Neste trabalho, é feita a análise dos modos de plasmon que se propagam em um filme metálico que cobre uma fibra óptica generalizada. Os modos de plasmon estudados são: Fuga pela Cobertura (lcv), Ligado Simétrico (Sb), Fuga pelo Núcleo (lcr) e Ligado Assimétrico (ab). Os filmes metálicos, para efeito de comparação, utilizados neste trabalho, são: a prata, o ouro e o paládio. Desenvolveu-se um modelo matemático do fenômeno eletromagnético e um software, que gerou um banco de dados que facilitasse a análise de estruturas, com diversas combinações de parâmetros. Com o banco de dados, foram obtidos diversos gráficos, que permitiram: analisar os modos de plasmon, verificar a atenuação das ondas e o comportamento do campo eletromagnético em cada região da estrutura. As confrontações entre as estruturas com filmes de: prata, ouro e paládio, permitiram concluir que aquelas elaboradas com os filmes de prata e de ouro são as que apresentam menores perdas, portanto, as recomendadas na confecção de sensores. Como a prata é mais acessível que o ouro, aconselha-se a sua utilização. A análise e os resultados deste trabalho são originais na literatura especializada. / In this work it is done the analysis of the ways of plasmon that developed themselves in a mettalic film that covers an optic and generalized fiber. The studied ways of plasmon are: Cover-Leaky (lcv), Symmetric Bounded (Sb), Core-Leaky (lcr) and Asymmetrical Bounded (ab). The metallic films, for reason of comparison, used in this work, are: the silver, the gold and the paladium. It was developed a mathematical model of the electricmagnetic phenomenon and a software, that created a database which could make it easy the analysis of structures with several combinations of parameters. With the database have been got several graphs that let: analyse the types of plasmon, see the reduction of waves and the behaviour of the electricmagnetic field in each area of the structure. The confrontations between the structures with films of silver, gold and paladium made it possible to conclude that those elaborated with films of silver and gold are those that present smaller losses, so, are recommended in the confection of sensors. As silver is more accecible than gold it is advisable its utilization. The analysis and the results of this work are original in the specialized literature.

A evolução nos sistemas digitais de comunicação está intrinsicamente relacionada ao desenvolvimento da tecnologia de fibras ópticas. Desde a sua criação, na década de 60, inúmeras pesquisas vem sendo realizadas com o intuito de aumentar a capacidade de informação transmitida, por meio da redução da atenuação, controle da dispersão cromática e eliminação das não-linearidades. Neste contexto, as Fibras de Bragg surgem como uma estrutura de grande potencialidade para se minimizar tais inconvenientes. As fibras de Bragg possuem um mecanismo de operação diferente em relação às fibras tradicionais de suportar os modos confinados. Nelas, o núcleo possui um baixo índice de refração, e a casca é constituída por anéis dielétricos de diferentes índices de refração, alocados alternadamente. Para uma fibra de Bragg com núcleo oco, como a considerada neste trabalho, há perdas decorrentes dos modos de fuga. Portanto, a análise da dispersão destas estruturas se situa no plano complexo, tornando-a muito difícil. Esta dissertação será fundamentada em uma estratégia imprescindível à análise dos modos transversais TE0m, TM0m e dos híbridos. Os resultados encontrados são validados confrontando-os com os obtidos na literatura. O trabalho discutirá as perdas e dispersões dos modos citados, e os resultados obtidos poderão nortear as pesquisas das fibras de Bragg. / The evolution of digital communication systems is intrinsically related to the development of optical fiber technology. Since its creation in the 1960s, many studies have been conducted in order to increase the system capacity, such as the attenuation reduction, chromatic dispersion control and elimination of nonlinearities. In this context, Bragg fibers appear as a structure with great potential to mitigate these drawbacks. Bragg fibers have a different operational mechanism with respect to traditional fibers to support the confined modes. Their core has a low refractive index, and the cladding consists of dielectric rings of different refractive indices, allocated alternately. For a Bragg fiber with hollow core, as considered in this paper, there are losses due to the occurrence of leaky modes. Therefore, the dispersion analysis of these structures falls in the complex plane, making it even harder. This dissertation will be based on a strategy essential to the analysis of transverse modes: TE0m, TM0m and hybrids. The found results have been validated by comparing them with those obtained in the literature. The paper discusses the losses and dispersions of the mentioned modes, and the results obtained will serve to guide the research on Bragg fibers.

