Les phénomènes de croissance et de fragmentation jouent un rôle central dans de nombreux phénomènes biologiques. La première partie de ce manuscript concerne un modèle de l'activité électrique d'un réseau de neurones. Il s'agit d'une équation de croissance-fragmentation non linéaire. Grâce à une technique introduite par B. Perthame et L. Ryzhik, dans un cas particulier, nous quantifions des régimes dans lequels cette équation se relaxe avec un taux exponentiel. La deuxième et la troisième parties traitent de problèmes inverses. Le premier concerne l'équation de croissance-fragmentation ayant un noyau auto-similaire et le second un modèle de transduction olfactive. Après régularisations adéquates, ces deux problèmes reviennent à inverser des opérateurs intégraux dont les noyaux ont une structure auto-similaire. Grâce à la transformée de Mellin des inégalités de continuité et controlabilité de l'opérateur intégral sont établies. à partir de données expérimentales, ces études permettent d'estimer des paramètres importants des équations pour lesquels aucune mesure expérimentale directe n'est possible. La quatrième partie traite d'un modèle probabiliste de sénescence réplicative d'une lignée aléatoire de levures. En se basant sur des données expérimentales et des simulations numériques, le signal de sénescence est identifié et quantifié, et les sources de l'hétérogénéité des tailles des télomères sont analysées. Le modèle permet de mener une analyse complète de l'évolution des tailles des télomères. / Growth and fragmentation phenomena play a central role in several biological phenomena. The first part of this thesis introduces a model of the electrical activity of a neural network. The equation involved is a non-linear growth-fragmentation equation. Thanks to a technique introduced by B. Perthame and L. Ryzhik, in a particular case, we are able to quantify regimes in which the equation has an exponential relaxation. The second and third part of this thesis both deal with inverse problems. The first one involves a growth-fragmentation equation with a self-similar kernel and the second one is a model of olfactive transduction. After regularization steps, these two problems come down to invert some integral operators whose kernels have a self-similar structure. Thanks to the use of the Mellin transform, some continuity and controllability inequalities are established. Using experimental data, these studies make it possible to estimate important parameters of the equations for which no direct experimental measurements can be obtained. The fourth part deals with a probabilistic model of replicative senescence of a random yeast lineage. Based on experimental data and numerical simulations, the senescence signal is identified and quantified, and the different sources of heterogeneity in the lengths of the telomeres are analyzed. This model allows us to completely analyze the evolution of the lengths of the telomeres.

Une variété riemannienne est dite rigide lorsque la longueur des géodésiques périodiques (cas des variétés fermées) ou des géodésiques diffusées (cas des variétés ouvertes) permet de reconstruire globalement la géométrie de la variété. Cette notion trouve naturellement son origine dans des dispositifs d’imagerie numérique tels que la tomographie par rayons X. Grâce une approche résolument analytique initiée par Guillarmou et fondée sur de l’analyse microlocale (plus particulièrement sur certaines techniques récentes dues à Faure-Sjostrand et Dyatlov-Zworski permettant une étude analytique fine des flots Anosov), nous montrons que le spectre marqué des longueurs, c’est-à-dire la donnée des longueurs des géodésiques périodiques marquées par l’homotopie, d’une variété fermée Anosov ou Anosov à pointes hyperboliques détermine localement la métrique de la variété. Dans le cas d’une variété ouverte avec ensemble capté hyperbolique, nous montrons que la distance marquée au bord, c’est-à-dire la donnée de la longueur des géodésiques diffusées marquées par l’homotopie, détermine localement la métrique. Enfin, dans le cas d’une surface asymptotiquement hyperbolique, nous montrons qu’une notion de distance renormalisée entre paire de points au bord à l’infini permet de reconstruire globalement la géométrie de la surface. / A Riemannian manifold is said to be rigid if the length of periodic geodesics (in the case of a closed manifold) or scattered geodesics (in the case of an open manifold) allows to recover the full geometry of the manifold. This notion naturally arises in imaging devices such as X-ray tomography. Thanks to a analytic framework introduced by Guillarmou and based on microlocal analysis (and more precisely on the analytic study of hyperbolic flows of Faure-Sjostrand and Dyatlov-Zworski), we show that the marked length spectrum, that is the lengths of the periodic geodesics marked by homotopy, of a closed Anosov manifold or of an Anosov manifold with hyperbolic cusps locally determines its metric. In the case of an open manifold with hyperbolic trapped set, we show that the length of the scattered geodesics marked by homotopy locally determines the metric. Eventually, in the case of an asymptotically hyperbolic surface, we show that a suitable notion of renormalized distance between pair of points on the boundary at infinity allows to globally reconstruct the geometry of the surface.

