>Magister Scientiae - MSc / The first two chapters give the background, history and overview of the dissertation, together with the necessary mathematical preliminaries. Thereafter, the next four chapters deal with credit risk and credit derivatives.The final part of the dissertation is devoted to the Basel II bank regulatory framework and the mathematical modeling of asset allocation in bank management, pertaining to credit risk.Credit risk models can be categorized into two groups known as structural models and reduced form models. These models are used in pricing and hedging credit risk. In this thesis we review a variety of credit risk instruments described by models of the said types. One of the strategies utilized by companies to mitigate credit risk is by using credit derivatives.In this thesis, five main types of risk derivatives have been considered: credit swaps, credit linked notes, credit spreads, total return swaps and collaterized debt obligations. Valuation models for the first three derivatives that are mentioned above, are also presented in this dissertation.The material presented include some of the most recent developments in the literature. Our methods range from single-period modeling to application of stochastic optimal control theory. We expand on the material presented from the literature by way of simplifying or clarifying proofs, and by adding illustrative examples in the form of calculations, tables and simulations.Also, the entire Chapter 6 is a new original contribution to the existing literature on mathematical modeling of credit risk. Key words: credit risk; default risk; structural approach; reduced form approach; incomplete information approach; investment strategy; Basel II regulatory framework

La compréhension des pratiques enseignantes constitue l'objectif principal de mes recherches en didactique des mathématiques. L'enseignant y est considéré comme un individu en situation de travail dont les activités poursuivent des objectifs qui ne concernent pas seulement les élèves, mais aussi, par exemple, des impératifs liés à l'exercice même du métier. En conséquences, mes travaux sont marqués par une attention majeure à la complexité des pratiques des enseignants ainsi qu'à leur point de vue sur leurs pratiques, sans tomber pour autant dans l'impasse de tenir pour vrai tout ce qui s'appuie sur leur expérience. Certaines recherches ont été menées avec des enseignants, parfois même à partir de leurs problèmes professionnels, ou avec d'autres chercheurs en sciences de l'éducation au sein d'un groupe codisciplinaire. L'étude des régularités des pratiques, ainsi que de leur diversité et de leur variabilité, a permis de mettre au jour des règles de métier en lien avec des contraintes professionnelles, ainsi que certaines marges de manœuvre que les enseignants investissent, en classe particulièrement, et des possibilités de développement professionnel individuelles ou collectives. L'ensemble de ces travaux et des résultats obtenus m'ont amené à développer un cadre où les pratiques enseignantes sont considérées, d'une part, comme relevant d'un ensemble d'activités professionnelles interdépendantes que sont la préparation, l'enseignement, l'évaluation, la formation et la coopération, et, d'autre part selon trois dimensions : institutionnelle, sociale et personnelle. Ce cadre ouvre des perspectives de nouvelles recherches en didactique des mathématiques. Ainsi, par exemple, des travaux sont en cours sur les aides que les enseignants apportent ou pourraient apporter à leurs élèves, sur les difficultés souvent rencontrées lors des transitions scolaires, de l'école au collège ou du collège au lycée, ainsi que sur la formation au calcul de doses médicamenteuses, une activité mathématique réalisée par les professionnels en soins infirmiers.

Gauss introduit la notion de congruence en 1801 dans les Disquisitiones Arithmeticae. L'historiographie classique relie le plus souvent l'histoire de cette notion au développement de la théorie des nombres algébriques, une histoire construite autour d'un groupe de mathématiciens allemands. Pourtant, d'autres auteurs ont publié des travaux en lien avec les congruences dans la première moitié du XIXe siècle, et ce dans des perspectives différentes. Dans ce travail, nous nous proposons de rendre compte de ces dernières en nous concentrant sur les travaux de la scène française publiés entre 1801 et 1850. À partir d'une première lecture globale des textes de notre corpus, nous montrons d'abord que les congruences n'y ont pas connu un développement autonome mais ont été étudiées dans un lien étroit avec les équations. Toutefois, les différentes pratiques rencontrées sont très variées, que ce soit du point de vue des méthodes, des outils en jeu ou des configurations disciplinaires en jeu. Nous étudions ensuite plusieurs travaux arithmétiques d'Euler, de Lagrange, de Legendre et de Gauss afin de comprendre certaines origines de cette activité multiforme mise en évidence dans notre première partie. Nous nous concentrons enfin sur les travaux de deux auteurs de notre corpus, Louis Poinsot et Augustin Louis Cauchy, qui ont joué un rôle important dans l'élaboration et la diffusion de résultats et de pratiques liés aux congruences, même s'ils ont pratiquement disparu des histoires de la théorie des nombres publiées au XXe siècle.

