Cette thèse s'inscrit dans le contexte de la statistique des valeurs extrêmes. Elle y apporte deux contributions principales. Dans la littérature récente en statistique des valeurs extrêmes, un modèle de queues de distributions a été introduit afin d'englober aussi bien les lois de type Pareto que les lois à queue de type Weibull. Les deux principaux types de décroissance de la fonction de survie sont ainsi modélisés. Un estimateur des quantiles extrêmes a été déduit de ce modèle mais il dépend de deux paramètres inconnus, le rendant inutile dans des situations pratiques. La première contribution de cette thèse est de proposer des estimateurs de ces paramètres. Insérer nos estimateurs dans l'estimateur des quantiles extrêmes précédent permet alors d'estimer des quantiles extrêmes pour des lois de type Pareto aussi bien que pour des lois à queue de type Weibull d'une façon unifiée. Les lois asymptotiques de nos trois nouveaux estimateurs sont établies et leur efficacité est illustrée sur des données simulées et sur un jeu de données réelles de débits de la rivière Nidd se situant dans le Yorkshire en Angleterre. La seconde contribution de cette thèse consiste à introduire et estimer une nouvelle mesure de risque appelé Conditional Tail Moment. Elle est définie comme le moment d'ordre a>0 de la loi des pertes au-delà du quantile d'ordre p appartenant à ]0,1[ de la fonction de survie. Estimer le Conditional Tail Moment permet d'estimer toutes les mesures de risque basées sur les moments conditionnels telles que la Value-at-Risk, la Conditional Tail Expectation, la Conditional Value-at-Risk, la Conditional Tail Variance ou la Conditional Tail Skewness. Ici, on s'intéresse à l'estimation de ces mesures de risque dans le cas de pertes extrêmes c'est-à-dire lorsque p tend vers 0 lorsque la taille de l'échantillon augmente. On suppose également que la loi des pertes est à queue lourde et qu'elle dépend d'une covariable. Les estimateurs proposés combinent des méthodes d'estimation non-paramétrique à noyau avec des méthodes issues de la statistique des valeurs extrêmes. Le comportement asymptotique de nos estimateurs est établi et illustré aussi bien sur des données simulées que sur des données réelles de pluviométrie provenant de la région Cévennes-Vivarais.

Inspired by the swapping algebra and the rank n cross-ratio introduced by F. Labourie, we construct a ring equipped with the swapping Poisson structure---the rank n swapping algebra Zn(P) to study the moduli spaces of cross ratios. We prove that Zn(P) inherits a Poisson structure form the swapping bracket. To consider the "cross-ratios" in the fraction ring, by interpreting Zn(P) by a geometric model in the study of geometry invariant theory, we prove that Zn(P) is an integral domain. Then we consider the ring Bn(P) generated by the cross ratios in the fraction ring of Zn(P). For n = 2,3, we embed in a Poisson way the ring generated by Fock-Goncharov coordinates for configuration space of flags in Rn into Bn(P). By studying the discrete integrable system for the configuration space MN,1 of N-twisted polygons in RP1, up to a discrete Fourier transformation, we asymptotically relate the swapping algebra to the Virasoro algebra on a hypersurface of MN,1.

