: La théorie géométrique des invariants constitue un domaine central de la géométrie algébrique d'aujourd'hui : développée par Mumford au début des années soixante, elle a conduit à des progrès considérables dans l'étude des variétés projectives, notamment par la construction d'espaces de modules. Dans les vingt dernières années des interactions entre la théorie géométrique des invariants et la géométrie arithmétique -- plus précisément la théorie des hauteurs et la géométrie d'Arakelov -- ont été étudiés par divers auteurs (Burnol, Bost, Zhang, Soulé, Gasbarri, Chen). Dans cette thèse nous nous proposons d'un côté d'étudier de manière systématique la théorie géométrique des invariants dans le cadre de la géométrique d'Arakelov ; de l'autre de montrer que ces résultats permettent une nouvelle approche géométrique (distincte aussi de la méthode des pentes développée par Bost) aux résultats d'approximation diophantienne, tels que le Théorème de Roth et ses généralisations par Lang, Wirsing et Vojta.

Etude et réalisation d'un générateur de caractères numérique pour des applications qui demandent des formes de très grande qualité dans les domaines de la bureautique et de la photocomposition. On présente: la courbe évoluée qui est utilisée avec la droite comme interpolant des contours; les études concernant la réalisation de l'étape de décomposition des courbes évoluées en cercles; un logiciel de codage automatique de contours qui permet de simplifier et d'abaisser le cout de cette étape de préparation des caractères; un logiciel réalisant des transformations géométriques sur des caractères codes par contours; deux variantes d'algorithme, l'une pour accélérer le trace des cercles, l'autre pour remplacer les cercles par des ellipses.

Cet ouvrage repose sur un travail de recherche mené conjointement avec Christian SICO : étude et réalisation d'un générateur digital de caractères d'imprimerie, destiné à des applications de haute qualité dans les domaines de la photocomposition et de la bureautique. La première partie ( Chapitre 1 ) présente les principes généraux qui ont sous-tendu le projet, et décrit brièvement l'architecture logicielle et matérielle du prototype que nous avons construit. D'écriture plus descriptive que scientifique, elle a été rédigée en commun avec C. SICO ; elle est néanmoins nécessaire à une bonne compréhension des problèmes abordés, aussi bien dans le mémoire de C. SICO, dont elle formera également l'introduction, que dans celui que je présente ici. Dans la deuxième partie, dont le plan est donné au chapitre 2, est exposé le travail personnel sur lequel repose ce mémoire : Les chapitres 3 et 4- traitent de deux points importants faisant l'objet de développements théoriques originaux ; il s'agit d'étudier certaines relations sur l'ensemble des parois d'une tache bicolore régulière, ce qui légitime le sous-titre : "problèmes de nature ordinale". Les chapitres 5 et 6 évoquent deux problèmes intéressants relatifs à la partie du projet dont la conception m'incombait ( gestion de programmes et de données, analyse des performances dans un environnement multiprocesseur à fort degré de parallélisme ).

Le monde physique dans lequel nous vivons est essentiellement géométrique. Le calcul géométrique est une brique centrale de nombreux domaines, comme la conception assistée par ordinateur, le graphisme, la robotique, la vision artificielle et bien d'autres. Depuis plus de trois décennies, la géométrie algorithmique est la discipline dédiée à l'établissement de bases solides pour l'étude des algorithmes géométriques qui relèvent de ces applications. Elle s'est historiquement et traditionnellement concentrée sur le traitement d'objets linéaires. Pour de nombreuses applications, il est nécessaire de manipuler des objets généraux comme des courbes et des surfaces complexes. L'extension du répertoire de la géométrie algorithmique aux objets courbes pose de nombreuses difficultés: refonte des structures de données et algorithmes fondamentaux; irruption massive de questions algébriques; explosion du nombre de cas dégénérés...<br /><br />Cette thèse d'habilitation contribue à l'établissement d'un calcul géométrique effectif pour les objets courbes de faible degré. Elle reprend mes principales contributions sur le sujet ces dernières années. Mentionnons notamment: un algorithme exact, optimal et efficace pour le calcul du paramétrage de l'intersection de deux quadriques à coefficients entiers; la caractérisation des positions relatives de deux coniques projectives à l'aide de prédicats géométriques de faible degré, mis au jour grâce à la théorie des invariants algébriques; la caractérisation des dégénérescences du problème de tangentes réelles communes à quatre sphères; la convexité du cône des directions de droites perçant trois boules disjointes, et les conséquences importantes de ce résultat en théorie de transversales géométriques. Le manuscrit se conclue par un panel de directions de recherche poursuivant et étendant les résultats obtenus à ce jour.

