L'étude des cycles, flots et chemins des graphes est intimement liée au développement de l'optimisation combinatoire. Dans l'introduction nous mettons en parallèle ces concepts à partir de résultats classiques, et les deux autres parties de la thèse développent les nouveaux résultats dans deux directions différentes. La première porte sur les problèmes d'existence de multiflots entiers. Plusieurs paramètres naturels s'appliquent à ces problèmes, générant plus d'une centaine de cas. Après un rappel des résultats de la littérature sous une forme synthétique, nous résolvons plusieurs problèmes ouverts. En particulier, nous montrons que trouver deux flots disjoints dans les graphes planaires est un problème NP-complet. Nous donnons aussi un algorithme polynomial pour router les digraphes planaires acycliques eulériens, lorsque le nombre de classes d'arcs de demande est fixé. Ensuite, nous nous intéressons au problème consistant à trouver une plus courte marche fermée passant par tous les sommets d'un graphe. Spéciquement, nous cherchons à caractériser les graphes pour lesquels une bonne caractérisation est donnée par des empilements d'ensembles éclatants. Nous présentons quelques résultats de nature polyédrale, puis étudions le cas des cographes et des graphes d'intervalles.

Cette thèse traite de la coloration de graphe, de la coloration par liste,d'ensembles indépendants de poids maximum et de la théorie structurelle des graphes.Dans un premier temps, nous fournissons un algorithme s'exécutant en temps polynomial pour le problème de la 4-coloration dans des sous-classes de graphe sans $P_6$. Ces algorithmes se basent sur une compréhension précise de la structure de ces classes de graphes, pour laquelle nous donnons une description complète.Deuxièmement, nous étudions une conjecture portant sur la coloration par liste et prouvons que pour tout graphe parfait sans griffe dont la taille de la plus grande clique est bornée par 4, le nombre chromatique est égal au nombre chromatique par liste. Ce résultat est obtenu en utilisant un théorème de décomposition des graphes parfaits sans griffe, une description structurelle des graphes de base de cette décomposition et le célèbre théorème de Galvin.Ensuite, en utilisant la description structurelle élaborée dans le premier chapitre et en renforçant certains aspects de celle-ci, nous fournissons un algorithme s'exécutant en temps polynomial pour le problème d'indépendant de poids maximum dans des sous-classes de graphe sans $P_6$ et sans $P_7$. Dans le dernier chapitre de ce manuscrit, nous infirmons une conjecture datant de 1999 de De Simone et K"orner sur les graphes normaux. Notre preuve est probabiliste et est obtenue en utilisant les graphes aléatoires. / This thesis deals with graph coloring, list-coloring, maximum weightstable set (shortened as MWSS) and structural graph theory.First, we provide polynomial-time algorithms for the 4-coloring problem insubclasses of $P_6$-free graphs. These algorithms rely on a preciseunderstanding of the structure of these classes of graphs for which we give afull description.Secondly, we study the list-coloring conjecture and prove that for anyclaw-free perfect graph with clique number bounded by 4, the chromatic numberand the choice number are equal. This result is obtained by using adecomposition theorem for claw-free perfect graphs, a structural description ofthe basic graphs of this decomposition and by using Galvin's famous theorem.Next by using the structural description given in the first chapter andstrengthening other aspects of this structure, we provide polynomial-timealgorithms for the MWSS problem in subclasses of $P_6$-free and $P_7$-freegraphs.In the last chapter of the manuscript, we disprove a conjecture of De Simoneand K"orner made in 1999 related to normal graphs. Our proof is probabilisticand is obtained by the use of random graphs.

