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Marches aléatoires sur Out(Fn) et sous-groupes d'automorphismes de produits libres / Random walks on Out(Fn) and subgroups of automorphism groups of free products

Horbez, Camille 09 December 2014 (has links)
Soit G un groupe dénombrable, qui se scinde en un produit libre de la forme G=G_1*...*G_k*F, où F est un groupe libre de type fini, et les G_i sont librement indécomposables et non isomorphes à Z. Nous montrons que le groupe Out(G) des automorphismes extérieurs de G satisfait l'alternative de Tits, dès lors que chacun des groupes G_i et Out(G_i) la satisfait. Par des méthodes similaires, nous montrons aussi l'alternative suivante pour tout sous-groupe H de Out(F_N), due à Handel et Mosher lorsque H est de type fini : soit H fixe virtuellement la classe de conjugaison d'un facteur libre propre de F_N, soit H contient un automorphisme complètement irréductible. Nos méthodes, géométriques, utilisent l'étude de la dynamique de l'action de certains sous-groupes de Out(G) sur des espaces hyperboliques. Nous décrivons notamment l'adhérence de l'outre-espace de G relatif aux G_i, et le bord de Gromov du complexe (hyperbolique) des scindements cycliques relatifs associé. Nous étudions par ailleurs les marches aléatoires sur Out(F_N). Sous un certain nombre de conditions sur la mesure de probabilité mu, nous montrons que presque toute trajectoire de la marche aléatoire sur (Out(F_N),mu) converge vers un point du bord de Gromov du complexe des facteurs libres de F_N, que nous identifions au bord de Poisson de (Out(F_N),mu). Par ailleurs, nous décrivons l'horofrontière de l'outre-espace. Ceci a des applications à l'étude de la croissance des classes de conjugaison de F_N sous l'effet de produits aléatoires d'automorphismes extérieurs. / Let G be a countable group that splits as a free product of the form G=G_1*...*G_k*F, where F is a finitely generated free group, and the groups G_i are freely indecomposable and not isomorphic to Z. We show that Out(G) satisfies the Tits alternative, as soon as all the groups G_i and Out(G_i) do. Similar techniques also yield another alternative for subgroups H of Out(F_N), due to Handel and Mosher when H is finitely generated, namely: either H virtually fixes the conjugacy class of some proper free factor of F_N, or H contains a fully irreducible automorphism. Our methods are geometric, and require understanding the dynamics of the action of some subgroups of Out(G) on Gromov hyperbolic spaces. In particular, we determine the closure of the outer space of G relative to the G_i's, as well as the Gromov boundary of the (hyperbolic) complex of relative cyclic splittings of G. We also study random walks on Out(F_N). Given a probability measure mu on Out(F_N) (satisfying some conditions), we prove that almost every sample path of the random walk on (Out(F_N),mu) converges to a point of the Gromov boundary of the free factor complex of F_N, which we identify with the Poisson boundary of (Out(F_N),mu). We also describe the horoboundary of outer space, and give applications to growth of conjugacy classes of F_N under random products of outer automorphisms.
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Constructing Grushko and JSJ decompositions : a combinatorial approach / Construction de scindements de Grushko et JSJ : une approche combinatoire