Des relations quantitatives ont été étudiées, chez le Hêtre, entre les singularités externes de l'arbre, des caractéristiques dendrométriques et l'occurrence et la forme géométrique du cœur rouge (CR) : I. Des singularités (branches mortes, cicatrices de branche, blessures, fentes, fourche) et la forme du CR ont été décrites de façon tridimensionnelle détaillée pour 4 arbres. Ainsi, des hypothèses ont été développées d'une part sur l'initiation du CR basées sur des dimensions des cicatrices de branche/noeuds et d'autre part sur des stades de développement de la forme du CR. II. Un modèle de type logistique a été développé qui permettait de quantifier l'effet individuel des cicatrices de branche sur la probabilité d'occurrence du CR; il incluait également un effet dendrométrique. 27 parmi 31 hêtres ont été classés correctement. III. La forme globale du CR (rayon moyen du CR le long de l'axe du tronc) a été modélisée en utilisant des paramètres pour les largeur, longueur et hauteur du CR dans l'arbre. Ces derniers ont pu être estimés à partir des cicatrices de branche et des variables dendrométriques. Le modèle a été paramétré sur 16 hêtres et a été appliqué à l'échantillon indépendant constitué des 4 arbres de l'analyse I. IV. Des déviations locales de la forme globale du CR ont été analysées en dessous et au dessus des nœuds sur 58 planches provenant des 16 arbres de l'analyse III. Les déviations étaient limitées à la zone du nœud et à l'extrémité du CR côté apical. En perspectives, l'importance de la validation des modèles de CR est soulignée. Un couplage de ces modèles à des modèles de croissance ou de transformation des bois ronds pourrait aussi être envisagé.

Les propriétés de symétrie d'un objet représenté sous la forme d'un modèle B-Rep CAO sont analysées localement et globalement à travers une approche de type diviser pour conquérir. La surface frontière de l'objet est décrite à partir de surfaces canoniques fréquemment utilisées dans les formes de composants mécaniques. La première phase de l'analyse consiste en la génération de faces et d'arêtes maximales indépendantes du processus de modélisation de l'objet mais préservant ses propriétés de symétrie. Ces faces et arêtes constituent des ensembles infinis de points traités globalement. La seconde phase est l'étape de division consistant en la création de plan et axes de symétrie de candidats pour les faces et arêtes maximales générées précédemment. Enfin, suit l'étape de propagation de ces plans et axes de symétrie représentant la phase de conquête et déterminant les propriétés de symétrie locales et globales de l'objet et caractérisant ses zones non-symétriques.

Modéliser avec des squelettes est une alternative très séduisante aux "points de contrôle" souvent placés à l'extérieur des formes : cette approche, analogue à un fil de fer dans une forme modelée, permet de créer des modèles de toutes géométries et topologies. Pour cela, il faut que les formes définies par chacun des squelettes soient capable de se mélanger de manière lisse. Introduites en informatique graphique dans les années 90, les surfaces implicites sont la principale solution à ce problème. Elles constituent un modèle puissant à la fois pour la modélisation d'objets tridimensionnels et pour leur animation: leur construction par squelette et leurs capacités de mélange par sommation des champs potentiels qui les définissent permettent en effet la conception progressive et le stockage compact d'objets volumiques, ainsi que l'animation de déformations pouvant comprendre des changements de topologie. Les surfaces implicites, et plus particulièrement les surfaces de convolution, forment donc un modèle particulièrement adapté à la modélisation par squelette. Toutefois, elles présentent un certain nombre de défaut qui les ont rendu inutilisables en pratique. Cette thèse propose de nouveaux modèles implicites à squelettes, s'inspirant de la convolution mais basés aussi sur des déformations de l'espace. Ils permettent : - une génération plus aisée de forme le long de squelettes formés de courbes (des arc d'hélices), - un meilleur contrôle des formes tant au niveau de leur épaisseur que de leur mélange, notamment - nos modèles sont invariant par homothétie ce qui les rend plus intuitif, - la génération de surfaces ayant une topologie plus proche de celle des squelettes, - la génération de détails fins engendrés par un bruit procédural, les détails se comportant de manière cohérente avec la surface (et les squelettes) sous-jacente.

On révise les prérequis de géométrie différentielle nécessaires à une première approche de la théorie de la quantification géométrique, c'est-à-dire des notions de base en géométrie symplectique, des notions de groupes et d'algèbres de Lie, d'action d'un groupe de Lie, de G-fibré principal, de connexion, de fibré associé et de structure presque-complexe. Ceci mène à une étude plus approfondie des fibrés en droites hermitiens, dont une condition d'existence de fibré préquantique sur une variété symplectique. Avec ces outils en main, nous commençons ensuite l'étude de la quantification géométrique, étape par étape. Nous introduisons la théorie de la préquantification, i.e. la construction des opérateurs associés à des observables classiques et la construction d'un espace de Hilbert. Des problèmes majeurs font surface lors de l'application concrète de la préquantification : les opérateurs ne sont pas ceux attendus par la première quantification et l'espace de Hilbert formé est trop gros. Une première correction, la polarisation, élimine quelques problèmes, mais limite grandement l'ensemble des observables classiques que l'on peut quantifier. Ce mémoire n'est pas un survol complet de la quantification géométrique, et cela n'est pas son but. Il ne couvre ni la correction métaplectique, ni le noyau BKS. Il est un à-côté de lecture pour ceux qui s'introduisent à la quantification géométrique. D'une part, il introduit des concepts de géométrie différentielle pris pour acquis dans (Woodhouse [21]) et (Sniatycki [18]), i.e. G-fibrés principaux et fibrés associés. Enfin, il rajoute des détails à quelques preuves rapides données dans ces deux dernières références. / We review some differential geometric prerequisite needed for an initial approach of the geometric quantization theory, i.e. basic notions in symplectic geometry, Lie group, Lie group action, principal G-bundle, connection, associated bundle, almost-complex structure. This leads to an in-depth study of Hermitian line bundles that leads to an existence condition for a prequantum line bundle over a symplectic manifold. With these tools, we start a study of geometric quantization, step by step. We introduce the prequantization theory, which is the construction of operators associated to classical observables and construction of a Hilbert space. Some major problems arise when applying prequantization in concrete examples : the obtained operators are not exactly those expected by first quantization and the constructed Hilbert space is too big. A first correction, polarization, corrects some problems, but greatly limits the set of classical observables that we can quantize. This dissertation is not a complete survey of geometric quantization, which is not its goal. It's not covering metaplectic correction, neither BKS kernel. It's a side lecture for those introducing themselves to geometric quantization. First, it's introducing differential geometric concepts taken for granted in (Woodhouse [21]) and (Sniatycki [18]), i.e. principal G-bundles and associated bundles. Secondly, it adds details to some brisk proofs given in these two last references.

