Orientador: Alfredo Miguel Ozorio de Almeida / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Fisica Gleb Wataghin / Made available in DSpace on 2018-07-18T21:42:12Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Vieira_WernerMartins_D.pdf: 2693395 bytes, checksum: 80f52b75aee2da6bcd945861915425a1 (MD5) Previous issue date: 1994 / Resumo: Fazemos a apresentação e desenvolvimento da teoria de formas normais num contexto de estudo do comportamento caótico de sistemas dinâmicos hamiltonianos. Em particular, tratamos de hamiltonianos autônomos de dois graus de liberdade, em torno de pontos de sela. Este é um dos casos em que Moser demonstra a convergência da forma normal. Além disso, mostramos que a forma normal em torno de pontos de sela explicita naturalmente a geometria cilíndrica do fluxo na vizinhança destes pontos. Por outro lado, a existência de uma topologia cilíndrica numa região extensa em torno do ponto de sela é a assinatura, no próprio fluxo, do comportamento caótico. Esta combinação permite um cálculo semi-analítico preciso, diretamente no espaço de fases de quatro dimensões, daquelas estruturas do fluxo que, numa seção de Poincaré conveniente, se projetam na célebre figura homoclínica. Aplicamos o método à hamiltoniana de Hénon-Heiles. Em particular, pudemos computar com precisão, e pela primeira vez, as órbitas periódicas instáveis vizinhas do ponto de sela, as órbitas homoclínicas associadas a estas últimas e as órbitas periódicas de período longo que se acumulam nas homoclínicas. Qualitativamente, foi possível obter indícios numéricos de que a região de convergência da forma normal, inicialmente estabelecida por Moser , pode ser estendida de algum modo numa vizinhança ao longo das variedades estável e instável que emanam do ponto de sela. Finalmente, apresentamos as perspectivas de continuação do presente trabalho / Abstract: Not informed. / Doutorado / Física / Doutor em Ciências

Apresentamos a técnica de Chirikov para a derivação do Mapeamento Standard. Esta técnica é aplicada ao Sistema Auxiliar de Hori pra a ressonância asteroidal de primeira ordem cujas principais características discutimos brevemente. Os resultados numéricos obtidos com o Sistema Auxiliar de Hori para asteróides das ressonâncias 2/1, 3/2 e 4/3 são comparados aos resultados obtidos com o mapeamento derivado deste sistema. Examinamos as Projeções Lagrangeanas das trajetórias de alguns asteróides obtidas com o mapeamento e pudemos evidenciar a comensurabilidade interna de um asteróide tipo Thule da ressonâncvia 4/3. Desenvolvemos um mapeamento reduzido que nos dá a superfície de secção usando a técnica de redução de Whittaker. O estudo da vizinhança das separatrizes evidencia o aparecimento de caos causado pela introdução dos deslta periódicos da técnica de Chirikov. Demonstramos que podemos obter o mesmo mapeamento da técnica de Chirikov usando-se a técnica de Channel e Scovel para se obter um mapeamento simplético.