La classe des graphes sans P5, c'est-à-dire des graphes ne contenant pas de chaîne induite à cinq sommets, est d'un intérêt particulier en théorie des graphes. Il s'agit en effet de la plus petite classe définie par un seul sous-graphe connexe interdit pour laquelle on ignore encore s'il existe un algorithme polynomial permettant de résoudre le problème du stable maximum. Or ce problème, dont on sait qu'il est difficile en général, est d'une grande importance en pratique (problèmes de planification, d'allocation de registres dans un processeur, biologie moléculaire...). Dans cette thèse, nous commençons par dresser un état de l'art complet des méthodes utilisées pour résoudre le problème dans des sous-classes de graphes sans P5, puis nous étudions et résolvons ce problème dans une sous-classe particulière, la classe des graphes sans P5 3-colorables. Nous apportons également des solutions aux problèmes de la reconnaissance et de la coloration de ces graphes, chaque fois en temps linéaire. Enfin, nous définissons, caractérisons et sommes capables de reconnaître les graphes "chain-probe", qui sont les graphes auxquels il est possible de rajouter des arêtes entre certains sommets de sorte qu'ils soient bipartis et sans P5. Les problèmes de ce type proviennent de la génétique et ont également des applications en intelligence artificielle. / The class of P5-free graphs, namely the graphs without induced chains with five vertices, is of particular interest in graph theory. Indeed, it is the smallest class defined by only one forbidden connected induced subgraph for which the complexity of the Maximum Independent Set problem is unknown. This problem has many applications in planning, CPU register allocation, molecular biology... In this thesis, we first give a complete state of art of the methods used to solve the problem in P5-free graphs subclasses; then we study and solve this problem in a particular subclass, the class of 3-colorable P5-free graphs. We also bring solutions to recognition and coloring problems of these graphs, each time in linear time. Finally, we define, characterize, and are able to recognize "chain-probe" graphs, namely the graphs for which we can add edges between particular vertices such that the resulting graph is bipartite and P5-free. Problems of this type come from genetics and have application in I.A.

Nous étudions le problème de maintenir une distribution donnée de graphes aléatoires après une séquence arbitraire d’insertions et de suppressions de sommets. Dans l’objectif de modéliser l’évolution de réseaux logiques dynamiques,nous travaillons dans un modèle local où l’accès à la liste des sommets est restreint. À la place, nous faisons l’hypothèse d’un accès à une primitive globale qui retourne un sommet aléatoire, choisi uniformément dans l’ensemble total des sommets. Le problème de maintenance a été exploré sur plusieurs modèles simples de graphes aléatoires (graphes d’Erdos–Rényi, graphes basés sur le modèle par paires, graphes k-sortants uniformes). Pour chacun des modèles, un ou plusieurs algorithmes pour la tâche de maintenance ont été décris et analysés ; les plus élaborés de ces algorithmes sont asymptotiquement optimaux. Le problème de maintenance soulève plusieurs problèmes de simulation liés à notre contexte distribué. Nous nous sommes intéressé en particulier à la maintenabilité de distributions de graphes et à la simulabilité de familles de distributions de probabilité sur les entiers, dans le modèle d’aléa présenté.Une attention particulière a été portée sur la simulation efficace de lois spécifiques nous intéressant (certaines lois binomiales). Cette dernière a pu être obtenue en exploitant les propriétés d’un nouvel arbre de génération pour les permutations, que nous avons introduit. / We study the problem of maintaining a given distribution of randomgraphs under an arbitrary sequence of vertex insertions and deletions. Keeping inmind our objective to model the evolution of dynamic logical networks, we work ina local model where we do not have direct access to the list of all vertices. Instead,we assume access to a global primitive that returns a random vertex, chosen uniformlyfrom the whole vertex set. The maintenance problem has been explored onseveral simple random graph models (Erdos–Rényi random graphs, pairing modelbased random graphs, uniform k-out graphs). For each model, one or several updatealgorithms for the maintenance task have been described and analyzed ; the mostelaborate of them are asymptically optimal. The maintenance task rise several simulationissues linked to our distributed context. In particular, we have focused onmaintenability of random graph distributions and simulability of families of probabilitydistributions over integers in our local random model. Special attention hasbeen paid to efficient simulation of particular distributions we were interested in(certain binomial distributions). The latter has been obtained through the use ofproperties of a new generation tree for permutations, which has been introducedalong the way

