On introduit dans ce mémoire le plan projectif RP[indice supérieur 2] et certaines notions de géométrie projective telles que les coordonnées homogènes, les transformations projectives et le birapport. On s'intéresse plus particulièrement aux structures projectives convexes réelles sur une paire de pantalons. L'objectif est de paramétriser l'ensemble des classes d'équivalence de telles structures. On démontre que cet ensemble est de dimension huit et on identifie chaque structure projective à une configuration géométrique que nous visualiserons à l'aide du logiciel Mathematica. Finalement, on s'intéresse à l'effet des différents paramètres sur l'image de l'application développante, qui forme une région convexe du plan projectif.

Dans ma thèse, je me suis intéressé à l'étude des sous-groupes discrets $\G$ de $\s$ (resp. de $ßs^{\pm}_{4}(\R)$) qui préservent un ouvert proprement convexe $\O$ de l'espace projectif réel $\P(\R)$ (resp. $\PP^3(\R)$). En dimension 2, j'ai caractérisé le fait que la surface quotient $\Quo$ est de volume fini de différentes façons, notamment à l'aide l'holonomie des pointes de la surface $S$, ou de l'ensemble limite du groupe $\G$. Cette étude m'a permis de montrer que lorsque le quotient $\Quo$ est de volume fini, alors l'ouvert proprement convexe $\O$ est strictement convexe et son bord $\partial \O$ est $C^1$. Enfin, j'ai montré que l'espace des modules des structures projectives proprement convexes de volume fini, sur une surface (de caractéristique d'Euler strictement négative) de genre $g$ et à $p$ pointes est homéomorphe à une boule de dimension $16g-16+6p$. En dimension 3, je me suis intéressé à l'espace des modules des structures projectives proprement convexes sur les 3-orbifolds de Coxeter compact. J'ai dû faire une hypothèse sur la forme de l'orbifold pour montrer que l'espace des modules est une réunion de $n$ boules de dimension $d$, où les entiers $n$ et $d$ se calculent à l'aide de la combinatoire de l'orbifold.

Un point d'aplatissement d'une courbe (réelle $C^\infty$ ou complexe holomorphe) de l'espace projectif (réel ou complexe) de dimension $n$ est un point de la courbe pour lequel l'hyperplan osculateur à un contact plus élevé qu'en un point ordinaire. Pour $n=2$, les points d'aplatissement sont communément appelés les points d'inflexions.\\ Dans la première partie de la thèse étudie les familles de courbes par rapport aux points d'aplatissement.\\ On introduit une notion de forme normale par rapport aux aplatissements des fibres d'une application $f:(\KM^n,0) \to (\KM^{n-1},0)$, avec $\KM=\RM$ ou $\KM=\CM$,\\ Ensuite, on commence la classification des germes d'applications (réels $C^\infty$ ou complexes holomorphes) $f:(\KM^n,0) \to (\KM^{n-1},0)$, avec $\KM=\RM$ ou $\KM=\CM$, par rapport aux points d'aplatissement des fibres de l'application. On introduit la notion de déformation verselle par rapport aux aplatissements, et on calcule ces déformations pour les fonctions de Morse de deux variables. Enfin, on définit ``les invariants fondamentaux de topologie projective'' d'un germe $f:(\KM^n,0) \to (\KM^{n-1},0)$ et on calcule ces invariants pour les éléments de la classification.\\ Dans une deuxième partie, on tente d'inclure la théorie des aplatissements des courbes en développant la théorie de propagation des fronts d'onde. par le biais d'un théorème de déformations verselles pour les applications legendriennes. On généralise des résultats de Kazarian sur les courbes spatiales au cas variétés de dimension quelconque. Notamment, on démontre un théorème sur la bifurcation des courbes paraboliques de certaines familles de surfaces dans l'espace projectif.