En este trabajo se presentará un estudio de las variedades de contacto obtenidas mediante el método de reducción de contacto, demostrado inicialmente por Geiges e impulsado por él mismo, E. Lerman entre otros. Dicho resultado tiene su esencia en el teorema de reducción simpléctica demostrado por K. R. Meyer en 1973 e independientemente por J. Marsden y A. Weinstein en 1974. Ambas contribuciones a la mecánica clásica impulsaron que en los últimos años se busque generalizar estos resultados al caso de contacto. Por ello, se pone mucha atención en el tipo de grupo de automorfismos que actuará en la variedad de estudio, con el objetivo de encontrar mayor información de la estructura de las variedades obtenidas luego de la reducción. La particularidad en los ejemplos que desarrollaremos será en que el grupo actuando en muchos casos será un toro de una cierta dimensión, lo cual nos generará las llamadas variedades teóricas de contacto. / In this work, we will study contact manifolds obtained through the contact reduction method, initially demonstrated by Geiges and promoted by himself, E. Lerman among others. This result has its essence in the symplectic reduction theorem demonstrated by K. R. Meyer in 1973 and independently by J. Marsden and A. Weinstein in 1974. Both contributions to classical mechanics led to the search of generalization of these results to the contact case over the last few years. Therefore, a lot of attention is paid to the type of group of automorphisms that will act in the study manifold, with the aim of nding more information on the structure of the manifolds obtained after the reduction. The particularity in the examples that we will develop will be that the group acting in many cases will be a torus of a certain dimension, which will generate the so-called contact toric manifolds. / Tesis

Nesta tese abordamos o tema das transi c~oes de fases qu^anticas no contexto de l quidos de spins usando dois modelos e duas abordagens te oricas diferentes. A area das transi c~oes de fases qu^anticas e bastante vasta e, por esse motivo, escolhemos dois exemplos espec cos, que tem solu c~ao exata. O primeiro exemplo e descrito por excita c~oes elementares denominadas modos de majorana de energia zero que est~ao relacionadas as propriedades topol ogicas, enquanto que o segundo exemplo e descrito por spinons livres que obedecem a estat sticas fracion arias. Nos dois casos, estas excita c~oes elementares v^em da sistemas interagentes de muitos corpos, as quais s~ao fundamentalmente diferentes dos f ermions e b osons. Portanto, as regras de segunda quantiza c~ao usuais n~ao est~ao dispon veis para esses sistemas, abrindo espa co para desenvolver novas teorias e t ecnicas. Nesta tese temos a oportunidade, em termos gerais, de reunir aspectos b asicos das propriedades topol ogicas de sistemas de baixa dimensionalidade, por um lado, e colocar em opera c~ao alguns detalhes da estrutura da ^algebra Yangiana para lidar com a f sica de spinons livres, por outro lado. Primeiramente come camos por estudar o efeito da inomogeneidade espacial na cadeia de Kitaev. Este modelo unidimensional descreve um supercondutor de onda p caracterizado por fases topol ogicas/n~ao-topol ogicas. Usando o m etodo de c elula unit aria ampliada, estudamos um invariante topol ogico apropriado para descrever os efeitos das modula c~oes espaciais nos par^ametros do modelo Encontramos o surgimento de regi~oes n~ao-topol ogicas compactas, as que chamamos de bolhas, as quais s~ao descritas por estados topol ogicos protegidos no caso homog^eneo. Para caracterizar estas fases, desenvolvemos uma descri c~ao polinomial do invariante topol ogico, o que nos levou a uma explica c~ao do surgimento destas bolhas na regi~ao topol ogica, assim como a identi car uma estrutura interna do invariante topol ogico, tendo este um comportamento notoriamente semelhante a fun c~ao de correla c~ao de spins do modelo XY de spin-1=2. Ambos modelos exibem a mesma regi~ao de oscila c~oes nos seus diagramas de fase. Isto e um efeito da dualidade, j a que ambos modelos est~ao ligados por uma transforma c~ao de Jordan-Wigner. Como uma aplica c~ao do nosso m etodo, utilizamos ele para caracterizar um modelo efetivo correspondente a um modelo de ligaduras-fortes de f ermions sem spin, com uma intera c~ao de carga a primeiros vizinhos que e modulada periodicamente. Usando o formalismo de Floquet, achamos um Hamiltoniano efetivo o qual e levado a cadeia de Kitaev inomog^enea descrita por um emparelhamento a primeiros vizinhos dimerizado e um emparelhamento a segundos vizinhos. Aplicando o nosso formalismo, conseguimos descrever os efeitos da depend^encia temporal deste modelo efetivo. Na segunda parte da tese, estudamos o modelo unidimensional de Haldane- Shastry, mais uma intera c~ao quiral dada pelo componente-z do operador de rapidez O modelo de Haldane-Shastry consiste numa cadeia homog^enea com condi c~oes de borda peri odicas de spins 1=2, com uma intera c~ao de troca entre os spins que decai com o inverso da dist^ancia ao quadrado. Este modelo e integr avel, exatamente sol uvel atrav es da ^algebra Yangiana, e as suas simetrias descrevem as excita c~oes elementares, dadas por spinons livres que satisfazem estat sticas fracion arias. Uma vez que a intera c~ao quiral e tomada como o operador