Dans cette thèse, nous étudions les propriétés de concentration des fonctions propres du laplacien discret sur des graphes réguliers de degré fixé dont le nombre de sommets tend vers l'infini. Cette étude s'inspire de la théorie de l'ergodicité quantique sur les variétés. Par analogie avec cette dernière, nous développons un calcul pseudo-différentiel sur les arbres réguliers : nous définissons des classes de symboles et des opérateurs associés, et nous prouvons un certain nombre de propriétés de ces classes de symboles et opérateurs. Nous montrons notamment que les opérateurs sont bornés dans L², et nous donnons des formules de l'adjoint et du produit. Nous nous servons ensuite de cette théorie pour montrer un théorème d'ergodicité quantique pour des suites de graphes réguliers dont le nombre de sommets tend vers l'infini. Il s'agit d'un résultat de délocalisation de la plupart des fonctions propres dans la limite des grands graphes réguliers. Les graphes vérifient une hypothèse d'expansion et ne comportent pas trop de cycles courts, deux hypothèses vérifiées presque sûrement par des suites de graphes réguliers aléatoires.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à des sujets différents en mathématiques financières, tous liés aux imperfections de marché et à la technique fondamentale de la maximisation d'utilité. Elle comporte trois parties. Dans la première, qui se base sur deux papiers, nous considérons le problème d'investissement optimal sur un marché financier avec coûts de transaction proportionnels. On commence par étudier le problème d'investissement dans le cas où la fonction d'utilité est multivariée (ce qui s'adapte particulièrement bien aux marchés des devises) et l'agent a une dotation initiale aléatoire, qui peut s'interpréter comme une option ou un autre contrat dérivé. Après avoir analysé les propriétés du problème et de son dual, nous utilisons ces résultats pour examiner, dans ce contexte, certains aspects d'une technique de pricing devenue populaire dans le cadre des marchés incomplets, l'évaluation par indifférence d'utilité. Dans le deuxième chapitre, nous étudions le problème d'existence d'un ensemble de prix (appelés "prix fictifs" ou "shadow prices") qui offrirait la même utilité maximale à l'agent si le marché n'avait pas de frictions. Ces résultats sont utiles pour clarifier le lien entre la théorie classique des marchés sans frictions et la littérature en croissance rapide sur les coûts de transaction. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous considérons le problème d'évaluation de produits dérivés par indifférence d'utilité dans des marchés incomplets, où la source d'incomplétude provient du fait que certains actifs ne peuvent pas être échangés sur le marché, ce qui est le cas par exemple dans le cadre des modèles structurels pour le prix de l'électricité. Sous certaines hypothèses, nous dérivons une caractérisation en terme d'équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) pour le prix, et nous nous concentrons ensuite sur les options européennes en établissant en particulier l'existence d'une stratégie de couverture optimale, même lorsque le payoff présente des discontinuités et est éventuellement non borné. Dans la dernière partie, nous analysons un simple problème de principal-agent à horizon fini, où le principal est essentiellement interprété comme un régulateur et l'agent comme une entreprise qui produit certaines émissions polluantes. Nous traitons séparément les problèmes du principal et de l'agent et nous utilisons la théorie des EDSR pour fournir des conditions nécessaires et suffisantes d'optimalité. Nous effectuons également des analyses de sensibilité et nous montrons des résultats numériques dans le but de fournir une meilleure compréhension du comportement des agents.

Cette thèse porte sur les relations entre les processus SLE, les ensembles CLE et le champ libre Gaussien. Dans le chapitre 2, nous donnons une construction des processus SLE(k,r) à partir des boucles des CLE(k) et d'échantillons de restriction chordale. Sheffield et Werner ont prouvé que les CLE(k) peuvent être construits à partir des processus d'exploration symétriques des SLE(k,r).Nous montrons dans le chapitre 3 que la configuration des boucles construites à partir du processus d'exploration asymétrique des SLE(k,k-6) donne la même loi CLE(k). Le processus SLE(4) peut être considéré comme les lignes de niveau du champ libre Gaussien et l'ensemble CLE(4) correspond à la collection des lignes de niveau de ce champ libre Gaussien. Dans la deuxième partie du chapitre 3, nous définissons un paramètre de temps invariant conforme pour chaque boucle appartenant à CLE(4) et nous donnons ensuite dans le chapitre 4 un couplage entre le champ libre Gaussien et l'ensemble CLE(4) à l'aide du paramètre de temps. Les processus SLE(k) peuvent être considérés comme les lignes de flot du champ libre Gaussien. Nous explicitons la dimension de Hausdorff de l'intersection de deux lignes de flot du champ libre Gaussien. Cela nous permet d'obtenir la dimension de l'ensemble des points de coupure et des points doubles de la courbe SLE, voir le chapitre 5. Dans le chapitre 6, nous définissons la mesure de restriction radiale, prouvons la caractérisation de ces mesures, et montrons la condition nécessaire et suffisante de l'existence des mesures de restriction radiale.