A evolução nos sistemas digitais de comunicação está intrinsicamente relacionada ao desenvolvimento da tecnologia de fibras ópticas. Desde a sua criação, na década de 60, inúmeras pesquisas vem sendo realizadas com o intuito de aumentar a capacidade de informação transmitida, por meio da redução da atenuação, controle da dispersão cromática e eliminação das não-linearidades. Neste contexto, as Fibras de Bragg surgem como uma estrutura de grande potencialidade para se minimizar tais inconvenientes. As fibras de Bragg possuem um mecanismo de operação diferente em relação às fibras tradicionais de suportar os modos confinados. Nelas, o núcleo possui um baixo índice de refração, e a casca é constituída por anéis dielétricos de diferentes índices de refração, alocados alternadamente. Para uma fibra de Bragg com núcleo oco, como a considerada neste trabalho, há perdas decorrentes dos modos de fuga. Portanto, a análise da dispersão destas estruturas se situa no plano complexo, tornando-a muito difícil. Esta dissertação será fundamentada em uma estratégia imprescindível à análise dos modos transversais TE0m, TM0m e dos híbridos. Os resultados encontrados são validados confrontando-os com os obtidos na literatura. O trabalho discutirá as perdas e dispersões dos modos citados, e os resultados obtidos poderão nortear as pesquisas das fibras de Bragg. / The evolution of digital communication systems is intrinsically related to the development of optical fiber technology. Since its creation in the 1960s, many studies have been conducted in order to increase the system capacity, such as the attenuation reduction, chromatic dispersion control and elimination of nonlinearities. In this context, Bragg fibers appear as a structure with great potential to mitigate these drawbacks. Bragg fibers have a different operational mechanism with respect to traditional fibers to support the confined modes. Their core has a low refractive index, and the cladding consists of dielectric rings of different refractive indices, allocated alternately. For a Bragg fiber with hollow core, as considered in this paper, there are losses due to the occurrence of leaky modes. Therefore, the dispersion analysis of these structures falls in the complex plane, making it even harder. This dissertation will be based on a strategy essential to the analysis of transverse modes: TE0m, TM0m and hybrids. The found results have been validated by comparing them with those obtained in the literature. The paper discusses the losses and dispersions of the mentioned modes, and the results obtained will serve to guide the research on Bragg fibers.

Dans cette étude, le comportement aérodynamique du jet pariétal (Re = 8000) cisaillé latéralement par un courant de perturbation externe (ELS) de profil de vitesse uniforme (Ulf) a été étudié et analysé. Les expérimentations ont été réalisées par PIV et LDV sur une maquette aéraulique isotherme à échelle réduite d’un meuble frigorifique de vente. L’étude est centrée sur la région du jet située à proximité de la section de soufflage (x/e < 10) qui correspond à la zone dans laquelle se développent les instabilités et le processus de transition vers la turbulence. L’analyse des résultats obtenus avec et sans perturbation a mis en évidence que la perturbation entraîne une diminution significative du pouvoir d’entraînement du jet, une forte décroissance de la vitesse moyenne maximale, un faible épanouissement du jet et une augmentation globale des valeurs des moments d’ordre deux de toutes les composantes des contraintes de Reynolds. L’analyse par PIV résolue en temps (10 kHz) montre une topologie déformée et allongée des structures de Kelvin-Helmholtz (K-H) pour (Ulf = 0,5 ms-1) et détachée pour (Ulf = 1 ms-1). Les résultats de l’interaction mutuelle ente les couches interne et externe indiquent que le courant ELS brise partiellement le mécanisme de formation des dipôles de vortex qui deviennent irréguliers et moins prédictifs, ce qui conduit à l’allongement de la zone de transition et retarde donc l’apparition de la zone auto-similaire du jet. D’après la technique POD, l’ELS engendre une redistribution énergétique entre les modes. Le courant ELS affecte également les instabilités K-H en perturbant leur organisation bidimensionnelle, leur