L'objectif principal de cette thèse est de généraliser les multizetas au cas où le corps de base Q est remplacé par un corps de nombres quelconque. La motivation derrière cette construction vient des travaux de A. Goncharov sur les corrélateurs de Hodge et de la philosophie plectique de J. Nekovar et A. Scholl. On commence par la construction des fonctions de Green plectiques supérieures. Hecke a prouvé que l'intégration d'une série d'Eisenstein appropriée sur le groupe de classes des idèles du corps de nombres donné, multipliée par un caractère du groupe des classes des idèles, est équale à la fonction L associée à ce caractère. Remplacant la série d'Eisenstein par les fonctions de Green plectiques supérieures, une intégration similaire donne des nouveaux résultats, qui généralisent les multizetas classiques et les multi-polylogarithmes. D'après le principe plectique, un sous-groupe de l'anneau des entiers du corps de nombres donné joue un rôle essentiel dans ces travaux. / The principal objective of this thesis is to generalize multiple zeta values to the case when the ground field Q is replaced by an arbitrary number field. The motivation behind the construction comes from the work of A. Goncharov on Hodge correlators and the plectic philosophy of J. Nekovar and A. Scholl. We start by constructing the higher plectic Green functions. Hecke once proved that the integral of the restriction of a suitable Eisenstein series over $\mathbb{Q}$ to the idele class group of a given number field multipled an idele class character of finite order is equal to the L-function of this charator. By replacing Eisenstein seris with our higher plectic Green functions, a similar integration gives new results, which give the generalization of classical multiple zeta values and multiple polyloarithms. According to the plectic principle, a non-trivial subgroup of the ring of integers of a given number field plays an essential role in this work.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第21535号 / 理博第4442号 / 新制||理||1638(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)准教授 加藤 周, 教授 重川 一郎, 教授 並河 良典 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

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Le résultat principal dans le travail présenté est le calcul explicite de la série génératrice des opérateurs de Hecke dans l'algèbre de Hecke locale pour les groupes symplectiques de genre 3 et 4. L'algorithme est basé sur l'isomorphisme de Satake, qui permet de réaliser toutes les opérations dans l'algèbre des polynômes à plusieurs variables. C'est la première fois que cette expression est calculée pour le genre 4. Pour obtenir le résultat principal, une méthode de calcul symbolique a été développée. Cette approche algorithmique s'applique à d'autres types de séries de Hecke. En particulier, nous formulons et prouvons un analogue du Lemme de Rankin pour le genre 2. Nous avons aussi calculé les séries génératrices des carrés symétriques et des cubes symétriques.<br /><br />Se basant sur nos résultats nous formulons une conjecture de modularité pour les convolutions des fonctions L spineurs associées aux formes modulaires de Siegel. Nous considérons d'autres conjectures importantes liées aux formes modulaires de Siegel et à leurs fonctions L. Nous utilisons ces constructions pour calculer les facteurs algébriques rationnels aux valeurs critiques de la fonction L spineur attachée à F12 de Miyawaki. A notre connaissance c'est le premier exemple d'une fonction L-spineur de forme parabolique de Siegel de degré 3, dont certaines valeurs spéciales peuvent être calculées explicitement.<br /><br />Finalement, nous appliquons la théorie des algèbres de Hecke pour construire des cryptosystèmes algébriques sur ensembles finis de classes à gauches dans l'algèbre de Hecke. Nous utilisons une relation entre les classes à gauches et les points sur certains variétés algébriques projectives.

Cette thèse se place dans le cadre du vaste domaine s'intitulant géométrie non commutative, domaine dont l'étude est motivée par l'opinion courante des mathématiciens et physiciens selon laquelle les méthodes de la géométrie non commutative peuvent être utiles pour décrire certains processus dynamiques à l'échelle de Planck. Aussi l'objectif principal de cette thèse est de généraliser quelques modèles dynamiques définis sur l'espace de Minkowski sur son q-analogue. Des tentatives d'introduire des modèles dynamiques qui seraient covariants par rapport à l'action de groupes quantiques ont été entrepris juste après la création de la théorie sur les groupes quantiques par Drinfeld. Les modèles les plus intéressants sont ceux qui sont liés au q-analogue de l'espace de Minkowski. C'est P. Kulish qui définit cette algèbre comme étant un cas particulier d'une algèbre appelée modified Reflection Equation Algebra (mREA) elle-même liée à un opérateur appelé symétrie de Hecke. Nous définissons donc certains modèles dynamiques qui sont des déformations de modèles classiques, l'espace des phases de nos modèles déformés n'est autre alors que notre espace de q-Minkowski. Nous recherchons par la suite des intégrales de mouvement de ces dynamiques, ce qui nous amène à définir des analogues de l'énergie et du vecteur de Runge-Lenz. Nous généralisons pour terminer les équations aux dérivées partielles de la théorie des champs et en particulier l'opérateur de Maxwell.