The thesis has for objective to study new statistical methods to correct temperature predictionsthat may be implemented on the ensemble prediction system (EPS) of Meteo France so toimprove its use for the electric system management, at EDF France. The EPS of Meteo Francewe are working on contains 51 members (forecasts by time-step) and gives the temperaturepredictions for 14 days. The thesis contains three parts: in the first one we present the EPSand we implement two statistical methods improving the accuracy or the spread of the EPS andwe introduce criteria for comparing results. In the second part we introduce the extreme valuetheory and the mixture models we use to combine the model we build in the first part withmodels for fitting the distributions tails. In the third part we introduce the quantile regressionas another way of studying the tails of the distribution.

Préfigurant la prochaine grande étape dans le domaine de la navigation, la géolocalisation intra-muros est un domaine de recherche très actif depuis quelques années. Alors que la géolocalisation est entrée dans le quotidien de nombreux professionnels et particuliers avec, notamment, le guidage routier assisté, les besoins d'étendre les applications à l'intérieur se font de plus en plus pressants. Cependant, les systèmes existants se heurtent à des contraintes techniques bien supérieures à celles rencontrées à l'extérieur, la faute, notamment, à la propagation chaotique des ondes électromagnétiques dans les environnements confinés et inhomogènes. Nous proposons dans ce manuscrit une approche statistique du problème de géolocalisation d'un mobile à l'intérieur d'un bâtiment utilisant les ondes WiFi environnantes. Ce manuscrit s'articule autour de deux questions centrales : celle de la détermination des cartes de propagation des ondes WiFi dans un bâtiment donné et celle de la construction d'estimateurs des positions du mobile à l'aide de ces cartes de propagation. Le cadre statistique utilisé dans cette thèse afin de répondre à ces questions est celui des modèles de Markov cachés. Nous proposons notamment, dans un cadre paramétrique, une méthode d'inférence permettant l'estimation en ligne des cartes de propagation, sur la base des informations relevées par le mobile. Dans un cadre non-paramétrique, nous avons étudié la possibilité d'estimer les cartes de propagation considérées comme simple fonction régulière sur l'environnement à géolocaliser. Nos résultats sur l'estimation non paramétrique dans les modèles de Markov cachés permettent d'exhiber un estimateur des fonctions de propagation dont la consistance est établie dans un cadre général. La dernière partie du manuscrit porte sur l'estimation de l'arbre de contextes dans les modèles de Markov cachés à longueur variable.

Les limites d'échelle de grands arbres aléatoires jouent un rôle central dans cette thèse.Nous nous intéressons plus spécifiquement au comportement asymptotique de plusieurs fonctions codant des arbres de Galton-Watson conditionnés. Nous envisageons plusieurs types de conditionnements faisant intervenir différentes quantités telles que le nombre total de sommets ou le nombre total de feuilles, avec des lois de reproductions différentes.Lorsque la loi de reproduction est critique et appartient au domaine d'attraction d'uneloi stable, un phénomène d'universalité se produit : ces arbres ressemblent à un même arbre aléatoire continu, l'arbre de Lévy stable. En revanche, lorsque la criticalité est brisée, la communauté de physique théorique a remarqué que des phénomènes de condensation peuvent survenir, ce qui signifie qu'avec grande probabilité, un sommet de l'arbre a un degré macroscopique comparable à la taille totale de l'arbre. Une partie de cette thèse consiste à mieux comprendre ce phénomène de condensation. Finalement, nous étudions des configurations non croisées aléatoires, obtenues à partir d'un polygône régulier en traçant des diagonales qui ne s'intersectent pas intérieurement, et remarquons qu'elles sont étroitement reliées à des arbres de Galton-Watson conditionnés à avoir un nombre de feuilles fixé. En particulier, ce lien jette un nouveau pont entre les dissections uniformes et les arbres de Galton-Watson, ce qui permet d'obtenir d'intéressantes conséquences de nature combinatoire.