topologie, leur alignement et leur fréquence de passage mettant en évidence l’effet inhibiteur exercé sur le développement des structures primaires. Les corrélations spatiales Rvv reflètent la diminution des échelles de longueur dans le cas d’un jet perturbé. / In this study, the aerodynamic behavior of the plane wall jet (Re = 8000) sheared laterally by an external lateral stream (ELS) of a uniform velocity profile (Ulf) was studied and analyzed. The experiments were carried out by PIV and LDV on a reduced-scale isothermal aeraulic model of a refrigerated display cabinet. The study focuses on the near-field region of the jet (x / e <10) which corresponds to the zone of transition to turbulence and onset and development of instabilities. The results obtained with and without perturbation showed a significant decrease in the entrainment rate, a strong decrease in the maximum velocity decay rate, a lower jet expansion and an overall increase in the values of second order moments of the Reynolds stress components. The time-resolved PIV analysis (10 kHz) shows a distorted and elongated topology of the Kelvin-Helmholtz (K-H) structures for (Ulf = 0,5 ms-1) and a detached topology for (Ulf = 1 ms-1). The results of the mutual interaction between the inner and outer layers indicate that the ELS partially breaks the vortex dipole formation mechanism which becomes irregular and less predictive, leading to the elongation of the transitional region and a lag effect in the beginning of the self-similarity region. POD technique reveals the role of the ELS in redistributing energy between the modes. The ELS also affects the K-H instabilities by disrupting their two-dimensional organization, topology, alignment and shedding frequency, highlighting the inhibitory effect exerted on the development of primary structures. The spatial correlations Rvv reflect the decrease of the length scales in the case of a perturbed jet.

Dans cette thèse on étudie la régularité de problèmes elliptiques (Laplace, Helmholtz) ou paraboliques (équation de la chaleur) avec donnée mesure dans divers cadres géométriques. Ainsi, on considère pour les seconds membres des masses de Dirac en un point, sur une ligne infinie, semi-infinie ou finie, et également sur une courbe régulière. Les solutions de ces problèmes étant singulières sur la fracture (modélisée par la masse de Dirac dans le second membre), on étudie la régularité dans des espaces de Sobolev avec poids. Dans le cas d'une fracture droite, on utilise une technique classique qui consiste à appliquer une transformée de Fourier ou de Mellin à l'équation de Laplace. Ceci nous amène à étudier l'équation de Helmholtz en 2D. Pour ce dernier, on montre des estimations uniformes qui permettent ensuite de prendre la transformée inverse et d'obtenir le résultat de régularité attendu. De même, la transformée de Laplace transforme l'équation de la chaleur dans la même équation de Helmholtz en 2D. Dans le cas d'une fracture courbe régulière, grâce aux résultats de [D'angelo:2012], en utilisant un argument de localisation et un recouvrement dyadique, on obtient une régularité améliorée de la solution toujours dans les espaces de Sobolev avec poids. / In this thesis, we study the regularity of elliptic problems (Laplace, Helmholtz) or parabolic problems (heat equation) with measure data in different geometric frames. Thus, we consider for the second members, Dirac masses at a point, on a line, on a half-line, or on a bounded segment, and also on a regular curve.  As the solutions of these problems are singular on the fracture (modeled by Dirac mass in the second member), we study their regularity in weighted Sobolev spaces.   In the case of a straight fracture, using Fourier or Mellin technique reduces the problem in dimension three to a Helmholtz problem in dimension two. For the latter, we prove uniform estimates, which are then used to apply the inverse transform and to obtain the expected regularity result. Similarly, the Laplace transformation transforms the heat equation into the same Helmholtz equation in 2D.  In the case of a smooth curve fracture, thanks to the results of [D'angelo:2012], using a localization argument and a dyadic recovery we get an improved smoothness of the solution always in weighted Sobolev spaces.

