Thesis--Frankfurt am Main. / "Anmerkungen": p. 150-171. Katalog 1-3, p. 172-250. Includes bibliographical references (p. 251-264).

Inaug.-Diss.--Munich. / Lebenslauf. "Literaturnachweis": p. 80-[84].

L'objectif de cette thèse est de développer une méthode de décomposition de domaine pour la résolution du système de Stokes discrétisé avec les éléments finis mixtes stables où la pression est continue comme Hood-Taylor et Mini. La nouvelle méthode résulte dela combinaison de FETI qui est appliquée à la vitesse et de BDD qui est appliquée à la pression sans découpler les inconnues. Elle hérite et découple les projecteurs grossiers associés à FETI et à BDD. La méthodologie débouche sur un système linéaire symétrique,semi-défini positif que nous avons résolu par la méthode du gradient conjugué projeté préconditionné. La méthode contient deux préconditionneurs grossiers creux et des préconditionneurs locaux exacts qui assurent son extensibilié, sa robustesse et son efficacité. L'introduction de projecteurs locaux construits à partir des modes de pression des sousdomaines étend la méthode aux éléments finis mixtes discontinues en pression et rend le problème grossier de BDD facultatif même en présence de la pression aux interfaces.Nous avons aisément appliqué la méthode à l'élasticité incompressible et quasi-incompressible et elle peut s'étendre de la même façon au cadre plus général des systèmes de point-selle issus des problèmes de minimisation sous contraintes grâce à sa nature algébrique. / The purpose of this thesis is to develop a domain decomposition method suitable tosolve the Stokes system discretized with stable mixte finite elements where pressure is continuous such as Hood-Taylor and Mini. The new method arises from the combinaison of FETI applied to the velocity and BDD applied to the pressure without decoupling the unknowns. It inherits and decouples the coarse projectors included in FETI and BDD. The methodology leads to a symmetric, positive semi-definite linear system that we solveby projected preconditioned conjugate gradient. The method contains two sparse coarse preconditionners and exact local preconditionners that ensure its scalability, its robustness and its efficiency. We use local projectors constructed from the constant pressure modes of the subdomains that enable an extension to mixte finite elements with discontinuous pressure and that make the coarse problem of BDD optional even in the presence of pressure on the interfaces. We have easily applied the method to incompressibleand almost incompressible elasticity and it can be extended the same way to other saddle-point systems arising from minimization problems under constraints due to its algebraic property.

Software packages for the numerical solution of partial differential equations (PDEs) using the finite element method are important in different fields of research. The basic data structures and algorithms change in time, as the user\'s requirements are growing and the software must efficiently use the newest highly parallel computing systems. This is the central point of this work. To make efficiently use of parallel computing systems with growing number of independent basic computing units, i.e.~CPUs, we have to combine data structures and algorithms from different areas of mathematics and computer science. Two crucial parts are a distributed mesh and parallel solver for linear systems of equations. For both there exists multiple independent approaches. In this work we argue that it is necessary to combine both of them to allow for an efficient and scalable implementation of the finite element method. First, we present concepts, data structures and algorithms for distributed meshes, which allow for local refinement. The central point of our presentation is to provide arbitrary geometrical information of the mesh and its distribution to the linear solver. A large part of the overall computing time of the finite element method is spend by the linear solver. Thus, its parallelization is of major importance. Based on the presented concept for distributed meshes, we preset several different linear solver methods. Hereby we concentrate on general purpose linear solver, which makes only little assumptions about the systems to be solver. For this, a new FETI-DP (Finite Element Tearing and Interconnect - Dual Primal) method is proposed. Those the standard FETI-DP method is quasi optimal from a mathematical point of view, its not possible to implement it efficiently for a large number of processors (> 10,000). The main reason is a relatively small but