La thèse est consacrée aux estimations de multiplicité. Ce type de résultats est utilisé en théorie de la transcendance. A partir des travaux de A. B. Shidlovskii, W.D.Brownawell et D.W.Masser il sont régulièrement utilisés dans les preuves de transcendance et surtout d'indépendance algébrique. Par exemple, la démonstration du lemme de multiplicité est un élément très important de la preuve par Yu. Nesterenko du résultat sur l'indépendance algébrique des valeurs des fonctions de Ramanujan. Un autre résultat de ce type est une preuve par K.Nishioka d'une conjecture de K.Mahler. Ce lemme de multiplicité a permis de démontrer beaucoup de résultats concernant la transcendance des séries liées aux suites récurrentes et des suites engendrées par des automates finis. Le but de ce mémoire est l'étude approfondie, dans un cadre général, des lemmes de multiplicité conduisant à des améliorations de résultats d'indépendance algébrique connus. Le théorème principal de ce travail réduit la preuve des estimations de multiplicité à l'étude des idéaux stables sous une transformation algébrique. En particulier, ce théorème permet d'améliorer un peu le résultat de Yu.Nesterenko concernant les solutions de système d'équations différentielles. Dans le même temps ce théorème donne, sous une condition concernant des variétés stables, l'estimation avec l'exposant le meilleur possible dans le cas de solutions d'équations fonctionnelles. Ce dernier résultat conduit à l'étude des variétés irréductibles stables sous une transformation rationnelle, ceci semble d'être un sujet intéressant en soi.

Dans cette thèse on s'est intéressé à différents phénomènes d'instabilités pour des équations de Schrödinger non-linéaires.<br /> Dans la première partie on met en évidence un mécanisme de décohérence de phase pour l'équation (semi-classique) de Gross-Pitaevski en dimension 3. Ce phénomène géométrique est dû à la présence du potentiel harmonique, qui permet de construire -via une méthode de minimisation- des solutions stationnaires se concentrant sur des cercles de R^{3}.<br /> Dans la deuxième partie, on obtient un résultat d'instabilité géométrique pour NLS cubique posée sur une surface riemannienne possédant une géodésique périodique, stable et non-dégénérée. Avec une méthode WKB, on construit des quasimodes non-linéaires, qui permettent d'obtenir des solutions approchées pour des temps pour lesquels l'instabilité se produit. On généralise ainsi des travaux de Burq-Gérard-Tzvetkov pour la sphère.<br /> Enfin, dans la dernière partie on considère des équations sur-critiques sur une variété de dimension d. Grâce à une optique géométrique non-linéaire dans un cadre analytique on peut montrer un mécanisme de perte de dérivées dans les espaces de Sobolev, et une instabilité dans l'espace d'énergie.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

De nos jours, les objets virtuels sont devenus omniprésents. On les trouve dans de nombreux domaines comme le divertissement (cinéma, jeux vidéo, etc.), la conception assistée par ordinateur ou encore la réalité virtuelle. Nous nous intéressons en particulier à la modélisation d'objets 3D dans le domaine de la création artistique. Ici, la création d'images riches nécessite de faire appel à des modèles très détaillés et donc extrêmement complexes. Les surfaces de subdivision, traditionnellement utilisées dans ces domaines, voient leur complexité croître rapidement lorsqu'on ajoute des détails, et la gestion de la connectivité du maillage de contrôle devient trop contraignante. Une approche standard pour gérer la complexité de tels modèles est d'utiliser des représentations différentes pour la forme générale de la surface et les détails. Cependant, ces détails sont représentés par des cartes matricielles qui ne possèdent pas la plupart des avantages des représentations vectorielles, et cela complexifie certaines tâches, comme par exemple l'animation. Dans cette thèse, nous proposons deux nouvelles représentations vectorielles, la première pour les surfaces de base, la deuxième pour les détails. Nous utilisons pour cette dernière une représentation vectorielle appelée images de diffusion permettant de créer des variations lisses à l'aide d'un ensemble réduit de contraintes. Cela nous permet de représenter aussi bien la géométrie que la couleur ou d'autres paramètres nécessaires au rendu de façon purement vectoriel, en conservant des contrôles de haut niveau.Notre première contribution est une représentation de surfaces, baptisée LS3, issue de la combinaison entre surfaces de subdivision et -point set surfaces. Cette approche réduit notablement les artefacts des surfaces de subdivision aux alentours de sommets dits extraordinaires, qui sont connus pour poser problème. Nous présentons une analyse numérique des propriétés de ces surfaces, qui tend à montrer que du point de vue de la continuité elles se comportent au moins aussi bien que les schémas de subdivision linéaires traditionnels. Notre deuxième contribution est un solveur pour les images de diffusion dont le principal avantage est de produire en sortie