Um Flugzeugtriebwerke und stationäre Gasturbinen schadstoffärmer und leiser zu gestalten, werden effizientere Dämpfer zur Unterdrückung des in der Brennkammer entstehenden Schalls benötigt. Hierfür sollen durchströmte, perforierte Wandauskleidungen eingesetzt werden, die sogenannten Bias-Flow-Liner (BFL). Die Erhöhung der Dämpfungseffizienz von BFL erfordert jedoch ein tiefer gehendes Verständnis der aeroakustischen Dämpfungsmechanismen. Die Analyse der Mechanismen bedarf einer experimentellen Untersuchung des Vektorfeldes der Fluidgeschwindigkeit, die sowohl die Strömungsgeschwindigkeit als auch die Schallschnelle enthält. Zur gleichzeitigen Erfassung beider Größen wird eine berührungslose sowie örtlich und zeitlich hoch aufgelöste Messung der Geschwindigkeit von im Mittel 10 m/s bis 100 m/s bei einer Unsicherheit von maximal 10 mm/s für die Schallschnelleamplitude und einem Dynamikumfang von 1000 bis 10 000 benötigt. Für diese Messung sind optische Verfahren vielversprechend, genügten aber bisher nicht diesen Anforderungen. Deshalb wurden im ersten Schritt neuartige optische Geschwindigkeitsmessverfahren erstmals bezüglich der Eignung für aeroakustische Untersuchungen am BFL, speziell hinsichtlich der Unsicherheit und des Dynamikumfangs, charakterisiert: der Laser-Doppler-Geschwindigkeitsprofilsensor (LDV-PS), die akustische Particle Image Velocimetry (A-PIV) und die Doppler-Global-Velozimetrie mit Frequenzmodulation (FM-DGV). Aus dem Messunsicherheitsbudget geht für alle Verfahren die turbulente Strömungsfluktuation als dominierender Beitrag zur Unsicherheit für die gemessene Schnelleamplitude hervor, wobei die Unsicherheit durch eine Erhöhung der Messdauer gesenkt werden kann. Für eine Messdauer von 80 s beträgt die mittels FM-DGV erzielte Unsicherheit bei einer mittleren Strömungsgeschwindigkeit von 100 m/s beispielsweise 10 mm/s, woraus ein Dynamikumfang von 10 000 resultiert. Demnach erfüllen die neuartigen Verfahren die Voraussetzungen für die Anwendung am BFL, was im zweiten Schritt experimentell demonstriert wurde. Hierbei wurde zwecks Untersuchung kleiner Strukturen der LDV-PS mit einer feinen Ortsauflösung von minimal 10 µm genutzt. Ferner wurde die großflächige Erfassung mittels A-PIV zur Untersuchung der Wechselwirkung zwischen den Perforationslöchern eingesetzt und eine spektrale Untersuchung der mittels FM-DGV gemessenen Geschwindigkeit bei einer hohen Messrate von 100 kHz durchgeführt. Im Ergebnis wurden folgende Erkenntnisse zum Dämpfungsverhalten gewonnen: Am BFL tritt eine Interaktion von Strömung und Schall auf, die zu einer Oszillation der Geschwindigkeit mit hoher Amplitude bei der Schallanregungsfrequenz führt. Aus der erstmals durchgeführten Zerlegung der volumetrisch gemessenen Geschwindigkeit in Strömungsgeschwindigkeit und Schallschnelle resultiert, dass die akustisch induzierte oszillierende Geschwindigkeit vorwiegend dem Strömungsfeld zuzuordnen ist. Folglich wurde ein Energietransfer vom Schallfeld ins Strömungsfeld am BFL nachgewiesen, der wegen des sich typischerweise anschließenden Zerfalls von Strömungswirbeln und der finalen Umwandlung in Wärmeenergie zur Dämpfung beiträgt. Zudem wurde mittels spektraler Analyse der Geschwindigkeit ein breitbandiger Energiezuwachs bei tonaler Schallanregung festgestellt, welcher mit der Dämpfungseffizienz korreliert ist. Somit wird die These der primär von der akustisch induzierten Wirbelbildung herrührenden Dämpfung gestützt. Diese mit den neuartigen optischen Messverfahren gewonnenen Erkenntnisse tragen perspektivisch zur Optimierung von BFL hinsichtlich einer hohen Dämpfungseffizienz bei.