Cette thèse propose de nouveaux outils adaptés à l'analyse des réseaux : sociaux, de transport, de neurones, de protéines, de télécommunications... Ces réseaux, avec l'essor de certaines technologies électroniques, informatiques et mobiles, sont de plus en plus mesurables et mesurés ; la demande d'outils d'analyse assez génériques pour s'appliquer à ces réseaux de natures différentes, assez puissants pour gérer leur grande taille et assez pertinents pour en extraire l'information utile, augmente en conséquence. Pour répondre à cette demande, une grande communauté de chercheurs de différents horizons scientifiques concentre ses efforts sur l'analyse des graphes, des outils mathématiques modélisant la structure relationnelle des objets d'un réseau. Parmi les directions de recherche envisagées, le traitement du signal sur graphe apporte un éclairage prometteur sur la question : le signal n'est plus défini comme en traitement du signal classique sur une topologie régulière à n dimensions, mais sur une topologie particulière définie par le graphe. Appliquer ces idées nouvelles aux problématiques concrètes d'analyse d'un réseau, c'est ouvrir la voie à une analyse solidement fondée sur la théorie du signal. C'est précisément autour de cette frontière entre traitement du signal et science des réseaux que s'articule cette thèse, comme l'illustrent ses deux principales contributions. D'abord, une version multiéchelle de détection de communautés dans un réseau est introduite, basée sur la définition récente des ondelettes sur graphe. Puis, inspirée du concept classique de bootstrap, une méthode de rééchantillonnage de graphes est proposée à des fins d'estimation statistique. / This thesis describes new tools specifically designed for the analysis of networks such as social, transportation, neuronal, protein, communication networks... These networks, along with the rapid expansion of electronic, IT and mobile technologies are increasingly monitored and measured. Adapted tools of analysis are therefore very much in demand, which need to be universal, powerful, and precise enough to be able to extract useful information from very different possibly large networks. To this end, a large community of researchers from various disciplines have concentrated their efforts on the analysis of graphs, well define mathematical tools modeling the interconnected structure of networks. Among all the considered directions of research, graph signal processing brings a new and promising vision : a signal is no longer defined on a regular n-dimensional topology, but on a particular topology defined by the graph. To apply these new ideas on the practical problems of network analysis paves the way to an analysis firmly rooted in signal processing theory. It is precisely this frontier between signal processing and network science that we explore throughout this thesis, as shown by two of its major contributions. Firstly, a multiscale version of community detection in networks is proposed, based on the recent definition of graph wavelets. Then, a network-adapted bootstrap method is introduced, that enables statistical estimation based on carefully designed graph resampling schemes.

Le problème de placement sur deux dimensions consiste à décider s’il existe un rangement d’objets rectangulaires dans une boîte donnée. C’est un problème combinatoire difficile (à la complexité du respect des capacités s’ajoute celle du positionnement des objets).Dans cette thèse, nous considérons les variantes sans rotation des objets et avec ou sansoptimisation de la valeur des objects placés.Nous menons une étude exploratoire des méthodologies qui peuvent être développéesà l’interface de la programmation mathématique, de l’optimisation combinatoire et de lathéorie des graphes. Notre objectif est aussi de développer des approches non basées surune discrétisation de la boîte, les plus performantes à l’heure actuelle.Dans