une autre représentation vectorielle légère et très rapide à évaluer. Nous illustrons la force de note solveur sur de nombreux exemples difficiles ou impossibles à réaliser avec les méthodes précédentes. Pour conclure, nous montrons comment combiner nos deux contributions pour obtenir une représentation de surface entièrement vectorielle capable de représenter des détails sans avoir à manipuler la connectivité d'un maillage. / Nowadays, virtual objects have become omnipresent. We can find them in various domains such as entertainment (movies, video games, etc.), computer-aided design or virtual reality. Our main focus in this document is the modeling of 3D objects in the domain of artistic creation, where rich images creation requires highly detailed and complex models.Subdivision surfaces, the most used surface representation in this domain, quickly become very dense as the user add details, and manual handling of the connectivity becomes too cumbersome. A standard approach to handle the complexity of such models is to separate the overall shape of the surface and the details. Although, these detail maps are often stored in bitmap images that does not provide the advantages of vectorial representation, which complicate some tasks, like animation.In this document, we present two new vectorial representations: the first one for the base surface, the second one for the detail maps. For the later, we use a vectorial representation called diffusion images that allow to create smooth or sharp variations from a small set of constraints. This enables us to represent geometry as well as color or any other parameter required for rendering, while keeping high-level controls.Our first contribution is a surface representation, called LS3, based on the combination of subdivision surfaces and point set surfaces. This approach reduces notably artifacts that subdivision surfaces produce around so called extraordinary vertices. We also present a numerical analysis of the mathematical properties of these surfaces, that show that they behave at least as well as classical subdivision schemes.Our second contribution is a solver for diffusion images that has the particularity to produce as output a denser vectorial representation which is light and fast to evaluate. We show the advantages of this approach on several examples that would be hard or impossible to produce with former methods.To conclude, we show how these two contributions can be used together to obtain a fully vectorial surface representation able to produce detailed surfaces without needing to deal with complex connectivity.

L'algèbre géométrique est un outil permettant de représenter et manipuler les objets géométriques de manière générique, efficace et intuitive. A titre d'exemple, l'Algèbre Géométrique Conforme (CGA), permet de représenter des cercles, des sphères, des plans et des droites comme des objets algébriques. Les intersections entre ces objets sont incluses dans la même algèbre. Il est possible d'exprimer et de traiter des objets géométriques plus complexes comme des coniques, des surfaces quadriques en utilisant une extension de CGA. Cependant due à leur représentation requérant un espace vectoriel de haute dimension, les implantations de l'algèbre géométrique, actuellement disponible, n'autorisent pas une utilisation efficace de ces objets. Dans ce manuscrit, nous présentons tout d'abord une implantation de l'algèbre géométrique dédiée aux espaces vectoriels aussi bien basses que hautes dimensions. L'approche suivie est basée sur une solution hybride de code pré-calculé en vue d'une exécution rapide pour des espaces vectoriels de basses dimensions, ce qui est similaire aux approches de l'état de l'art. Pour des espaces vectoriels de haute dimension, nous proposons des méthodes de calculs ne nécessitant que peu de mémoire. Pour ces espaces, nous introduisons un formalisme récursif et prouvons que les algorithmes associés sont efficaces en termes de complexité de calcul et complexité de mémoire. Par ailleurs, des règles sont définies pour sélectionner la méthode la plus appropriée. Ces règles sont basées sur la dimension de l'espace vectoriel considéré. Nous montrons que l'implantation obtenue est bien adaptée pour les espaces vectoriels de hautes dimensions (espace vectoriel de dimension 15) et ceux de basses dimensions. La dernière partie est dédiée à une représentation efficace des surfaces quadriques en utilisant l'algèbre géométrique. Nous étudions un nouveau modèle en algèbre géométrique de l'espace vectoriel $mathbb{R}^{9,6}$ pour manipuler les surfaces quadriques. Dans ce modèle, une surface quadrique est construite par l'intermédiaire de neuf points. Nous montrerons que ce modèle permet non seulement de représenter de manière intuitive des surfaces quadriques mais aussi de construire des objets en utilisant les définitions de CGA. Nous présentons le calcul de l'intersection de surfaces quadriques, du vecteur normal, du plan tangent à une surface en un point de cette surface. Enfin, un modèle complet de traitement des surfaces quadriques est