de rapidez, da Yangiana, a simetria do novo modelo n~ao muda, o que nos permite utilizar o formalismo das Tabelas de Young Modi cadas para descrever seus autoestados. Descobrimos que o espectro do modelo original e separado quando a intera c~ao quiral e ligada. A ^algebra Yangiana e respons avel por esta separa c~ao, resultando em regras de quantiza c~ao n~aotriviais que foram estudadas pela teoria de representa c~ao da ^algebra. Ap os nossa descri c~ao num erica para sistemas nitos, ampliamos nossos resultados para o limite termodin^amico, achando uma descri c~ao geral das transi c~oes do estado fundamental para baixas energias, que e v alida at e para a cadeia in nita. Para nalizar, e como uma aplica c~ao, utilizamos o modelo de Haldane-Shastry com intera c~ao quiral para introduzir uma fam lia de modelos de spins com intera c~oes a mais vizinhos, cujas constantes de acoplamento s~ao extra das deste modelo. Descrevemos como a solu c~ao desses modelos pode ser achada por meio da nossa abordagem, o que nos permite formular a quest~ao sobre o v nculo que t^em entre eles. / In this thesis we address the subject of quantum phase transitions within the context of spin liquids using two di erent models and two theoretical approaches. The eld of quantum phase transitions is quite vast and for that reason we selected two speci c examples, which are exactly solvable. The rst one is described by elementary excitations called majorana zero modes which are related to topological phases, and the second one is described by free spinons that obey fractional statistics. In both cases, these are elementary excitations from interacting many-body systems, which are essentially very di erent from fermions or bosons. Therefore, the usual second quantization rules are not available for these systems, opening the gate for developing new theories and techniques. In this thesis we have the opportunity, broadly speaking, to gather basic aspects of topological properties of low dimensional systems in one hand, and to bring into operation some details of the structure of the Yangian algebra to deal with the physics of free spinons, on the other hand. We rst start by studying the e ect of spatial inhomogeneities in the Kitaev chain. This one-dimensional model describes a p-wave superconductor which is characterized by topological/non-topological phase transitions.Using an enlarged unit-cell method, we studied a suitable topological invariant to describe the e ects of spatial modulations in the parameters of the model.We found the emergence of compact non-topological regions, we called them bubbles, that are described by topological protected states in the homogeneous case To characterize these phases, we developed a polynomial description of the topological invariant, which led us to account for the emergence of bubbles in the topological region, as well as to identify an internal structure of the topological invariant, which has a notorious similar behavior with the spin correlation function of the XY spin-1=2 model. Both models exhibit the same oscillation region in their phase diagrams. This is an e ect of duality, as both models are linked through a Jordan-Wigner transformation. As an application of our method, we used it to characterize an e ective model corresponding to a onedimensional tight-binding model of spinless fermions with a nearest-neighbor charge interaction, which is periodically driven. Using the Floquet formalism, we found an e ective Hamiltonian which is mapped into an inhomogeneous Kitaev chain described by a dimerized nearest-neighbor pairing and a next-nearest-neighbor pairing term. Applying our formalism, we accomplish a description of the e ects of the time-dependence of this e ective model. In the second part of this thesis, we studied the one-dimensional Haldane-Shastry model plus a chiral interaction given by the z-component of the rapidity operator. The Haldane-Shastry model is a periodically bounded spin-1=2 homogeneous chain with a long-range exchange interaction that falls o with the inverse of the distance squared among the spins This model is integrable, exactly solvable through the Yangian algebra and its symmetries describe elementary excitations given by free spinons which satisfy a fractional statistics. Since the chiral interaction is taken as the rapidity operator from the Yangian, the symmetry of the new model does not change, allowing us to use the Modi ed Young Tableaux formalism to describe their eigenstates. We found that the spectrum of the original model split when the chiral interaction is turned on. The split is governed by the Yangian algebra, resulting in non-trivial quantization rules which were studied by the representation theory of the algebra. After our numerical description for nite systems, we extended our results towards a thermodynamic limit, nding a general description of the groundstate transitions at low energy that is also valid for the in nite chain. Finally, as an application, we used the Haldane-Shastry model with a chiral interaction to introduce a family of spin models with di erent medium-range interactions whose coupling constants are extracted from this model. We describe how the solution of these models can be found by our approach and formulate the question about the link among them.