Notre travail de recherche porte sur l'analyse de l'action du professeur et ses interactions avec les élèves dans le domaine spécifique de l'étude du numérique en Cours Préparatoires. L'objectif de notre thèse est d'analyser l'action du professeur et ses pratiques didactiques en classes, et formatives dans une Cellule d'Animation Pédagogique. La première partie comporte une présentation du contexte socio économique et éducatif du Niger. Nous nous interrogeons ensuite sur les pratiques professorales permettant ou non aux élèves de prendre de réelles responsabilités par rapport aux savoirs, et sur la pertinence du travail de conception collective de séances. Dans la deuxième partie, nous exposons nos outils théoriques, les travaux antérieurs en lien avec nos objets de recherche, et la problématique générale de notre travail. La troisième partie est consacrée à la démarche méthodologique qui fonde notre étude sur l'analyse des manuels, des vidéos de classe et les observations in situ. La quatrième partie examine les ressources mathématiques utilisées à l'écoleprimaire au Niger, en interrogeant l'influence de ces ressources sur les pratiques habituelles des professeurs enquêtés. Les cinquième et sixième parties analysent les séances empiriques en termes de topogénèse, et de recours aux systèmes sémiotiques pour étudier le savoir en jeu dans les situations didactiques. Dans la septième partie, nous proposons un dispositif innovant de formation continue sur la conception collective de leçons dans une CAPED. En conclusion, dans une huitième partie nous présentons d'abord une synthèse de nos résultats, et nous exposons ensuite les perspectives que ce travail de recherche offre en termes de propositions en vue de l'élaboration d'ingénieries didactiques qui pourraient permettre la mise en place d'un travail coopératif entre professeurs et chercheurs

Solving cubic equations by a formula that involves only the elementary operations of sum, product, and exponentiation of the coefficients is one of the greatest results in 16th century mathematics. This was achieved by Girolamo Cardano's Ars Magna in 1545. Still, a deep, substantial difference between the quadratic and the cubic formula exists: while the quadratic formula only involves imaginary numbers when all the solutions are imaginary too, it may happen that the cubic formula contains imaginary numbers, even when the three solutions are anyway all real (and different). This means that a scholar of the time could stumble upon numerical cubic equations of which he already knew three (real) solutions and the cubic formula of which actually contains square roots of negative numbers. This will be lately called the 'casus irreducibilis '. Cardano's De Regula Aliza (Basel, 1570) is (at least, partially) meant to try to overcome the problem entailed by it.

Récemment, l'algorithme a pris une place plus importante dans l'enseignement secondaire en France et à l'étranger. Ce concept, lié à l'informatique mais aussi aux mathématiques et à la preuve, soulève de nombreuses questions didactiques. Cette thèse propose une analyse épistémologique du concept dans le but d'étudier sa transposition et de construire des situations didactiques. Dans un premier temps, nous présentons une analyse épistémologique détaillée du concept en mettant en avant ses aspects fondamentaux. Cela permet de proposer un modèle de conceptions pour l'algorithme du point de vue du savoir savant (en mathématiques et informatique) et tenant compte l'ensemble des formes que peut prendre l'algorithme. Ces résultats, validés expérimentalement par les analyses d'entretiens avec des chercheurs, permettent de mener une étude de la transposition en jeu dans l'enseignement au lycée en France. Au travers de l'étude des instructions officielles, de manuels scolaires et de ressources en ligne, nous mettons en évidence une transposition partielle du concept principalement orientée vers la programmation et l'usage de l'algorithme comme un outil. La dernière partie propose une caractérisation des problèmes fondamentaux pour l'algorithme et des perspectives pour la construction et l'étude de situations didactiques en algorithmique.

Notre étude s'est construite à partir du constat que la multiplication est un objet mathématique complexe dans ses dimensions épistémologique et cognitive. Le fait que les représentations géométriques puissent favoriser la mise en évidence de significations d'un objet mathématique nous a conduits à la recherche d'une géométrisation de la multiplication pour différents ensembles de nombres. Pour étudier le rapport entre cet objet mathématique complexe -- la multiplication -- et la construction de son sens par les élèves, nous avons conçu des séances expérimentales menées dans des collèges et lycées français. Cette étude expérimentale nous a permis d'analyser en profondeur la maîtrise que les élèves manifestent ou, au contraire, les obstacles qu'ils rencontrent dans un travail mathématique qui nécessite, notamment des changements de cadres et de registres de représentation sémiotique. Les données issues de nos séances expérimentales ont été analysées à l'aide d'une articulation entre différentes approches théoriques. La notion d'Espace de Travail Mathématique et ses genèses permet de rendre compte de la complexité du travail mathématique des élèves. Pour étudier le travail collaboratif entre élèves et le rôle de l'enseignant dans le processus de médiation culturelle, nous avons intégré la médiation sémiotique et la construction sociale des connaissances. L'articulation théorique produite nous a permis de décrire plus finement les relations entre les plans épistémologique et cognitif de l'ETM. Nous arrivons finalement à l'identification et l'analyse de parcours d'individus résultant des interactions produites à l'intérieur d'un Espace de Travail Mathématique.