détaillé / Geometric Algebra is considered as a very intuitive tool to deal with geometric problems and it appears to be increasingly efficient and useful to deal with computer graphics problems. The Conformal Geometric Algebra includes circles, spheres, planes and lines as algebraic objects, and intersections between these objects are also algebraic objects. More complex objects such as conics, quadric surfaces can also be expressed and be manipulated using an extension of the conformal Geometric Algebra. However due to the high dimension of their representations in Geometric Algebra, implementations of Geometric Algebra that are currently available do not allow efficient realizations of these objects. In this thesis, we first present a Geometric Algebra implementation dedicated for both low and high dimensions. The proposed method is a hybrid solution that includes precomputed code with fast execution for low dimensional vector space, which is somehow equivalent to the state of the art method. For high dimensional vector spaces, we propose runtime computations with low memory requirement. For these high dimensional vector spaces, we introduce new recursive scheme and we prove that associated algorithms are efficient both in terms of computationnal and memory complexity. Furthermore, some rules are defined to select the most appropriate choice, according to the dimension of the algebra and the type of multivectors involved in the product. We will show that the resulting implementation is well suited for high dimensional spaces (e.g. algebra of dimension 15) as well as for lower dimensional spaces. The next part presents an efficient representation of quadric surfaces using Geometric Algebra. We define a novel Geometric Algebra framework, the Geometric Algebra of $mathbb{R}^{9,6}$ to deal with quadric surfaces where an arbitrary quadric surface is constructed by merely the outer product of nine points. We show that the proposed framework enables us not only to intuitively represent quadric surfaces but also to construct objects using Conformal Geometric Algebra. In the proposed framework, the computation of the intersection of quadric surfaces, the normal vector, and the tangent plane of a quadric surface are provided. Finally, a computational framework of the quadric surfaces will be presented with the main operations required in computer graphics

Cette thèse introduit le concept de comportement géométrique d'un assemblage mécanique. Cette notion permet de rendre compte du caractère assemblable ou mobile d'un mécanisme sous la forme d'un système de relations algébriques entre les paramètres géométriques permettant de le décrire. Dans un premier temps, cette thèse montre l'intérêt de ce concept pour traiter des problèmes faisant intervenir plusieurs effets physiques et plusieurs scénarios d'utilisation. Ce chapitre est appliqué à l'étude de l'assemblabilité d'un treillis pyramidal de conception à 4 barres décrit par un modèle géométrique non cartésien issu de la littérature. Dans un second temps, après avoir constaté le manque de modèles adaptés permettant de représenter des mécanismes mobiles, ce travail en propose un non cartésien. Il détaille aussi une méthode de mise en équation afin de traduire la mobilité d'un mécanisme. Une application de ce modèle et de la méthode est également faite. Elle permet de résoudre localement le problème de la mobilité d'un mécanisme de Bennett. Enfin, la dernière partie de ce travail expose une solution pour associer et comparer deux objets décrits par des représentations non cartésiennes. Cette technique est utile pour comparer deux états physiques du même objet utilisé dans différents scénarios pour assurer le suivi d'une exigence géométrique. Elle peut également être utilisée pour associer des objets réels et des objets idéalisés pour traiter des problèmes de tolérancement / This thesis introduces the concept of geometrical behavior of mechanical assembly. The geometrical behavior is constituted by a set of algebraic relations that translate the assemblability or mobility conditions of a product. It is expressed thanks to a specific geometrical model for the early phases of product design. Firstly, this work shows the interest of the geometrical behavior to tackle multi-physics problems at the early stages of product design. This part is illustrated on a ten bar pyramid subjected to mechanical and thermal strains. Secondly, this thesis proposes a coordinate free geometrical model dedicated to the representation of mobile mechanisms. This part also indicates a technique to express the mobility conditions of a loop as mathematical equations. An application of these model and technique is proposed to express the geometrical behavior of the Bennett mechanism. Finally, this work exposes a solution to associate and compare two objects described in the above-mentioned coordinate free model. This technique is useful to compare two states of the same object used under different operating conditions. It can also be used to associate ideal and real objects to tackle tolerancing issues.