ce mémoire, nous effectuons d’abord une étude théorique des qualités de bornesqui peuvent être obtenues avec les différentes formulations classiques. Au cours de cetteétude, nous renforçons certaines de ces formulations et en proposons de nouvelles formulations. Une étude qualitative des bornes issues de la relaxation linéaire des formulationstestés sur des jeux d’instances classiques de la littérature confirme l’étude théorique. Cetteétude permet de se rendre compte des facteurs déterminant la qualité des bornes et desenjeux à relever par la programmation mathématique.Par la suite, nous avons développé et testé deux approches de résolution innovantes.L’une est basée sur la décomposition de Dantzig-Wolfe associée à un branchement surles contraintes disjonctives de non recouvrement des objets. Cette approche a permis uneamélioration des résultats obtenus par la programmation mathématique.L’autre approche constitue en une approche combinatoire basée sur diverses caractérisations des graphes d’intervalles (modélisant le chevauchement des objets selon leurprojection sur chaque axe). Un premier algorithme est basé sur l’énumération de matricesde uns-consécutifs. Un autre utilise des arbres étiquetés pour éliminer plus efficacement lescas de symétries entre placements. Ces approches ont l’avantage de ne pas dépendre d’unediscrétisation du conteneur / The two dimensional orthogonal packing problem consists in deciding whether thereexists a packing of rectangular items in a given bin. This is a hard combinatorial problem(in addition to capacity constraints, one has to face the complexity of item positionning).In this thesis, we consider the case without item rotation and with or without packingvalue optimization.We explore methodologies at the interface of mathematical programming, combinatorial optimization and graph theory. Our aim is also to develop approaches not based on abin discretization (i.e. an alternative to such methods that are currently the most effective).In this work, we perform a theorical study of the quality of bounds of differents classicalformulations. We tighten some formulations and we propose new formulations. We perform a numerical study to test bound quality on classical instances. This study permits toidentify the determinant factor in the quality of mathematical programming formulations.We develop and test two resolution approaches. The first is based on Dantzig-Wolfedecomposition associated with a branching on no-overlapping disjunctive constraints. Thisapproach permits to improve results obtained by mathematical programming.The second approach establish a combinatorial approach based on multiple intervalgraph caracterization (modelling the item no-overlapping according to their projection oneach axis). The first algorithm is based on consecutive ones matrices enumeration. An otheruse labelled tree to eliminate more efficiently symmetry in packing. These approaches haveto advantage of being independent from bin discretization

Dans cette thèse, nous étudions les aspects structurels et algorithmiques de différents problèmes de théorie des graphes. Rappelons qu’un graphe est un ensemble de sommets éventuellement reliés par des arêtes. Deux sommets sont adjacents s’ils sont reliés par une arête.<p>Tout d’abord, nous considérons les deux problèmes suivants :le problème de vertex cover et celui de dominating set, deux cas particuliers du problème de hitting set. Un vertex cover est un ensemble de sommets qui rencontrent toutes les arêtes alors qu’un dominating set est un ensemble X de sommets tel que chaque sommet n’appartenant pas à X est adjacent à un sommet de X. La version connexe de ces problèmes demande que les sommets choisis forment un sous-graphe connexe. Pour les deux problèmes précédents, nous examinons le prix de la connexité, défini comme étant le rapport entre la taille minimum d’un ensemble répondant à la version connexe du problème et celle d’un ensemble du problème originel. Nous prouvons la difficulté du calcul du prix de la connexité d’un graphe. Cependant, lorsqu’on exige que le prix de la connexité d’un graphe ainsi que de tous ses sous-graphes induits soit borné par une constante fixée, la situation change complètement. En effet, pour les problèmes de vertex cover et de dominating set, nous avons pu caractériser ces classes de graphes pour de petites constantes.