Les points critiques d’une fonction scalaire (minima, points col et maxima) sont des caractéristiques importantes permettant de décrire de gros ensembles de données, comme par exemple les données topographiques. L’acquisition de ces données introduit souvent du bruit sur les valeurs. Un grand nombre de points critiques sont créés par le bruit, il est donc important de supprimer ces points critiques pour faire une bonne analyse de ces données. Le complexe de Morse-Smale est un objet mathématique qui est étudié dans le domaine de la Visualisation Scientifique car il permet de simplifier des fonctions scalaires tout en gardant les points critiques les plus importants de la fonction étudiée, ainsi que les liens entre ces points critiques. Nous proposons dans cette thèse une méthode permettant de construire une fonction qui correspond à un complexe de Morse-Smale d’une fonction définie sur R^2 après suppression de paires de points critiques dans celui-ci.Tout d’abord, nous proposons une méthode qui définit une surface interpolant des valeurs de fonction aux points d’une grille de façon monotone, c’est-à-dire en ne créant pas de point critique. Cette surface est composée d’un ensemble de patchs de Bézier triangulaires cubiques assemblés de telle sorte que la surface soit globalement C^1. Nous donnons des conditionssuffisantes sur les valeurs d fonction et les valeurs de dérivées partielles aux points de la grille afin que la surface soit croissante dans la direction (x+y). Il n’est pas évident de créer des valeurs de dérivées partielles en chaque point de la grille vérifiant ces conditions. C’est pourquoi nous introduisons deux algorithmes : le premier permet de modifier des valeurs de dérivées partielles données en entrée afin que celles-ci vérifient les conditions et le second calcule des valeurs de dérivées partielles à partir des valeurs de fonctions aux points de la grille.Ensuite, nous décrivons une méthode de reconstruction de champs scalaires à partir de complexes de Morse-Smale simplifiés. Pour cela, nous commençons par approximer les 1-cellules (les liens entre les points critiques dans le complexe de Morse-Smale, ceux-ci sont décrits par des polylignes) par des courbes composées de courbes de Bézier cubiques. Nous décrivons ensuite comment notre interpolation monotone de valeurs aux points d’une grille est utilisée pour construire des surfaces monotones interpolant les courbes construites précédemment. De plus, nous montrons que la fonction reconstruite contient tout les points critiques du complexe de Morse-Smale simplifié et n’en contient aucun autre. / Critical points of a scalar function (minima, saddle points and maxima) are important features to characterize large scalar datasets, like topographic data. But the acquisition of such datasets introduces noise in the values. Many critical points are caused by the noise, so there is a need to delete these extra critical points. The Morse-Smale complex is a mathematical object which is studied in the domain of Visualization because it allows to simplify scalar functions while keeping the most important critical points of the studied function and the links between them. We propose in this dissertation a method to construct a function which corresponds to a Morse-Smale complex defined on R^2 after the suppression of pairs of critical points.Firstly, we propose a method which defines a monotone surface (a surface without critical points).This surface interpolates function values at a grid points. Furthermore, it is composed of a set of triangular cubic Bézier patches which define a C^1 continuous surface. We give sufficient conditions on the function values at the grid points and on the partial derivatives at the grid points so that the surface is increasing in the (x+y) direction. It is not easy to compute partial derivatives values which respect these conditions. That’s why we introduce two algorithms : the first modifies the partial derivatives values on input such that they respect the conditions and the second computes these values from the function values at the grid points.Then, we describe a reconstruction method of scalar field from simplified Morse-Smale complexes. We begin by approximating the 1-cells of the complex (which are the links between the critical points, described by polylines) by curves composed of cubic Bézier curves. We then describe how our monotone interpolant of values at grid points is used to construct monotone surfaces which interpolate the curves we computed before. Furthermore, we show that the function we compute contains all the critical points of the simplified Morse-Smale complex and has no others.

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