Lors de la réalisation des pièces d’un mécanisme, le fabricant se doit de respecter les exigences géométriques exigées par le client. Ces exigences sont issues de besoins fonctionnels du mécanisme à tous les stades de son cycle de vie. Le fabricant lors des opérations successives d’usinage, avec ou sans enlèvement de matière, doit définir les exigences de la géométrie ajoutée au poste. La combinaison de ces exigences affectées de leur tolérance doit être comparée aux exigences géométriques du client. L’objectif du travail présenté est la définition d’une méthode optimisant, rationnellement, les exigences géométriques des surfaces créées. Nous définirons les spécifications géométriques, au sens de l’iso 1101, mais la valeur de ces tolérances ne sera pas abordée dans ce travail, d’autres équipes ayant réalisés des travaux de qualité. L’étude poussée de la méthode 1D utilisée dans l’ensemble du groupe Renault pour définir les fiches schéma nous a montré ses limites lors de la multiplication des posages orientés différemment. Par contre l’optimisation du choix des spécifications influentes a retenu notre intérêt. L’étude des méthodes du bureau d’études pour la recherche de spécifications des pièces composant un mécanisme nous a permis de faire l’analogie avec les phases d’usinages. En effet le passage successif de la pièce sur les différents postes d’usinage s’apparente à des assemblages temporaires qui mettent en œuvre des surfaces actives qu’elles soient de posage ou créées à l’opération. La modélisation du processus d’usinage à l’aide d’une représentation graphique est largement utilisée par la communauté travaillant dans le tolérancement. Nous avons développé dans notre travail un modèle de représentation appelé SPIDER GRAPH. Ce modèle essentiellement pédagogique nous permet de visualiser le déroulement de l’algorithme développé à l’occasion de ce mémoire. Il met en valeur la succession de liens entre les différentes surfaces intervenant pour réaliser une spécification exigée. Deux méthodes utilisant le concept SATT pour la mise en position des ensembles de surfaces de tolérancement de fabrication 3D sont décrites : « Recherche des chemins du process contraignant les degrés de liberté de la spécification fonctionnelle ». Nous avons identifié, en se référant aux résultats développés par DESROCHERS, toutes les combinaisons possibles entre des entités simples et leurs correspondances en termes de type de tolérance. Une validation par un exemple a été établie et un ensemble de spécifications géométriques de fabrication a été généré. Cette méthode qui s’appuie successivement sur les surfaces du système de référence ne permet pas une écriture se référant à des systèmes de référence. Nous avons donc développé une alternative à ce travail initial. « Méthode rationnelle de tolérancement de fabrication 3D » Cette méthode est représentée par un logigramme qui prend en compte la hiérarchie des surfaces lors des posages. Il prend également en compte les inversions de spécifications entre la référence et la surface spécifiée. Lors de la création de surfaces temporaires qu’elles soient de posage ou d’usinage, la méthode permet de spécifier ces surfaces dans les opérations considérées. Lors du développement de cette méthode originale, nous avons repris la totalité des fiches de cotations SATT, développées par CLEMENT et aussi les modélisations vectorielles de ces cas d’association décrites par GAUNET. A l’aide des lois d’identification des paramètres de mise en position relative entre SATT, nous avons pu générer, l’ensemble des spécifications géométriques capables de mener au respect de la spécification géométrique fonctionnelle. Cette méthode assure la traçabilité des liens successifs entre les surfaces actives lors des différentes opérations. [...] / During the realization of the mechanism pieces, the manufacturer must respect the customer geometrical requirements. These requirements arise from functional needs of the mechanism in all its life cycle stages. During the successive operations of manufacturing, with or without material removing, the manufacturer has to define the added geometry requirements in each phase. The combination of these requirements affected by their tolerance must be compared with the functional geometrical requirements. The objective the actual work is to define a method optimizing, in a rational way, the geometrical requirements of the created surfaces. We shall define the geometrical specifications, according to the standard “ISO on 1101”, but the quantification of the tolerance zones will not be approached on this work, other teams have given good results. The 1D method, used in the whole of the group Renault to define process cards, is limited during the reproduction of positioning surfaces directed differently. On the other hand the optimization of the influential specifications retained our interest. The study of the engineering