L'objectif de cette thèse est l'étude de la représentation probabiliste des différentes classes d'EDPSs non-linéaires(semi-linéaires, complètement non-linéaires, réfléchies dans un domaine) en utilisant les équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades (EDDSRs). Cette thèse contient quatre parties différentes. Nous traitons dans la première partie les EDDSRs du second ordre (2EDDSRs). Nous montrons l'existence et l'unicité des solutions des EDDSRs en utilisant des techniques de contrôle stochastique quasi- sure. La motivation principale de cette étude est la représentation probabiliste des EDPSs complètement non-linéaires. Dans la deuxième partie, nous étudions les solutions faibles de type Sobolev du problème d'obstacle pour les équations à dérivées partielles inteégro-différentielles (EDPIDs). Plus précisément, nous montrons la formule de Feynman-Kac pour l'EDPIDs par l'intermédiaire des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies avec sauts (EDSRRs). Plus précisément, nous établissons l'existence et l'unicité de la solution du problème d'obstacle, qui est considérée comme un couple constitué de la solution et de la mesure de réflexion. L'approche utilisée est basée sur les techniques de flots stochastiques développées dans Bally et Matoussi (2001) mais les preuves sont beaucoup plus techniques. Dans la troisième partie, nous traitons l'existence et l'unicité pour les EDDSRRs dans un domaine convexe D sans aucune condition de régularité sur la frontière. De plus, en utilisant l'approche basée sur les techniques du flot stochastiques nous démontrons l'interprétation probabiliste de la solution faible de type Sobolev d'une classe d'EDPSs réfléchies dans un domaine convexe via les EDDSRRs. Enfin, nous nous intéressons à la résolution numérique des EDDSRs à temps terminal aléatoire. La motivation principale est de donner une représentation probabiliste des solutions de Sobolev d'EDPSs semi-linéaires avec condition de Dirichlet nul au bord. Dans cette partie, nous étudions l'approximation forte de cette classe d'EDDSRs quand le temps terminal aléatoire est le premier temps de sortie d'une EDS d'un domaine cylindrique. Ainsi, nous donnons les bornes pour l'erreur d'approximation en temps discret. Cette partie se conclut par des tests numériques qui démontrent que cette approche est effective. / The objective of this thesis is to study the probabilistic representation (Feynman-Kac for- mula) of different classes ofStochastic Nonlinear PDEs (semilinear, fully nonlinear, reflected in a domain) by means of backward doubly stochastic differential equations (BDSDEs). This thesis contains four different parts. We deal in the first part with the second order BDS- DEs (2BDSDEs). We show the existence and uniqueness of solutions of 2BDSDEs using quasi sure stochastic control technics. The main motivation of this study is the probabilistic representation for solution of fully nonlinear SPDEs. First, under regularity assumptions on the coefficients, we give a Feynman-Kac formula for classical solution of fully nonlinear SPDEs and we generalize the work of Soner, Touzi and Zhang (2010-2012) for deterministic fully nonlinear PDE. Then, under weaker assumptions on the coefficients, we prove the probabilistic representation for stochastic viscosity solution of fully nonlinear SPDEs. In the second part, we study the Sobolev solution of obstacle problem for partial integro-differentialequations (PIDEs). Specifically, we show the Feynman-Kac formula for PIDEs via reflected backward stochastic differentialequations with jumps (BSDEs). Specifically, we establish the existence and uniqueness of the solution of the obstacle problem, which is regarded as a pair consisting of the solution and the measure of reflection. The approach is based on stochastic flow technics developed in Bally and Matoussi (2001) but the proofs are more technical. In the third part, we discuss the existence and uniqueness for RBDSDEs in a convex domain D without any regularity condition on the boundary. In addition, using the approach based on the technics of stochastic flow we provide the probabilistic interpretation of Sobolev solution of a class of reflected SPDEs in a convex domain via RBDSDEs. Finally, we are interested in the numerical solution of BDSDEs with random terminal time. The main motivation is to give a probabilistic representation of Sobolev solution of semilinear SPDEs with Dirichlet null condition. In this part, we study the strong approximation of this class of BDSDEs when the random terminal time is the first exit time of an SDE from a cylindrical domain. Thus, we give bounds for the discrete-time approximation error.. We conclude this part with numerical tests showing that this approach is effective.

