In this thesis we deal with the degree of ill-posedness of linear operator equations in Hilbert spaces, where the operator may be decomposed into a compact linear integral operator with a well-known decay rate of singular values and a multiplication operator. This case occurs for example for nonlinear operator equations, where the local degree of ill-posedness is investigated via the Frechet derivative. If the multiplier function has got zeroes, the determination of the local degree of ill-posedness is not trivial. We are going to investigate this situation, provide analytical tools as well as their limitations. By using several numerical approaches for computing the singular values of the operator we find that the degree of ill-posedness does not change through those multiplication operators. We even provide a conjecture, verified by several numerical studies, how these multiplication operators influence the singular values of the operator equation. Finally we analyze the influence of those multiplication operators on the opportunities of Tikhonov regularization and corresponding convergence rates. In this context we also provide a short summary on the relationship between nonlinear problems and their linearizations. / Diese Arbeit beschaeftigt sich mit dem Grad der Inkorrektheit linearer Operatorgleichungen in Hilbertraeumen, die sich als Komposition eines vollstetigen linearen Integraloperators mit bekannter Abklingrate der Singulaerwerte und eines Multiplikationsoperators darstellen lassen. Dieser Fall tritt beispielsweise bei nichtlinearen Operatorgleichungen auf, wobei der lokale Inkorrektheitsgrad ueber die Frechetableitung bestimmt wird. Falls die Multiplikatorfunktion Nullstellen hat, so ist die Bestimmung des lokalen Grades der Inkorrektheit nicht einfach. Moeglichkeiten und Grenzen der Analysis fuer diese Situation werden betrachtet. Unterschiedliche numerische Ansaetze fuer die Bestimmung der Singulaerwerte liefern, dass der Grad der Inkorrektheit durch die Multiplikationsoperatoren nicht veraendert wird. Es wird sogar ein Zusammenhang angegeben, wie Multiplikationsoperatoren die Singulaerwerte beeinflussen. Schliesslich werden Moeglichkeiten der Tikhonov-Regularisierung unter Einfluss der Multiplikationsoperatoren untersucht. In diesem Zusammenhang wird auch eine kurze Zusammenfassung zur Beziehung von nichtlinearen Problemen und ihren Linearisierungen gegeben.

In this paper we discuss the stable solvability of the inverse problem of parameter identification in a jump diffusion model. Therefore we introduce the forward operator of this inverse problem and analyze its properties. We show continuity of the forward operator and stability of the inverse problem provided that the domain is restricted in a specific manner such that techniques of compact sets can be exploited. Furthermore, we show that there is an asymptotical non-injectivity which causes instability problems whenever the jump intensity increases and the jump heights decay simultaneously.

We deal with locally ill-posed nonlinear operator equations F(x) = y in L^2(0,1), where the Fréchet derivatives A = F'(x_0) of the nonlinear forward operator F are compact linear integral operators A = M ◦ J with a multiplication operator M with integrable multiplier function m and with the simple integration operator J. In particular, we give examples of nonlinear inverse problems in natural sciences and stochastic finance that can be written in such a form with linearizations that contain multiplication operators. Moreover, we consider the corresponding ill-posed linear operator equations Ax = y and their degree of ill-posedness. In particular, we discuss the fact that the noncompact multiplication operator M has only a restricted influence on this degree of ill-posedness even if m has essential zeros of various order.

In this paper, we consider the inverse problem of calibrating a generalization of the bivariate Ornstein-Uhlenbeck model introduced by Lo and Wang. Even though the generalized Black-Scholes option pricing formula still holds, option prices change in comparison to the classical Black-Scholes model. The time-dependent volatility function and the other (real-valued) parameters in the model are calibrated simultaneously from option price data and from some empirical moments of the logarithmic returns. This gives an ill-posed inverse problem, which requires a regularization approach. Applying the theory of Engl, Hanke and Neubauer concerning Tikhonov regularization we show convergence of the regularized solution to the true data and study the form of source conditions which ensure convergence rates.

In this note, we consider an inverse problem in a jump diffusion model. Using characteristic functions we prove the injectivity of the forward operator mapping the five parameters determining the model to the density function of the return distribution.

In this paper two basic SQP-approaches for solving implicitly defined inverse problems are presented. Such problems often arises in parameter identification for differential equations. We also include regularization strategies which differ from similar problems in Optimal control. The main focus is on formulating saddle point problems for calculating the next iterate. Conditions for the unique and stable solvability of these problems are presented. The analytical considerations are illustrated by two examples including their discretizations and a numerical case study.

In this paper we discuss the inverse problem of the identification of mechanical stresses by measuring the deformation of an electric potential field in a so called differential strain gauge (D-DMS). We derive a mathematical model, where the forward operator is given in terms of an elliptic boundary value problem. Derivatives of the forward operator are considered and the solution of the inverse problem via a least-squares minimization is introduced. Here, the discretized problem is solved with the Gauss-Newton method. Numerical studies of practical interest are presented.

In this paper we continue the considerations of [5] (CSC/09-05). A numerical study for the parameter identification problem with linear elastic material and large deformations is presented. We discuss the numerical implementation in MATLAB and illustrate some results for a 2D test problem.