consulting firm method, used for the search of the each pieces specification composing a mechanism, allowed us to make analogy with the manufacturing phases. Indeed the successive manufacturing operation on various posts is similar to temporary assemblies which implement active surfaces whether they are positioning or machined surfaces, existing in this phase. The modeling of the manufacturing process by means of a graphic representation is widely used on the tolerance filed. We developed in our work a model of representation called SPIDER GRAPH. This essentially educational model allows us to show the progress of the algorithm, developed in this these. It emphasizes the succession of links between the various surfaces with intervene in the generation of needed manufacturing specification. Two methods based on the TTRS concept to select all needed surfaces in 3D manufacturing tolerancing are described: « Search of the process links constraining the functional forbidden displacement ». In this method we identified, by referring to the results developed by DESROCHERS, all the possible combinations between simple entities and their tolerance type correspondences. An example of validation is afterward established and a set of geometrical manufacturing specifications were generated. With this previous method we are constrained to treat the surfaces that constitute the functional reference system independently, one by one, which is not conform to the standard. What urged us to look for another alternative able to remedy to this problem. « Rational method for 3D manufacturing tolerancing synthesis based on TTRS approach » This method is represented by an algorithm which takes into account the hierarchy of positioning surfaces and the specifications inversions between the reference and the specified surface. During the creation of temporary surfaces, whether they are used for positioning or they are machined, the method allows to generate the appropriate tolerance specification in the considered phase. During the development of this method, we took back the totality of the tolerancing process TTRS cards, developed by CLÉMENT and also the vectorial modelling of these associations’ cases, described by GAUNET. With the relatives positioning parameters rules, we were able to generate at the end of the treatment all the geometrical specifications capable to ensure the respect of the functional geometrical specification. This method insures the traceability of the successive links between the active surfaces during the various manufacturing operations. These links which can be represented on the SPIDER GRAPH will allow determining mathematically or in a probability way the consequence of these various pieces transfer between machines.

Le vieillissement est un phénomène naturel, obligatoire et irréversible, souvent associé à un déclin des performances et des fonctions de l'organisme. Bien que les comportements nous renseignent sur l'état physiologique et neurologique de l'organisme, très peu d'études ont portées sur les relations entre l'âge et les comportements. La recherche de nouveaux modèles permettant d'appréhender cette relation pourrait donc être primordiale. Chez les araignées orbitèles, la toile est une structure géométrique complexe d'une apparente régularité. Sa construction résulte d'une succession de comportements organisés et répétés et chaque variation dans la structure de la toile peut être interpréter comme une variation comportementale de l'araignée lors de la construction. L'objectif de cette étude était de mettre en évidence des variations structurelles dans la géométrie de la toile de l'araignée Zygiella x-notata qui pourraient être corrélées au vieillissement de l'araignée, et de savoir comment le vieillissement agissait sur la mobilité de l'araignée lors de sa construction et lors de la capture des proies. Nos résultats montrent que le vieillissement a affecté les caractéristiques géométriques de la toile, le comportement de construction et le comportement de capture de l'araignée. Notre étude a permis de valider la pertinence de l'utilisation des araignées orbitèles et de leurs toiles géométriques comme modèles innovants pour l'étude des relations entre vieillissement et comportement / Ageing is an obligatory and natural progressive process often associated with a decline in organism functions and performances. Although behaviours inform us about the physiological and neurological state of an organism, relationship between behaviour and ageing remains largely misunderstood. Thus, the research of new animal models that could assess this relationship would be crucial. In orb weaving spiders, the web is a complex geometrical structure, which presents a visible regularity. Its construction results of a succession of organized and repeatable behaviours and each variation in web characteristics could be interpreted as a behavioural variation during web construction. The objective of this study was to highlight structural variations in web's structure of the spider Zygiella-x-notata, which were correlated with spider's age, and to know how ageing affected spider mobility during web construction and prey capture. Our results showed that ageing influenced the geometrical structure of the orb-web, and the spider web-building and prey capture behaviours. Our study allowed to validate the pertinence of the use of spiders and their orb web as innovative models for studies of relationships between ageing and behaviour