En donnant accès à la théorie de la géométrie projective sous l'angle des médias interactifs, le projet Perspective théâtrale sur la géométrie projective permet une expérience unique d'apprentissage et de communication en ligne. De la formulation des objectifs à la maquette, il a fallu s'approprier les contenus, les catégoriser, les diviser, les relier, les structurer. Ce mémoire fait état de la démarche de structuration des ressources médiatisées d'un cours de géométrie projective et d'une pièce de théâtre sur la vie du mathématicien créateur de cette théorie, puis de la diffusion de ces contenus sur la Toile, par baladodiffusion ou en mode présentiel, en ayant recours au Web collaboratif et sémantique. Ces nouveaux contextes d'échange permettent de passer outre les contraintes de distance, de temps et de disponibilités des personnes intéressées, tout en transmettant des informations à jour sur un sujet et en faisant participer activement les utilisateurs à façonner et partager leur expérience d'apprentissage. L'information sémantique attachée à chacune des unités médiatiques permet une appropriation des contenus sous de multiples facettes: linéairement, constructivement, artistiquement. Une ontologie ajoute une enveloppe conjonctive aux contenus, donnant une structure de navigation cohérente. Cette ontologie permet à la fois de gérer les différentes ressources multimédias du projet, de construire le portail les diffusant et d'offrir aux usagers des interfaces interactives pour les manipuler. Des créateurs aux usagers, tous manipulent et profitent de la structure de l'ontologie et des ressources qui la composent. Brain Cuts, un éditeur de courts métrages, est un exemple d'outil permettant aux usagers d'agréger eux-mêmes les ressources multimédias du cours. Les nouveaux outils qu'apporte l'avènement du Web sémantique aideront peut-être à construire un écosystème de connaissances (Knowledge Ecosystem) sur la Toile. Ce projet sert de plateforme expérimentale à ces nouveaux moyens interactifs en éducation. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Médias interactifs, Toile, Web, Web sémantique, Ontologie, Téléapprentissage, Théâtre, Mathématiques, Géométrie projective, Gestion des connaissances.

Pour d non puissance d'un nombre premier, le nombre maximal de bases deux à deux décorrélées d'un espace de Hilbert de dimension d n'est pas encore connu. Dans ce mémoire, nous commençons par donner une construction de bases décorrélées en lien avec une famille de représentations irréductibles de l'algèbre de Lie su(2) et faisant appel aux sommes de Gauss.Puis nous étudions de façon systématique la possibilité de construire de telle bases au moyen des opérateurs de Pauli. 1) L'étude de la droite projective sur Zdm montre que, pour obtenir des ensembles maximaux de bases décorrélées à l'aide d'opérateurs de Pauli, il est nécessaire de considérer des produits tensoriels de ces opérateurs. 2) Les sous-modules lagrangiens de Zd2n, dont nous donnons une classification complète, rendent compte des ensembles maximalement commutant d'opérateurs de Pauli. Cette classification permet de savoir lesquels de ces ensembles sont susceptibles de donner des bases décorrélées : ils correspondent aux demi-modules lagrangiens, qui s'interprètent encore comme les points isotropes de la droite projective (P(Mat(n, Zd)²),ω). Nous explicitons alors un isomorphisme entre les bases décorrélées ainsi obtenues et les demi-modules lagrangiens distants, ce qui précise aussi la correspondance entre sommes de Gauss et bases décorrélées. 3) Des corollaires sur le groupe de Clifford et l'espace des phases discret sont alors développés.Enfin, nous présentons quelques outils inspirés de l'étude précédente. Nous traitons ainsi du rapport anharmonique sur la sphère de Bloch, de géométrie projective en dimension supérieure, des opérateurs de Pauli continus et nous comparons l'entropie de von Neumann à une mesure de l'intrication par calcul d'un déterminant.

Dans le domaine de l'automobile, Peugeot-Citroën, Renault et Daimler-Benz ainsi que de nombreux laboratoires ont fortement contribué à l'étude et à la recherche de systèmes de sécurité active. Ainsi, grâce au programme EUREKA Prometheus, ils ont pu présenter des prototypes capables de reconnaître les différentes composantes d'un environnement routier (obstacles, véhicules, piétons, panneaux routiers).<br /><br />Mon souhait est de développer un système d'assistance à la conduite permettant de détecter, de reconnaître et de localiser des panneaux routiers par vision monoculaire en étant capable de répondre aux contraintes temps réel de l'environnement dynamique. Cette thèse propose quelques contributions notamment une méthode de calibration de caméra complémentaire aux méthodes classiques permettant d'estimer les paramètres intrinsèques de la caméra.<br /><br />La localisation tridimensionnelle des formes polyédriques à partir de leurs projections sur un plan image est présentée au travers de deux contributions, l'une basée sur la résolution d'un système non linéaire par des techniques d'optimisation, l'autre basée sur la rétroprojection par géométrie projective inverse.<br /><br />Nous aborderons ensuite les traitements d'images utilisés afin d'extraire de l'image brute des informations qualitatives et quantitatives avec une contribution sur la segmentation des images<br />couleurs en temps réel.