<p>Ensuite, nous caractérisons en termes de dominating sets connexes les graphes Pk- free, graphes n’ayant pas de sous-graphes induits isomorphes à un chemin sur k sommets. Beaucoup de problèmes sur les graphes sont étudiés lorsqu’ils sont restreints à cette classe de graphes. De plus, nous appliquons cette caractérisation à la 2-coloration dans les hypergraphes. Pour certains hypergraphes, nous prouvons que ce problème peut être résolu en temps polynomial.<p>Finalement, nous travaillons sur le problème de Pk-hitting set. Un Pk-hitting set est un ensemble de sommets qui rencontrent tous les chemins sur k sommets. Nous développons un algorithme d’approximation avec un facteur de performance de 3. Notre algorithme, basé sur la méthode primal-dual, fournit un Pk-hitting set dont la taille est au plus 3 fois la taille minimum d’un Pk-hitting set. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Dans cette thèse nous étudions quatre problèmes de théorie des graphes. En particulier,Nous étudions le problème du cycle hamiltonien dans les line graphes, et aussi nous prouvons l’existence de cycles hamiltoniens dans certains sous graphes couvrants d’un line graphe. Notre résultat principal est: Si L(G) est hamiltonien, alors SL(G) est hamiltonien. Grâce à ce résultat nous proposons une conjecture équivalente à des conjectures célèbres. Et nous obtenons deux résultats sur les cycles hamiltoniens disjoints dans les line graphes.Nous considérons alors la bipancyclicité résistante aux pannes des graphes de Cayley engendrés par transposition d’arbres. Nous prouvons que de tels graphes de Cayley excepté le “star graph” ont une bipancyclicité (n − 3)-arête résistante aux pannes.Ensuite nous introduisons la coloration des arcs d’un digraphe sommet distinguant. Nous étudions la relation entre cette notion et la coloration d’arêtes sommet distinguant dans les graphes non orientés. Nous obtenons quelques résultats sur le nombre arc chromatique des graphes orientés (semi-)sommet-distinguant et proposons une conjecture sur ce paramètre. Pour vérifier cette conjecture nous étudions la coloration des arcs d’un digraphe sommet distinguant des graphes orientés réguliers.Finalement nous introduisons la coloration acyclique des arcs d’un graphe orienté. Nous calculons le nombre chromatique acyclique des arcs de quelques familles de graphes orientés et proposons une conjecture sur ce paramètre. Nous considérons les graphes orientés de grande maille et utilisons le Lemme Local de Lovász; d’autre part nous considérons les graphes orientés réguliers aléatoires. Nous prouvons que ces deux classes de graphes vérifient la conjecture. / In this thesis, we study four problems in graph theory, the Hamiltonian cycle problem in line graphs, the edge-fault-tolerant bipancyclicity of Cayley graphs generated by transposition trees, the vertex-distinguishing arc colorings in digraph- s and the acyclic arc coloring in digraphs. The first two problems are the classic problem on the cycles in graphs. And the other two arc coloring problems are related to the modern graph theory, in which we use some probabilistic methods. In particular,We first study the Hamiltonian cycle problem in line graphs and find the Hamiltonian cycles in some spanning subgraphs of line graphs SL(G). We prove that: if L(G) is Hamiltonian, then SL(G) is Hamiltonian. Due to this, we propose a conjecture, which is equivalent to some well-known conjectures. And we get two results about the edge-disjoint Hamiltonian cycles in line graphs.Then, we consider the edge-fault-tolerant bipancyclicity of Cayley graphs generated by transposition trees. And we prove that the Cayley graph generated by transposition tree is (n − 3)-edge-fault-tolerant bipancyclic if it is not a star graph.Later, we introduce the vertex-distinguishing arc coloring in digraphs. We study the relationship between the vertex-distinguishing edge coloring in undirected graphs and the vertex-distinguishing arc coloring in digraphs. And we get some results on the (semi-) vertex-distinguishing arc chromatic number for digraphs and also propose a conjecture about it. To verify the conjecture we study the vertex-distinguishing arc coloring for regular digraphs.Finally, we introduce the acyclic arc coloring in digraphs. We calculate the acyclic arc chromatic number for some digraph families and propose a conjecture on the acyclic arc chromatic number. Then we consider the digraphs with high girth by using the Lovász Local Lemma and we also consider the random regular digraphs. And the results of the digraphs with high girth and the random regular digraphs verify the conjecture.

