Se estudian las líneas de curvatura de superficies compactas, orientables y conexas del espacio euclidiano. La estrategia consiste en usar las ideas de la Estabilidad Estructural y dar condiciones suficientes para la estabilidad de las líneas de curvatura cuando la superficie se perturba en la topología C3. Para tal efecto se estudia los puntos umbílicos Darbouxiano y sus separatrices, al igual que los ciclos hiperbólicos. La estructura de las líneas principales cerca de estos puntos será establecida, reduciendo su análisis a los puntos hiperbólicos singulares de los campos de Línea en el plano. Con esto se busca crear condiciones para que el conjunto de superficies compactas Σ(a, b, c, d) sea estructuralmente estable y abierto en el sentido C3. / Tesis

El principal objetivo de esta Tesis Doctoral es definir un nuevo concepto, análogo a la diferencia de Minkowski de cuerpos convexos, pero en el contexto de la teoría Lp de Brunn-Minkowski, que sea en cierto sentido “opuesto” a la p-suma de cuerpos convexos, estudiando sus características principales y viendo si cumple propiedades análogas a la diferencia de Minkowski clásica. Otro de los objetivos perseguidos ha sido estudiar la derivabilidad de las quermassintegrales en el parámetro de definición de la familia de cuerpos p-paralelos. Así, comenzamos la memoria estableciendo las nociones básicas que se necesitarán para el posterior desarrollo de los contenidos. A continuación, definimos la p-diferencia de cuerpos convexos de dos formas distintas –como el mayor conjunto que se puede p-sumar a uno de ellos para que quede contenido en el otro y en términos de las funciones soporte de los cuerpos convexos– viendo que, de hecho, son equivalentes. Investigamos la concavidad y la continuidad respecto a la métrica de Hausdorff de esta nueva operación, y definimos el sistema completo de cuerpos p-paralelos, determinando el comportamiento de los p-paralelos interiores para los llamados cuerpos tangenciales. El tercer capítulo está dedicado al ya mencionado estudio de la derivabilidad de las quermassintegrales. En particular, se obtiene que el volumen es siempre derivable en el rango completo de definición del parámetro, mientras que para el resto de quermassintegrales la derivabilidad se tiene sólo en los valores no-negativos del parámetro. En todos los casos de derivabilidad se proporciona una expresión explícita de la derivada del correspondiente funcional. La memoria concluye con el estudio de la frontera de los cuerpos p-paralelos interiores, en el sentido de relacionar los vectores extremos del cuerpo convexo original con los de sus p-paralelos interiores. También se define un nuevo cuerpo convexo, el llamado p-forma, que permite obtener cotas para las quermassintegrales de los cuerpos p-paralelos interiores, así como para la derivada, en los puntos donde ésta existe, de la función soporte respecto al parámetro de definición de dicho sistema completo de cuerpos p-paralelos. La metodología seguida ha sido la usual en un proyecto de investigación en matemáticas: el estudio en profundidad de artículos y textos en Geometría Convexa y Teoría (Lp) de Brunn-Minkowski, con el fin de adquirir la base necesaria para abordar los problemas planteados, un análisis pormenorizado de los resultados ya conocidos, para así establecer los puntos de partida de nuestra investigación, y el desarrollo y creación de nuevas técnicas que permitan resolver los problemas planteados. En conclusión, podríamos decir que se han logrado sobradamente los objetivos marcados. La mayoría de los problemas planteados se ha podido resolver satisfactoriamente (definición y propiedades principales de la p-diferencia en relación con la p-suma; derivabilidad del volumen y las quermassintegrales; uso de los cuerpos p-paralelos interiores como herramienta para la obtención de nuevas desigualdades) y, de hecho, los tres trabajos de investigación a los que esta tesis ha dado lugar así lo demuestran. Creemos además que el contenido de esta Tesis Doctoral va a permitir un mayor desarrollo en la teoría Lp de Brunn-Minkowski, gracias a las nuevas herramientas y técnicas que proporcionan los cuerpos p-paralelos. / The main aim of this Doctoral Thesis is to define a new concept, analogous to the Minkowski difference of convex bodies but in the framework of the Lp-Brunn-Minkowski theory, which can be somehow “opposite” to the p-sum of convex bodies, and to study its main properties. Another goal has been to consider the differentiability of the quermassintegrals in the definition parameter of the family of p-parallel bodies. Thus, we start the dissertation establishing the basic notions that will be needed further on. Next, we define