Les techniques de mesure de diagramme de rayonnement d’antenne actuelles partagent un paradigme commun qui stipule que l’information utile est exclusivement portée par le signal de test généré. Cela implique un effort mécanique fastidieux en faisant tourner l'antenne sous test ou en déplaçant le système de sondes afin de couvrir des angles de mesure différents jusqu'à ce qu'une caractérisation complète soit effectuée ; une limitation qui est généralement surmontée en utilisant des systèmes multisondes coûteux. En outre, toute réflexion provenant du site de mesure et des équipements de test est considérée comme parasite perturbant le signal de test et est ainsi minimisée.Dans cette thèse, un concept de mesure du diagramme de rayonnement d'antenne remettant en cause ce paradigme commun est présenté comme un moyen d'accélérer le processus de caractérisation en utilisant des systèmes économiques. Le paradigme proposé consiste en la génération d'un ensemble d'échos contrôlées, en utilisant des configurations impliquant des plaques réfléchissantes, qui contribueraient directement à la mesure en couvrant différents angles, et récupérer les informations portées par l'ensemble des signaux générés simultanément. Une diversité fréquentielle est introduite afin de générer un système d'équations équilibré où le vecteur inconnu contenant les valeurs du diagramme de rayonnement est récupéré en inversant un problème matriciel. Par conséquent, une attention considérable est accordée au conditionnement du modèle mathématique afin d'assurer la stabilité et la robustesse du systèmeTrois configurations de différents niveaux de complexité en termes d'échos contrôlés sont étudiées, en mettant l'accent sur la configuration la plus simple impliquant un seul écho contrôlé. Des modèles ont été mis au point, avec des contraintes de conception des configurations proposées en termes de dimensionnement et de bandes passante de fonctionnement, mettant en évidence la viabilité mathématique du concept. Les aspects pratiques ont également été évalués en étudiant la tolérance des modèles développés vis-à-vis des erreurs systématiques, ainsi qu’à l'impact de l’application d'un ensemble d’hypothèses simplificatrices. La faisabilité du concept ainsi que son utilité pour accélérer le processus de caractérisation par rapport aux techniques classiques ont été mises en évidence par des simulations numériques. Ce travail ouvre la porte à l'exploitation des échos, généralement considérés comme perturbateurs, dans un contexte de mesure d’antennes. / Current antenna radiation pattern measurement techniques share a common paradigm which states that useful information is exclusively carried by the generated test signal. This implies an excessive, time consuming, mechanical effort by rotating the antenna under test or displacing the probe system in order to cover different measurement angles until a complete scan is performed; a limitation that is typically overcome using costly multi-probe systems. Moreover, any reflection from the measurement site and test equipment is considered spurious as it perturbs the test signal and thus is minimized.In this thesis, an antenna radiation pattern measurement concept challenging this common paradigm is introduced as a mean of accelerating the characterization process using cost-efficient systems. The proposed paradigm consists in the generation of a set of controlled echoes, using set-ups involving highly-reflective plates, which would directly contribute to the measurement alongside the line-of-sight signal by covering different measurement angles, and retrieving the ARP information carried by the set of all generated signals concurrently. Frequency diversity is used in order to generate a balanced system of equations where the unknown ARP vector is retrieved by inverting a matrix problem. Consequently, a considerable attention is paid into the conditioning of the mathematical model in order to ensure the system stability and accuracy.Three configurations of different complexity levels in terms of controlled echoes are studied, with focus on the simplest configuration involving a single controlled echo. Models have been developed with design guidelines for the proposed configurations in terms of set-up dimensions and operating frequency bandwidth highlighting the mathematical viability of the concept. Practical issues were also assessed by studying the tolerance of developed models to systematic practical errors, as well as to the impact of an applied set of simplifying assumptions. The feasibility of the concept as well as its usefulness in accelerating the measurement process with respect to classical techniques were highlighted via numerical simulations. This thesis opens the door for exploiting echoes, generally regarded as a nuisance, in an antenna measurements context.

