Nesta tese estudamos as propriedades críticas dos modelos anisotrópicos (isotrópicos) de Heisenberg com spin s arbitrário. O espectro das Hamiltonianas, com condições periódicas de contorno, foi calculado para redes finitas, resolvendo-se as equações do Bethe ansatz associadas. Nossos resultados indicam que a anomalia conforme destes modelos tem o valor c=3s/(1+s), independente da anisotropia, e os expoentes críticos variam continuamente com a anisotropia assim como no modelo de 8-vértices. O conteúdo de operadores destes modelos indica que a teoria de campos que governa a criticalidade destes modelos de spin é descrita por operadores formados pelo produto de um operador Gaussiano por outro com simetria Z(2s). Estudando estes modelos, com certas condições especiais de contorno, mostramos que eles são relacionados com uma nova classe de teorias unitárias recentemente propostas / This thesis is concerned with the critical properties of anisotropic (isotropic) Heisenberg chain,with arbitrary spin-s. The eigenspectrum of these Hamiltoniana, with periodic boundaries, are calculated for finite chains by solving numerically their associated Bethe ansatz equations. The results indicate that the conformal anomaly hás the value c=3s/1+s, independently of the anisotropy, and the exponentes vary continuously with the anisotropy like in the 8-vertex model. The operator content of these models indicate that the underlying field theory governing these critical spin-s models are described by composite fields formed by the product of Gaussian and Z(2s) fields. Studying these models, with some special boundary conditions, we show that they are related with a large class of unitary conformal field theories recntly introduced

As técnicas de análise de estabilidade transitória em sistemas elétricos de potência desenvolveram-se significativamente nas últimas duas décadas. Atualmente, o principal desafio dos pesquisadores é a obtenção de técnicas que sejam adequadasa análises em tempo real. Neste sentido, as idéias de Liapunov associadas ao Princípio de Invariância de LaSalle têm sido utilizadas para estimar a bacia de atraçãoo dos sistemas de potência. Embora esta filosofia seja bastante adequada a análises de estabilidade em tempo real, existem alguns obstáculos que impedem a aplicação da mesma à análise de sistemas reais. Dentre estes obstáculos poder-se-ia destacar a impossibilidade de utilização de modelos mais realísticos e a limitação da análise ao primeiro "swing". Em verdade, estes obstáculos estão intimamente relacionados com as limitações do Princípio de Invariância de LaSalle. Para superar estes problemas, propõe-se, neste trabalho, uma extensão deste princípio que é mais geral e portanto mais flexível do que o original. Aproveitando esta maior flexibilidade, duas aplicações em análise de estabilidade transitória são abordadas, ambas com o objetivo de reduzir os obstáculos anteriormente mencionados. Na primeira, propõe-se uma nova função energia para sistemas de potência com perdas nas linhas de transmissão. Mostra-se que esta é uma função de Liapunov no sentido mais geral da extensão do Princípio de Invariância de LaSalle, podendo portanto ser empregada para estudos de estabilidade. Na segunda, uma metodologia de análise de estabilidade multi-"swing" é proposta com base em uma análise de coerência de geradores.