the p-difference of two convex bodies in two possible ways –as the largest set that can be p-added to one of them and keeps the result within the other, and in terms of the support functions of the involved convex bodies– and show that, in fact, they are equivalent. We investigate the concavity and the continuity with respect to the Hausdorff metric of this new operation, and define the full system of p-parallel bodies. The third chapter is devoted to study the already mentioned differentiability of the quermassintegrals. In particular, we obtain that the volume is always differentiable in the full range of definition of the parameter, whereas for the remaining quermassintegrals, differentiability only holds for non-negative values of the parameter. In all cases where there is differentiability, we provide the explicit expression for the derivative of the corresponding functional. We conclude the Thesis studying the boundary of the p-inner parallel bodies, in the sense of relating the extreme normal vectors of the original convex body to the ones of its p-inner sets. We also define a new convex body, the so-called p-form body, which will allow us to get bounds for the quermassintegrals of the p-inner parallel bodies, as well as for the derivative, wherever it exists, of the support function with respect to the definition parameter of such a full system of p-parallel sets. The methodology for the attainment of our objectives has been the usual one for basic research in Mathematics: to study papers and books in Convex Geometry and (Lp-) Brunn-Minkowski theory, in order to achieve the necessary background to address the posed questions; a detailed analysis of the previously known results in order to establish the starting points in our research; and the development of new techniques which allow us to solve the outlined problems. In conclusion, we can say that the raised objectives have been achieved. Most of the problems have been successfully solved (feasible definition and main properties of the p-difference in connection with the p-sum; differentiability of the volume and the quermassintegrals; use of p-inner parallel bodies as a tool in order to obtain new inequalities) and, in fact, this can be seen by the three research works which have arisen from this dissertation. Moreover, we think that the content of this Ph.D. Thesis will be the starting point for a deeper development of the Lp-Brunn-Minkowski theory, because of the new tools and techniques that p-inner parallel bodies provide.

Se estudian los sistemas de dos niveles sin recurrir al espacio de Hilbert el cual es sustituido por el álgebra geométrica del espacio tridimensional (Espacio de Hilbert). En esta descripción los estados son codificados mediante elementos de un ideal izquierdo mínimo del álgebra par de G3, mientras los operadores son codificados mediante la combinación lineal de los vectores del álgebra impar de (Espacio de Hilbert). La dinámica que obedecen estos sistemas está gobernada por la ecuación de “Schrödinger real" ya que el número imaginario (i) es sustituido por el pseudoescalar de (Espacio de Hilbert). Introduciendo los idempotentes primitivos del álgebra geométrica, se generalizan las descripciones previas estando en completo acuerdo con la literatura convencional. Utilizando los axiomas del álgebra geométrica, se demuestra que las relaciones de conmutación canónica que obedecen los operadores de espín son consecuencia de la anticonmutatividad del producto geométrico. / Tesis

Tesis por compendio de publicaciones / It is well known that Takahashi's Theorem [7] characterizes the submanifolds in the Euclidean space whose coordinate functions are eigenfunctions of the Laplacian associated to the same nonzero eigenvalue: they are minimal submanifolds in a hypersphere. Later on, many authors have obtained different extensions of Takahashi's Theorem. One of these extensions is given by Dillen-Pas-Verstraelen in [2]. In that work, the authors study surfaces in the 3-dimensional space whose immersion ψ satisfy Δψ=Aψ+b, where Δ denotes the Laplacian operator, A is a 3x3 real matrix and b is a constant vector. They obtain that the only surfaces satisfying that equation are minimal ones, spheres and circular cylinders. After that different authors have studied this condition in the case of hypersurfaces Mn immersed in pseudo-Euclidean spaces Rn+1 for any index t≥0, and showed that Mn must be an open part of a minimal Rn+1 surfaces, a totally umbilical hypersurface or a standard pseudo-Riemannian product. Recently, that equation has been extended to operators different to the Laplacian one. In fact, Alías and Gürbüz study in [2] hypersurfaces in the Euclidean