Dans cette thèse, nous étudions la géométrie analytique p-adique et la cohomologie l-adique de certains espaces de Rapoport-Zink, en utilisant la théorie des filtrations de Harder-Narasimhan des schémas en groupes finis et plats élaborée par Fargues.Cette thèse se compose de trois parties. La première partie traite de certains espaces de Rapoport-Zink non-basiques, qui satisfont à la condition que leur polygone de Newton et polygone de Hodge ont un point de contact non-trivial, qui est un point de rupture pour le polygone de Newton. Sous cette hypothèse, nous prouvons que ces espaces de Rapoport-Zink peuvent être décomposés en une somme directe d'espaces de modules des types de Rapoport-Zink associés à certains sous-groupes paraboliques appropriés, donc leurs cohomologie l-adique sont des induites paraboliques et en particulier ne contiennent pas de représentations supercuspidales. Nous prouvons ces faits en démontrant d'abord un théorème sur la filtration de Hodge-Newton pour les groupes p-divisibles avec des structures additionelles sur des anneaux de valuation complets de rang un et de caractéristique mixte (0,p).Dans la deuxième partie, nous considérons les espaces de Rapoport-Zink basiques de signature (1,n-1) pour les groupes unitaires associés à l'extension quadratique non ramifiée de Qp. On étudie l'action de Hecke sur ces espaces en détails. En utilisant la théorie des filtrations de Harder-Narasimhan des schémas en groupes finis et plats, et la stratification de Bruhat-Tits de la fibre spéciale réduite Mred étudié par Vollaard-Wedhorn, on trouve un certain domaine analytique compact DK telle que ses itérés dans le groupe G(Qp)×Jb(Qp) forme un recouvrement localement fini de tout l'espace MK. Nous appelons un tel phénomène une décomposition cellulaire localement finie.Dans la troisième partie, nous démontrons une formule de Lefschetz pour ces espaces pour l'action des éléments semi-simples réguliers elliptiques, en tenant compte de l'action de ces éléments sur les cellules et en appliquant le théorème principal de Mieda. De la même manière, nous pouvons aussi reprouver la formule de Lefschetz pour les espaces de Lubin-Tate précédemment obtenue par Strauch et Mieda. Cette formule de Lefschetz devrait caractériser la réalisation de correspondances de Jacquet-Langlands locales pour les groupes unitaires dans la cohomologie l-adique de ces espaces de Rapoport-Zink, dès que certains problèmes correspondants de théorie des représentations auront été résolus.

Cette thèse porte sur divers aspects de lois et de processus non-gaussiens qui partagent des propriétés de changement d'échelle où intervient l'exposant 2/3. Les deux principaux objets probabilistes que nous allons présenter sont : 1) La loi de Tracy-Widom : C'est la loi limite de la plus grande valeur propre de matrices aléatoires appartenant aux beta-ensembles lorsque leur dimension tend vers l'infini. Dans un travail en commun avec Balint Virag, nous avons établi le comportement asymptotique de la queue droite de cette loi pour tout beta strictement positif, en utilisant des outils d'analyse de diffusions du type Girsanov. 2) Le ''vrai'' processus auto-répulsif (''true self repelling motion'') TSRM : C'est un processus auto-interagissant qui a été introduit par Balint Toth et Wendelin Werner. Nous nous sommes intéressés à des propriétés de cet objet liées à ses trajectoires (grandes déviations, lois du logarithme itéré) et à des calculs explicites de lois marginales (travail en collaboration avec Balint Toth). Cette étude nous a aussi amenés à aborder des questions liées à la théorie des jeux.