L'application des problèmes inverses de diffraction à la détection de fissures via l'utilisation d'ondes acoustiques, électromagnétiques ou élastiques s'élargit dans de nombreux domaines. Des exemples d'application incluent le contrôle non destructif, la prospection géophysique... Cette thèse a pour objectif d'identifier des fissures en utilisant des méthodes d'échantillonnage bien connues. Dans ce travail, nous utilisons la Linear Sampling Method et la méthode de Factorisation pour reconstruire la géométrie de fissures à partir de plusieurs données statiques de champs lointains dans le cas de conditions d'impédance sur les deux bords de la fissure se trouvant dans un domaine homogène. Par ailleurs, une application de la méthode de la Reciprocity Gap Linear Sampling Method est proposée pour la reconstruction de la géométrie de fissures dans un domaine hétérogène avec les mêmes conditions au bord. Dans le but d'élargir l'application de cette dernière méthode, une méthode de complétion de données pour le problème de Cauchy associé à l'équation de Helmholtz a été proposée. La performance des méthodes proposées est montrée à travers de tests numériques pour différentes formes de fissures et pour différentes valeurs de l'impédance.

La modélisation de l'électrophysiologie in silico a été un sujet de recherche important ces dernières décennies. Afin de pouvoir utiliser ces progrès importants dans les applications cliniques, il faut mettre en place des modèles macroscopiques qui peuvent être utilisés pour la planification et le guidage des procédures cliniques.L'objectif de cette thèse est de construire de tels modèles macroscopiques spécifiques à chaque patient pour le diagnostic et la prévision, dans le but d'améliorer la planification et le guidage de l'ablation par radio-fréquence (ARF) des patients souffrant de tachycardie ventriculaire (TV) après infarctus. Dans ce travail, nous avons proposé un cadre pour la personnalisation d'un modèle cardiaque 3D, le modèle de Mitchell-Schaeffer (MS), et nous avons évalué sa puissance prédictive dans plusieurs configurations de stimulation. Ceci a été réalisé sur des données ex vivo de cœurs porcins à l'aide d'images médicales et de données cartographiques optiques de l'épicarde. Ce cadre a ensuite été appliqué à un ensemble de données cliniques provenant d'imagerie hybride XMR et d'une procédure de cartographie électrophysiologique sur un patient souffrant d'insuffisance cardiaque.Ensuite, le modèle 3D MS a également été adapté pour simuler le comportement macroscopique structural de la fibrose près des cicatrices. La simulation d'une étude in silico de stimulation de TV en utilisant le modèle adapté personnalisé MS a été réalisée pour quantifier le risque de TV en termes de cartes d'inductibilité, de réentrées des modèles et de cartes de points de sortie. Une approche de modélisation pour l'ablation par RF fondée sur l'état de l'art a été proposée. Enfin, l'étude in silico de stimulation de TV a été appliquée aux données in vivo personnalisées des patients, qui ont suivi ce protocole. Ceci a permis une validation de la prévision in silico de TV post-infarctus par comparaison avec la TV clinique induite. Ler ôle de l'hétérogénéité spatiale des propriétés des tissus cardiaques estimés dans la genèse de TV ischémique a été évalué, ainsi que les caractéristiques des points de sortie, qui sont les candidats potentiels à l'ablation par RF.

Dans une première partie théorique, nous nous penchons sur une analyse rigoureuse des performances de l'algorithme Sequential Monte Carlo (SMC) conduisant à des résultats de type bornes L^p et inégalités de concentration. Nous abordons notamment le cas particulier des SMC associés à des schémas de température, et analysons sur ce sujet un processus à schéma adaptatif.Dans une seconde partie appliquée, nous illustrons son utilisation par la résolution de problèmes inverses concrets en électromagnétisme. Le plus important d'entre eux consiste à estimer les propriétés radioélectriques de matériaux recouvrant un objet de géométrie connue, et cela à partir de mesures de champs rétrodiffusés. Nous montrons comment l'algorithme SMC, couplé à des calculs analytiques, permet une inversion bayésienne, et fournit des estimées robustes enrichies d'estimations des incertitudes.