space Rn+1 whose position vector ψ satisfies Lkψ=Aψ+b, where Lk is the linealized differential operator associated to the mean curvature of order k+1, for k=0, 1,..., n-1 (note that for k=0 we obtain the Laplacian operator). Those authors show that the only hypersurfaces satisfying the above condition are k-minimal hypersurfaces, hyperspheres and generalized cylinders (for appropriate radii and dimensions). In view of that result for operators Lk, we study the same condition but for hypersurfaces immersed in pseudo-Euclidean spaces Rn+1 for any index t≥0, and show (in papers [5] and [6]) that the only hypersurfaces in the pseudo-Euclidean spaces satisfying that condition are k-minimal hypersurfaces, hyperspheres and generalized cylinders (for appropriate radii and dimensions). After solving the problem for hypersurfaces in pseudo-Euclidean spaces, we study the condition Lkψ=Aψ+b for hypersurfaces immersed in pseudo-Riemannian space forms, for arbitrary index t≥0 and nonzero constant curvature. We show (in papers [3] and [4]), that the only hypersurfaces satisfying that condition are k-minimal hypersurfaces, totally umbilical hypersurfaces, standard pseudo-Riemannian products and some quadratic hypersurfaces. In conclusion, the results obtained in this Thesis extend completely to pseudo- Euclidean spaces and pseudo-Riemannian space forms of nonzero constant curvature the results previously obtained in [2]. References [1] L.J. Alías and N. Gürbüz. An extension of Takahashi theorem for the linearized operators of the higher order mean curvatures, Geom. Dedicata 121 (2006), 113-127. [2] F. Dillen, J. Pas and L. Verstraelen. On surfaces of finite type in Euclidean 3-space, Kodai Math. J. 13 (1990), 10-21. [3] P. Lucas and H.F. Ramírez-Ospina. Hypersurfaces in non-flat Lorentzian space forms satisfying Lkψ=Aψ+b , Taiwanese J. Math. 16 (2012), 1173-1203. [4] P. Lucas and H.F. Ramírez-Ospina. Hypersurfaces in non-flat pseudo-Euclidean space form satisfying a linear condition in the linearized operator of a higher order mean curvatures, Taiwanese J. Math. 17 (2013), 15-45. [5] P. Lucas and H.F. Ramírez-Ospina. Hypersurfaces in the Lorentz-Minkowski space satisfying Lkψ=Aψ+b , Geom. Dedicata 153 (2011), 151-175. [6] P. Lucas and H.F. Ramírez-Ospina. Hypersurfaces in pseudo-Euclidean space satisfying a linear condition on the linearized operator of a higher order mean curvatures, Diff. Geom. and its Appl. 13 (2013), 175-189. [7] T. Takahashi. Minimal immersions of Riemannian manifolds, J. Math. Soc. Japan 18 (1966), 380-385.

Esta tesis aborda los sistemas más conocidos de la mecánica clásica de forma unificada. Nuestro objetivo principal es desarrollar un marco de trabajo común para el estudio de perturbaciones, dicha tarea se realiza desde un punto de vista geométrico. Hemos estructurado esta memoria en tres partes: Parte I. Preliminares en Mecánica Clásica y Geometría: En esta primera parte recogemos herramientas que serán usadas a lo largo de nuestro estudio. En el primer capítulo fijamos la notación y se presentan algunos resultados básicos. En el segundo estudiamos el Sistema Extendido de Euler, como un problema de valor inicial paramétrico. Este enfoque permite derivar las principales propiedades de las funciones elípticas. En concreto, las conocidas relaciones cuadráticas entre funciones elípticas y la transformación de Jacobi para el módulo elíptico se obtienen de nuestro análisis. Parte II. Reducción de tipo Hopf de un modelo cuártico: En el tercer capítulo estudiamos una generalización de la fibración de Hopf clásica. Seguiremos la misma metodología que en la fibración de Hopf clásica, pero el cuerpo complejo será reemplazado por cuaternios. En el cuarto capítulo usamos las componentes de la representación cuaterniónica de la aplicación de Hopf para proponer una familia de Hamiltonianos multiparamétrica. Para una elección apropiada de los parámetros y considerando una regularización de la variable independiente, cuando sea necesario, algunos modelos destacados de la mecánica clásica tales como el sistema de Kepler, el flujo geodésico, el oscilador isotrópico de cuatro dimensiones y el sólido rígido libre aparecen como casos particulares. El análisis del modelo cuártico se lleva a cabo a través de una doble reducción. Por un lado, el sistema es geométricamente reducido, este modelo es un ejemplo detallado de reducción singular, en la cual la correspondiente reconstrucción es también proporcionada. Por otro lado, la reducción simpléctica llevada a cabo a través del uso de nuevas coordenadas canónicas es analizada. En concreto, se muestra la relación entre la reducción geométrica y simpléctica y se proporciona la formulación