Cette thèse s'inscrit dans le sujet des opérateurs intégraux de frontière définis sur le disque unitaire en trois dimensions, leurs relations avec les problèmes externes de Laplace et Helmholtz, et leurs applications au préconditionnement des systèmes linéaires obtenus en utilisant la méthode des éléments finis de frontière.On décrit d'abord les méthodes intégrales pour résoudre les problèmes de Laplace et de Helmholtz en dehors des objets à frontière régulière lipschitzienne, et en dehors des surfaces bidimensionnelles ouvertes dans un espace tridimensionnel. La formulation intégrale des problèmes de Laplace et de Helmholtz pour ces cas est décrite formellement. La mise en oeuvre d'une méthode numérique utilisant la méthode des éléments finis de frontière est également décrite. Les avantages et les défis inhérents à la méthode sont abordés : la complexité du calcul numérique (de mémoire et algorithmique) et le mal conditionnement inhérentes à des systèmes linéaires associés.Dans une deuxième partie on expose une technique optimale de préconditionnement (indépendante de la discrétisation) sur la base des opérateurs intégraux de frontière. On montre comment cette technique est facilement réalisable dans le cas de problèmes définis en dehors d'un objet régulier à frontière lipschitzienne, mais qu'elle pose des problèmes quand ils sont définis en dehors d'une surface ouverte dans un espace tridimensionnel. On montre que les opérateurs intégraux de frontière associés à la résolution des problèmes de Dirichlet et Neumann définis en dehors des surfaces ont des inverses bien définis. On montre également que ceux-ci pourraient conduire à des techniques de préconditionnement optimales, mais que ses formes explicites ne sont pas faciles à obtenir. Ensuite, on montre une méthode pour obtenir de tels opérateurs inverses de façon explicite lorsque la surface sur laquelle ils sont définis est un disque unitaire dans un espace tridimensionnel. Ces opérateurs inverses explicites seront, cependant, en forme des séries, et n'auront pas une adaptation immédiate pour leur utilisation dans des méthodes des éléments finis de frontière.Dans une troisième partie on montre comment certaines modifications aux opérateurs inverses mentionnés permettent d'obtenir des expressions variationnelles explicites et fermées, non plus sous la forme des séries, en conservant certaines caractéristiques importantes pour l'effet de préconditionnement cherché. Ces formes explicites sont en effet applicables aux méthodes des éléments finis frontière. On obtient des expressions variationnelles précises et on propose des calculs numériques pour leur utilisation avec des éléments finis frontière. Ces méthodes numériques sont testées en utilisant différentes identités obtenues dans la théorie développée, et sont ensuite utilisées pour produire des matrices préconditionnantes. Leur performance en tant que préconditionneurs de systèmes linéaires associés à des problèmes de Laplace et Helmholtz à l'extérieur du disque est testée. Enfin, on propose extension de cette méthode pour couvrir les cas de surfaces diverses. Ceci est illustré et étudié dans les cas précis des problèmes extérieurs à des surfaces en forme de carré et en forme de L dans un espace tridimensionnel. / This thesis is about some boundary integral operators defined on the unit disk in a three-dimensional spaces, their relation with the exterior Laplace and Helmholtz problems, and their application to the preconditioning of the systems arising when solving these problems using the boundary element method.We begin by describing the so-called integral method for the solution of the exterior Laplace and Helmholtz problems defined on the exterior of objects with Lipschitz-regular boundaries, or on the exterior of open two-dimensional surfaces in a three-dimensional space. We describe the integral formulation for the Laplace and Helmholtz problem in these cases, their numerical implementation using the boundary element method, and we discuss its advantages and challenges: its computational complexity (both algorithmic and memory complexity) and the inherent ill-conditioning of the associated linear systems.In the second part we show an optimal preconditioning technique (independent of the chosen discretization) based on operator preconditioning. We show that this technique is easily applicable in the case of problems defined on the exterior of objects with Lipschitz-regular boundary surfaces, but that its application fails for problems defined on the exterior of open surfaces in three-dimensional spaces. We show that the boundary integral operators associated with the resolution of the Dirichlet and Neumann problems defined on the exterior of open surfaces have inverse operators, and that these operators would provide optimal preconditioners, but that they are not easily obtainable. Then we show a technique to explicitly obtain such inverse operators for the particular case when the open surface is the unit disk in a three-dimensional space. Their explicit inverse operators will be given, however, in the form of series, and will not be immediately applicable in the use of boundary element methods.In the third part we show how some modifications to these inverse operators allow us to obtain variational explicit and closed form expressions, no longer expressed as series, but also conserve nonetheless some characteristics that are relevant for their preconditioning effect. These explicit and closed forms expressions are applicable in boundary element methods. We obtain precise variational expressions for them and propose numerical schemes to compute the integrals needed for their use with boundary elements. The proposed numerical methods are tested using identities available within the developed theory and then used to build preconditioning matrices. Their performance as preconditioners for linear systems is tested for the case of the Laplace and Helmholtz problems for the unit disk. Finally, we propose an extension of this method that allows for the treatment of cases of open surfaces other that the disk. We exemplify and study this extension in its use on a square-shaped and an L-shaped surface screen in a three-dimensional space.