Meda Satish, Suraj Krishna 12 September 2018 (has links)
La classe des graphes de groupes libres à groupes d'arêtes cycliques constitue une source importante d'exemples en théorie géométrique des groupes, en particulier dans le cadre des groupes hyperboliques. Un résultat récent de Wilton montre qu'un tel groupe à un bout et hyperbolique contient un sous-groupe de surface, répondant à une question attribuée à Gromov. Cette thèse est consacrée à l'étude de ces groupes lorsqu'ils se présentent comme des groupes fondamentaux de certains complexes carrés à courbure négative ou nulle. Les complexes carrés en question, appelés graphes tubulaires de graphes, sont obtenus en attachant des tubes (un tube est un produit cartésien d'un cercle avec l'intervalle unitaire) à une collection finie de graphes finis. Le but principal de cette thèse est de construire deux décompositions de base pour les groupes fondamentaux de graphes tubulaires de graphes : leur décomposition de Grushko et leur décomposition JSJ. Dans la première partie de la thèse, nous développons un algorithme en temps polynomial, dont l'entrée est un graphe tubulaire de graphes, et qui produit le scindement de Grushko de son groupe fondamental. Comme application, nous obtenons une version alternative d'un algorithme de Stallings, qui prend un ensemble fini de mots W dans un groupe libre F de rang fini, et décide s'il existe ou non un scindement libre de F relatif à W. Dans la deuxième partie de la thèse, nous développons un algorithme en temps doublement exponentiel, dont l'entrée est un graphe tubulaire de graphes avec un groupe fondamental hyperbolique à un bout, et qui produit le scindement JSJ du groupe fondamental. Nous remarquons qu'il s'agit du premier algorithme sur les scindements JSJ de groupes avec une borne effective sur la complexité de temps. La principale raison de l'efficacité de cet algorithme est que certaines propriétés asymptotiques du groupe, qui déterminent si le groupe se scinde au dessus un sous-groupe cyclique, admettent des caractérisations locales en raison de la structure cubique CAT(0). Comme application de ce résultat, nous obtenons un algorithme en temps doublement exponentiel, dont l'entrée est un groupe libre F de rang fini muni d'un ensemble fini de sous-groupes cycliques W tels que F est librement indécomposable relatif à W, et qui produit le scindement JSJ de F relativement à W. Une conséquence des résultats ci-dessus est que le problème d'isomorphisme pour les groupes considérés se réduit à l'algorithme de Whitehead. / The class of graphs of free groups with cyclic edge groups constitutes an important source of examples in geometric group theory, particularly of hyperbolic groups. A recent result of Wilton shows that any such group which is one-ended and hyperbolic contains a surface subgroup, answering a question attributed to Gromov. This thesis is devoted to the study of these groups when they arise as fundamental groups of certain nonpositively curved square complexes. The square complexes in question, called tubular graphs of graphs, are obtained by attaching tubes (a tube is a Cartesian product of a circle with the unit interval) to a finite collection of finite graphs. The main goal of this thesis is to construct two fundamental decompositions, the Grushko decomposition and the JSJ decomposition, of the fundamental groups of tubular graphs of graphs. In the first part of the thesis we develop an algorithm of polynomial time-complexity that takes a tubular graph of graphs as input and returns the Grushko decomposition of its fundamental group. As an application, we obtain an alternative version of an algorithm of Stallings, which takes a finite set of words W in a finite rank free group F as input, and decides whether or not there exists a free splitting of F relative to W. In the second part of the thesis we develop an algorithm of double exponential time-complexity that takes a tubular graph of graphs with one-ended hyperbolic fundamental group as input and returns the JSJ decomposition of the fundamental group. We remark that this is the first algorithm on JSJ decompositions of groups with an effective bound on the time-complexity. The main reason for the efficiency of this algorithm is that certain asymptotic properties of the group, which determine whether the group splits over a cyclic subgroup, admit local characterisations due to the CAT(0) cubical structure of these groups. As an application of this result, we obtain an algorithm of double exponential time-complexity that takes a finite rank free group F and a finite set of maximal cyclic subgroups W such that F is freely indecomposable relative to W as input and returns the relative JSJ decomposition of F relative to W. A consequence of the above results is that the isomorphism problem for the groups under consideration is reduced to the Whitehead algorithm.
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Quasi-isometric rigidity of a product of lattices, and coarse geometry of non-transitive graphs

Oh, Josiah 10 August 2022 (has links)
No description available.
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Properties of groups acting on Twin-Trees and Chabauty space

Kelvey, Robert J., Kelvey 30 November 2016 (has links)
No description available.
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Hyperbolicité et bouts des graphes de Schreier / Hyperbolicity and ends of Schreier graphs