globally distributed coarse mesh problem. To circumvent this problem, we propose a new multilevel FETI-DP method which hierarchically decompose the coarse grid problem. This leads to a more local communication pattern for solver the coarse grid problem and makes it possible to scale for a large number of processors. Besides the parallelization of the finite element method, we discuss an approach to speed up serial computations of existing finite element packages. In many computations the PDE to be solved consists of more than one variable. This is especially the case in multi-physics modeling. Observation show that in many of these computation the solution structure of the variables is different. But in the standard finite element method, only one mesh is used for the discretization of all variables. We present a multi-mesh finite element method, which allows to discretize a system of PDEs with two independently refined meshes. / Softwarepakete zur numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen mit Hilfe der Finiten-Element-Methode sind in vielen Forschungsbereichen ein wichtiges Werkzeug. Die dahinter stehenden Datenstrukturen und Algorithmen unterliegen einer ständigen Neuentwicklung um den immer weiter steigenden Anforderungen der Nutzergemeinde gerecht zu werden und um neue, hochgradig parallel Rechnerarchitekturen effizient nutzen zu können. Dies ist auch der Kernpunkt dieser Arbeit. Um parallel Rechnerarchitekturen mit einer immer höher werdenden Anzahl an von einander unabhängigen Recheneinheiten, z.B.~Prozessoren, effizient Nutzen zu können, müssen Datenstrukturen und Algorithmen aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik und Informatik entwickelt und miteinander kombiniert werden. Im Kern sind dies zwei Bereiche: verteilte Gitter und parallele Löser für lineare Gleichungssysteme. Für jedes der beiden Teilgebiete existieren unabhängig voneinander zahlreiche Ansätze. In dieser Arbeit wird argumentiert, dass für hochskalierbare Anwendungen der Finiten-Elemente-Methode nur eine Kombination beider Teilgebiete und die Verknüpfung der darunter liegenden Datenstrukturen eine effiziente und skalierbare Implementierung ermöglicht. Zuerst stellen wir Konzepte vor, die parallele verteile Gitter mit entsprechenden Adaptionstrategien ermöglichen. Zentraler Punkt ist hier die Informationsaufbereitung für beliebige Löser linearer Gleichungssysteme. Beim Lösen partieller Differentialgleichung mit der Finiten Elemente Methode wird ein großer Teil der Rechenzeit für das Lösen der dabei anfallenden linearen Gleichungssysteme aufgebracht. Daher ist deren Parallelisierung von zentraler Bedeutung. Basierend auf dem vorgestelltem Konzept für verteilten Gitter, welches beliebige geometrische Informationen für die linearen Löser aufbereiten kann, präsentieren wir mehrere unterschiedliche Lösermethoden. Besonders Gewicht wird dabei auf allgemeine Löser gelegt, die möglichst wenig Annahmen über das zu lösende System machen. Hierfür wird die FETI-DP (Finite Element Tearing and Interconnect - Dual Primal) Methode weiterentwickelt. Obwohl die FETI-DP Methode vom mathematischen Standpunkt her als quasi-optimal bezüglich der parallelen Skalierbarkeit gilt, kann sie für große Anzahl an Prozessoren (> 10.000) nicht mehr effizient implementiert werden. Dies liegt hauptsächlich an einem verhältnismäßig kleinem aber global verteilten Grobgitterproblem. Wir stellen eine Multilevel FETI-DP Methode vor, die dieses Problem durch eine hierarchische Komposition des Grobgitterproblems löst. Dadurch wird die Kommunikation entlang des Grobgitterproblems lokalisiert und die Skalierbarkeit der FETI-DP Methode auch für große Anzahl an Prozessoren sichergestellt. Neben der Parallelisierung der Finiten-Elemente-Methode beschäftigen wir uns in dieser Arbeit mit der Ausnutzung von bestimmten Voraussetzung um auch die sequentielle Effizienz bestehender Implementierung der Finiten-Elemente-Methode zu steigern. In vielen Fällen müssen partielle Differentialgleichungen mit mehreren Variablen gelöst werden. Sehr häufig ist dabei zu beobachten, insbesondere bei der Modellierung mehrere miteinander gekoppelter physikalischer Phänomene, dass die Lösungsstruktur der unterschiedlichen Variablen entweder schwach oder vollständig voneinander entkoppelt ist. In den meisten Implementierungen wird dabei nur ein Gitter zur Diskretisierung aller Variablen des Systems genutzt. Wir stellen eine Finite-Elemente-Methode vor, bei der zwei unabhängig voneinander verfeinerte Gitter genutzt werden können um ein System partieller Differentialgleichungen zu lösen.