En esta tesis se avanza en el conocimiento de los procesos difusivos que tienen lugar en el espacio de acciones de sistemas Hamiltonianos casi-integrables. Fundamentalmente, se estudia la difusión de Arnold que tiene lugar a lo largo de una resonancia, considerando un flujo Hamiltoniano con tres grados de libertad cuya superficie de energía no perturbada es convexa en el espacio de acciones. Además, se estudia la difusión en un mapa simpléctico 4D a priori inestable, sobre el cual se aplica un método semi--numérico para predecir aproximadamente el coeficiente de difusión asociado a una de las acciones, y se corrobora numéricamente que el proceso satisface una ecuación de Fokker-Planck.

Orientador: Prof. Dr. Marcus Werner Beims / Tese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Curso de Pós-Graduaçao em Física. Defesa: Curitiba,28/02/2012 / Bibliografia: fls. 96-99 / Resumo: Na natureza, potenciais f'?sicos são suaves, mas a maioria dos trabalhos com bilhares usam potenciais rígidos como paredes. Neste contexto nós escolhemos um sistema consistindo de duas partículas clássicas interagentes num bilhar unidimensional (1D) e outro sistema com três partículas sobre um anel sem atrito. A dinâmica dos dois sistemas é analisada quando há a transição rígida para suave das paredes do bilhar. Nós queremos checar o comportamento de sistemas Hamiltonianos clássicos, pois estes sistemas podem apresentar regiões de movimento regular e caótico coexistindo no mesmo espaço de fases. Para o sistema de duas partículas num bilhar 1D, encontramos expressões analíticas para a descrição do espaço real e tangente. Mostramos quais os parâmetros que influenciam no aparecimento de ilhas regulares no mar caótico. Simulações numéricas para o Expoente de Lyapunov máximo a tempo finito, obtido das Expressões analíticas, mostram que parâmetros como a massa das partículas, força de interações e altura das paredes podem mudar completamente a dinâmica do sistema. Nas investigações numéricas, as suavidades das paredes são modeladas por n degraus, portanto qualquer potencial pode ser obtido. Mostramos que a dinâmica de três partículas num anel é equivalente a uma partícula dentro de um bilhar triangular. A transição das paredes de suaves para rígidas é analisada através das seções de Poincaré do sistema. A coexistência dos comportamentos regular e caótica é observada quando modificamos as paredes e as razões de massas das partículas. Os resultados mostram que a função ao exponencial e a função ao erro é apropriado para descrever as paredes suaves do bilhar. / Abstract: Although in nature realistic physical potentials are soft, most of the work with billiards use hard potential walls. In this context we chose a system consisting of two classical interacting particles in a one-dimensional (1D) billiard and another system with three particles on a frictionless ring. The dynamics of the two systems is analized when there is hard-to-soft transition from the walls of the billiards. We want to check the behavior in classical Hamiltonian system. Hamiltonian systems present motion coexist in the same phase space. For the system of two-particle in a 1D billiards we find analytical expressions for the real space and the tangent space. We show what parameters influence the appearance of islands in a sea of chaos. Numerical simulations for the maximum Finite Time Lyapunov exponent, obtained by the analytical expressions. We show which parameters such as particle mass, strength of interaction and height of the walls can completely change the dynamics of the system. In the numerical investigation, the soft walls are modeled by n steps, therefore any potential can be modeled. We show that the dynamics of three particles on a ring is equivalent to a particle within a triangular billiard. The transition from soft to hard walls is analyzed by the Poincare Surfaces of Section of the system. The behavior of the coexistence of regular and chaotic regions are observed when modifying the walls and particles masses ratio. The results show that the exponential function and error function are appropriate to describe the soft walls of the billiards.