En classe comme ailleurs, les mathématiques que chacun pratique ne parlent pas d'elles-mêmes. L'échange scolaire exige donc des formes qui permettent non seulement au maître de désigner et à l'élève d'identifier ce qu'il faut apprendre, mais encore au premier de vérifier et au second de faire voir ce qui a été appris. Ces formes indiquent qu'on fait des mathématiques : elles ne garantissent pas pour autant l'authenticité du travail. Les représentations mathématiques ne sont pour les élèves que des supports à leurs activités d'écoliers et les termes restent liés au contexte. Identifier les mathématiques pratiquées revient à confronter ces illustrations aux activités effectives. En décrivant la chaîne qui va de la constitution d'un contenu (ensembles, nombres) jusqu'à la leçon, cette thèse montre comment le concept de transposition didactique permet la restitution de la réalité de la classe.

La thèse traite des activités de recherche et de preuve entre pairs (RPP) en classe de mathématiques et des moyens de favoriser leur mise en œuvre à la fin de l'école primaire. Le travail mené s'appuie sur des outils classiques en didactique des mathématiques (Robert & Rogalski 2002). Il est enrichi par la théorie des communautés de pratique (CoP) (Wenger 1998) qui est présentée et discutée, et par des concepts d'ergonomie des environnements informatiques pour l'apprentissage humain dont l'usage est élargi aux ressources destinées aux enseignants. Les potentiels de recherche, de débat, de résistance, de résistance dynamique, didactique, sont définis pour mieux caractériser les activités RPP. Une analyse comparée d'expériences antérieures et de ressources destinées aux enseignants est présentée, ainsi qu'une étude de la littérature concernant l'exploitation, encore limitée, de la théorie des CoP en didactique des mathématiques. Une expérimentation, menée sur 3 années et s'appuyant sur une CoP d'enseignants, a permis d'opérationnaliser cette théorie de manière nouvelle (participation/réification, objet frontière, courtage, trajectoire) dans le but de favoriser des évolutions de pratique. Des ressources présentaient aux enseignants des problèmes ouverts déjà expérimentés. Leur ergonomie était affinée pour résoudre le paradoxe d'incomplétude des ressources concernant la quantité d'information utilisable et acceptable par un enseignant. Les analyses ont montré l'intérêt de l'approche proposée, les possibilités de son optimisation, et le fait que la complexité des activités RPP peut largement expliquer leur faible diffusion dans les pratiques enseignantes.

En France les concepts de rapport et de proportion ont disparu des programmes du secondaire depuis 1970 où la fonction linéaire est censée reformuler la proportionnalité entre grandeurs. Mais dans la nouvelle organisation des savoirs à enseigner la " fonction linéaire " n'est qu'un exemple banal de relation numérique de telle sorte qu'aujourd'hui les professeurs de tous les niveaux n'ont ni l'usage de la " fonction linéaire " ni celui des " rapports et proportions " pour traiter convenablement les problèmes de l'arithmétique élémentaire. La recherche d'une articulation logique et fonctionnelle des notions de nombres, de variables et de fonctions pour un processus d'apprentissage à long terme fait apparaître qu'un traitement du milieu des grandeurs par une pratique des rapports, des mesures et de la proportionnalité est incontournable dans la genèse de ces concepts. Actuellement, l'enseignement obligatoire principalement orienté vers la scolarité future des élèves tend à ignorer les notions qui ont tenu une place importante dans l'organisation des mathématiques encore en usage dans la culture et le monde du travail. L'abandon des concepts de rapport et proportion ne s'est pas accompagné des avancées supplétives escomptées nécessaires autant aux institutions scolaires que sociétales ou professionnelles. Le sentiment d'échec ressenti par la société à la suite de cette " rupture conceptuelle " de l'objet proportionnalité n'a pas de solution pédagogique ou psychologique. Les différentes institutions concernées ont à traiter ce problème par une approche scientifique, technique et politique avec des connaissances de micro didactique mais aussi de macro didactique dont l'ignorance a été probablement une des causes des difficultés engendrées par les réformes successives.