Cette thèse porte sur la modélisation des ondes électromagnétiques en milieu complexe et à haute fréquence. Ceci reste un défi, de part les besoins en temps de calcul et en place mémoire que cela suscite. L'idée de la méthode Finite Element Tearing and Interconnect (FETI) est de diviser le domaine en sous-domaines distincts dans lesquels des problèmes électromagnétiques peuvent être résolus de manière indépendante. Une modification de la méthode classique, appelée FETI-DPEM2-full, est ici proposée afin d'améliorer le processus numérique. Les champs diffractés par différents objets ont ainsi été simulés et comparés avec succès à des champs expérimentaux. A partir de ces champs, les techniques d'imagerie micro-onde permettent de déterminer les paramètres électromagnétiques des objets illuminés. Ce problème inverse peut être réécrit sous la forme d'un problème d'optimisation faisant appel à la résolution de deux problèmes directs à chaque itération. Une méthode de type quasi-Newton a donc été couplée efficacement avec la méthode FETI-DPEM2-full. Des reconstructions obtenues à partir de champs mesurés sont présentées et valident la chaîne méthodologique proposée. / This PhD work is devoted to the electromagnetic modeling of threedimensional large-scale wave propagation problems, which is very challenging in terms of memory and computation time. The main idea of the Finite Element Tearing and Interconnect (FETI) method is to divide the domain into non-overlapping subdomains where each electromagnetic problem can be independently solved. A modification of the classical FETI method, called the FETI-DPEM2-full method, is proposed herein to improve the numerical process. The fields scattered by various structures have thus been computed and successfully compared with measured fields. From these experiments, quantitative microwave imaging algorithms attempt to estimate the physical parameters of the illuminated target. This inverse problem is recasted into a minimization problem where two forward problems are required at each iteration step. A quasi-Newton algorithm has thus been efficiently coupled with the FETI-DPEM2-full method. Reconstructions of various targets from measured scattered fields have been successfully performed, which validates the effectiveness of the proposed methodology.

La problématique de la première absorption (i.e. étape d’activation) de l’intermétallique FeTi, pour le stockage de l’hydrogène est souvent un frein pour son industrialisation. Le challenge réside dans la conception d’un « nouveau matériau » dont la première étape d’hydrogénation, s’effectue dans les mêmes conditions de température et de pression modérées, que lors de l’hydrogénation réversible. Une solution est de faire appel aux performances d’un élément dopant et/ou à la technique du broyage mécanique. Dans ce manuscrit, nous proposons l’utilisation de l’hafnium comme dopant. Ce projet complète les études qui ont été effectuées sur le zirconium (e.g. le zirconium commercial contient toujours une certaine quantité d’hafnium). L’ajout d’une faible quantité d’hafnium induit la formation d’une phase secondaire, « riche » en hafnium et en fer. Grâce à la présence de cette phase, la cinétique de première absorption est considérablement améliorée, et ce, sans traitement thermique préalable. L’étape d’activation comprend un seul mécanisme lorsque la taille des particules est faible. A contrario, un second mécanisme est mis en évidence, pour des particules de taille supérieure à 0,5 mm. La mécanosynthèse a permis non seulement d’obtenir la phase principale FeTi, mais aussi de favoriser la première absorption d’hydrogène. Des paramètres d’élaboration méticuleusement optimisés ont rendu possible la conception d’un matériau « modèle », par pulvérisation cathodique magnétron, sous forme de couche mince. Ce matériau modèle pourrait servir à étudier et à comprendre la diffusion de l’hydrogène à l’interface de la matrice FeTi et du dopant Zr ou Hf. / The issue of the first hydrogenation (i.e. activation process) of the intermetallic FeTi for the storage of hydrogen is often a brake for its use in industry. The challenge lies in the design of a "new material" whose first hydrogenation is carried out under the same conditions of moderate temperature and pressure, as during reversible absorption. Efficient solutions are to use a doping element and/or mechanical alloying process. In this work, we propose to use hafnium as a dopant. This project completes the studies that have been carried out on zirconium (e.g. commercial zirconium always contains a certain amount of hafnium). The addition of a small amount of hafnium induces the formation of a secondary phase, "rich" in hafnium and iron. Thanks to the presence of this phase, the kinetics of activation process is improved, without prior heat treatment. The activation process consists of a single step, when the particle size is small. However, a second step appears, for particles bigger than 0.5 mm. The mechanical alloying allowed the formation of the main phase FeTi, and also enhanced the activation process. An accurate control of deposition conditions allow us to design a ″model″ material by magnetron sputtering as thin layers. This ″model″ material can be used to study and understand the hydrogen diffusion, at the interface of the matrix (FeTi) and the dopant (Zr or Hf).