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina. Centro de Ciencias Fisicas e Matematicas / Made available in DSpace on 2012-10-16T02:06:22Z (GMT). No. of bitstreams: 0Bitstream added on 2016-01-08T16:20:41Z : No. of bitstreams: 1 78864.pdf: 1762561 bytes, checksum: b468a9ae2cd3fd97c5ba370e03054b39 (MD5) / O objetivo deste trabalho é investigar a existência de invariantes racionais para sistemas Hamiltonianos unidimensionais não-autônomos, isto é, com potenciais dependentes do tempo. Discutimos resultados recentementes publicados por Lewis, Leach e Goedert, onde estes autores consideram uma forma racional para o invariante, baseada em denominadores em ressonância. Apesar de proporem um método para o cálculo de invariantes racionais, tais autores não conseguiram obter nenhum invariante genuinamente racional. Através do ansatz por nós desenvolvido, que considera o invariante como sendo uma razão de dois polinômios em p de grau três, obtemos os resultados apresentados por Goedert e Lewis e um invariante mais geral que contém estes dois resultados como casos particulares. Nosso método, comparado ao desenvolvido por Goedert e Lewis, é bem mais simples, tanto na teoria quanto principalmente na aplicação. A obtenção de invariantes verdadeiramente racionais permanece um problema em aberto.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas. / Made available in DSpace on 2012-10-16T04:06:38Z (GMT). No. of bitstreams: 0Bitstream added on 2016-01-08T16:57:05Z : No. of bitstreams: 1 138847.pdf: 1707800 bytes, checksum: f43e6f14f873aac68e5966338e77188f (MD5)

Nesta tese abordamos o tema das transi c~oes de fases qu^anticas no contexto de l quidos de spins usando dois modelos e duas abordagens te oricas diferentes. A area das transi c~oes de fases qu^anticas e bastante vasta e, por esse motivo, escolhemos dois exemplos espec cos, que tem solu c~ao exata. O primeiro exemplo e descrito por excita c~oes elementares denominadas modos de majorana de energia zero que est~ao relacionadas as propriedades topol ogicas, enquanto que o segundo exemplo e descrito por spinons livres que obedecem a estat sticas fracion arias. Nos dois casos, estas excita c~oes elementares v^em da sistemas interagentes de muitos corpos, as quais s~ao fundamentalmente diferentes dos f ermions e b osons. Portanto, as regras de segunda quantiza c~ao usuais n~ao est~ao dispon veis para esses sistemas, abrindo espa co para desenvolver novas teorias e t ecnicas. Nesta tese temos a oportunidade, em termos gerais, de reunir aspectos b asicos das propriedades topol ogicas de sistemas de baixa dimensionalidade, por um lado, e colocar em opera c~ao alguns detalhes da estrutura da ^algebra Yangiana para lidar com a f sica de spinons livres, por outro lado. Primeiramente come camos por estudar o efeito da inomogeneidade espacial na cadeia de Kitaev. Este modelo unidimensional descreve um supercondutor de onda p caracterizado por fases topol ogicas/n~ao-topol ogicas. Usando o m etodo de c elula unit aria ampliada, estudamos um invariante topol ogico apropriado para descrever os efeitos das modula c~oes espaciais nos par^ametros do modelo Encontramos o surgimento de regi~oes n~ao-topol ogicas compactas, as que chamamos de bolhas, as quais s~ao descritas por estados topol ogicos protegidos no caso homog^eneo. Para caracterizar estas fases, desenvolvemos uma descri c~ao polinomial do invariante topol ogico, o que nos levou a uma explica c~ao do surgimento destas bolhas na regi~ao topol ogica, assim como a identi car uma estrutura interna do invariante topol ogico, tendo este um comportamento notoriamente semelhante a fun c~ao de correla c~ao de spins do modelo XY de spin-1=2. Ambos modelos exibem a mesma regi~ao de oscila c~oes nos seus diagramas de fase. Isto e um efeito da dualidade, j a que ambos modelos est~ao ligados por uma transforma c~ao de Jordan-Wigner. Como uma aplica c~ao do nosso m etodo, utilizamos ele para caracterizar um modelo efetivo correspondente a um modelo de ligaduras-fortes de f ermions sem spin, com uma intera c~ao de carga a primeiros vizinhos que e modulada periodicamente. Usando o formalismo de Floquet, achamos um Hamiltoniano efetivo o qual e levado a cadeia de Kitaev inomog^enea descrita por um emparelhamento a primeiros vizinhos dimerizado e um emparelhamento a segundos vizinhos. Aplicando o nosso formalismo, conseguimos descrever os efeitos da depend^encia temporal deste modelo efetivo. Na segunda parte da tese, estudamos o modelo unidimensional de Haldane- Shastry, mais uma intera c~ao quiral dada pelo componente-z do operador