Les cancers sont l'une des causes majeures de mortalité dans le monde. Les mécanismes en jeu dans la croissance tumorale sont qualitativement connus, mais on se sait pas à l'heure actuelle prédire précisément quel sera le développement d'une tumeur donnée, ni estimer de façon certaine le protocole thérapeutique optimal pour chaque patient. Il est entendu que la modélisation mathématique pourrait apporter des éléments de réponse à ces questions. Durant cette thèse on s'est alors intéressé à la construction de formalismes mathématiques pour décrire la croissance tumorale et l'action de traitement anti-cancéreux. En particulier, on s'est intéressé à la prise en compte des mécanismes aussi bien moléculaires que cellulaires et tissulaires, par la construction d'un modèle continu, multi-échelles, de croissance de tumeur solide et d'angiogenèse. A partir de ce modèle, nous a pu envisager de façon qualitative un protocole optimal de combinaison entre un anti-angiogénique et une chimiothérapie.Le modèle multi-échelles inclut une représentation mathématique des voies de signalisation du VEGF dont on détaille la construction.Dans une autre approche, on a considéré un modèle discret, cellule-centré, reproduisant le développement de sphéroïdes de cellules épithéliales mammaires telles qu'observées lorsque ces cellules sont cultivées in vitro. On a pu mettre en évidence les différents mécanismes cellulaires impliqués dans la morphogenèse de structures composées de cellules saines, et celles composées de cellules mutées.Ces contributions montrent l'intérêt du formalisme multi-échelles adopté pour intégrer les connaissances et données sous-jacentes à l'étude du traitement des tumeurs.

Dans cette thèse, on étudie les représentations 2-dimensionnelles continues du groupe de Galois absolu d'une clôture algébrique fixée de Q sur les corps finis qui sont modulaires et leurs images. Ce manuscrit se compose de deux parties.Dans la première partie, on étudie un problème local-global pour les courbes elliptiques sur les corps de nombres. Soit E une courbe elliptique sur un corps de nombres K, et soit l un nombre premier. Si E admet une l-isogénie localement sur un ensemble de nombres premiers de densité 1 alors est-ce que E admet une l-isogénie sur K ? L'étude de la repréesentation galoisienne associéee à la l-torsion de E est l'ingrédient essentiel utilisé pour résoudre ce problème. On caractérise complètement les cas où le principe local-global n'est pas vérifié, et on obtient une borne supérieure pour les valeurs possibles de l pour lesquelles ce cas peut se produire.La deuxième partie a un but algorithmique : donner un algorithme pour calculer les images des représentations galoisiennes 2-dimensionnelles sur les corps finis attachées aux formes modulaires. L'un des résultats principaux est que l'algorithme n'utilise que des opérateurs de Hecke jusqu'à la borne de Sturm au niveau donné n dans presque tous les cas. En outre, presque tous les calculs sont effectués en caractéristique positive. On étudie la description locale de la représentation aux nombres premiers divisant le niveau et la caractéristique. En particulier, on obtient une caractérisation précise des formes propres dans l'espace des formes anciennes en caractéristique positive.On étudie aussi le conducteur de la tordue d'une représentation par un caractère et les coefficients de la forme de niveau et poids minimaux associée. L'algorithme est conçu à partir des résultats de Dickson, Khare-Wintenberger et Faber sur la classification, à conjugaison près, des sous-groupes finis de $\PGL_2(\overline{\F}_\ell)$. On caractérise chaque cas en donnant une description et des algorithmes pour le vérifier. En particulier, on donne une nouvelle approche pour les représentations irréductibles avec image projective isomorphe soit au groupe symétrique sur 4 éléments ou au groupe alterné sur 4 ou 5 éléments.

Cette thèse porte sur l'estimation de fonctions à l'aide de tests dans trois cadres statistiques différents. Nous commençons par étudier le problème de l'estimation des intensités de processus de Poisson avec covariables. Nous démontrons un théorème général de sélection de modèles et en déduisons des bornes de risque non-asymptotiques sous des hypothèses variées sur la fonction à estimer. Nous estimons ensuite la densité de transition d'une chaîne de Markov homogène et proposons pour cela deux procédures. La première, basée sur la sélection d'estimateurs constants par morceaux, permet d'établir une inégalité de type oracle sous des hypothèses minimales sur la chaîne de Markov. Nous en déduisons des vitesses de convergence uniformes sur des boules d'espaces de Besov inhomogènes et montrons que l'estimateur est adaptatif par rapport à la régularité de la densité de transition. La performance de l'estimateur est aussi évalué en pratique grâce à des simulations numériques. La seconde procédure peut difficilement être implémenté en pratique mais permet d'obtenir un résultat général de sélection de modèles et d'en déduire des vitesses de convergence sous des hypothèses plus générales sur la densité de transition. Finalement, nous proposons un nouvel estimateur paramétrique d'une densité. Son risque est contrôlé sous des hypothèses pour lesquelles la méthode du maximum de vraisemblance peut ne pas fonctionner. Les simulations montrent que ces deux estimateurs sont très proches lorsque le modèle est vrai et suffisamment régulier. Il est cependant robuste, contrairement à l'estimateur du maximum de vraisemblance.