Software packages for the numerical solution of partial differential equations (PDEs) using the finite element method are important in different fields of research. The basic data structures and algorithms change in time, as the user\'s requirements are growing and the software must efficiently use the newest highly parallel computing systems. This is the central point of this work. To make efficiently use of parallel computing systems with growing number of independent basic computing units, i.e.~CPUs, we have to combine data structures and algorithms from different areas of mathematics and computer science. Two crucial parts are a distributed mesh and parallel solver for linear systems of equations. For both there exists multiple independent approaches. In this work we argue that it is necessary to combine both of them to allow for an efficient and scalable implementation of the finite element method. First, we present concepts, data structures and algorithms for distributed meshes, which allow for local refinement. The central point of our presentation is to provide arbitrary geometrical information of the mesh and its distribution to the linear solver. A large part of the overall computing time of the finite element method is spend by the linear solver. Thus, its parallelization is of major importance. Based on the presented concept for distributed meshes, we preset several different linear solver methods. Hereby we concentrate on general purpose linear solver, which makes only little assumptions about the systems to be solver. For this, a new FETI-DP (Finite Element Tearing and Interconnect - Dual Primal) method is proposed. Those the standard FETI-DP method is quasi optimal from a mathematical point of view, its not possible to implement it efficiently for a large number of processors (> 10,000). The main reason is a relatively small but globally distributed coarse mesh problem. To circumvent this problem, we propose a new multilevel FETI-DP method which hierarchically decompose the coarse grid problem. This leads to a more local communication pattern for solver the coarse grid problem and makes it possible to scale for a large number of processors. Besides the parallelization of the finite element method, we discuss an approach to speed up serial computations of existing finite element packages. In many computations the PDE to be solved consists of more than one variable. This is especially the case in multi-physics modeling. Observation show that in many of these computation the solution structure of the variables is different. But in the standard finite element method, only one mesh is used for the discretization of all variables. We present a multi-mesh finite element method, which allows to discretize a system of PDEs with two independently refined meshes. / Softwarepakete zur numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen mit Hilfe der Finiten-Element-Methode sind in vielen Forschungsbereichen ein wichtiges Werkzeug. Die dahinter stehenden Datenstrukturen und Algorithmen unterliegen einer ständigen Neuentwicklung um den immer weiter steigenden Anforderungen der Nutzergemeinde gerecht zu werden und um neue, hochgradig parallel Rechnerarchitekturen effizient nutzen zu können. Dies ist auch der Kernpunkt dieser Arbeit. Um parallel Rechnerarchitekturen mit einer immer höher werdenden Anzahl an von einander unabhängigen Recheneinheiten, z.B.~Prozessoren, effizient Nutzen zu können, müssen Datenstrukturen und Algorithmen aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik und Informatik entwickelt und miteinander kombiniert werden. Im Kern sind dies zwei Bereiche: verteilte Gitter und parallele Löser für lineare Gleichungssysteme. Für jedes der beiden Teilgebiete existieren unabhängig voneinander zahlreiche Ansätze. In dieser Arbeit wird argumentiert, dass für hochskalierbare Anwendungen der Finiten-Elemente-Methode nur eine Kombination beider Teilgebiete und die Verknüpfung der darunter liegenden Datenstrukturen eine effiziente und skalierbare