On approfondit la notion de bases discrètes présentée dans un rapport précédent, en montrant en particulier son extension possible à d'autres bases de numérotation que la base 2. On élabore des algorithmes de calcul des fonctions mathématiques usuelles dans n'importe quelle base de numérotation. On établit un résultat de complexité

L'objet de cette thèse est l'analyse multifractale des fonctions autosimilaires et l'étude de la validité du formalisme multifractal. Il s'agit d'abord de déterminer la régularité Hölderienne ponctuelle exacte pour des fonctions dont le graphe localement est grossièrement une contraction du graphe complet, à une fonction erreur près ; ensuite de calculer les dimensions de Hausdorff des ensembles de points où la fonction présente la même singularité; et enfin de vérifier les conjectures de Frish et Parisi et celle d'Arneodo, Bacry et Muzy, qui relient ces dimensions à des quantités moyennes extraites de la fonction. Nous étudions plusieurs types d'autosimilarités, et montrons (en reformulant parfois) que l'analyse par ondelettes permet d'étudier la validité de ces relations.

L'objectif de ce travail est de proposer quelques approches pour la résolution de hiérarchies de contraintes fonctionnelles. Dans un premier temps, le rôle et les qualités d'une hiérarchie de contraintes sont définis. Une hiérarchie de contraintes permet de résoudre des problèmes sur-contraints en répartissant les contraintes dans une hiérarchie (de niveaux) suivant leur importance. Dans un deuxième temps, un nouveau résolveur de maintien de solutions pour les hiérarchies de contraintes fonctionnelles a été conçu afin d'obtenir des solutions de meilleure qualité. Ce résolveur est basé sur l'utilisation d'un algorithme du type "meilleur d'abord" et prend en compte différents modes de combinaison des erreurs par niveau et utilise une agrégation globale de type lexicographique sur les valeurs de ces combinaisons. Les modes de combinaison globale intégrés dans ce résolveur sont : le nombre de contraintes non satisfaites, une combinaison où les poids représentent des priorités pour considérer des contraintes de remplacement et enfin la somme des poids des contraintes non satisfaites. Dans un troisième temps, nous proposons une procédure utilisant le résolveur précédent. Cette dernière est plus prometteuse qu'un algorithme du type séparation et évaluation. Elle peut être incorporée dans les langages de Programmation Logique par Hiérarchie de Contraintes afin de réaliser la comparaison inter-hiérarchies et donc de pouvoir éliminer les hiérarchies telles que leurs résolutions produiraient des solutions non désirables. Enfin, nous avons modélisé un résolveur pour la résolution de hiérarchies de contraintes où Ses modes de combinaison peuvent varier selon les niveaux. Ce dernier prend en compte des contraintes possédant des méthodes recalculant plusieurs variables à la fois et établit un plan de coopération entre des résolveurs spécifiques. Ces résolveurs spécifiques doivent être conçus selon les modes de combinaison utilisés.

En mécanique de la rupture, les problèmes se posant avant l'initiation d'une fissure est caractérisé selon une démarche classique par une grandeur appelée Taux de Restitution d'Énergie. De grands efforts ont été consacrés à son interprétation mathématique et à la recherche de techniques pour son évaluation numérique. De nombreux travaux ont révélé que l'analyse des phénomènes se produisant après l'initiation des fissures (comme par exemple la stabilité de propagation des fissures ou leur vitesse de progression) fait intervenir des quantités comprenant des dérivations à l'ordre élevé, notamment la dérivée seconde, d'énergie potentielle par rapport à la longueur de fissures. Mais une description mathématique de ces dérivations et la recherche de techniques pour leur estimation numérique restent encore un problème ouvert dans la littérature. En effet le calcul des dérivées à l'ordre élevé présente des difficultés considérables dues à la haute singularité des solutions en fond de fissures. Le but principal de ce travail est alors d'élaborer, par une démonstration mathématique rigoureuse, une technique sophistiquée qui en permet une étude tant théorique que numérique. Nous nous limitons pour cela au cadre de la formulation lagrangienne, considérée comme un des outils les plus efficaces pour les problèmes linéaires ou non-linéaires de mécanique de la rupture. En s'appuyant sur la technique de perturbation de domaine, nous commençons par traiter le cas de chargement de surface. Par extension, les situations suivantes sont également mises en compte : 1) chargement thermique; 2) pression ou un champ de forces volumiques sur la fissure; 3) cas de structure en axisymétrique. Dans tous les cas, l'expression analytique de la dérivée seconde est mise sous une forme convenable pour l'étude numérique. Afin de montrer l'intérêt d'une méthode numérique précise, on étudie pour terminer et à titre d'exemple, la post-initiation de fissure pour des spécimens présentant, soit une seule fissure, soit plusieurs fissures interagissantes. Les résultats numériques obtenus par la méthode que nous proposons sont en bon accord avec d'autres venant d'approches différentes, et vérifient toutes les propriétés théoriques de la variation seconde du potentiel mécanique.