L'objet de cette thèse est d'étudier la théorie du transport optimal sur un espace de Wiener abstrait. Les résultats qui se trouvent dans quatre principales parties, portent :Sur la convexité de l'entropie relative. On prolongera des résultats connus en dimension finie, sur l'espace de Wiener muni d'une norme uniforme, à savoir que l'entropie relative est (au moins faiblement) 1-convexe le long des géodésiques induites par un transport optimal sur l'espace de Wiener.Sur les mesures à densité logarithmiquement concaves. Le premier des résultats importants consiste à montrer qu'une inégalité de type Harnack est vraie pour le semi-groupe induit par une telle mesure sur l'espace de Wiener. Le second des résultats obtenus nous fournit une inégalité en dimension finie (mais indépendante de la dimension), contrôlant la différence de deux applications de transport optimal.Sur le problème de Monge. On s'intéressera au problème de Monge sur l'espace de Wiener, muni de plusieurs normes : des normes à valeurs finies, ou encore la pseudo-norme de Cameron-Martin.Sur l'équation de Monge-Ampère. Grâce aux inégalités obtenues précédemment, nous serons en mesure de construire des solutions fortes de l'équation de Monge-Ampère (induite par le coût quadratique) sur l'espace de Wiener, sous de faibles hypothèses sur les densités des mesures considérées

Cette thèse porte sur des méthode de résolution d'équations matricielles appliquées à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles ou des problèmes de contrôle linéaire. On s'intéressen en premier lieu à des équations matricielles linéaires. Après avoir donné un aperçu des méthodes classiques employées pour les équations de Sylvester et de Lyapunov, on s'intéresse au cas d'équations linéaires générales de la forme M(X)=C, où M est un opérateur linéaire matriciel. On expose la méthode de GMRES globale qui s'avère particulièrement utile dans le cas où M(X) ne peut s'exprimer comme un polynôme du premier degré en X à coefficients matriciels, ce qui est le cas dans certains problèmes de résolution numérique d'équations aux dérivées partielles. Nous proposons une approche, noté LR-BA-ADI consistant à utiliser un préconditionnement de type ADI qui transforme l'équation de Sylvester en une équation de Stein que nous résolvons par une méthode de Krylox par blocs. Enfin, nous proposons une méthode de type Newton-Krylov par blocs avec préconditionnement ADI pour les équations de Riccati issues de problèmes de contrôle linéaire quadratique. Cette méthode est dérivée de la méthode LR-BA-ADI. Des résultats de convergence et de majoration de l'erreur sont donnés. Dans la seconde partie de ce travail, nous appliquons les méthodes exposées dans la première partie de ce travail à des problèmes d'équations aux dérivées partielles. Nous nous intéressons d'abord à la résolution numérique d'équations couplées de type Burgers évolutives en dimension 2. Ensuite, nous nous intéressons au cas où le domaine borné est choisi quelconque. Nous établissons des résultats théoriques de l'existence de tels interpolants faisant appel à des techniques d'algèbre linéaire.

Dans cette thèse, nous étudions les jeux combinatoires sousdifférentes contraintes. Un jeu combinatoire est un jeu à deux joueurs, sanshasard, avec information complète et fini acyclique. D'abord, nous regardonsles jeux impartiaux en version normale, en particulier les jeux VertexNimet Timber. Puis nous considérons les jeux partisans en version normale, oùnous prouvons des résultats sur les jeux Timbush, Toppling Dominoeset Col. Ensuite, nous examinons ces jeux en version misère, et étudionsles jeux misères modulo l'univers des jeux dicots et modulo l'univers desjeux dead-endings. Enfin, nous parlons du jeu de domination qui, s'il n'estpas combinatoire, peut être étudié en utilisant des outils de théorie des jeuxcombinatoires.