Cette thèse porte sur la modélisation du trafic dans les réseaux routiers et comment celle-ci est intégrée dans des modèles d'optimisation. Ces deux sujets ont évolué de manière plutôt disjointe: le trafic est prédit par des modèles mathématiques de plus en plus complexes, mais ce progrès n'a pas été incorporé dans les modèles de design de réseau dans lesquels les usagers de la route jouent un rôle crucial. Le but de cet ouvrage est d'intégrer des modèles d'utilités aléatoires calibrés avec de vraies données dans certains modèles biniveaux d'optimisation et ce, par une décomposition de Benders efficace. Cette décomposition particulière s'avère être généralisable par rapport à une grande classe de problèmes communs dans la litérature et permet d'en résoudre des exemples de grande taille. Le premier article présente une méthodologie générale pour utiliser des données GPS d'une flotte de véhicules afin d'estimer les paramètres d'un modèle de demande dit recursive logit. Les traces GPS sont d'abord associées aux liens d'un réseau à l'aide d'un algorithme tenant compte de plusieurs facteurs. Les chemins formés par ces suites de liens et leurs caractéristiques sont utilisés afin d'estimer les paramètres d'un modèle de choix. Ces paramètres représentent la perception qu'ont les usagers de chacune de ces caractéristiques par rapport au choix de leur chemin. Les données utilisées dans cet article proviennent des véhicules appartenant à plusieurs compagnies de transport opérant principalement dans la région de Montréal. Le deuxième article aborde l'intégration d'un modèle de choix de chemin avec utilités aléatoires dans une nouvelle formulation biniveau pour le problème de capture de flot de trafic. Le modèle proposé permet de représenter différents comportements des usagers par rapport à leur choix de chemin en définissant les utilités d'arcs appropriées. Ces utilités sont stochastiques ce qui contribue d'autant plus à capturer un comportement réaliste des usagers. Le modèle biniveau est rendu linéaire à travers l'ajout d'un terme lagrangien basé sur la dualité forte et ceci mène à une décomposition de Benders particulièrement efficace. Les expériences numériques sont principalement menés sur un réseau représentant la ville de Winnipeg ce qui démontre la possibilité de résoudre des problèmes de taille relativement grande. Le troisième article démontre que l'approche du second article peut s'appliquer à une forme particulière de modèles biniveaux qui comprennent plusieurs problèmes différents. La décomposition est d'abord présentée dans un cadre général, puis dans un contexte où le second niveau du modèle biniveau est un problème de plus courts chemins. Afin d'établir que ce contexte inclut plusieurs applications, deux applications distinctes sont adaptées à la forme requise: le transport de matières dangeureuses et la capture de flot de trafic déterministe. Une troisième application, la conception et l'établissement de prix de réseau simultanés, est aussi présentée de manière similaire à l'Annexe B de cette thèse. / The subject of this thesis is the modeling of traffic in road networks and its integration in optimization models. In the literature, these two topics have to a large extent evolved independently: traffic is predicted more accurately by increasingly complex mathematical models, but this progress has not been incorporated in network design models where road users play a crucial role. The goal of this work is to integrate random utility models calibrated with real data into bilevel optimization models through an efficient Benders decomposition. This particular decomposition generalizes to a wide class of problems commonly found in the literature and can be used to solved large-scale instances. The first article presents a general methodology to use GPS data gathered from a fleet of vehicles to estimate the parameters of a recursive logit demand model. The GPS traces are first matched to the arcs of a network through an algorithm taking into account various factors. The paths resulting from these sequences of arcs, along with their characteristics, are used to estimate parameters of a choice model. The parameters represent users' perception of each of these characteristics in regards to their path choice behaviour. The data used in this article comes from trucks used by a number of transportation companies operating mainly in the Montreal region. The second article addresses the integration of a random utility maximization model in a new bilevel formulation for the general flow capture problem. The proposed model allows for a representation of different user behaviors in regards to their path choice by defining appropriate arc utilities. These arc utilities are stochastic which further contributes in capturing real user behavior. This bilevel model is linearized through the inclusion of a Lagrangian term based on strong duality which paves the way for a particularly efficient Benders decomposition. The numerical experiments are mostly conducted on a network representing the city of Winnipeg which demonstrates the ability to solve problems of a relatively large size. The third article illustrates how the approach used in the second article can be generalized to a particular form of bilevel models which encompasses many different problems. The decomposition is first presented in a general setting and subsequently in a context where the lower level of the bilevel model is a shortest path problem. In order to demonstrate that this form is general, two distinct applications are adapted to fit the required form: hazmat transportation network design and general flow capture. A third application, joint network design and pricing, is also similarly explored in Appendix B of this thesis.