Die Bewirtschaftung der knappen Ressource sauberen Wassers setzt das Verständnis der Wasserhaushaltsprozesse voraus. Mit prozessorientierten Modellen können Wasserbilanzen für unterschiedliche Standortbedingungen berechnet werden, wenn die Modelle zuvor an repräsentativen Zeitreihen, die die notwendige hydrologische Information enthalten, kalibriert und die Sensitivität ihrer Parameter analysiert wurden. Am Groß-Lysimeter St. Arnold (Westfalen) werden seit 1966 neben den meteorologischen Parametern tägliche Sickerwasserraten gemessen, die für diesen Zweck hervorragend geeignet sind, weil sie integrale Bilanzgrößen über die je 400m² x 3,50m großen Podsol-Bodenkörper und ihre Vegetationsbestände darstellen. Auf den drei Lysimetern wachsen Gras, ein Eichen-/Buchen- bzw. ein Kiefernbestand. Für die Untersuchung der Wasserhaushaltsprozesse wird das "LYsimeter outFlow and Evapotranspiration model" LYFE, entwickelt. Es verknüpft die Richards-Gleichung mit einem Interzeptionsmodell, das den Niederschlag in Infiltration, Blatt- und Streuinterzeption aufspaltet. Die Evapotranspirations-(ET)-Raten werden alternativ mit der Penman- oder Monteith-Formel berechnet. Die Simulationen vollziehen die gemessenen täglichen Sickerwasserraten aller drei Lysimeter unter den Klimavariabilitäten des gesamten Zeitraums von 34 Jahren nach. Am Graslysimeter ist die Sensitivität der ET-Parameter gering, so dass unterschiedlich aufwendige Methoden zur Bestimmung der bodenhydraulischen Parameter verglichen und bewertet werden können: die statischen Stechzylindermessungen der Retention und gesättigten Leitfähigkeit, der Verdunstungsversuch und verschiedene Pedotransferfunktionen (PTF). Die Simulation mit den Parametern des Verdunstungsversuchs ergeben eine gute Übereinstimmung mit den gemessenen Sickerwasserraten, während die Parameter der statischen Messungen durch die inverse Modellierung mindestens eines Parameters angepasst werden müssen. Von den PTF erzielen die kontinuierliche und die Klassen-PTF von Wösten die besten Übereinstimmungen. Der Wasserhaushalt der Baumbestände wird von der Interzeption dominiert. Dies gilt insbesondere für die Interzeptionsverdunstung im Winterhalbjahr, die die Unterschiedlichkeit der Wasserbilanz von Laub- und Nadelbaumbeständen verursacht. Wenn die ET mit der Penman-Formel berechnet wird, können die Raten der Evaporation und Transpiration nur schlecht abgeschätzt werden und steigen nicht mit dem Wachstum der Bestände. Durch die Verwendung der Monteith-Formel werden diese Probleme behoben. Darüberhinaus zeigt das Modell die unterschiedliche Wirkung von Transpiration und Interzeptionsverdunstung auf den Jahresgang der Sickerwasserraten und ermöglicht so die Angabe ihrer jeweiligen Beiträge zum Wasserhaushalt. Mit dem kalibrierten Modell können die lysimetrischen Messungen auf andere Standorte übertragen werden, um die langfristige Wasserbilanz zeitlich hochaufgelöst zu bestimmen. Daher kann LYFE im Rahmen regionaler Wasserhaushaltsuntersuchungen eingesetzt werden.

La caractérisation tridimensionnelle de matériaux anciens plats est restée une activité non évidente à accomplir par des méthodes classiques de tomographie à rayons X en raison de leur morphologie anisotrope et de leur géométrie aplatie.Pour surmonter les limites de ces méthodologies, une modalité d'imagerie basée sur le rayonnement diffusé Compton est étudiée dans ce travail. La tomographie classique aux rayons X traite les données de diffusion Compton comme du bruit ajouté au processus de formation d'image, tandis que dans la tomographie du rayonnement diffusé, les conditions sont définies de sorte que la diffusion inélastique devienne le phénomène dominant dans la formation d'image. Dans ces conditions, les rotations relatives entre l'échantillon et la configuration d'imagerie ne sont plus nécessaires. Mathématiquement, ce problème est résolu par la transformée de Radon conique. Le problème direct où la sortie du système est l'image spectrale obtenue à partir d'un objet d'entrée est modélisé. Dans le problème inverse une estimation de la distribution tridimensionnelle de la densité électronique de l'objet d'entrée à partir de l'image spectrale est proposée. La faisabilité de cette méthodologie est supportée par des simulations numériques. / Three-dimensional characterization of flat ancient material objects has remained a challenging activity to accomplish by conventional X-ray tomography methods due to their anisotropic morphology and flattened geometry.To overcome the limitations of such methodologies, an imaging modality based on Compton scattering is studied in this work. Classical X-ray tomography treats Compton scattering data as noise in the image formation process, while in Compton scattering tomography the conditions are set such that Compton data become the principal image contrasting agent. Under these conditions, we are able to avoid relative rotations between the sample and the imaging setup. Mathematically this problem is addressed by means of the conical Radon transform. A model of the direct problem is presented where the output of the system is the spectral image obtained from an input object. The inverse problem is addressed to estimate the 3D distribution of the electronic density of the input object from the spectral image. The feasibility of this methodology is supported by numerical simulations.