Cette thèse a pour première vocation d'être un état de l'art sur le calcul quantique, sinon exhaustif, simple d'accès (chapitres 1, 2 et 3). La partie originale de cet essai consiste en deux approches mathématiques du calcul quantique concernant quelques systèmes quantiques : la première est de nature algébrique et fait intervenir des structures particulières : les corps et les anneaux de Galois (chapitre 4), la deuxième fait appel à la géométrie dite projective (chapitre 5). Cette étude a été motivée par le théorème de Kochen et Specker et par les travaux de Peres et Mermin qui en ont découlé

Pour d non puissance d'un nombre premier, le nombre maximal de bases deux à deux décorrélées d'un espace de Hilbert de dimension d n'est pas encore connu. Dans ce mémoire, nous commençons par donner une construction de bases décorrélées en lien avec une famille de représentations irréductibles de l'algèbre de Lie su(2) et faisant appel aux sommes de Gauss.<br /> Puis nous étudions de façon systématique la possibilité de construire de telles bases au moyen des opérateurs de Pauli. 1) L'étude de la droite projective sur (Z_d)^m montre que, pour obtenir des ensembles maximaux de bases décorrélées à l'aide d'opérateurs de Pauli, il est nécessaire de considérer des produits tensoriels de ces opérateurs. 2) Les sous-modules lagrangiens de (Z_d)^2n, dont nous donnons une classification complète, rendent compte des ensembles maximalement commutant d'opérateurs de Pauli. Cette classification permet de savoir lesquels de ces ensembles sont susceptibles de donner des bases décorrélées : ils correspondent aux demi-modules lagrangiens, qui s'interprètent encore comme les points isotropes de la droite projective (P(Mat(n, Z_d)^2),ω). Nous explicitons alors un isomorphisme entre les bases décorrélées ainsi obtenues et les demi-modules lagrangiens distants, ce qui précise aussi la correspondance entre sommes de Gauss et bases décorrélées. 3) Des corollaires sur le groupe de Clifford et l'espace des phases discret sont alors développés.<br /> Enfin, nous présentons quelques outils inspirés de l'étude précédente. Nous traitons ainsi du rapport anharmonique sur la sphère de Bloch, de géométrie projective en dimension supérieure, des opérateurs de Pauli continus et nous comparons l'entropie de von Neumann à une mesure de l'intrication par calcul d'un déterminant.

Ce document traite de plusieurs aspects de la vision stéréoscopique par ordinateur. Cette méthode consiste à partir d'une ou de plusieurs paires d'images à " reconstruire " une scène observée en trois dimensions, c'est-à-dire à produire une description des objets et surfaces observés ainsi que leur position dans l'espace. Le premier problème abordé est celui du calibrage, dont l'objet est de calculer les paramètres des caméras (focale, centre optique, etc.) ainsi que leur position, soit à partir d'images d'objets de géométrie et de position connue, soit de manière automatique (on parle alors d'auto-calibrage). Des résultats nouveaux sont présentés sur l'auto-calibrage de la distorsion optique et sur l'auto-calibrage d'une paire de caméras rigidement liées à partir de plusieurs paires d'images. Ensuite sont présentées différentes méthodes permettant de rectifier les images de manière à simplifier la mise en correspondance, puis d'effectuer cette mise en correspondance par une technique de corrélation. Outre des améliorations des résultats classiques, de nouvelles méthodes permettant d'obtenir une plus grande précision sont discutées. La dernière phase, dite de reconstruction, permet d'obtenir une description des surfaces observée allant jusqu'aux propriétés différentielles d'ordre un et deux (plan tangent et courbures à la surface), à partir des résultats de stéréoscopie par corrélation. Ce document se termine par quelques applications réalisées au cours de ces recherches telles qu'un système d'aide chirurgicale pré-opératoire ou une caméra stéréo bon marché.