This document describes the construction of a computer-based simulation of instationary heat transfer through heat protective textiles. Especially mathematical modeling, numerical treatment and inverse determination of unknown parameters is handled in case of a fault arc test. First simulation results of different model variants are presented. / Die Arbeit beschreibt die Erstellung einer computerbasierten Simulation für instationäre thermische Vorgänge in Hitzeschutztextilien. Speziell wird dabei ein Störlichtbogentest von der mathematischen Modellbildung über die numerische Umsetzung bis hin zur inversen Bestimmung unbekannter Modellparameter betrachtet. Erste Simulationsergebnisse bei verschiedenen Modellvarianten werden dargestellt.

In this paper we present some numerical results concerning the identification of material parameters in linear elasticity by dealing with small deformations. On the basis of a precise example different aspects of the parameter estimation problem are considered. We deal with practical questions such as the experimental design for obtaining sufficient data for recovering the unknown parameters as well as questions of treating the corresponding inverse problems numerically. Two algorithms for solving these problems can be introduced and extensive numerical case studies are presented and discussed.

L'évaluation et le contrôle non destructifs (E.C.N.D.) des matériaux et des structures sont une problématique industrielle très importante dans les domaines du transport, de l'aéronautique et du spatial, et dans le milieu médical. La thermographie infrarouge active est une technique d'E.C.N.D qui consiste à apporter une excitation extérieure afin d'entraîner une élévation de température dans le matériau, puis à évaluer le champ de température résultant à la surface. Cependant, les excitateurs thermiques utilisés (lampes flash, halogènes, lasers) agissent uniquement sur la surface du matériau. Plusieurs systèmes de conversion d'énergie peuvent en revanche mener à l'apparition de sources volumiques : on peut citer en particulier les phénomènes de thermo-acoustique, de thermo-induction, de thermomécanique ou de thermochimie. Par exemple, une excitation par ondes ultrasonores peut entraîner des sources thermiques volumiques si le matériau est viscoélastique ou s'il y a présence de défaut. La reconstruction de ces sources est donc la première étape permettant de remonter aux paramètres responsables de l'échauffement. Caractériser une source thermique consiste à reconstruire sa géométrie et la puissance qu'elle génère. Cependant, l'identification de sources thermiques volumiques par la mesure des champs de température de surface est un problème mathématiquement mal posé. Le caractère diffusif de la température en est le principal responsable. Dans ce travail, la reconstruction 3D des sources volumiques à partir du champ de température résultant à la surface, mesuré par InfraRouge, est étudié. Tout d'abord, une analyse du problème physique permet de spécifier les limites de la reconstruction. En particulier, un critère sur la résolution spatiale atteignable est défini et une limitation de reconstruction pour les sources en profondeur est mise en lumière. Ensuite, une méthode de reconstruction par approche probabiliste est proposée et comparée aux méthodes d'inversions existantes. Le temps d'exécution et la sensibilité au bruit de mesure sont étudiés pour chacune de ces méthodes. Des applications numériques et expérimentales seront enfin présentées pour illustrer les résultats. / Non Destructive Testing (N.D.T.) of materials and structures is a very important industrial issue in the fields of transport, aeronautics and space and in the medical domain. Active infrared thermography is a N.D.T. method that consists in providing an external excitation to cause an elevation of temperature field in the material and then to evaluate the resulting temperature field at the surface. However, thermal exciters used (flash lamps, halogen, lasers) act only on the surface of the sample. Several energy conversion systems can on the other hand lead to the generation of volumetric sources: the phenomena of thermo-acoustic, thermo-induction, thermomechanic or thermochemistry can be cited. For example, ultrasonic waves can generate volumetric heat sources if the material is viscoelastic or if there is a defect. The reconstruction of these sources is the first step for the quantification of parameters responsible of the heating. Characterizing a heat source means reconstructing its geometry and the power it generates. For example, a defect in a structure and / or the viscoelasticity of a material can be detected and quantified by this technique if it acts directly on temperature field. However, identification of volumetric heat sources from surface temperature fields is a mathematical ill-posed problem. The diffusive nature of the temperature is the main cause. In this work, the 3D reconstruction of the volumetric heat sources from the resulting surface temperature field, measured by InfraRed, is studied. First, an analysis of the physical problem enables to specify the limits of the reconstruction. In particular, a criterion on achievable spatial resolution is defined and a reconstruction limitation for in-depth sources is highlighted. Then, a probabilistic approach for the reconstruction is proposed and compared to existing inverse methods. The computation time and noise sensitivity are studied for each of these methods. Numerical and experimental applications will thus be presented to illustrate the results.

We consider diagonal-norm classical summation-by-parts (SBP) operators us-ing the simultaneous approximation term (SAT) method of imposing boundaryconditions. We derive a formula for the inverse of these SBP-SAT discretizationmatrices. This formula is then used to show that it is possible to construct a secondorder accurate SBP-SAT operator using only seven grid points.