La détermination des paramètres inertiels des différents segments constituants le corps humain est un problème récurrent et très actuel de la biomécanique. Les méthodes classiques déterminent ces paramètres par des équations de régression (modèles de Zatsiorsky, Dempster...) ou en modélisant les segments par des formes géométriques simples (modèles d'Hanavan, de Hatze...). Les techniques d'imagerie permettent également d'obtenir ces paramètres mais ces méthodes sont peu accessibles et très onéreuses. Des problèmes similaires d'estimation des paramètres inertiels se posent pour les robots manipulateurs. Aux méthodes classiques de C.A.O. ou de mesure, les roboticiens ont proposé des méthodes d'identification. Celles-ci consistent à calculer les paramètres inertiels à partir d'un système sur-déterminé dans lequel les paramètres inertiels apparaissent linéairement. La transposition de la méthode d'identification au système polyarticulé que constitue le corps humain nécessite de développer un « modèle de réaction externe » dans lequel la cinématique des segments et les forces externes au système interviennent. En effet, alors que pour les robots manipulateurs les efforts articulaires (entre les segments) sont connus, ils ne peuvent pas être connus directement pour le corps humain et seuls les efforts externes peuvent être mesurés directement (par une plate-forme de forces par exemple). L'originalité de la thèse est de présenter une formulation matricielle des équations du mouvement dans laquelle les efforts externes sont regroupés dans une matrice antisymétrique et les paramètres inertiels sont contenus dans une matrice (3n+1×3n+1) symétrique et définie positive (n est le nombre de segments). Un algorithme de gradient conjugué projeté est ensuite développé afin de déterminer cette matrice. L'algorithme converge vers une matrice symétrique et définie positive à partir de données provenant de la cinématique des segments et des efforts externes.<br />Plusieurs applications de cette méthode ont été réalisées et publiées. Les premières concernent la validation de la méthode d'identification à partir de mouvements simulés obtenus à l'aide du logiciel HuMAnS (INRIA). Cette application a permis de mettre en évidence l'importance de connaître précisément les centres articulaires afin de déterminer les paramètres inertiels. Les autres applications ont été menées in vivo et les paramètres inertiels des segments du membre supérieur ont ainsi été déterminés et comparés à des modélisations classiques. La méthode d'identification permet d'obtenir les paramètres inertiels personnalisés et constitue ainsi une alternative très intéressante aux modélisations classiques particulièrement dans le cas d'études incluant des populations particulières (sportifs « hors normes », obèses, handicapés) pour lesquelles aucun modèle n'est adapté.

Mes recherches s'articulent actuellement autour de trois thèmes, qui présentent des recouvrements et dont les activités ont été menées en parallèle. Le premier thème intitulé « Approche numérique pour la non convexité et les instabilités en mécanique » est la continuation des travaux entamés durant ma thèse et réalisés essentiellement avec P. Alart (LMGC). Nous avons travaillé sur des problèmes de minimisation de fonctionnelles non-convexes et plus particulièrement sur la détermination de solutions dites instables (minima locaux). Le deuxième thème « Méthodes inverses en mécanique » représente le fruit d'une collaboration avec Giuseppe Geymonat (LMGC) et François Hild du Laboratoire de Mécanique et Technologie de Cachan (LMT Cachan), sur un problème d'identification de paramètres associé à des équations de la mécanique. Pour finir, le thème « Modélisation mathématique et numérique dans les matériaux solides » traduit des investigations plus théoriques, réalisées grâce à l'analyse mathématique, initiées lors de mon post-doctorat et d'un séjour réalisés au sein du Mathematical Institute à Oxford.