explícita para todos los cambios de variables que son usados. Parte III. Aplicaciones a la dinámica Roto-Orbital: Esta parte está dedicada al estudio de la dinámica de actitud y el movimiento orbital de modelos que aproximan un asteroide o un satélite con una triaxialidad genérica, bajo los efectos de una perturbación gravitacional. Este problema, denominado problema completo de los dos cuerpos, es un sistema dinámico Hamiltoniano no integrable, que requiere el uso de teorías de perturbaciones para su análisis. Dentro del contexto de Poincaré y Arnold, una teoría de perturbación debería ser desarrollada a partir un orden cero integrable y no degenerado. Nosotros exploraremos nuevos candidatos para el orden cero llamados intermediarios. La idea de los intermediarios consiste en definir un sistema integrable simplificado del problema en cuestión. En el quinto capítulo recordamos el concepto de intermediario, presentamos cinco modelos y establecemos una metodología común para su estudio. Es en este contexto donde el marco desarrollado para el modelo polinómico cuártico es completamente explotado. El sistema simplificado incluye parte del potencial donde el acoplamiento roto-orbital esta presente de tal manera, que el sistema definido por el orden cero es integrable. Los capítulos seis y siete aprovechan el marco de trabajo desarrollado en el estudio de dos intermediarios definidos en el capítulo anterior. Se asume que estos intermediarios tienen orbitas circulares y elípticas respectivamente. En el capítulo seis estudiamos equilibrios relativos y bifurcaciones del intermediario circular. Este modelo de intermediario define un flujo Poisson sobre espacio multiparamétrico. En el caso de un cuerpo de rotación lenta, identificamos condiciones bajo las cuales aparecen bifurcaciones de las trayectorias inestables clásicas, siendo dichos escenarios de gran interés en relación a la estabilización y control. Por otro lado, también se pone de manifiesto y se estudia en detalle el papel jugado por la triaxialidad del cuerpo. En el último capítulo la perturbación contiene al radio y como consecuencia las órbitas obtenidas serán de tipo roseta. Este modelo se asocia a dos tipos de aplicaciones, asteroides y satélites, es decir, en nuestra última aplicación consideramos órbitas elípticas en general; también analizamos las condiciones para que este modelo admita circulares. El objetivo de este estudio es encontrar un modelo suficientemente simplificado para ser considerado un orden cero, pero que incorpore parte del efecto perturbativo gravitatorio. Conclusión En esta tesis se aborda una generalización del sistema clásico de Euler, la solución general conecta con las doce funciones elípticas de Jacobi. Usando esta generalización y la fibración tipo Hopf cuaterniónica, se define y estudia en detalle una familia polinómica paramétrica de Hamiltonianos. Sobre dicha familia se llevan a cabo reducciones de tipo geométrico y simpléctico y se muestra que algunos modelos de la mecánica clásica están incluidos para ciertas elecciones de los parámetros. En este sentido, la familia propuesta proporciona un marco de trabajo común para abordar estos modelos clásicos. En las aplicaciones nos centramos en la modelización de problemas roto-orbitales. El modelo completo requiere el desarrollo de teorías perturbativas para obtener soluciones aproximadas. En este trabajo consideramos algunos candidatos para el orden cero. Presentamos un detallado análisis para el caso en el que el satélite presenta rotación lenta. Para cada misión concreta, el valor de los modelos dependerá de las comparaciones con experimentos numéricos. Para el caso de radio no constante aparecen un buen número de técnicas de la mecánica clásica a investigar. En este sentido, el capítulo siete es un primer paso que requiere más investigación. Como ejemplo valga la comparación de nuestro enfoque con la eliminación de la paralaje como punto de partida. Un segundo aspecto es la producción de las correspondientes variables de ángulo-acción. / This thesis addresses some of the very well known systems in classical mechanics in a uniform manner. Our main target is to develop a common framework to deal with perturbations. As such, the structure of this memoir comprises three parts: Part I. Preliminaries on Classical Mechanics and Geometry: In the first part of this memoir we gather some tools that will be used along our study. The first Chapter sets notation and presents some basic results. In the second Chapter we study the extended Euler systems as an initial value problem with parameters. Particular realizations of this system lead to several Lie-Poisson structures. The twelve Jacobi elliptic functions