La présente thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes inverses pour l'équation de Helmholtz jauge-covariante, dont des cas particuliers comprennent l'équation de Schrödinger pour une particule élémentaire chargée dans un champ magnétique et l'équation d'onde harmonique en temps qui décrive des ondes acoustiques dans un fluide en écoulement. Ces problèmes ont comme motivation des applications dans des tomographies différentes, qui comprennent la tomographie acoustique, la tomographie qui utilise des particules élémentaires et la tomographie d'impédance électrique. En particulier, nous étudions des problèmes inverses motivés par des applications en tomographie acoustique de fluide en écoulement. Nous proposons des formules et équations qui permettent de réduire le problème de tomographie acoustique à un problème de diffusion inverse approprié. En suivant, nous développons un algorithme fonctionnel-analytique pour la résolution de ce problème de diffusion inverse. Cependant, en général, la solution de ce problème n'est unique qu'à une transformation de jauge appropriée près. À cet égard, nous établissons des formules qui permettent de se débarrasser de cette non-unicité de jauge et retrouver des paramètres du fluide, en mesurant des ondes acoustiques à des plusieurs fréquences. Nous présentons également des exemples des fluides qui ne sont pas distinguable dans le cadre de tomographie acoustique considérée. En suivant, nous considérons le problème de diffusion inverse sans information de phase. Ce problème est motivé par des applications en tomographie qui utilise des particules élémentaires, où seulement le module de l'amplitude de diffusion peut être mesuré facilement. Nous établissons des estimations dans l'espace de configuration pour les reconstructions sans phase de type Borne, qui sont requises pour le développement des méthodes de diffusion inverse précises. Finalement, nous considérons le problème de détermination d'une surface de Riemann dans le plan projectif à partir de son bord. Ce problème survient comme une partie du problème de Dirichlet-Neumann inverse pour l'équation de Laplace sur une surface inconnue, qui est motivé par des applications en tomographie d'impédance électrique. / This work is devoted to study of some inverse problems for the gauge-covariant Helmholtz equation, whose particular cases include the Schrödinger equation for a charged elementary particle in a magnetic field and the time-harmonic wave equation describing sound waves in a moving fluid. These problems are mainly motivated by applications in different tomographies, including acoustic tomography, tomography using elementary particles and electrical impedance tomography. In particular, we study inverse problems motivated by applications in acoustic tomography of moving fluid. We present formulas and equations which allow to reduce the acoustic tomography problem to an appropriate inverse scattering problem. Next, we develop a functional-analytic algorithm for solving this inverse scattering problem. However, in general, the solution to the latter problem is unique only up to an appropriate gauge transformation. In this connection, we give formulas and equations which allow to get rid of this gauge non-uniqueness and recover the fluid parameters, by measuring acoustic fields at several frequencies. We also present examples of fluids which are not distinguishable in this acoustic tomography setting. Next, we consider the inverse scattering problem without phase information. This problem is motivated by applications in tomography using elementary particles, where only the absolute value of the scattering amplitude can be measured relatively easily. We give estimates in the configuration space for the phaseless Born-type reconstructions, which are needed for the further development of precise inverse scattering algorithms. Finally, we consider the problem of determination of a Riemann surface in the complex projective plane from its boundary. This problem arises as a part of the inverse Dirichlet-to-Neumann problem for the Laplace equation on an unknown 2-dimensional surface, and is motivated by applications in electrical impedance tomography.