Implementierung ermöglicht. Zuerst stellen wir Konzepte vor, die parallele verteile Gitter mit entsprechenden Adaptionstrategien ermöglichen. Zentraler Punkt ist hier die Informationsaufbereitung für beliebige Löser linearer Gleichungssysteme. Beim Lösen partieller Differentialgleichung mit der Finiten Elemente Methode wird ein großer Teil der Rechenzeit für das Lösen der dabei anfallenden linearen Gleichungssysteme aufgebracht. Daher ist deren Parallelisierung von zentraler Bedeutung. Basierend auf dem vorgestelltem Konzept für verteilten Gitter, welches beliebige geometrische Informationen für die linearen Löser aufbereiten kann, präsentieren wir mehrere unterschiedliche Lösermethoden. Besonders Gewicht wird dabei auf allgemeine Löser gelegt, die möglichst wenig Annahmen über das zu lösende System machen. Hierfür wird die FETI-DP (Finite Element Tearing and Interconnect - Dual Primal) Methode weiterentwickelt. Obwohl die FETI-DP Methode vom mathematischen Standpunkt her als quasi-optimal bezüglich der parallelen Skalierbarkeit gilt, kann sie für große Anzahl an Prozessoren (> 10.000) nicht mehr effizient implementiert werden. Dies liegt hauptsächlich an einem verhältnismäßig kleinem aber global verteilten Grobgitterproblem. Wir stellen eine Multilevel FETI-DP Methode vor, die dieses Problem durch eine hierarchische Komposition des Grobgitterproblems löst. Dadurch wird die Kommunikation entlang des Grobgitterproblems lokalisiert und die Skalierbarkeit der FETI-DP Methode auch für große Anzahl an Prozessoren sichergestellt. Neben der Parallelisierung der Finiten-Elemente-Methode beschäftigen wir uns in dieser Arbeit mit der Ausnutzung von bestimmten Voraussetzung um auch die sequentielle Effizienz bestehender Implementierung der Finiten-Elemente-Methode zu steigern. In vielen Fällen müssen partielle Differentialgleichungen mit mehreren Variablen gelöst werden. Sehr häufig ist dabei zu beobachten, insbesondere bei der Modellierung mehrere miteinander gekoppelter physikalischer Phänomene, dass die Lösungsstruktur der unterschiedlichen Variablen entweder schwach oder vollständig voneinander entkoppelt ist. In den meisten Implementierungen wird dabei nur ein Gitter zur Diskretisierung aller Variablen des Systems genutzt. Wir stellen eine Finite-Elemente-Methode vor, bei der zwei unabhängig voneinander verfeinerte Gitter genutzt werden können um ein System partieller Differentialgleichungen zu lösen.

La simulation de structures industrielles complexes comportant des détails structuraux conduit à des modèles éléments finis de très grande taille. Pour traiter ce type de problème, une méthode de décomposition de domaine FETI-DP est adoptée dans ce travail. L'étude concerne un navire à passagers, dont l'architecture présente un découpage naturel en sousstructures. Les performances de ces méthodes sont très dépendantes de celles de son solveur, basé sur une méthode itérative de type gradient conjugué. Il faut donc disposer de préconditionneurs efficaces, ce qui est délicat pour des structures hétérogènes constituées par des assemblages tridimensionnels de plaques et de raidisseurs. Une méthode est donc développée tenant compte de la raideur locale d'interface des sous domaines, pour accélérer la vitesse de convergence. Dans une deuxième partie, l'objectif est d'optimiser le temps de calcul de la structure. La méthode précédente est alors améliorée avec une version multiéchelle, et deux niveaux de discrétisation des sous domaines. Les zones d'intérêt sont représentées par des sous domaines maillés finement, alors que toutes les autres sont décrites de façon macroscopique avec seulement les nœuds grossiers de l'approche FETI-DP. L'utilisation de sous domaines macroscopiques soulève le problème de la détermination de leur raideur (par homogénéisation numérique), et de leur raccord avec les sous domaines microscopiques. Deux approches différentes sont proposées, de type collocation et Mortar. Elles sont validées sur des cas simples et illustrés à travers différents exemples.