de rapidez O modelo de Haldane-Shastry consiste numa cadeia homog^enea com condi c~oes de borda peri odicas de spins 1=2, com uma intera c~ao de troca entre os spins que decai com o inverso da dist^ancia ao quadrado. Este modelo e integr avel, exatamente sol uvel atrav es da ^algebra Yangiana, e as suas simetrias descrevem as excita c~oes elementares, dadas por spinons livres que satisfazem estat sticas fracion arias. Uma vez que a intera c~ao quiral e tomada como o operador de rapidez, da Yangiana, a simetria do novo modelo n~ao muda, o que nos permite utilizar o formalismo das Tabelas de Young Modi cadas para descrever seus autoestados. Descobrimos que o espectro do modelo original e separado quando a intera c~ao quiral e ligada. A ^algebra Yangiana e respons avel por esta separa c~ao, resultando em regras de quantiza c~ao n~aotriviais que foram estudadas pela teoria de representa c~ao da ^algebra. Ap os nossa descri c~ao num erica para sistemas nitos, ampliamos nossos resultados para o limite termodin^amico, achando uma descri c~ao geral das transi c~oes do estado fundamental para baixas energias, que e v alida at e para a cadeia in nita. Para nalizar, e como uma aplica c~ao, utilizamos o modelo de Haldane-Shastry com intera c~ao quiral para introduzir uma fam lia de modelos de spins com intera c~oes a mais vizinhos, cujas constantes de acoplamento s~ao extra das deste modelo. Descrevemos como a solu c~ao desses modelos pode ser achada por meio da nossa abordagem, o que nos permite formular a quest~ao sobre o v nculo que t^em entre eles. / In this thesis we address the subject of quantum phase transitions within the context of spin liquids using two di erent models and two theoretical approaches. The eld of quantum phase transitions is quite vast and for that reason we selected two speci c examples, which are exactly solvable. The rst one is described by elementary excitations called majorana zero modes which are related to topological phases, and the second one is described by free spinons that obey fractional statistics. In both cases, these are elementary excitations from interacting many-body systems, which are essentially very di erent from fermions or bosons. Therefore, the usual second quantization rules are not available for these systems, opening the gate for developing new theories and techniques. In this thesis we have the opportunity, broadly speaking, to gather basic aspects of topological properties of low dimensional systems in one hand, and to bring into operation some details of the structure of the Yangian algebra to deal with the physics of free spinons, on the other hand. We rst start by studying the e ect of spatial inhomogeneities in the Kitaev chain. This one-dimensional model describes a p-wave superconductor which is characterized by topological/non-topological phase transitions.Using an enlarged unit-cell method, we studied a suitable topological invariant to describe the e ects of spatial modulations in the parameters of the model.We found the emergence of compact non-topological regions, we called them bubbles, that are described by topological protected states in the homogeneous case To characterize these phases, we developed a polynomial description of the topological invariant, which led us to account for the emergence of bubbles in the topological region, as well as to identify an internal structure of the topological invariant, which has a notorious similar behavior with the spin correlation function of the XY spin-1=2 model. Both models exhibit the same oscillation region in their phase diagrams. This is an e ect of duality, as both models are linked through a Jordan-Wigner transformation. As an application of our method, we used it to characterize an e ective model corresponding to a onedimensional tight-binding model of spinless fermions with a nearest-neighbor charge interaction, which is periodically driven. Using the Floquet formalism, we found an e ective Hamiltonian which is mapped into an inhomogeneous Kitaev chain described by a dimerized nearest-neighbor pairing and a next-nearest-neighbor pairing term. Applying our formalism, we accomplish a description of the e ects of the time-dependence of this e ective model. In the second part of this thesis, we studied the one-dimensional Haldane-Shastry model plus a chiral interaction given by the z-component of