no abstract provided

The dissetation deals with the inverse problem of identification of local volatilities from given option price data. The used separation between purely time- and purely price-dependent volatilities enables a detailed mathematical analysis of the corresponding inverse problems. Those are formulated in proper Banach spaces (Hilbert spaces) as operator equations. The unique solvability of these equations are examined. Because the solutions doesn't depend continuously form the given data, possibilities of regularization are discussed. In particular the nonlinear Tikhonov regularization and its applicability to the corresponding problems plays the leading part in these investigations. Detailed numerical studies illustrate these considerations and top this disseration off. / Die Dissertation beschäftigt sich mit dem inversen Problem der Identifikation lokaler Volatilitäten aus gegebenen Optionspreisen. Die dabei benutzte Trennung zwischen rein zeit- und rein preisabhängigen Volatilitäten erlaubt eine tiefgehende mathematische Analyse der entsprechend formulierten inversen Probleme. Diese werden in geeigneten Banachräumen (Hilberträumen) als Operatorgleichung angegeben und auf die eindeutige Lösbarkeit hin untersucht. Da sich die Lösungen als instabil gegenüber Störungen in den Daten erweisen, werden Möglichkeiten der Regularisierung diskutiert. Insbesondere steht dabei die Untersuchung der Anwendbarkeit der Theorie der nichtlinearen Tikhonov-Regularisierung auf die entsprechenden Probleme im Vordergrund. Ausführliche numerische Studien illustrieren die diese Überlegungen und runden die Arbeit ab.

Von der Professur Stochastik der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Chemnitz werden seit 1995 regelmäßig jedes Jahr im Herbst die Workshops "Stochastische Analysis" organisiert. Ausgewählte Beiträge sollen erstmals in Form eines Tagungsbandes veröffentlicht werden. Eine jährliche Fortsetzung ist geplant. Der 9. Workshop "Stochastische Analysis" fand vom 29.09.2003 bis zum 01.10.2003 in Bärenstein statt.

In this thesis we deal with the degree of ill-posedness of linear operator equations in Hilbert spaces, where the operator may be decomposed into a compact linear integral operator with a well-known decay rate of singular values and a multiplication operator. This case occurs for example for nonlinear operator equations, where the local degree of ill-posedness is investigated via the Frechet derivative. If the multiplier function has got zeroes, the determination of the local degree of ill-posedness is not trivial. We are going to investigate this situation, provide analytical tools as well as their limitations. By using several numerical approaches for computing the singular values of the operator we find that the degree of ill-posedness does not change through those multiplication operators. We even provide a conjecture, verified by several numerical studies, how these multiplication operators influence the singular values of the operator equation. Finally we analyze the influence of those multiplication operators on the opportunities of Tikhonov regularization and corresponding convergence rates. In this context we also provide a short summary on the relationship between nonlinear problems and their linearizations. / Diese Arbeit beschaeftigt sich mit dem Grad der Inkorrektheit linearer Operatorgleichungen in Hilbertraeumen, die sich als Komposition eines vollstetigen linearen Integraloperators mit bekannter Abklingrate der Singulaerwerte und eines Multiplikationsoperators darstellen lassen. Dieser Fall tritt beispielsweise bei nichtlinearen Operatorgleichungen auf, wobei der lokale Inkorrektheitsgrad ueber die Frechetableitung bestimmt wird. Falls die Multiplikatorfunktion Nullstellen hat, so ist die Bestimmung des lokalen Grades der Inkorrektheit nicht einfach. Moeglichkeiten und Grenzen der Analysis fuer diese Situation werden betrachtet. Unterschiedliche numerische Ansaetze fuer die Bestimmung der Singulaerwerte liefern, dass der Grad der Inkorrektheit durch die Multiplikationsoperatoren nicht veraendert wird. Es wird sogar ein Zusammenhang angegeben, wie Multiplikationsoperatoren die Singulaerwerte beeinflussen. Schliesslich werden Moeglichkeiten der Tikhonov-Regularisierung unter Einfluss der Multiplikationsoperatoren untersucht. In diesem Zusammenhang wird auch eine kurze Zusammenfassung zur Beziehung von nichtlinearen Problemen und ihren Linearisierungen gegeben.

This document describes the construction of a computer-based simulation of instationary heat transfer through heat protective textiles. Especially mathematical modeling, numerical treatment and inverse determination of unknown parameters is handled in case of a fault arc test. First simulation results of different model variants are presented. / Die Arbeit beschreibt die Erstellung einer computerbasierten Simulation für instationäre thermische Vorgänge in Hitzeschutztextilien. Speziell wird dabei ein Störlichtbogentest von der mathematischen Modellbildung über die numerische Umsetzung bis hin zur inversen Bestimmung unbekannter Modellparameter betrachtet. Erste Simulationsergebnisse bei verschiedenen Modellvarianten werden dargestellt.