Dans cette thèse, nous étudions les graphes aléatoires en utilisant des outils de la théorie des matrices aléatoires et l’analyse probabilistique afin de résoudre des problèmes clefs dans le domaine des réseaux complexes et Big Data. Le premier problème qu’on considère est de détecter un sous graphe Erdős–Rényi G(m,p) plante dans un graphe Erdős–Rényi G(n,q). Nous dérivons les distributions d’une statistique basée sur les propriétés spectrales d’une matrice définie du graphe. Ensuite, nous considérons le problème de la récupération des sommets du sous graphe en présence de l’information supplémentaire. Pour cela nous utilisons l’algorithme «Belief Propagation». Le BP sans informations supplémentaires ne réussit à la récupération qu’avec un SNR effectif lambda au-delà d’un seuil. Nous prouvons qu’en présence des informations supplémentaires, ce seuil disparaît et le BP réussi pour n’importe quel lambda. Finalement, nous dérivons des expressions asymptotiques pour PageRank sur une classe de graphes aléatoires non dirigés appelés « fast expanders », en utilisant des techniques théoriques à la matrice aléatoire. Nous montrons que PageRank peut être approché pour les grandes tailles du graphe comme une combinaison convexe du vecteur de dégré normalisé et le vecteur de personnalisation du PageRank, lorsque le vecteur de personnalisation est suffisamment délocalisé. Par la suite, nous caractérisons les formes asymptotiques de PageRank sur le Stochastic Block Model (SBM) et montrons qu’il contient un terme de correction qui est fonction de la structure de la communauté. / In this thesis, we study random graphs using tools from Random Matrix Theory and probability to tackle key problems in complex networks and Big Data. First we study graph anomaly detection. Consider an Erdős-Rényi (ER) graph with edge probability q and size n containing a planted subgraph of size m and probability p. We derive a statistical test based on the eigenvalue and eigenvector properties of a suitably defined matrix to detect the planted subgraph. We analyze the distribution of the derived test statistic using Random Matrix Theoretic techniques. Next, we consider subgraph recovery in this model in the presence of side-information. We analyse the effect of side-information on the detectability threshold of Belief Propagation (BP) applied to the above problem. We show that BP correctly recovers the subgraph even with noisy side-information for any positive value of an effective SNR parameter. This is in contrast to BP without side-information which requires the SNR to be above a certain threshold. Finally, we study the asymptotic behaviour of PageRank on a class of undirected random graphs called fast expanders, using Random Matrix Theoretic techniques. We show that PageRank can be approximated for large graph sizes as a convex combination of the normalized degree vector and the personalization vector of the PageRank, when the personalization vector is sufficiently delocalized. Subsequently, we characterize asymptotic PageRank on Stochastic Block Model (SBM) graphs, and show that it contains a correction term that is a function of the community structure.

Le contexte de cette thèse est le recalage d'images endomicroscopiques. Le microendoscope multiphotonique fournit différentes trajectoires de balayage que nous considérons dans ce travail. Nous proposons d'abord une méthode de recalage non rigide dont l'estimation du mouvement est transformée en un problème d'appariement d'attributs dans le cadre des Log-Demons et d'ondelettes sur graphes. Nous étudions les ondelettes de graphe spectral (SGW) pour capturer les formes des images, en effet, la représentation des données sur les graphes est plus adaptée aux données avec des structures complexes. Nos expériences sur des images endomicroscopiques montrent que cette méthode est supérieure aux techniques de recalage d'images non rigides existantes. Nous proposons ensuite une nouvelle stratégie de recalage d'images pour les images endomicroscopiques acquises sur des grilles irrégulières. La transformée en ondelettes sur graphe est flexible et peut être appliquée à différents types de données, quelles que soient la densité de points et la complexité de la structure de données. Nous montrons également comment le cadre des Log-Demons peut être adapté à l'optimisation de la fonction objective définie pour les images acquises avec un échantillonnage irrégulier. / The context of this thesis is the image registration for endomicroscopic images. Multiphoton microendoscope provides different scanning trajectories which are considered in this work. First we propose a nonrigid registration method whose motion estimation is cast into a feature matching problem under the Log-Demons framework using Graph Wavelets. We investigate the Spectral Graph Wavelets (SGWs) to capture the shape feature of the images. The data representation on graphs is more adapted to data with complex structures. Our experiments on endomicroscopic images show that this method outperforms the existing nonrigid image registration techniques. We then propose a novel image registration strategy for endomicroscopic images acquired on irregular grids. The Graph Wavelet transform is flexible to apply on different types of data regardless of the data point densities and how complex the data structure is. We also show how the Log-Demons framework can be adapted to the optimization of the objective function defined for images with an irregular sampling.