L'interférence entre stations de base est considérée comme le principal facteur limitant les performances des réseaux cellulaires. Nous nous intéressons aux différents schémas de coordination multi-point (CoMP) proposés dans la norme LTE-A pour y faire face, en tenant compte de l'aspect dynamique du trafic et de la mobilité des utilisateurs. Les résultats sont obtenus par l'analyse mathématique de modèles markoviens et par des simulations du système. Nous montrons l'importance de l'algorithme d'ordonnancement sur les performances en présence d'utilisateurs mobiles, pour des services de téléchargement de fichier et de streaming vidéo. Nous proposons un nouvel algorithme d'ordonnancement basé sur la dé-priorisation des utilisateurs mobiles se trouvant en bord de cellule, afin d'améliorer l'efficacité globale du système. Nous montrons ensuite qu'il est intéressant d'activer la technique dite Joint Processing uniquement dans un réseau à forte interférence, son activation dans un réseau à faible interférence pouvant conduire à une dégradation des performances. Nous proposons un nouveau mécanisme de coordination où une cellule ne coopère que lorsque sa coopération apporte un gain moyen de débit suffisant pour compenser les pertes de ressources engendrées. Nous considérons enfin la technique de formation de faisceaux coordonnée. Nous montrons notamment que la coordination n'est pas nécessaire lorsque l'on dispose d'un grand nombre d'antennes par station de base, un simple mécanisme d'ordonnancement opportuniste permettant d'obtenir des performances optimales. Pour un nombre limité d’antennes parstation de base, la coordination est nécessaire afin d’éviter l’interférence entre les faisceaux activés, et permet des gains de performance substantiels. / Interference is still the main limiting factor in cellular networks. We focus on the different coordinated multi-point schemes (CoMP) proposed in the LTE-A standard to cope with interference, taking into account the dynamic aspect of traffic and users’ mobility. The results are obtained by the analysis of Markov models and system-level simulations. We show the important impact of the scheduling strategy on the network performance in the presence of mobile users considering elastic traffic and video streaming. We propose a new scheduler that deprioritizes mobile users at the cell edge, in order to improve the overall system efficiency. We show that it is interesting to activate Joint Processing technique only in a high-interference network, its activation in a low-interference network may lead to performance degradation. We propose a new coordination mechanism, where a cell cooperates only when its cooperation brings a sufficient mean throughput gain, which compensates the extra resource consumption. Finally, we show that the coordination of beams is not necessary when a large number of antennas is deployed at each base station; a simple opportunistic scheduling strategy provides optimal performance. For a limited number of antennas per base station,coordination is necessary to avoid interference between the activated beams, allowing substantial performance gains.