Motivé par la dualité de Howe dans la théorie des représentations de groupes de Lie, on cherche une construction analogue en géométrie symplectique, c'est-à-dire on souhaite que sa quantification géométrique décomposé de manière Howe-duale. On trouve que dans le contexte symplectique, le cadre correct est donné par deux groupes de Lie agissant sur la même variété symplectique si ces actions commutent et satisfont la condition de Howe symplectique, i. e., ces actions sont hamiltoniennes et leurs fonctions collectives sont leurs centralisateurs mutuelles dans l'algèbre de Poisson des fonctions lisses sur la variété symplectique. Une fois cette condition est remplie, nous pouvons décrire la structure d'orbites en détail. En particulier, il y a une bijection entre les orbites coadjointes dans une image d'application moment et celles dans l'image de l'autre application moment – or, il est cette bijection que nous appelerons la correspondance d’orbites coadjointes. On poursuit l'étude de la correspondance d’orbites coadjointes et on montre que, si les groupes de Lie qui agissent sont compacts et la variété symplectique est préquantifiable, l'intégralité est préservée par la correspondance. Ainsi, il est possible d'associer en même temps des représentations irréductibles aux deux orbites de la correspondance. Donc, nous avons une bijection entre certaines parties des duaux unitaires des deux groupes de Lie qui agissent sur la variété symplectique. En appliquant des résultats connus qui assurent que la quantification et la réduction commutent, nous constatons que la quantification d’une variété kählerienne (vue comme une représentation du produit des deux groupes qui agissent sur la variété) admet une décomposition en somme direct sans multiplicités de produits tensoriels des représentations irréductibles des deux groupes, les paires étant données par la bijection obtenue précédemment –parfaitement en accord avec la dualité de Howe. Ce résultat principal est accompagné par l’étude de la structure locale d’une variété avec deux actions hamiltoniennes qui commutent, ce qui donne une version locale de la correspondance d'orbites, ainsi que par des réflexions sur la relation entre la correspondance d'orbites coadjointes et la correspondance de feuilles symplectiques généralisées dans des paires duales singulières / Motivated by the representation-theoretic notion of Howe duality, we seek an analogous construction in symplectic geometry in the sense that its geometric quantization decomposes in a Howe dual fashion. We find that in the symplectic context, the correct setting is given by two Lie groups acting on a symplectic manifold when these two actions commute and satisfy the symplectic Howe ondition, i. e., these actions are Hamiltonian and their collective functions are their mutual centralizers in the Poisson algebra of smooth functions on the symplectic manifold. Once this condition is satisfied, we can describe the orbit structure in detail. In particular, there is a bijection between the coadjoint orbits in one moment image and those in the other moment image – this bijection is what we call the coadjoint orbit correspondence. We study the coadjoint orbit correspondence further and show, if the acting Lie groups are compact and the symplectic manifold is prequantizable, that it preserves integrality of the coadjoint orbits, so to both coadjoint orbits in the correspondence an irreducible representation can be associated. We thus have a bijection between certain parts of the unitary duals of both Lie groups acting on the symplectic manifold. Applying known results about the interchangeability of quantization and reduction, we see that for a Kähler manifold, its quantization (as a representation of the product of both groups acting on the manifold) decomposes into a multiplicity-free direct sum of tensor products of irreducibles of the individual groups, the pairs being given by the bijection obtained before – as one would expect according to Howe duality. This main result is accompanied by a study of the local structure of a manifold carrying two commuting Hamiltonian action which proves a local version of the orbit correspondence and by a discussion about the relation of the coadjoint orbit correspondence to the generalized symplectic leaf correspondence in singular dual pairs