In this thesis, we have developed a Subtructured Finite Element / eXtended Finite Element (S-FE/XFE) method. The S-FE/XFE method consists in decomposing the geometry into safe FE-domains and cracked XFE-domains, and solving the interface problem with the Finite Element Tearing and Interconnecting method (FETI).This method allows for handling complex crack configurations in 3D structures with common commercial FE software that do not feature the XFEM. The method is also extended to a mixed dimensional formulation, where the FE-domain is discretised with shell elements while the XFE-domain is modelled with three-dimensional solid elements. This is the so-called S-FE Shell/XFE 3D method. The mixed dimensional formulation is more convenient than a full XFE-3D formulation because it significantly reduces the computational cost and it is more accurate compared to a full shell model because it includes three-dimensional local features such as three-dimensional crack. The compatibility of the displacements through the interface is ensured using the Reissner-Mindlin equation. The method has been extensively validated towards both academic problems and semi-industrial benchmarks in order to demonstrate the benefits of this approach. Among them, the S-FE/XFE method is applied to a crack analysis in a section of a compressor drum of a turbofan engine. The results obtained with the S-FE/XFE method are compared with those obtained with a standard FE computation. Furthermore, two applications of the S-FE shell/XFE 3D approach are proposed. First the load carrying capacity of a section of stiffened panel containing a through-the-thickness crack is investigated (this is the one-bay crack configuration). Second, the ability of the method for handling small surface cracks in large finite element models is addressed by looking at a generic 'large pressure panel' presenting realistic crack configurations.

In this study, the effect of surface crystallography on hydrogen molecule adsorption properties on FeTi surfaces is presented. Furthermore, the substitutional adsorption of 3d-transition metals on (001), (110) and (111) surfaces of FeTi is studied. Using ab initio pseudopotential methods, the adsorption energies of hydrogen and 3d-transition metals are calculated. In substitutional adsorption of 3d-transition metals, Fe-terminated (111) and Ti-terminated (001) surfaces, are found to express the lowest adsorption energies. The adsorption energy versus adsorbed elements&rsquo / curves are very alike for all the surfaces. According to this, going from the left to right of periodic table, the adsorption energies increase first. The maximum energy belongs to Cr, Mn and Fe for all the surfaces. Then a minimum is observed in Co for all the surfaces and after that the energy increases again. Adsorption energies of atomic and molecular hydrogen are calculated on high symmetry sites of surfaces. As a result, top and bridge sites came out to be the most stable positions for molecular and atomic hydrogen adsorption, respectively, for (001) and (111) surfaces in all terminations. In (110) surface / however, 3-fold (Ti-Ti)L-Fe and 3-fold (Ti-Ti)S-Fe hollow sites express the lowest adsorption energies for molecular and atomic hydrogen, respectively. Considering the minimum adsorption energy sites for hydrogen molecule and atom, a path of dissociation of hydrogen molecule on surfaces is represented. After that by fully relaxing the hydrogen molecule on the surface and using CI-NEB method the activation energy for hydrogen dissociation is calculated. So it has been found that on Fe-terminated (111) and FeTi (110) surfaces the dissociation of hydrogen molecule happens without activation energy. Meanwhile, the activation energy for Fe-terminated (001) surface and Ti-terminated (001) surface, is calculated to be 0.178 and 0.190 eV, respectively.