Ce mémoire présente mes travaux de recherche effectués après ma thèse, entre 2002 et 2008. Les thèmes principaux sont les équations aux dérivées partielles non-linéaires et des problèmes d'évolutions de fronts ou d'interfaces. Il est organisé en trois chapitres.<br /><br />Le premier chapitre concerne l'évolution de fronts avec une vitesse normale prescrite. Pour étudier ce genre de problème, une première approche, dite par lignes de niveaux, consiste àreprésenter le front comme une ligne de niveau d'une fonction auxiliaire u. Cette approche ramène l'étude du problème d'évolution géométrique à un problème d'EDP puisque u vérifie une équation de Hamilton-Jacobi. Quelques résultats dans le cas de vitesses locales comme la courbure moyenne sont présentés mais la majorité des résultats concerne le cas de vitesses non-locales décrivant la dynamique des dislocations dans un cristal ou modélisant l'asymptotique d'un système de FitzHugh-Nagumo apparaissant en biologie. Une approche différente, basée sur des solutions de viscosité géométriques, est utilisée pour étudier des problèmes de propagation de fronts apparaissant en optimisation de formes. Le but est de trouver un ensemble optimal minimisant une énergie du type capacité à volume ou périmètre constant. L'idée est de déformer le bord d'un ensemble donné avec une vitesse normale adéquate de manière à diminuer au plus son énergie. La mise en oeuvre de cette idée nécessite la construction rigoureuse d'une telle évolution pour tout temps et la preuve de la convergence vers une solution du problème initial. De plus, la décroissance de l'énergie est obtenue le long du flot.<br /><br />Le deuxième chapitre décrit des résultats d'unicité, d'existence et d'homogénéisation pour des équations de Hamilton-Jacobi-Bellman. La majeure partie du travail effectué concerne des équations provenant de problèmes de contrôle stochastique avec des contrôles non-bornés. Les équations comportent alors des termes quadratiques par rapport au gradient et les solutions étudiées sont elles-mêmes à croissance quadratique. Des liens entre ces solutions et les fonctions valeurs des problèmes de contrôle correspondants sont établis. La seconde partie est consacrée à un théorème d'homogénéisation pour un système d'équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre.<br /><br />Le troisième et dernier chapitre traite d'un sujet un peu à part, à savoir le lien entre les flots de gradient et l'inégalité de Lojasiewicz. La principale originalité de ce travail est de placer l'étude dans un cadre hilbertien pour des fonctions semiconvexes, ce qui sort du cadre de l'inégalité de Lojasiewicz classique. Le principal théorème produit des caractérisations de cette inégalité. Les résultats peuvent être précisés dans le cas des fonctions convexes ; en particulier, un contre-exemple de fonction convexe ne vérifiant pas l'inégalité de Lojasiewicz est construit. Cette dernière inégalité est reliée à la longueur des trajectoires de gradient. Une borne de cette longueur est obtenue pour les fonctions convexes coercives en dimension deux même lorsque cette inégalité n'est pas vérifiée.

Ces travaux se situent dans la problématique d'élaboration d'outils de mesure adaptés aux caractéristiques des écoulements fluides. Le développement de l'imagerie digitale, associée à l'utilisation de techniques de visualisation d'écoulements en mécanique des fluides, permet d'envisager l'extraction, à l'aide de méthodes de vision par ordinateur, du mouvement d'écoulements perçu dans des séquences d'images. L'objectif consiste ici à proposer une nouvelle approche de type " flux optique " pour l'estimation multiéchelle de mouvements de fluides, en s'appuyant sur une représentation en ondelettes du mouvement recherché. Cette formulation en ondelettes introduit un formalisme multiéchelle, intéressant tant du point de vue de l'estimation du flux optique que de la représentation de champs de vitesse turbulents. Elle permet en outre la construction de bases à divergence nulle, respectant ainsi une contrainte issue de la physique des fluides. Plusieurs types de régularisation sont présentés; la plus simple procède par troncature de la base aux petites échelles, la plus complexe utilise les coefficients de connexion de la base d'ondelette pour construire des schémas d'ordre élevé. Les approches proposées sont évaluées sur des images synthétiques dans un premier temps, puis sur des images expérimentales d'écoulements caractéristiques. Les résultats obtenus sont comparés à ceux fournis par la méthode usuelle des " corrélations croisées ", mettant en avant les intérêts et les limites de l'estimateur.