Vonseel, Audrey 26 September 2017 (has links)
Cette thèse est consacrée à l'étude de la topologie à l'infini d'espaces généralisant les graphes de Schreier. Plus précisément, on considère le quotient X/H d'un espace métrique géodésique propre hyperbolique X par un groupe quasi-convexe-cocompact H d'isométries de X. On montre que ce quotient est un espace hyperbolique. Le résultat principal de cette thèse indique que le nombre de bouts de l'espace quotient X/H est déterminé par les classes d'équivalence sur une sphère de rayon explicitement calculable. Dans le cadre de la théorie des groupes, on montre que l'on peut construire explicitement des groupes et des sous-groupes pour lesquels il n'existe pas d'algorithme permettant de déterminer le nombre de bouts relatifs. Si le sous-groupe est quasi-convexe, on donne un algorithme permettant de calculer le nombre de bouts relatifs. / This thesis is devoted to the study of the topology at infinity of spaces generalizing Schreier graphs. More precisely, we consider the quotient X/H of a geodesic proper hyperbolic metric space X by a quasiconvex-cocompact group H of isometries of X. We show that this quotient is a hyperbolic space. The main result of the thesis indicates that the number of ends of the quotient space X/H is determined by equivalence classes on a sphere of computable radius. In the context of group theory, we show that one can construct explicitly groups and subgroups for which there are no algorithm to determine the number of relative ends. If the subgroup is quasiconvex, we give an algorithm to compute the number of relative ends.
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l<sup>p</sup>-Kohomologie, insbesondere Verschwindungssätze für l<sup>p</sup>-Kohomologie / l<sup>p</sup>-cohomology, in particular vanishing theorems for l<sup>p</sup>-cohomology

Kappos, Elias 10 July 2007 (has links)
No description available.
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Rough Isometries of Order Lattices and Groups / Grobe Isometrien von Ordnungsverbänden und Gruppen

Lochmann, Andreas 06 August 2009 (has links)
No description available.
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Large scale geometry and isometric affine actions on Banach spaces / Géométrie à grande échelle et actions isométriques affines sur des espaces de Banach

Arnt, Sylvain 04 July 2014 (has links)
Dans le premier chapitre, nous définissons la notion d’espaces à partitions pondérées qui généralise la structure d’espaces à murs mesurés et qui fournit un cadre géométrique à l’étude des actions isométriques affines sur des espaces de Banach pour les groupes localement compacts à base dénombrable. Dans un premier temps, nous caractérisons les actions isométriques affines propres sur des espaces de Banach en termes d’actions propres par automorphismes sur des espaces à partitions pondérées. Puis, nous nous intéressons aux structures de partitions pondérées naturelles pour les actions de certaines constructions de groupes : somme directe ; produit semi-directe ; produit en couronne et produit libre. Nous établissons ainsi des résultats de stabilité de la propriété PLp par ces constructions. Notamment, nous généralisons un résultat de Cornulier, Stalder et Valette de la façon suivante : le produit en couronne d’un groupe ayant la propriété PLp par un groupe ayant la propriété de Haagerup possède la propriété PLp. Dans le deuxième chapitre, nous nous intéressons aux espaces métriques quasi-médians - une généralisation des espaces hyperboliques à la Gromov et des espaces médians - et à leurs propriétés. Après l’étude de quelques exemples, nous démontrons qu’un espace δ-médian est δ′-médian pour tout δ′ ≥ δ. Ce résultat nous permet par la suite d’établir la stabilité par produit directe et par produit libre d’espaces métriques - notion que nous développons par la même occasion. Le troisième chapitre est consacré à la définition et l’étude d’une distance propre, invariante à gauche et qui engendre la topologie explicite sur les groupes localement compacts, compactement engendrés. Après avoir montré les propriétés précédentes, nous prouvons que cette distance est quasi-isométrique à la distance des mots sur le groupe et que la croissance du volume des boules est contrôlée exponentiellement. / In the first chapter, we define the notion of spaces with labelled partitions which generalizes the structure of spaces with measured walls : it provides a geometric setting to study isometric affine actions on Banach spaces of second countable locally compact groups. First, we characterise isometric affine actions on Banach spaces in terms of proper actions by automorphisms on spaces with labelled partitions. Then, we focus on natural structures of labelled partitions for actions of some group constructions : direct sum ; semi-direct product ; wreath product and free product. We establish stability results for property PLp by these constructions. Especially, we generalize a result of Cornulier, Stalder and Valette in the following way : the wreath product of a group having property PLp by a Haagerup group has property PLp. In the second chapter, we focus on the notion of quasi-median metric spaces - a generalization of both Gromov hyperbolic spaces and median spaces - and its properties. After the study of some examples, we show that a δ-median space is δ′-median for all δ′ ≥ δ. This result gives us a way to establish the stability of the quasi-median property by direct product and by free product of metric spaces - notion that we develop at the same time. The third chapter is devoted to the definition and the study of an explicit proper, left-invariant metric which generates the topology on locally compact, compactly generated groups. Having showed these properties, we prove that this metric is quasi-isometric to the word metric and that the volume growth of the balls is exponentially controlled.
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Cubical-like geometry of quasi-median graphs and applications to geometric group theory / Géométrie cubique des graphes quasi-médians et applications à la théorie géométrique des groupes

