamlat av vår partner RessCapital. Metoden utvärderas på tre olika portföljer med olika karaktär.  I Del I så utförs en analys för att välja en optimal tröskel för Peaks-Over-Threshold. Noggrannheten och precisionen för Peaks-Over-Threshold jämförs med en Monte Carlo simulering med 10,000 iterationer, där en Monte Carlo simulering med 100,000 iterationer används som referensvärde. Beroende på riskmått samt vilken percentil som är av intresse så väljs olika trösklar.  I Del II presenteras resultaten med de "optimalt" valda trösklarna från Del I. Peaks-over-Threshold påvisade signifikant bättre resultat för Value-at-Risk jämfört med Monte Carlo simuleringen med 10,000 iterationer. Resultaten för Expected Shortfall påvisade inte en signifikant förbättring sett till precision, men visade förbättring sett till noggrannhet.  För både Value-at-Risk och Expected Shortfall uppnådde Peaks-Over-Threshold en större felminskning vid 99.5:e percentilen jämfört med den 99:e. Resultaten var därför i linje med de teoretiska förväntningarna då en högre percentil motsvarar ett extremare event.  Sammanfattningsvis så kan metoden Peaks-Over-Threshold vara användbar när det kommer till att minska antalet iterationer i en Monte Carlo simulering då resultatet visade att Peaks-Over-Threshold appliceringen accelererar Monte Carlon simuleringens konvergens. Resultatet är dock starkt beroende av det undersökta eventets sannolikhet, samt precision- och noggrannhetskravet.