In this thesis we look at acoustic wave propagation under water. We look in particular at waves generated by a point source and what happens with the propagation when we model the bottom as flat or as curvilinear. We assume the source to be working at a certain frequency and therefore we model this problem by solving the Helmholtz equation. Since Helmholtz equation has some unwanted numerical properties we are interested in finding new numerical methods that could accelerate the solver. In this thesis we use the Waveholtz iteration, which solves Helmholtz equation by connecting it to the time-dependent wave equation. We use finite differences and the SBP-SAT method to approximate the spatial problem numerically and for modelling the sea bottom we use curvilinear coordinates.  To compare the Waveholtz iteration we also solve Helmholtz equation with a naive solver. The naive solver consists of approximating the equation with finite differences and then solving the linear system of equation by some iterative solver, which for our tests will be GMRES. The results show that the Waveholtz iteration converges in less iterations than our naive solver. It also shows that the number of iterations stays unchanged when changing our discretization, which otherwise is a big problem for our naive solver. This allows us to increase the accuracy of our numerical solution without changing the computation time too much.  We show that the number of iterations increases according to theory for an increasing frequency, and that for open problems we even see a smaller increase. For certain resonant frequencies in Helmholtz equation we do not expect the Waveholtz iteration to converge. In the neighbourhood of these frequencies the convergence becomes slow and we need many iterations for a solution of a certain accuracy. By reformulating the Waveholtz iteration as a Krylov solution we can see that resonances in Helmholtz equation have a smaller impact of the convergence. / I detta examensarbete undersöker vi akustisk vågutbredning i vatten. Vi kollar specifikt på vågor som genereras av en punktkälla och vad som sker när vi modellerar botten som plan eller som kurvlinjär. Då vi antar att punktkällan arbetar vid en bestämd frekvens, kommer vi modellera det fysikaliska problemet genom att lösa Helmholtz ekvation. Helmholtz ekvation har dock några numeriska egenskaper som är oönskade, och därför finns ett intresse av att hitta nya numeriska metoder som löser ekvationen. I detta examensarbete undersöker vi Waveholtz iteration, som löser Helmholtz ekvation genom att koppla den till den tidsberoende vågekvationen. Vi använder finita differenser och SBP-SAT metoden för att approximera det rumsliga problemet numeriskt. För att ge en detaljerad beskrivning av botten använder vi kurvlinjära koordinater. För att jämföra Waveholtz iterationen med något löser vi även Helmholtz med hjälp av en naiv lösare. Den naiva lösaren består av att approximera problemet med finita differenser och sedan lösa det linjära systemet rakt av med en iterativ lösare (vilket för våra fall kommer vara GMRES). Resultatet visar att Waveholtz iteration konvergerar på ett lägre antal iterationer än vår naiva lösare. Det visar även att antalet iterationer inte förändras när vi ändrar diskretisering, vilket annars är ett problem för vår naiva lösare. Detta innebär att vi kan få en högre noggrannhet utan att förlänga beräkningstiden alltför mycket.  Vi visar även att antalet iterationer ökar som förväntat med en ökad frekvens, samt att för öppna problem så ökar antalet iteration mindre än enligt teorin. Vid vissa resonanta frekvenser i Helmholtz ekvation förväntar vi oss att Waveholtz iteration inte kommer konvergerar. I närheten av dessa frekvenser blir konvergensen långsam och vi behöver många iterationer för att lösa problemet. Genom att formulera Waveholtz iteration som en Krylov lösning kommer resonanser i Helmholtz ekvation ge en mindre negativ effekt på konvergensen än om den är formulerad som en fixpunkts iteration.

<p>When a design feature (such as material choice, internal bracing pattern, guitar body depth, and sound hole diameter) of an acoustic guitar changes, the effect of the change on the guitar’s sound is not well understood. As a result, luthiers approximate how to make guitars that have resonant frequencies of around 95-105 Hertz (Hz), the frequency range which sounds “good.” The researcher designed a reconfigurable fixture that simulated an acoustic guitar body with a variable body depth and sound hole diameter. The researcher used this testing fixture to examine the relationship between sound hole diameter, body depth, and resonant frequency. She conducted an experimental parameter sweep, measuring frequency response functions (FRFs) to collect data on the first, Helmholtz, and second resonant frequencies of the simulated acoustic guitar. The researcher pinpointed the general trends in the correlation between resonant frequency, body depth, and sound hole diameter using the frequency data from the FRF measurements. She determined that as sound hole diameter increased, the first, Helmholtz, and second resonant frequencies increased; and as body depth and body volume increased, the first and Helmholtz resonant frequencies decreased, while the second resonant frequency increased up until a body depth of approximately 4.50” inches. Exploring alternative design features and material choices contributes to improving urban infrastructure by encouraging luthiers to make instruments with sustainable materials (National Academy of Engineering, Grand Challenges – Restore and Improve Urban Infrastructure, 2023).</p>