Genevois, Anthony 01 December 2017 (has links)
La classe des graphes quasi-médians est une généralisation des graphes médians, ou de manière équivalente, des complexes cubiques CAT(0). L'objectif de cette thèse est d'introduire ces graphes dans le monde de la théorie géométrique des groupes. Dans un premier temps, nous étendons la notion d'hyperplan définie dans les complexes cubiques CAT(0), et nous montrons que la géométrie d'un graphe quasi-médian se réduit essentiellement à la combinatoire de ses hyperplans. Dans la deuxième partie de notre texte, qui est le cœur de la thèse, nous exploitons la structure particulière des hyperplans pour démontrer des résultats de combinaison. L'idée principale est que si un groupe agit d'une bonne manière sur un graphe quasi-médian de sorte que les stabilisateurs de cliques satisfont une certaine propriété P de courbure négative ou nulle, alors le groupe tout entier doit satisfaire P également. Les propriétés que nous considérons incluent : l'hyperbolicité (éventuellement relative), les compressions lp (équivariantes), la géométrie CAT(0) et la géométrie cubique. Finalement, la troisième et dernière partie de la thèse est consacrée à l'application des critères généraux démontrés précédemment à certaines classes de groupes particulières, incluant les produits graphés, les groupes de diagrammes introduits par Guba et Sapir, certains produits en couronne, et certains graphes de groupes. Les produits graphés constituent notre application la plus naturelle, où le lien entre le groupe et son graphe quasi-médian associé est particulièrement fort et explicite; en particulier, nous sommes capables de déterminer précisément quand un produit graphé est relativement hyperbolique. / The class of quasi-median graphs is a generalisation of median graphs, or equivalently of CAT(0) cube complexes. The purpose of this thesis is to introduce these graphs in geometric group theory. In the first part of our work, we extend the definition of hyperplanes from CAT(0) cube complexes, and we show that the geometry of a quasi-median graph essentially reduces to the combinatorics of its hyperplanes. In the second part, we exploit the specific structure of the hyperplanes to state combination results. The main idea is that if a group acts in a suitable way on a quasi-median graph so that clique-stabilisers satisfy some non-positively curved property P, then the whole group must satisfy P as well. The properties we are interested in are mainly (relative) hyperbolicity, (equivariant) lp-compressions, CAT(0)-ness and cubicality. In the third part, we apply our general criteria to several classes of groups, including graph products, Guba and Sapir's diagram products, some wreath products, and some graphs of groups. Graph products are our most natural examples, where the link between the group and its quasi-median graph is particularly strong and explicit; in particular, we are able to determine precisely when a graph product is relatively hyperbolic.

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