are shown in a unified way. Part II. Hopf Reduction on a Quartic Polynomial Model: In the third Chapter we study a four dimensional generalization of the classical Hopf fibration. We follow the same methodology as in the classical Hopf fibration, but instead of complex numbers the generalization of the classic Hopf map is defined in terms of quaternions. The fourth Chapter uses the components of the quaternionic Hopf map to propose a parametric Hamiltonian function, which is an homogeneous quartic polynomial with six parameters, defining an integrable family of Hamiltonian systems. For suitable choices of the parameters, adding an appropriate regularization when needed, some remarkable classical models such as the Kepler, geodesic flow, 4-D isotropic oscillator and free rigid body systems appear as particular cases. The analysis of the quartic model is performed through a twofold reduction. On the one hand, the system is geometrically reduced. On the other hand, symplectic reduction is examined. Moreover, we show the relation between the geometric reduction and the reduction carried out by the Projective Andoyer variables. Part III. Applications to Roto-Orbital Dynamics: This part is devoted to the study of the attitude dynamics and the orbital motion of models approximating a generic triaxial spacecraft under gravity-gradient torque perturbation. The full problem is a non-integrable Hamiltonian dynamical system. Within the context of Poincaré and Arnold, a perturbation theory should be developed upon an integrable and non-degenerate zero order. We study alternative candidates for the zero order, the intermediaries. The idea of the intermediary is to define a simplified integrable system of the problem at stake. In the fifth Chapter we recall the concept of intermediary, present five of them and we set a common methodology. Sixth and seventh Chapters take advantage of the previous framework considering two intermediary models. Those intermediaries are assumed to be in circular and elliptic orbits respectively. We study relative equilibria and bifurcations of the circular intermediary in chapter six. This intermediary model defines a Poisson flow over a large parameter space. In the case of slow rotational motion we identify conditions under which different bifurcations of the classical unstable trajectories occur, being those scenarios of great interest in relation to stabilization and control purposes. The role played by the triaxiality is also shown. The final chapter examines a body moving in a rosette-like orbit. More precisely we are thinking about two types of applications, namely to artificial satellites or asteroids around a planet. In other words, we consider perturbed elliptic orbits in general; we also investigate conditions for which this model admits the circular ones. This scenario leads to medium orbits rather than to the low type of orbits studied in the preceding chapter. The intention of this study is to analyze a model simply enough to be considered as an alternative zero order, but incorporating partially the effects of the gravity torque perturbation. Conclusions The main conclusion of this Memoire may be summarized as follows. A generalized study of the classical Euler system is presented, connecting its solutions with the twelve Jacobi elliptic functions. Using that and the quaternionic Hopf fibration a quartic homogeneous polynomial parametric family is proposed and studied in detail. Geometric and symplectic reductions are performed in the family. It is shown that, for suitable choices of parameters, several classical mechanical systems arise as family realizations and we provide a common framework to study them. In the application we focus on modeling problems in the roto-orbital dynamics. The full model is a non-integrable problem which requires the development of perturbation theories in order to obtain approximate solutions. Several candidates for the zero order term, on which the whole theory relies, are considered in this context. We analyze the role played by the integrals and the relation with the physical parameters involved. In particular, we present a fairly complete analysis of the case when the satellite has slow rotation. For each mission, the relative value of each model will finally depend on numerical experiments. When the radius is not constant, there is a number of techniques of classical mechanics to be considered and the last chapter is just a preliminary step to do more research. As an example we mention the comparison of our approach with the elimination of the parallax as the starting point. A second aspect could be the production of the corresponding action-angle variables.