Muitos sistemas físicos são modelados por sistemas dinâmicos discretos. Com o advento da tecnologia digital os sistemas discretos tornaram-se ainda mais importantes, sendo assim, o desenvolvimento de ferramentas analíticas para este tipo de sistema é de grande importância. Neste trabalho, estudam-se alguns dos principais resultados relacionados à estabilidade de sistemas dinâmicos discretos, e alguns novos são propostos. É bem conhecido na literatura que a estabilidade de um ponto de equilíbrio pode ser caracterizada pelo Método Direto de Lyapunov, via uma função auxiliar denominada função de Lyapunov. LaSalle, ao estudar a teoria de Lyapunov, estabeleceu uma importante relação entre função de Lyapunov e conjuntos limites de Birkhoff, que deu origem ao Princípio de Invariância de LaSalle. Este, entre outras coisas, permite a análise de estabilidade assintótica. Tanto o Método Direto de Lyapunov quanto o Princípio de Invariância requerem que a variação da função de Lyapunov seja não positiva ao longo das trajetórias do sistema. Em sistemas com comportamentos mais complexos, dificilmente encontra-se uma função com esta propriedade. Neste trabalho, propõe-se uma versão mais geral do Princípio de Invariância para sistemas discretos, a qual não exige que a variação da função de Lyapunov seja sempre não positiva. Com isto, a obtenção de funções deste tipo torna-se mais simples e muitos problemas, que antes não poderiam ser tratados com a teoria convencional, passam a ser tratados através deste novo resultado. Os resultados desenvolvi- dos, neste trabalho, são úteis para encontrar estimativas de atratores de sistemas não-lineares discretos. / Many physical systems are modeled by discrete dynamic systems. With the evolution digital technology, the discrete systems became still more important, so the development of analytic tools for this type of system has high importance nowadays. ln this work, some of the main results in stability of discrete dynamic systems are studied and some new ones are proposed. lt is well known in the literature that the stability of an equilibrium point may be characterized by the Lyapunov\'s Direct Method, with a function known as Lyapunov auxiliary function. LaSalle, when studying the Lyapunov theory, established an important relationship between Lyapunov function and Birkhoff limit sets. Then, he created the Lasalle\'s lnvariance Principle. This, among other features, allows the analysis of asymptotically stability. Both the Lyapunov\'s Direct Method and the lnvariance Principle request the variation of the Lyapunov function to be negative semidefinite along the system trajectory. In systems with more complex behaviors, a function is hardly found with this property. This work developed a more general version of the lnvariance Principle for discrete systems, which does not require the variation of the Lyapunov function to be always negative semidefinite. This new theory enables to find these functions easily and many insoluble problems, which could not be treated with the conventional theory before, become treatable by this new result. The results of this work are useful to find estimates of discrete nonlinear systems atractors.

Este trabalho apresenta uma extensão do princípio de invariância para sistemas chaveados contínuos no tempo. Esta extensão fornece estimativas de atratores e suas respectivas áreas de atração para sistemas chaveados compostos por um número finito de subsistemas, a qual é obtida através de uma função auxiliar comum e múltiplas funções auxiliares que desempenham o mesmo papel que as funções de Lyapunov. As principais características desses novos resultados, são que a derivada da função auxiliar ou das múltiplas funções auxiliares podem assumir valores positivos em alguns conjuntos e também são usados para analisar o comportamento assintótico da solução do sistema chaveado. Resultados para sistemas chaveados com subsistemas com incertezas paramétricas também foram obtidos. Neste caso, as estimativas dos atratores e suas respectivas áreas de atração independem do parâmetro incerto. Analisando as propriedades da função auxiliar comum ao longo de um sistema formado pela combinação convexa de todos os subsistemas, os resultados passam a fornecer estimativas de atratores e suas áreas de atração mesmo na presença de subsistemas que não são ultimamente limitados. Este último resultado pode não evitar o chaveamento rápido, então surge o problema da existência da solução. Esta dificuldade pôde ser superada com o uso da teoria de sistemas descontínuos para garantir que sua solução seja definida para todo tempo mesmo que o chaveamento rápido ocorra. Portanto, uma escolha apropriada da lei de chaveamento possibilita o uso da solução de Krasovskii para garantir a existência da solução para todo tempo. Ainda, representando cada subsistema por um modelo fuzzy T-S, o comportamento assintótico da solução do sistema chaveado pôde ser estudado apenas verificando propriedades de alguns conjuntos do espaço de estado e a factibilidade de um conjunto de desigualdades matriciais lineares. / This work presents an extension of the invariance principle for continuous time switched systems. This extension is useful to obtain estimates of the attractor and basin of attraction for switched systems composed by a finite number of subsystems, which are obtained by using a common auxiliary function or multiple auxiliary functions which play the same hole as the Lyapunov function. The main feature of these new results are that the common auxiliary function or the multiple auxiliary functions can be positive in some sets and are used to analyze the asymptotic behavior of the switching solution. Results for switched systems with parametric uncertainties were also obtained. The estimates of the attractor and basin of attraction does not depend on the uncertain parameter. Analysing the auxiliary function along the solutions of the convex combination of the subsystems, estimates of the attractor and basin of attraction for switched systems with subsystems which are not necessarily ultimately bounded were given. This last result can not avoid the fast switching, then the switched solution may not exist for all time. This difficulty was overcome with the use of the theory of discontinuous systems to guarantee the existence of the switching system solution for all time. Furthemore, using a T-S fuzzy model approach, the asymptotic behavior of the switched solution could be analyzed only by checking properties of some sets and the feasibility of a set of linear matrix inequalities.