Les plantes sont des éléments essentiels du monde qui nous entoure. Ainsi, si l’on veut créer des environnements virtuels qui soient à la fois agréables et réalistes, un effort doit être fait pour modéliser les plantes. Malgré les immenses progrès en vision par ordinateur pour reconstruire des objets de plus en plus compliqués, les plantes restent difficiles à reconstruire à cause de la complexité de leur topologie. Cette thèse se divise en deux grandes parties. La première partie s’intéresse à la modélisation de plantes, biologiquement réalistes, à partir d’une seule image. Nous générons un modèle de plante respectant les contraintes biologiques de son espèce et tel que sa projection soit la plus fidèle possible à l’image. La première étape consiste à extraire de l’image le squelette de la plante. Dans la plupart de nos images, aucune branche n’est visible et les images peuvent être de qualité moyenne. Notre première contribution consiste en une méthode de squelettisation basée sur les champs de vecteurs. Le squelette est extrait suite à un partitionnement non déterministe du feuillage de l’image assurant son réalisme. Dans un deuxième temps, la plante est modélisée en 3D. Notre deuxième contribution est la création de modèles pour différents types de plantes, basée sur les L-systèmes. Puis, un processus d’analyse-par-synthèse permet de choisir le modèle 3D final : plusieurs propositions de squelette sont générées et un processus bayésien permet d’extraire le modèle maximisant le critère a posteriori. Le terme d’attache aux données (vraisemblance) mesure la similarité entre l’image et la reprojection du modèle, la probabilité a priori mesure le réalisme du modèle. Après avoir généré des modèles de plantes, des modèles de fruits doivent être créés. Ayant travaillé principalement sur les pieds de vigne, nous avons développé une méthode pour reconstruire une grappe de raisin à partir d’au moins deux vues. Chaque baie est assimilée à un ellipsoïde de révolution. La méthode obtenue peut être plus généralement adaptée à tout type de fruits assimilables à une quadrique de révolution. La seconde partie de cette thèse s’intéresse à la reconstruction de quadriques de révolution à partir d’une ou plusieurs vues. La reconstruction de quadriques et, en général, la reconstruction de surfaces 3D est un problème très ancien en vision par ordinateur qui a donné lieu à de nombreux travaux. Nous rappelons les notions nécessaires de géométrie projective des quadriques, et de vision par ordinateur puis, nous présentons un état de l’art sur les méthodes existantes sur la reconstruction de surfaces quadratiques. Nous détaillons un premier algorithme permettant de retrouver les images des foyers principaux d’une quadrique de révolution à partir d’une vue « calibrée », c’est-à-dire pour laquelle les paramètres intrinsèques de la caméra sont connus. Puis, nous détaillons comment utiliser ce résultat pour reconstruire, à partir d’un schéma de triangulation linéaire, tout type de quadriques de révolution à partir d’au moins deux vues. Enfin, nous montrons comment il est possible de retrouver la pose 3D d’une quadrique de révolution dont on connaît les paramètres à partir d’un seul contour occultant. Nous évaluons les performances de nos méthodes et montrons quelques applications possibles. / Plants are essential elements of our world. Thus, 3D plant models are necessary to create realistic virtual environments. Mature computer vision techniques allow the reconstruction of 3D objects from images. However, due to the complexity of the topology of plants, dedicated methods for generating 3D plant models must be devised. This thesis is divided into two parts. The first part focuses on the modeling of biologically realistic plants from a single image. We propose to generate a 3D model of a plant, using an analysis-by-synthesis method considering both a priori information of the plant species and a single image. First, a dedicated 2D skeletonisation algorithm generates possible branching structures from the foliage segmentation. Then, we built a 3D generative model based on a parametric model of branching systems taking into account botanical knowledge. The resulting skeleton follows the hierarchical organisation of natural branching structures. Varying parameter values of the generative model (main branching structure of the plant and foliage), we produce a series of candidate models. A Bayesian model optimizes a posterior criterion which is composed of a likelihood function which measures the similarity between the image and the reprojected 3D model and a prior probability measuring the realism of the model. After modeling plant models branching systems and foliage, we propose to model the fruits. As we mainly worked on vines, we propose a method for reconstructing a vine grape from at least two views. Each bay is considered to be an ellipsoid of revolution. The resulting method can be adapted to any type of fruits with a shape similar to a quadric of revolution. The second part of this thesis focuses on the reconstruction of quadrics of revolution from one or several views. Reconstruction of quadrics, and in general, 3D surface reconstruction is a very classical problem in computer vision. First, we recall the necessary background in projective geometry quadrics and computer vision and present existing methods for the reconstruction of quadrics or more generally quadratic surfaces. A first algorithm identifies the images of the principal foci of a quadric of revolution from a "calibrated" view (that is, the intrinsic parameters of the camera are given). Then we show how to use this result to reconstruct, from a linear triangulation scheme, any type of quadrics of revolution from at least two views. Finally, we show that we can derive the 3D pose of a given quadric of revolution from a single occluding contour. We evaluate the performance of our methods and show some possible applications.