Les nouvelles technologies de la vidéo numérique tendent vers la production, la transmission et la diffusion de contenus de très haute qualité, qu'ils soient monoscopiques ou stéréoscopiques. Ces technologies ont énormément évolué ces dernières années pour faire vivre à l'observateur l'expérience la plus réaliste possible. Pour des raisons artistiques ou techniques liées à l'acquisition et à la transmission du contenu, il est parfois nécessaire de combiner la vidéo acquise à des informations de synthèse tout en veillant à maintenir un rendu photo-réaliste accru. Pour faciliter la tâche des opérateurs de production et post-production, le traitement combiné de contenus capturés et de contenus de synthèse exige de disposer de fonctionnalités automatiques sophistiquées. Parmi celles-ci, nos travaux de recherche ont porté sur l'évaluation de qualité de la synthèse de vues et l'élaboration de stratégies d'estimation de mouvement dense et long-terme. L'obtention d'images synthétisées de bonne qualité est essentielle pour les écrans 3D auto-stéréoscopiques. En raison d'une mauvaise estimation de disparité ou interpolation, les vues synthétisées générées par DIBR font cependant parfois l'objet d'artéfacts. C'est pourquoi nous avons proposé et validé une nouvelle métrique d'évaluation objective de la qualité visuelle des images obtenues par synthèse de vues. Tout comme les techniques de segmentation ou d'analyse de scènes dynamiques, l'édition vidéo requiert une estimation dense et long-terme du mouvement pour propager des informations synthétiques à l'ensemble de la séquence. L'état de l'art dans le domaine se limitant quasi-exclusivement à des paires d'images consécutives, nous proposons plusieurs contributions visant à estimer le mouvement dense et long-terme. Ces contributions se fondent sur une manipulation robuste de vecteurs de flot optique de pas variables (multi-steps). Dans ce cadre, une méthode de fusion séquentielle ainsi qu'un filtrage multilatéral spatio-temporel basé trajectoires ont été proposés pour générer des champs de déplacement long-termes robustes aux occultations temporaires. Une méthode alternative basée intégration combinatoire et sélection statistique a également été mise en œuvre. Enfin, des stratégies à images de référence multiples ont été étudiées afin de combiner des trajectoires provenant d'images de référence sélectionnées selon des critères de qualité du mouvement. Ces différentes contributions ouvrent de larges perspectives, notamment dans le contexte de la coopération stéréo-mouvement pour lequel nous avons abordé les aspects correction de disparité à l'aide de champs de déplacement denses long-termes.

L’objet de la thèse est la modélisation de systèmes hétérogènes intégrant différents domaines de la physique et à signaux mixtes, numériques et analogiques (AMS). Une étude approfondie de différentes techniques d’extraction et de calibration de modèles comportementaux de composants analogiques à différents niveaux d’abstraction et de précision est présentée. Cette étude a mis en lumière trois approches principales qui ont été validées par la modélisation de plusieurs applications issues de divers domaines: un amplificateur faible bruit (LNA), un capteur chimique basé sur des ondes acoustiques de surface (SAW), le développement à plusieurs niveaux d’abstraction d’un capteur CMOS vidéo, et son intégration dans une plateforme industrielle. Les outils développés sont basés sur les extensions AMS du standard IEEE 1666 SystemC mais les techniques proposées sont facilement transposables à d’autres langages tels que VHDL-AMS ou Verilog-AMS utilisés en conception de dispositifs mixtes. / The thesis objective is the modeling of heterogeneous systems. Such systems integrate different physical domains (mechanical, chemical, optical or magnetic) therefore integrate analog and mixed- signal (AMS) parts. The aim is to provide a methodology based on high-level modeling for assisting both the design and the verification of AMS systems. A study on different techniques for extracting behavioral models of analog devices at different abstraction levels and computational weights is presented. Three approaches are identified and regrouped in three techniques. These techniques have been validated through the virtual prototyping of different applications issued from different domains: a low noise amplifier (LNA), a surface acoustic wave-based (SAW) chemical sensor, a CMOS video sensor with models developed at different abstraction levels and their integration within an industrial platform. The flows developed are based on the AMS extensions of the SystemC (IEEE 1666) standard but the methodologies can be implemented using other Analog Hardware Description Languages (VHDL-AMS, Verilog-AMS) typically used for mixed-signal microelectronics design.