O uso da visão computacional vem ganhando espaço no contexto agrícola, especialmente com a evolução do conceito da agricultura de precisão. Aplicações como irrigação, fertilização e controle de pragas são apenas alguns dos cenários que essa tecnologia pode atender. Entretanto, a demanda por sistemas acessíveis e eficientes aliada às inconstâncias e ruídos visuais de um ambiente externo, apresentam desafios a estes processos. Foi proposto neste trabalho uma análise da literatura e uma série de investidas experimentais de técnicas de processamento de imagens, para buscar melhores relações entre custo computacional e desempenho da detecção de mudas de plantas, visando atingir operações em tempo real com o uso de hardwares comuns e de baixo custo. Para tanto o trabalho investiga a composição de estratégias de segmentação a partir de diferentes espaços de cor e métodos de constância de cor, de forma a reduzir a variação luminosa, uma das maiores fontes de instabilidade nas aplicações de visão na agricultura. Os experimentos propostos foram divididos em duas fases; na primeira o sistema de medidas foi avaliado, definindo as métricas e condições experimentais adequadas para a segunda fase, composta de uma sequência de experimentos comparativos entre estratégias de segmentação sob diferentes condições de iluminação. Os resultados mostraram que as soluções são muito dependentes das condições da cena e uma série de alternativas promissoras de segmentação foram obtidas. Sua elegibilidade, porém, depende de considerações sobre a disponibilidade computacional e contexto de aplicação. / The use of computer vision has been gaining ground in the agricultural context, especially with the evolution of the concept of precision agriculture. Applications such as irrigation, fertilization and pest control are just some of the scenarios that this technology can be used. However, the demand for accessible and efficient systems together with the variations and visual noise from an external environment presents challenges to these processes. It was proposed in this study an analysis of the literature and a series of experimental investigations of image processing techniques, to search for better relations between computational cost and performance in the detection of seedlings, aiming to achieve real time operations with the use of common and low cost hardware. For this, the work investigates the composition of segmentation strategies from different color spaces and color constancy methods, in order to combat light variation, one of the major sources of instability in agricultural vision applications. The proposed experiments were divided into two phases; in the first the measurement system was evaluated, defining the metrics and suitable conditions for the experiments at second phase, composed of a sequence of comparative experiments of segmentation strategies under different lighting conditions. The results showed that the solutions are very dependent on the conditions of the scene and a series of promising segmentation alternatives were obtained. Their eligibility, however, depends on considerations about the computational availability and context of the application.

Este trabalho apresenta uma extensão do princípio de invariância para sistemas chaveados contínuos no tempo. Esta extensão fornece estimativas de atratores e suas respectivas áreas de atração para sistemas chaveados compostos por um número finito de subsistemas, a qual é obtida através de uma função auxiliar comum e múltiplas funções auxiliares que desempenham o mesmo papel que as funções de Lyapunov. As principais características desses novos resultados, são que a derivada da função auxiliar ou das múltiplas funções auxiliares podem assumir valores positivos em alguns conjuntos e também são usados para analisar o comportamento assintótico da solução do sistema chaveado. Resultados para sistemas chaveados com subsistemas com incertezas paramétricas também foram obtidos. Neste caso, as estimativas dos atratores e suas respectivas áreas de atração independem do parâmetro incerto. Analisando as propriedades da função auxiliar comum ao longo de um sistema formado pela combinação convexa de todos os subsistemas, os resultados passam a fornecer estimativas de atratores e suas áreas de atração mesmo na presença de subsistemas que não são ultimamente limitados. Este último resultado pode não evitar o chaveamento rápido, então surge o problema da existência da solução. Esta dificuldade pôde ser superada com o uso da teoria de sistemas descontínuos para garantir que sua solução seja definida para todo tempo mesmo que o chaveamento rápido ocorra. Portanto, uma escolha apropriada da lei de chaveamento possibilita o uso da solução de Krasovskii para garantir a existência da solução para todo tempo. Ainda, representando cada subsistema por um modelo fuzzy T-S, o comportamento assintótico da solução do sistema chaveado pôde ser estudado apenas verificando propriedades de alguns conjuntos do espaço de estado e a factibilidade de um conjunto de desigualdades matriciais lineares. / This work presents an extension of the invariance principle for continuous time switched systems. This extension is useful to obtain estimates of the attractor and basin of attraction for switched systems composed by a finite number of subsystems, which are obtained by using a common auxiliary function or multiple auxiliary functions which play the same hole as the Lyapunov function. The main feature of these new results are that the common auxiliary function or the multiple auxiliary functions can be positive in some sets and are used to analyze the asymptotic behavior of the switching solution. Results for switched systems with parametric uncertainties were also obtained. The estimates of the attractor and basin of attraction does not depend on the uncertain parameter. Analysing the auxiliary function along the solutions of the convex combination of the subsystems, estimates of the attractor and basin of attraction for switched systems with subsystems which are not necessarily ultimately bounded were given. This last result can not avoid the fast switching, then the switched solution may not exist for all time. This difficulty was overcome with the use of the theory of discontinuous systems to guarantee the existence of the switching system solution for all time. Furthemore, using a T-S fuzzy model approach, the asymptotic behavior of the switched solution could be analyzed only by checking properties of some sets and the feasibility of a set of linear matrix inequalities.