the rapidity operator. The Haldane-Shastry model is a periodically bounded spin-1=2 homogeneous chain with a long-range exchange interaction that falls o with the inverse of the distance squared among the spins This model is integrable, exactly solvable through the Yangian algebra and its symmetries describe elementary excitations given by free spinons which satisfy a fractional statistics. Since the chiral interaction is taken as the rapidity operator from the Yangian, the symmetry of the new model does not change, allowing us to use the Modi ed Young Tableaux formalism to describe their eigenstates. We found that the spectrum of the original model split when the chiral interaction is turned on. The split is governed by the Yangian algebra, resulting in non-trivial quantization rules which were studied by the representation theory of the algebra. After our numerical description for nite systems, we extended our results towards a thermodynamic limit, nding a general description of the groundstate transitions at low energy that is also valid for the in nite chain. Finally, as an application, we used the Haldane-Shastry model with a chiral interaction to introduce a family of spin models with di erent medium-range interactions whose coupling constants are extracted from this model. We describe how the solution of these models can be found by our approach and formulate the question about the link among them.

Made available in DSpace on 2014-12-02T11:16:50Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2013-12-05Bitstream added on 2014-12-02T11:21:26Z : No. of bitstreams: 1 000793711.pdf: 1081771 bytes, checksum: 9ad4a08d3ec9d6accf66ef005a138f0a (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Nosso objetivo neste trabalho é demonstrar o Teorema da Densidade Geral que é um resultado análogo ao Teorema de Kupka-Smale para campos de vetores hamiltonianos. O Teorema da Densidade Geral afirma que o conjuntos dos campos hamiltonianos em uma variedade simplética M que possuem a propriedade H2-N é residual em Xk H(M). Começamos estabelecendo as teorias simpléticas linear e não-linear básicas e depois estudamos suas conexões com os sistemas hamiltonianos, provando os principais resultados da teoria e alguns resultados relacionados. Recebem destaque o estudo das curvas genéricas de matrizes simpléticas, a noção de funções geradoras de difeomorfismos simpléticos e sua aplicação na questão da estabilidade dos pontos fixos elípticos de campos hamiltonianos, a qual é respondida parcialmente através da Forma Normal de Birkhoff. Depois de estabelecer os resultados necessários, passamos a estudar a dinâmica hamiltoniana do ponto de vista das famílias a um parâmetro de difeomorfismos simpléticos. Provamos um resultado devido a Pugh e consideramos a questão da estabilidade estrutural de certas famílias de difeomorfismos simpléticos. Finalmente, provamos o Teorema da Densidade Geral usando a noção de pseudotransversalidade dada no Apêndice C. Este trabalho é baseado nas notas de aula Lectures on Hamiltonian Systems do professor R. Clark Robinson / In this work our goal is to prove the General Density Theorem which is an analogous result for hamiltonian vector fields of the Kupka-Smale Theorem. The General Density Theorem states that the set of hamiltonian vector fields on a symplectic manifold M that has the property H2-N is a residual subset of Xk H(M). We begin by stating the basic linear and nonlinear symplectic theory and then we study its connections with hamiltonian systems, proving some of the main theorems of the theory and other related results. Here we give special attention to topics like generic curves of symplectic matrices, generating functions of symplectic diffeomorphisms and their applications in the problem of the stability of eliptic fixed points of hamiltonian systems, which is partially solved using the Birkhoff Normal Form. After stating the necessary results, we begin to study some hamiltonian dynamics using one-parameter families of symplectic diffeomorphisms. We prove a result stated by Pugh and consider the problem of structural stability of a certain type of one-parameter family. Finally we prove the General Density Theorem using the notion of pseudotransversality given in Appendix C. This work is based on the lecture notes Lectures on Hamiltonian Systems of professor R. Clark Robinson