Cette thèse comporte trois parties. Dans la première, nous nous intéressons à la formule du commutateur d'un groupe admettant une BN-paire scindée. Nous montrons que sous une condition dite "condition de Lévi faible", le groupe vérifie cette formule. Dans la seconde partie, nous étudions la conservation de la forme unitriangulaire lors du passage d'une matrice de décomposition d'un module sur une algèbre graduée à la matrice de décomposition de la restriction de ce module sur l'algèbre effectuant la graduation et vice-versa. Nous verrons des applications pour des algèbres cellulaires pourvues également d'autres propriétés, notamment des algèbres de Ariki-Koike. Nous terminons par une partie traitant de la conjecture de J. Gruber et G. Hiss pour les nombres de décomposition des algèbres de Hecke de type B et D. Nous généralisons et prouvons cette conjecture dans le cas des algèbres de groupes de réflexions complexes. Puis nous observons quels sont les problèmes de la généralisation des méthodes utilisées lors du passage des algèbres de groupes aux algèbres de Hecke (de type B et D). Enfin, nous donnons une condition naturelle sur des filtrations de modules de Specht, sous-laquelle la conjecture est satisfaite.

Soit $W$ un groupe de Weyl fini et soit $H$ l'algèbre de Hecke correspondante, définie sur l'anneau $A:=Z[v,v^(-1)]$ où $v$ est une indéterminée. Soit $K$ le corps des fractions de $A$ et soit $\theta$ une spécialisation dans un corps $L$ de ``bonne'' caractéristique. Dans une série d'articles récents, M.Geck et R.Rouquier ont présenté une méthode pour déterminer l'ensemble des $H_L$-modules simples $\Irr(H_L)$. Celle-ci consiste à construire un ``ensemble basique canonique'' $B$ contenu dans $\Irr(H_K)$ défini grace à la $a$-fonction de Lusztig et en bijection avec $\Irr(H_L)$. Le but de ce travail est de déterminer explicitement $B$ pour tout groupe de Weyl et pour toute spécialisation puis d'étendre la méthode ci-dessus aux algèbres de Ariki-Koike. Comme conséquences, nous obtenons un algorithme pour le calcul des matrices de décompositions des algèbres de Ariki-Koike et une caractérisation des modules simples pour certaines algèbres cyclotomiques de type $G(l,l,n)$.

Cette thèse porte sur trois problèmes en combinatoire algébrique effective et algorithmique.Les premières parties proposent une approche alternative aux bases de Gröbner pour le calcul des invariants secondaires des groupes de permutations, par évaluation en des points choisis de manière appropriée. Cette méthode permet de tirer parti des symétries du problème pour confiner les calculs dans un quotient de petite dimension, et ainsi d'obtenir un meilleur contrôle de la complexité algorithmique, en particulier pour les groupes de grande taille. L'étude théorique est illustrée par de nombreux bancs d'essais utilisant une implantation fine des algorithmes. Un prérequis important est la génération efficace de vecteurs d'entiers modulo l'action d'un groupe de permutation, dont l'algorithmique fait l'objet d'une partie préliminaire.La quatrième partie cherche à déterminer, pour un certain quotient naturel d'une algèbre de Hecke affine, quelles spécialisations des paramètres aux racines de l'unité donne un comportement non générique.Finalement, la dernière partie présente une conjecture sur la structure d'une certaine $q$-déformation des polynômes harmoniques diagonaux en plusieurs paquets de variables pour la famille infinie de groupes de réflexions complexes.Tous ces chapitres s'appuient fortement sur l'exploration informatique, et font l'objet de multiples contributions au logiciel Sage.

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Dans cette thèse nous étudions les propriétés p-adiques des variétés de Shimura de type P.E.L qui ont bonne réduction en p et pour lesquelles le lieu ordinaire est vide. Dans un premier chapitre on construit des invariants qui découpent dans les variétés de Shimura un ouvert dense, le lieu mu-ordinaire, et nous étudions les propriétés géométriques de ces invariants. Dans le second chapitre nous étendons au cas mu-ordinaire la théorie du sous-groupe canonique, et construisons donc pour des familles de groupes p-divisibles “presque” mu-ordinaire une filtration canonique de la p^n-torsion. Cela s’applique en particulier à certains voisinages rigides stricts du lieu mu-ordinaires des variétés de Shimura étudiées. Dans le troisième chapitre, qui est un travail en commun avec Stéphane Bijakowski, nous reconstruisons des invariants dans un cadre plus étendu que dans le premier chapitre sur certains modèles locaux de variétés de Shimura, lorsque l’on autorise le nombre premier p à ramifier dans la donnée de Shimura locale. Enfin, dans le quatrième chapitre on met en application les constructions des deux premiers chapitres pour construire une variété rigide, une variété de Hecke, qui paramètre les familles p-adiques de formes modulaires de Picard de pente finie, lorsque p est inerte dans le corps quadratique imaginaire de la donnée de Picard. / In this thesis we study the p-adic properties of P.E.L. type Shimura varieties which have good reduction at p and for which the ordinary locus is empty. In the first chapter, we construct locally some invariants that cuts out inside the Shimura varieties an open and dense locus, the mu-ordinary locus, and study the geometric properties of these invariants. In the second chapter we extend to the unramified mu-ordinary case the theory of the canonical subgroup. Thus, we construct for ’nearly’ mu-ordinary families of p-divisible groups a canonical filtration of the p^n-torsion. This applies in particular to some strict rigid neighbourhoods of the mu-ordinary locus of the Shimura varieties previously studied. In the third chapter, which is a collaboration with Stéphane Bijakowski, we extend the construction of the invariants of the first chapter to some local integral models of Shimura varieties where the prime p can be ramified in the local datum. Finally, in the last chapter, we use the constructions of the first two chapter to construct a rigid variety, the Eigenvariety, which parametrises the finite slope p-adic families of Picard automorphic forms when the prime p is inert in the quadratic imaginary field of the Picard datum.