In this master s thesis, we have studied the possibility of Lorentz invariance violation by considering some terms of the standard-model extesion (SME), specifically, those terms which refer to the quantum electrodynamics extension. We have performed quantum corrections in the fermionic sector of the usual quantum electrodynamics with added terms which violate the Lorentz and CPT symmetries in two different configurations. Firstly, adding operators governed by the coefficient gκλμ and, in a later time, adding operators governed by the coefficient bμ. In the theory with the coefficient gκλμ, we have performed quantum corrections in order to induce, in the bosonic sector of the theory, the conventional Chern-Simons and the higher-derivative terms, and analyze the behavior of both terms in the finite temperature regime, by using the method of derivative expansion and the Matsubara formalism. On the other hand, in the model with the coefficient bμ, we have performed quantum corrections in order to induce, in the bosonic sector, the higher-derivative Chern-Simons term, by using the method of derivative expansion and, subsequently, analyze the behavior of this term in the finite temperatura regime, where we have used the Matsubara formalism again. Thus, for the first case, we have observed that the conventional Chern-Simons term is nonzero only at finite temperature, whereas the higher-derivative term is finite at zero temperature, however, this term goes to zero when the temperature increases infinitely. In the second part of our study, we have shown that the higher-derivative Chern-Simons term is induced at zero temperature, nevertheless, this term goes to zero when the temperature increases too much. / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / Nesta dissertação, estudamos a possibilidade de violação da invariância de Lorentz levando em conta alguns termos do modelo padrão estendido, mais especificamente, da parte deste modelo que trata da eletrodinâmica quântica estendida. Realizamos correções quânticas no setor fermiônico da eletrodinâmica quântica usual adicionada de termos que violam as simetrias de Lorentz e CPT em duas configurações diferentes. Primeiramente, adicionando operadores governados pelo coeficiente gκλμ e, em um momento posterior, adicionando operadores governados pelo coeficiente bμ. Para a teoria com o coeficiente gκλμ, realizamos correções quânticas com a intenção de induzir, no setor bosônico da teoria, os termos de Chern-Simons convencional e o de derivada superior, e analisar o comportamento de ambos os termos no regime de temperatura finita, fazendo o uso do método da expansão derivativa e do formalismo de Matsubara. Já para o modelo com o coeficiente bμ, realizamos correções quânticas a fim de induzir, no setor bosônico, o termo de Chern-Simons de derivada superior, usando o método da expansão derivativa e, posteriormente, analisar o comportamento deste termo no regime de temperatura finita, ao utilizarmos novamente o formalismo de Matsubara. Assim, para o primeiro caso, notamos que o termo de Chern-Simons convencional é diferente de zero apenas à temperatura finita, enquanto que, o termo de derivada superior é finito em temperatura zero, porém, tal termo vai a zero quando a temperatura cresce infinitamente. Na segunda parte do nosso estudo, mostramos que o termo de Chern-Simons de derivada superior é induzido no regime de temperatura zero, contudo, tal termo vai a zero quando a temperatura cresce muito.