En esta exposición se presentan diversos conceptos y propiedades del álgebra conmutativa que están relacionados a conceptos básicos de la geometría algebraica. Un resultado importante, en donde se aprecian objetivamente estas relaciones, es el Teorema de los ceros de Hilbert, para cuya demostración se hace una estructuración de conceptos y propiedades referentes al anillo de polinomios con coeficientes en un campo dado, anillos noetherianos, extensiones algebraicas, etc. siguiendo las terminologías ·y notaciones dadas en [1]:

Las traducciones no presentan resumen.

Recurriendo sólo al concepto de distancia y los números reales, se construye la recta y el plano, y las principales relaciones entre ellos. Luego se generaliza la no coplanaridad, para construir hiperplanos generados por un conjunto discreto de puntos.

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / Los sistemas de tipo gradiente son relevantes como sistemas dinámicos en sí y además sirven como marco teórico para estudiar algoritmos de optimización, en particular algoritmos de descenso. Relacionado con este último aspecto, es natural preguntarse si las órbitas tienen longitud finita y convergen, cuando están en un conjunto acotado. El presente trabajo presenta respuestas a tales preguntas, bajo suposiciones especiales pero no restringidas en la práctica: se adoptará el marco de la geometría o-minimal que permite establecer resultados pertinentes sobre el comportamiento de las órbitas en torno a los puntos críticos. Como se verá a coninuación, una función suave f definible en una estructura o-minimal satisface la llamada desigualdad de Kurdyka-Lojasiewicz: en torno a cualquier valor crítico se acotan los gradientes de f inferiormente por una constante. Dicho resultado se adapta en el caso no suave (siempre gracias a las herramientas de la geometría o~-minimal) y se obtiene una cota análoga válida uniformemente para la norma de los subgradientes de f. A grandes rasgos el resultado de Kurdyka-Lojasiewicz consiste en encontrar una función auxiliar (la función desingularizante) estrictamente monótona y suave, de forma que por una parte el sistema gradiente (o bien subgradiente) inducido por la composición de dicha función con f tiene las mismas órbitas, y por otra parte los gradientes (o subgradientes) de dicha composición están acotados inferiormente por una constante. Este proceso es llamado desingularización de la función f, cuya potencia se aprecia explícitamente mediante la parametrización de las trayectorias a través de los niveles de la función f. Por último existe un resultado similar para multiaplicaciones definibles, donde se desingulariza la coderivada, en un sentido que se determinará más adelante. En este caso el sistema dinámico de estudio ya no es un sistema de tipo gradiente o subgradiente, sino que es un sweeping process. Se muestra que si dicho \textit{sweeping process} proviene de una función definible y continua, entonces mediante la desingularización de su coderivada se recuperan los resultados anteriores. En particular se pondrá en evidencia la relación entre la desingularización del sweeping process y la desingularización de la función f que lo define. / Este trabajo ha sido parcialmente financiado por FONDECYT 1130176

Esta tesis presenta una visión global y prácticamente autocontenida de los avances que se llevaron a cabo en la décadas de los años 1960 y 1970 con respecto al estudio de las estructuras de contacto en variedades diferenciables. Nuestro objetivo principal sería exhibir explícitamente estructuras métricas de contacto en las denominadas variedades de Brieskorn, que surgen como el conjunto de ceros de los llamados polinomios de Brieskorn-Pham intersecado con la esfera unitaria. Para ello comenzaremos desarrollando a grandes rasgos los conceptos relacionados a la geometría simpléctica, la geometría compleja y las variedades de Kähler. Luego realizaremos un esbozo de prueba del teorema de Boothby-Wang, que constituye una generalización de la fibración de Hopf. A continuación presentaremos la construcción de estructuras métricas de contacto, en particular, las denominadas estructuras de Sasaki. El objetivo de ello es obtener estructuras de Sasaki en las variedades de Brieskorn, las cuales exhibiremos en coordenadas a fin de obtener un procedimiento para construirlas en una variedad de Brieskorn arbitraria. Por último, relacionaremos lo estudiado con la fibración de Boothby-Wang para probar que las estructuras construidas pueden ser proyectadas como hipersuperficies en el espacio proyectivo complejo. Debido a la naturaleza de las nociones presentadas, se espera que el lector tenga un conocimiento elemental de la geometría riemanniana. / Tesis