Markov chains are a fundamental subject of study in mathematical probability and have found wide application in nearly every branch of science. Of particular interest are finite-state Markov chains; the representation of finite-state Markov chains by a transition matrix facilitates detailed analysis by linear algebraic methods. Previous methods of analyzing finite-state Markov chains have emphasized state events. In this thesis we develop the concept of a transition event and define two types of transition events: cumulative events and time-average events. Transition events generalize state events and provide a more flexible framework for analysis. We derive computable, closed-form expressions for the expectation of these two events, characterize the conditioning of transition events, provide an algorithm for computing the expectation of these events, and analyze the complexity and stability of the algorithm. As an application, we derive a construction of composite Markov chains, which we use to study competitive dynamics.

Les nanoparticules de fluorure d'yttrium dopées aux lanthanides possèdent des propriétés luminescentes intéressantes pour des applications en imagerie biomédicale. Nous pouvons synthétiser ces nanoparticules en micelles inverses. Pour leurs applications, les nanoparticules doivent être dispersées dans l'eau, il devient donc essentiel de fonctionnaliser leur surface. L'addition de tétraéthylorthosilicate à la microémulsion en conditions basiques forme une coquille de silice. Cependant, cette réaction génère une deuxième population de nanoparticules de silice. Plusieurs stratégies ont été tentées afin d'éliminer la formation des billes de silice. La diminution du précurseur élimine la seconde nucléation, en revanche, la coquille de silice devient trop mince pour être observable par microscopie à transmission électronique. II faut se tourner vers la spectroscopie de fluorescence, la spectroscopie de photoélectrons des rayons-X et la microscopie à transmission électronique de haute résolution pour valider la formation de la coquille de silice. La poursuite des travaux inclut la formation d'une couche fonctionnalisée sur la coquille de silice afin de faciliter la dispersion en milieu aqueux. Des études en parallèle ont également été faites sur des nanoparticules de type coeur-coquille dopées aux lanthanides. L'étude visait à valider qu'il soit possible de faire croître une coquille d'un matériau similaire à la surface du coeur, sans toutefois effectuer un mélange des deux matériaux.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2010-2011 / La synthèse de nanoparticules d'YF₃ a été réalisée par la méthode des microémulsions inverses. Les deux variantes utilisées consistent à ajouter F₃ à une microémulsion contenant Y₃+, soit via une microémulsion, soit en phase aqueuse. La première méthode produit des particules amorphes de forme indéfinie. La seconde produit un mélange de particules octaédriques monocristallines et sphériques amorphes. Dans les deux cas, la taille est monodisperse et celle-ci peut être contrôlée. Plusieurs paramètres du système micellaire ont été caractérisés par DLS et RMN (taille des micelles inverses, nombre d'agrégation, quantité de surfactant libre, composition micellaire et aire moléculaire interfaciale). De nouvelles approches pour l'analyse des données ont été développées, basées sur la réalisation que des micelles d'une taille donnée doivent être en équilibre avec le surfactant libre à une concentration fixe unique. Un nouveau modèle a également été développé pour les micelles inverses non ioniques. Celui-ci est plus approprié pour les surfactants non ioniques, car il tient compte du volume occupé par la chaîne hydrophile du surfactant et d'une aire moléculaire interfaciale variable. Il ressort que la quantité de surfactant libre est très importante (45-100%) et augmente avec une diminution de la taille des micelles. Ceci s'explique par une perte d'entropie des chaînes hydrophiles du surfactant qui doivent adopter des conformations défavorables, à cause du manque d'espace. Finalement, le mécanisme de formation des nanoparticules a été étudié. Au début de la synthèse, les réactifs sont rapidement dispersés dans le système et consommés pour former des noyaux solides. Les noyaux plus stables croissent ensuite par un mécanisme de maturation d'Ostwald, alimentés par la dissolution des noyaux instables. La différence déterminante entre les deux méthodes de synthèse se produit au moment de la nucléation. Dans le cas de la méthode classique, celle-ci se produit entre des réactifs équimolaires lors d'un échange intermicellaire. Cette méthode génère un plus grand nombre de noyaux stables, expliquant la plus faible taille des particules. Pour la méthode à une microémulsion, la nucléation se produit avec un excès de fluorure, lors de la rencontre de micelles inverses contenant l'yttrium avec une microgouttelette de la solution de fluorure.