The effective action of Euler Heisenberg describes the nonlinear dynamics of electromagnetic fields in vacuum. Such action takes into account the polarization in a vacuum for a bond, in addition to describing also the photon propagation through arbitrary electromagnetic fields that vary slowly. So, since its discovery, the effective action of Euler Heisenberg has been studied in various contexts, such as the scattering of light by light, pair production in a vacuum, Division of photons, birefringence in vacuum, effective action in gravity and string theory, among others. In this work we performed a study on the Lorentz transformations of observer and grains, showing that, in the presence of a field, the revolutions and changes of speed (boost) break the equivalence between these two transformations (Observer and particle). We studied also the violation of Lorentz invariance by consideration of some terms related to the extended standard model, with a focus on quantum electrodynamics extended. We carry out a Perturbative calculation in the cμν coefficient, a coefficient of this responsible for violation of Lorentz symmetry of particle, however impose rotational invariance. From the results of this calculation, we can retrieve the Perturbative result to the effect of the Division of photons in a vacuum, as well as the effective action of Euler Heisenberg with Lorentz violation, the linear coefficient c00. / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / A ação efetiva de Euler-Heisenberg descreve a dinâmica não linear de campos eletromagnéticos no vácuo. Tal ação leva em conta a polarização no vácuo para um laço, além de descrever também a propagação de fótons através de campos eletromagnéticos arbitrários que variam lentamente. Então, desde a sua descoberta, a ação efetiva de Euler-Heisenberg tem sido estudada em vários contextos, tais como o espalhamento da luz pela luz, produção de pares no vácuo, divisão de fótons, birrefringência no vácuo, ação efetiva em gravidade e teoria de cordas, dentre outros. Neste trabalho realizamos inicialmente um estudo sobre as transformações de Lorentz de observador e de partícula, mostrando que, na presença de um campo de fundo, as rotações e mudanças de velocidade (boost) quebram a equivalência entre essas duas transformações (observador e partícula). Estudamos também a violação da invariância de Lorentz através da consideração de alguns termos referentes ao modelo padrão estendido, com foco na eletrodinâmica quântica estendida. Efetuamos um cálculo não perturbativo no coeficiente cμν , coeficiente este responsável pela violação da simetria de Lorentz de partícula, no entanto impomos invariância rotacional. A partir dos resultados desse cálculo, conseguimos recuperar o resultado perturbativo para o efeito da divisão de fótons no vácuo, assim como a ação efetiva de Euler-Heisenberg com violação de Lorentz, linear no coeficiente c00.

Submitted by Emanuel Varela Cardoso (emanuel.varela@ufcg.edu.br) on 2018-11-05T20:45:40Z No. of bitstreams: 1 WAGNER OLIVEIRA DOS SANTOS – DISSERTAÇÃO (PPGFísica) 2017.pdf: 707943 bytes, checksum: f2f7e6d2f28889fe9d5b1bf8b99fbbcd (MD5) / Made available in DSpace on 2018-11-05T20:45:40Z (GMT). No. of bitstreams: 1 WAGNER OLIVEIRA DOS SANTOS – DISSERTAÇÃO (PPGFísica) 2017.pdf: 707943 bytes, checksum: f2f7e6d2f28889fe9d5b1bf8b99fbbcd (MD5) Previous issue date: 2017-08-09 / Capes / Nesta dissertação consideramos a proposta de modificação dos setores do fóton e do férmion via à teoria de campos efetiva de Myers-Pospelov. Esta abordagem tem como principal característica a violação da simetria de Lorentz através da introdução de operadores de altas ordens derivativas de dimensão-5 e campos constantes. Consequentemente,a quebra desta importante simetria conduz a relações de dispersão que sondam efeitos na escala de energia de Planck, onde efeitos da gravidade quântica devem ser relevantes. Isso nos motiva a estudar as possíveis consequências destas relações de dispersão modificadas no comportamento termodinâmico de gases compostos por fótons ou férmions. Será mostrado que a violação da simetria de Lorentz pode ser interpretada como uma pseudo-interação repulsiva ou atrativa entre as partículas. Mostraremos também, por exemplo, que a relação de dispersão modificada do fóton, implica em um aumento da entropia do sistema, isto é, a quebra da simetria de Lorentz pode conduzir a um aumento no número de estados acessíveis do sistema. Além disso, aplicamos as propriedades destes gases a radiação de corpo negro e a dinâmica estelar de anãs brancas no modelo de Chandrasekhar. / In this dissertation, we consider a proposal which modifies the gauge and fermion sectors via Myers-Pospelov effective field theory. The main feature of this approach is the Lorentz symmetry violation through the introduction of higher-derivatives operators of dimension-5 and constant fields. Hence, breaking this important symmetry leads to dispersion relations probing effects in the Planck energy scale, that in turn, sets the limit for which the quantum description of space-time becomes to be relevant. It motivate us to study the possible implications of these modified dispersion relations on thermodynamic behavior of photons and fermions gases. It will be shown that the breakdown of Lorentz invariance can be interpreted as a repulsive or attractive pseudo-interaction among the particles. Additionally, for instance, it will be shown that the presence of a deformed dispersion relation for photons entails an increase in the entropy of the system, e.g., the Lorentz symmetry violation may lead to an increase in the number of microstates available to the system. In addition, we apply the properties of these gases to black body radiation and stellar dynamics of white dwarfs in the Chandrasekhar model.