Cette thèse traite de la solution numérique de deux types de problèmes stochastiques. Premièrement, nous nous intéressons aux EDS fortement oscillantes, c'est-à-dire, les systèmes composés de variables ergodiques évoluant rapidement par rapport aux autres. Nous proposons un algorithme basé sur des résultats d'homogénéisation. Il est défini par un schéma d'Euler appliqué aux variables lentes couplé avec un estimateur à pas décroissant pour approcher la limite ergodique des variables rapides. Nous prouvons la convergence forte de l'algorithme et montrons que son erreur normalisée satisfait un résultat du type théorème limite centrale généralisé. Nous proposons également une version extrapolée de l'algorithme ayant une meilleure complexité asymptotique en satisfaisant les mêmes propriétés que la version originale. Ensuite, nous étudions la solution des EDS de type McKean-Vlasov (EDSPR-MKV) associées à la solution de certains problèmes de contrôle sous un environnement formé d'un grand nombre de particules ayant des interactions du type champ-moyen. D'abord, nous présentons un nouvel algorithme, basé sur la méthode de cubature sur l'espace de Wiener, pour approcher faiblement la solution d'une EDS du type McKean-Vlasov. Il est déterministe et peut être paramétré pour atteindre tout ordre de convergence souhaité. Puis, en utilisant ce nouvel algorithme, nous construisons deux schémas pour résoudre les EDSPR-MKV découplées et nous montrons que ces schémas ont des convergences d'ordres un et deux. Enfin, nous considérons le problème de réduction de la complexité de la méthode présentée tout en respectant la vitesse de convergence énoncée.

La théorie classique des formes normales a pour but de simplifier des problèmes compliqués grâce à des changements de coordonnées réguliers pour ne conserver que les caractéristiques dynamiques du système. Plus précisément, on considère un système dynamique que l'on dit "élémentaire", comme par exemple la partie linéaire d'un champ de vecteurs au voisinage d'un point singulier, et on se donne une perturbation de ce système élémentaire. Les formes normales sont alors l'ensemble des représentants de ces perturbations à la conjugaison près d'une transformation régulière. Elles ne sont constituées que des termes qui caractérisent la dynamique du système perturbé et que l'on appelle "résonances". Dans la première partie de la thèse on cherche à comprendre la dynamique locale d'équations différentielles implicites de la forme F(x,y,y')=0, où F est un germe de fonction holomorphe au voisinage d'un point singulier. Pour cela on utilise la relation intime entre les systèmes implicites et les champs liouvilliens. La classification par transformation de contact des équations implicites provient de la classification symplectique des champs liouvilliens. On utilise alors toute la théorie des formes normales pour les champs de vecteurs, dans le cas holomorphe (Brjuno, Siegel, Stolovitch) et dans le cas réel (Sternberg), que l'on adapte pour les champs liouviliens avec des transformations symplectiques. On établit alors des résultats de classification des équations implicites en fonction des invariants dynamiques, ainsi que des conditions d'existence de solutions locales via les formes normales.

Statistical machine learning is a branch of mathematics concerned with developing algorithms for data analysis. This thesis presents new mathematical models and statistical software, and is organized into two parts. In the first part, I present several new algorithms for clustering and segmentation. Clustering and segmentation are a class of techniques that attempt to find structures in data. I discuss the following contributions, with a focus on applications to cancer data from bioinformatics. In the second part, I focus on statistical software contributions which are practical for use in everyday data analysis.

Les instabilités fluides peuvent dégrader le confinement du plasma au sein des tokamaks. Étant données les échelles spatio-temporelles, on choisit les modèles fluides obtenus à partir de la dérivation des modèles cinétiques. On dérive plusieurs modèles hiérarchiques de la MagnétoHydroDynamique (MHD) et en particulier les modèles de la MHD réduite du Current Hole et de l'équilibre de Grad-Shafranov. Une des difficulté de l'ensemble de ces modèles est de respecter l'équation modélisant l'absence de monopôles magnétiques. Pour assurer cette condition en tout point du domaine, le champ magnétique est réécrit avec un potentiel vecteur. L'utilisation de potentiels fait apparaître des équations faisant intervenir des dérivées d'ordre supérieurs. La stratégie numérique développée est l'utilisation de la méthode des éléments finis avec des éléments C1 de Bell. Sur un maillage non structuré, ces éléments ont l'intérêt de présenter une base réduite définir exclusivement avec des variables aux noeuds du maillage. Les modèles de MHD réduite du Current Hole et de Grad-Shafranov ont été résolus avec ces éléments. La résolution du cas test de Grad-Shafranov avec les conditions de bords exactes a permis d'obtenir l'ordre optimale de 5. La résolution du système du Current Hole avec ces éléments, validée par l'obtention du paramètre η1/3, a permis l'observation de développement d'instabilités en dents de scies.