Submitted by DANIELE ALESSANDRA REGHINI GAZETTA null (daniellygaze@hotmail.com) on 2016-01-15T17:36:23Z No. of bitstreams: 1 diss-daniele.pdf: 783553 bytes, checksum: e593f1ebb872fff02a080d05283744d5 (MD5) / Rejected by Ana Paula Grisoto (grisotoana@reitoria.unesp.br), reason: Solicitamos que realize uma nova submissão seguindo as orientações abaixo: No campo “Versão a ser disponibilizada online imediatamente” foi informado que seria disponibilizado o texto completo porém no campo “Data para a disponibilização do texto completo” foi informado que o texto completo deverá ser disponibilizado apenas 6 meses após a defesa. Caso opte pela disponibilização do texto completo apenas 6 meses após a defesa selecione no campo “Versão a ser disponibilizada online imediatamente” a opção “Texto parcial”. Esta opção é utilizada caso você tenha planos de publicar seu trabalho em periódicos científicos ou em formato de livro, por exemplo e fará com que apenas as páginas pré-textuais, introdução, considerações e referências sejam disponibilizadas. Se optar por disponibilizar o texto completo de seu trabalho imediatamente selecione no campo “Data para a disponibilização do texto completo” a opção “Não se aplica (texto completo)”. Isso fará com que seu trabalho seja disponibilizado na íntegra no Repositório Institucional UNESP. Por favor, corrija esta informação realizando uma nova submissão. Agradecemos a compreensão. on 2016-01-15T19:12:27Z (GMT) / Submitted by DANIELE ALESSANDRA REGHINI GAZETTA null (daniellygaze@hotmail.com) on 2016-01-16T16:43:56Z No. of bitstreams: 2 diss-daniele.pdf: 783553 bytes, checksum: e593f1ebb872fff02a080d05283744d5 (MD5) daniele-dissert.pdf: 585710 bytes, checksum: 222237614b39411bc9b9a3e82ad6ab17 (MD5) / Approved for entry into archive by Juliano Benedito Ferreira (julianoferreira@reitoria.unesp.br) on 2016-01-18T16:33:44Z (GMT) No. of bitstreams: 1 gazetta_dar_me_sjrp.pdf: 783553 bytes, checksum: e593f1ebb872fff02a080d05283744d5 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-01-18T16:33:44Z (GMT). No. of bitstreams: 1 gazetta_dar_me_sjrp.pdf: 783553 bytes, checksum: e593f1ebb872fff02a080d05283744d5 (MD5) Previous issue date: 2016-01-06 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / O principal resultado dessa dissertação é o Teorema de Poincaré-Bendixson para campos de vetores planares suaves por partes, que nos diz quais são os tipos de conjuntos limite. Estudaremos também detalhes a respeito dos conceitos de conjuntos minimais e caóticos em campos de vetores planares suaves por partes. / The main result of this work is the Poincaré - Bendixson Theorem for planar piecewise smooth vector fields, which tell us what kind of limit sets arise in this context. We will also study details about the concepts of minimal and chaotic sets in planar piecewise smooth vector fields.